Valoración (geometría)

En geometría , una valoración es una función finitamente aditiva de una colección de subconjuntos de un conjunto a un semigrupo abeliano . Por ejemplo, la medida de Lebesgue es una valoración sobre uniones finitas de cuerpos convexos de Otros ejemplos de valoraciones sobre uniones finitas de cuerpos convexos de son el área de superficie , el ancho medio y la característica de Euler . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En geometría, las condiciones de continuidad (o suavidad ) se imponen a menudo a las valoraciones, pero también hay facetas puramente discretas de la teoría. De hecho, el concepto de valoración tiene su origen en la teoría de disección de politopos y, en particular, en el tercer problema de Hilbert , que se ha convertido en una rica teoría que se apoya en herramientas del álgebra abstracta.

Definición

Sea un conjunto, y sea una colección de subconjuntos de Una función en con valores en un semigrupo abeliano se llama valoración si satisface siempre que y son elementos de Si entonces siempre se supone ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \phi (A\cup B)+\phi (A\cap B)=\phi (A)+\phi (B)}$$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\cup B,}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$ ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle \phi (\emptyset )=0.}$

Ejemplos

Algunos ejemplos comunes son : ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

• Los cuerpos convexos en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• politopos compactos convexos en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• conos convexos
• Poliedros lisos y compactos en una variedad lisa ${\displaystyle X}$

Sea el conjunto de cuerpos convexos en Entonces algunas valoraciones en son ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {R} ^{n})}$

• La característica de Euler ${\displaystyle \chi :K(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {Z} }$
• La medida de Lebesgue se limita a ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {R} ^{n})}$
• volumen intrínseco (y, más generalmente, volumen mixto )
• el mapa donde esta la función de soporte de ${\displaystyle A\mapsto h_{A},}$ ${\displaystyle h_{A}}$ ${\displaystyle A}$

Algunas otras valoraciones son:

• el enumerador de puntos de red , donde es un politopo de red ${\displaystyle P\mapsto |\mathbb {Z} ^{n}\cap P|}$ ${\displaystyle P}$
• cardinalidad , sobre la familia de conjuntos finitos

Valoraciones sobre cuerpos convexos

De aquí en adelante, sea , sea el conjunto de cuerpos convexos en , y sea una valoración en . ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$

Decimos que es invariante en la traducción si, para todos y , tenemos . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}(V)}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle \phi (K+x)=\phi (K)}$

Sea . La distancia de Hausdorff se define como donde es la vecindad de bajo algún producto interno euclidiano. Equipado con esta métrica, es un espacio localmente compacto . ${\displaystyle (K,L)\in {\mathcal {K}}(V)^{2}}$ ${\displaystyle d_{H}(K,L)}$ $${\displaystyle d_{H}(K,L)=\inf\{\varepsilon >0:K\subset L_{\varepsilon }{\text{ and }}L\subset K_{\varepsilon }\},}$$ ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$

El espacio de valoraciones continuas e invariantes a la traducción de a se denota por ${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$

La topología de es la topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos de Equipado con la norma donde es un subconjunto acotado con interior no vacío, es un espacio de Banach . ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(V).}$ $${\displaystyle \|\phi \|=\max\{|\phi (K)|:K\subset B\},}$$ ${\displaystyle B\subset V}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$

Valoraciones homogéneas

Se dice que una valoración continua invariante a la traducción es -homogénea si para todos y El subconjunto de valoraciones -homogéneas es un subespacio vectorial del teorema de descomposición de McMullen ^[1] establece que ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle \phi (\lambda K)=\lambda ^{i}\phi (K)}$$ ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}(V).}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}(V)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$

$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)=\bigoplus _{i=0}^{n}\operatorname {Val} _{i}(V),\qquad n=\dim V.}$$

En particular, el grado de una valoración homogénea es siempre un número entero entre y ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n=\operatorname {dim} V.}$

Las valoraciones no sólo se califican por el grado de homogeneidad, sino también por la paridad con respecto a la reflexión a través del origen, es decir, donde con si y sólo si para todos los cuerpos convexos Los elementos de y se dice que son pares e impares , respectivamente. $${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}=\operatorname {Val} _{i}^{+}\oplus \operatorname {Val} _{i}^{-},}$$ ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{i}^{\epsilon }}$ ${\displaystyle \epsilon \in \{+,-\}}$ ${\displaystyle \phi (-K)=\epsilon \phi (K)}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}}$

Es un hecho simple que es -dimensional y abarcado por la característica de Euler , es decir, consiste en las valoraciones constantes en ${\displaystyle \operatorname {Val} _{0}(V)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \chi ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(V).}$

