En matemáticas , la geometría integral es la teoría de medidas sobre un espacio geométrico invariante bajo el grupo de simetría de ese espacio. En tiempos más recientes, el significado se ha ampliado para incluir una visión de transformaciones invariantes (o equivariantes ) del espacio de funciones en un espacio geométrico al espacio de funciones en otro espacio geométrico. Estas transformaciones suelen adoptar la forma de transformaciones integrales , como la transformada de radón y sus generalizaciones.
La geometría integral como tal surgió por primera vez como un intento de refinar ciertos enunciados de la teoría de la probabilidad geométrica . Los primeros trabajos de Luis Santaló [1] y Wilhelm Blaschke [2] fueron en este sentido. Se desprende del teorema clásico de Crofton que expresa la longitud de una curva plana como una expectativa del número de intersecciones con una línea aleatoria . Aquí la palabra "aleatorio" debe interpretarse como sujeta a consideraciones de simetría correctas.
Existe un espacio muestral de rectas, sobre el que actúa el grupo afín del plano. Se busca una medida de probabilidad en este espacio, invariante bajo el grupo de simetría. Si, como en este caso, podemos encontrar una medida invariante única, entonces eso resuelve el problema de formular con precisión lo que significa "línea aleatoria" y las expectativas se vuelven integrales con respecto a esa medida. (Tenga en cuenta, por ejemplo, que la frase "cuerda aleatoria de un círculo" se puede utilizar para construir algunas paradojas , por ejemplo, la paradoja de Bertrand ).
Podemos decir, por tanto, que la geometría integral en este sentido es la aplicación de la teoría de la probabilidad (tal como la axiomatiza Kolmogorov ) en el contexto del programa Erlangen de Klein . El contenido de la teoría es efectivamente el de medidas invariantes (suaves) en espacios homogéneos (preferiblemente compactos ) de grupos de Lie ; y la evaluación de integrales de las formas diferenciales . [3]
Un caso muy famoso es el problema de la aguja de Buffon : deje caer una aguja en un suelo hecho de tablas y calcule la probabilidad de que la aguja se encuentre en una grieta. Generalizando, esta teoría se aplica a varios procesos estocásticos relacionados con cuestiones geométricas y de incidencia. Ver geometría estocástica .
Uno de los teoremas más interesantes en esta forma de geometría integral es el teorema de Hadwiger en el contexto euclidiano. Posteriormente, se establecieron teoremas de tipo Hadwiger en diversos entornos, especialmente en la geometría hermitiana, utilizando herramientas avanzadas de la teoría de la valoración .
El significado más reciente de geometría integral es el de Sigurdur Helgason [4] [5] e Israel Gelfand . [6] Se trata más específicamente de transformaciones integrales, modeladas a partir de la transformada de radón . Aquí, la relación de incidencia geométrica subyacente (puntos que se encuentran sobre líneas, en el caso de Crofton) se ve desde una perspectiva más libre, como el sitio para una transformación integral compuesta como un retroceso en el gráfico de incidencia y luego un avance .