En 1957, Hadwiger ^[2] demostró que (donde ) coincide con el espacio -dimensional de medidas de Lebesgue en ${\displaystyle \operatorname {Val} _{n}(V)}$ ${\displaystyle n=\dim V}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle V.}$

Una valoración es simple si para todos los cuerpos convexos con Schneider ^[3] en 1996 describió todas las valoraciones simples en : están dadas por donde es una función impar arbitraria en la esfera unitaria y es la medida del área de superficie de En particular, cualquier valoración simple es la suma de una valoración - y una valoración -homogénea. Esto a su vez implica que una valoración -homogénea está determinada únicamente por sus restricciones a todos los subespacios -dimensionales. ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \phi (K)=0}$ ${\displaystyle \dim K<n.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \phi (K)=c\operatorname {vol} (K)+\int _{S^{n-1}}f(\theta )d\sigma _{K}(\theta ),}$$ ${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle f\in C(S^{n-1})}$ ${\displaystyle S^{n-1}\subset \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \sigma _{K}}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (i+1)}$

Teoremas de incrustación

La incrustación de Klain es una inyección lineal del espacio de valoraciones homogéneas pares en el espacio de secciones continuas de un fibrado lineal complejo canónico sobre el Grassmanniano de subespacios lineales de dimensión 1. Su construcción se basa en la caracterización de Hadwiger ^[2] de valoraciones homogéneas. Si y entonces la restricción es un elemento y por el teorema de Hadwiger es una medida de Lebesgue. Por lo tanto, define una sección continua del fibrado lineal sobre con fibra sobre igual al espacio de dimensión 1 de densidades (medidas de Lebesgue) sobre ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}(V),}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(V)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{i}(V)}$ ${\displaystyle E\in \operatorname {Gr} _{i}(V),}$ ${\displaystyle \phi |_{E}}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}(E),}$ $${\displaystyle \operatorname {Kl} _{\phi }(E)=\phi |_{E}}$$ ${\displaystyle Dens}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(V)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \operatorname {Dens} (E)}$ ${\displaystyle E.}$

Teorema (Klain ^[4] ). La función lineal es inyectiva. ${\displaystyle \operatorname {Kl} :\operatorname {Val} _{i}^{+}(V)\to C(\operatorname {Gr} _{i}(V),\operatorname {Dens} )}$

Existe una inyección diferente, conocida como incrustación de Schneider, para las valoraciones impares. Se basa en la descripción de Schneider de las valoraciones simples. ^[3] Es una inyección lineal del espacio de valoraciones impares-homogéneas, en un cierto cociente del espacio de secciones continuas de un fibrado lineal sobre la variedad de banderas parciales de pares coorientados. Su definición recuerda a la incrustación de Klain, pero es más compleja. Se pueden encontrar detalles en. ^[5] ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}(V),}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (F^{i}\subset E^{i+1}).}$

La incrustación de Goodey-Weil es una inyección lineal de en el espacio de distribuciones en el producto de pliegues de la esfera de dimensiones . No es más que el núcleo de Schwartz de una polarización natural que admite cualquier, es decir, como un funcional en el producto de pliegues del último espacio de funciones que tiene el significado geométrico de diferencias de funciones de soporte de cuerpos convexos suaves. Para más detalles, véase. ^[5] ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{2}(S^{n-1}),}$

Teorema de irreducibilidad

Los teoremas clásicos de Hadwiger, Schneider y McMullen dan descripciones bastante explícitas de las valoraciones que son homogéneas en cuanto a grado y, sin embargo , se sabía muy poco sobre los grados antes del cambio de siglo XXI. La conjetura de McMullen es la afirmación de que las valoraciones abarcan un subespacio denso de Alesker, que confirmó la conjetura de McMullen en una forma mucho más fuerte, que se conoció como el teorema de irreducibilidad: ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle n-1,}$ ${\displaystyle n=\operatorname {dim} V.}$ ${\displaystyle 1<i<n-1}$ $${\displaystyle \phi _{A}(K)=\operatorname {vol} _{n}(K+A),\qquad A\in {\mathcal {K}}(V),}$$ ${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$

Teorema (Alesker ^[6] ). Para cada la acción natural de sobre los espacios y es irreducible. ${\displaystyle 0\leq i\leq n,}$ ${\displaystyle GL(V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}(V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}(V)}$

Aquí la acción del grupo lineal general sobre está dada por La demostración del Teorema de Irreducibilidad se basa en los teoremas de incrustación de la sección anterior y la localización de Beilinson-Bernstein . ${\displaystyle GL(V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$ $${\displaystyle (g\cdot \phi )(K)=\phi (g^{-1}K).}$$

Valoraciones fluidas

Una valoración se denomina suave si la función de a es suave. En otras palabras, es suave si y solo si es un vector suave de la representación natural de en El espacio de valoraciones suaves es denso en ; viene equipado con una topología de espacio de Fréchet natural, que es más fina que la inducida a partir de ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$ ${\displaystyle g\mapsto g\cdot \phi }$ ${\displaystyle GL(V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle GL(V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$

Para cada función suave (de valor complejo) en donde denota la proyección ortogonal y es la medida de Haar, se define una valoración suave y uniforme de grado Del teorema de irreducibilidad, en combinación con el teorema de Casselman-Wallach, se deduce que cualquier valoración suave y uniforme puede representarse de esta manera. A esta representación a veces se la denomina fórmula de Crofton . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(\mathbb {R} ^{n}),}$ $${\displaystyle \phi (K)=\int _{\operatorname {Gr} _{i}(\mathbb {R} ^{n})}\operatorname {vol} _{i}(P_{E}K)f(E)dE,}$$ ${\displaystyle P_{E}:\mathbb {R} ^{n}\to E}$ ${\displaystyle dE}$ ${\displaystyle i.}$

Para cualquier forma diferencial suave (de valor complejo) que sea invariante bajo todas las traducciones y cada integración numérica a lo largo del ciclo normal se define una valoración suave: ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n-1}(\mathbb {R} ^{n}\times S^{n-1})}$ ${\displaystyle (x,u)\mapsto (x+t,u)}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,}$

Como conjunto, el ciclo normal consta de las normales unitarias externas a El teorema de irreducibilidad implica que toda valoración suave es de esta forma. ${\displaystyle N(K)}$ ${\displaystyle K.}$

Operaciones sobre valoraciones invariantes respecto de la traducción

Existen varias operaciones naturales definidas en el subespacio de valoraciones suaves . La más importante es el producto de dos valoraciones suaves. Junto con el retroceso y el avance, esta operación se extiende a las valoraciones en variedades. ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\subset \operatorname {Val} (V).}$

Producto exterior

Sean espacios vectoriales reales de dimensión finita. Existe una función bilineal, llamada producto exterior, que se caracteriza únicamente por las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle V,W}$ $${\displaystyle \boxtimes :\operatorname {Val} ^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} ^{\infty }(W)\to \operatorname {Val} (V\times W)}$$

• es continua con respecto a las topologías habituales en y ${\displaystyle \operatorname {Val} }$ ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }.}$
• si y donde y son cuerpos convexos con límite suave y curvatura de Gauss estrictamente positiva, y y son densidades en y entonces ${\displaystyle \phi =\operatorname {vol} _{V}(\bullet +A)}$ ${\displaystyle \psi =\operatorname {vol} _{W}(\bullet +B)}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {K}}(V)}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {K}}(W)}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} _{V}}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} _{W}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W,}$

$${\displaystyle \phi \boxtimes \psi =(\operatorname {vol} _{V}\boxtimes \operatorname {vol} _{W})(\bullet +A\times B).}$$

Producto

El producto de dos valoraciones suaves se define por donde es la incrustación diagonal. El producto es una función continua. Equipado con este producto, se convierte en un álgebra graduada asociativa conmutativa con la característica de Euler como identidad multiplicativa. ${\displaystyle \phi ,\psi \in \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$ $${\displaystyle (\phi \cdot \psi )(K)=(\phi \boxtimes \psi )(\Delta (K)),}$$ ${\displaystyle \Delta :V\to V\times V}$ $${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} ^{\infty }(V).}$$ ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$

Dualidad Alesker-Poincaré

Por un teorema de Alesker, la restricción del producto es un emparejamiento no degenerado. Esto motiva la definición de la valoración generalizada homogénea , denotada como topologizada con la topología débil. Por la dualidad de Alesker-Poincaré, existe una inclusión densa natural $${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} _{n}^{\infty }(V)=\operatorname {Dens} (V)}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{-\infty }(V),}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V)^{*}\otimes \operatorname {Dens} (V),}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\hookrightarrow \operatorname {Val} _{k}^{-\infty }(V)/}$

Circunvolución

La convolución es un producto natural de Para simplificar, fijamos una densidad en para trivializar el segundo factor. Definimos para fijo con límite suave y curvatura de Gauss estrictamente positiva . Entonces hay una extensión única por continuidad a una función llamada convolución. A diferencia del producto, la convolución respeta la co-graduación, es decir, si entonces ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\otimes \operatorname {Dens} (V^{*}).}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {K}}(V)}$ $${\displaystyle \operatorname {vol} (\bullet +A)\ast \operatorname {vol} (\bullet +B)=\operatorname {vol} (\bullet +A+B).}$$ $${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} ^{\infty }(V),}$$ ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{n-i}^{\infty }(V),}$ ${\displaystyle \psi \in \operatorname {Val} _{n-j}^{\infty }(V),}$ ${\displaystyle \phi \ast \psi \in \operatorname {Val} _{n-i-j}^{\infty }(V).}$

Por ejemplo, denotemos el volumen mixto de los cuerpos convexos. Si los cuerpos convexos tienen un límite suave y una curvatura de Gauss estrictamente positiva y están fijos, entonces define una valoración suave de grado. La convolución de dos de esas valoraciones es donde es una constante que depende solo de ${\displaystyle V(K_{1},\ldots ,K_{n})}$ ${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n-i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi (K)=V(K[i],A_{1},\dots ,A_{n-i})}$ ${\displaystyle i.}$ $${\displaystyle V(\bullet [i],A_{1},\dots ,A_{n-i})\ast V(\bullet [j],B_{1},\dots ,B_{n-j})=c_{i,j}V(\bullet [n-j-i],A_{1},\dots ,A_{n-i},B_{1},\dots ,B_{n-j}),}$$ ${\displaystyle c_{i,j}}$ ${\displaystyle i,j,n.}$

Transformada de Fourier

La transformada de Alesker-Fourier es un isomorfismo natural y equivariante de valoraciones complejas descubierto por Alesker y que goza de muchas propiedades similares a la transformada de Fourier clásica, lo que explica su nombre. ${\displaystyle GL(V)}$ $${\displaystyle \mathbb {F} :\operatorname {Val} ^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} ^{\infty }(V^{*})\otimes \operatorname {Dens} (V),}$$

Invierte la gradación, es decir , entrelaza el producto y la convolución: ${\displaystyle \mathbb {F} :\operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V^{*})\otimes \operatorname {Dens} (V),}$ $${\displaystyle \mathbb {F} (\phi \cdot \psi )=\mathbb {F} \phi \ast \mathbb {F} \psi .}$$

Fijando para simplificar una estructura euclidiana para identificar , tenemos la identidad En valoraciones pares, hay una descripción simple de la transformada de Fourier en términos de la incrustación de Klain: En particular, incluso las valoraciones con valores reales siguen siendo valores reales después de la transformada de Fourier. ${\displaystyle V=V^{*},}$ ${\displaystyle \operatorname {Dens} (V)=\mathbb {C} ,}$ $${\displaystyle \mathbb {F} ^{2}\phi (K)=\phi (-K).}$$ ${\displaystyle \operatorname {Kl} _{\mathbb {F} \phi }(E)=\operatorname {Kl} _{\phi }(E^{\perp }).}$

En el caso de las valoraciones impares, la descripción de la transformada de Fourier es sustancialmente más compleja. A diferencia del caso par, ya no es de naturaleza puramente geométrica. Por ejemplo, no se conserva el espacio de valoraciones impares de valor real.

Retroceso y avance

Dado un mapa lineal existen operaciones inducidas de pullback y pushforward El pullback es el más simple de los dos, dado por Evidentemente preserva la paridad y el grado de homogeneidad de una valoración. Nótese que el pullback no preserva la suavidad cuando no es inyectivo. ${\displaystyle f:U\to V,}$ ${\displaystyle f^{*}:\operatorname {Val} (V)\to \operatorname {Val} (U)}$ ${\displaystyle f_{*}:\operatorname {Val} (U)\otimes \operatorname {Dens} (U)^{*}\to \operatorname {Val} (V)\otimes \operatorname {Dens} (V)^{*}.}$ ${\displaystyle f^{*}\phi (K)=\phi (f(K)).}$ ${\displaystyle f}$

El pushforward es más difícil de definir formalmente. Para simplificar, fije las medidas de Lebesgue en y El pushforward se puede caracterizar de manera única describiendo su acción sobre las valoraciones de la forma para todos y luego extender por continuidad a todas las valoraciones utilizando el Teorema de Irreducibilidad. Para una función sobreyectiva Para una inclusión elija una división Entonces De manera informal, el pushforward es dual al pullback con respecto al emparejamiento Alesker-Poincaré: para y Sin embargo, esta identidad debe interpretarse con cuidado ya que el emparejamiento solo está bien definido para valoraciones suaves. Para más detalles, consulte. ^[7] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (\bullet +A),}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {K}}(U),}$ ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle f_{*}\operatorname {vol} (\bullet +A)=\operatorname {vol} (\bullet +f(A)).}$$ ${\displaystyle f:U\hookrightarrow V,}$ ${\displaystyle V=U\oplus W.}$ $${\displaystyle f_{*}\operatorname {vol} (\bullet +A)(K)=\int _{W}\operatorname {vol} (K\cap (U+w)+A)dw.}$$ ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$ ${\displaystyle \psi \in \operatorname {Val} (U)\otimes \operatorname {Dens} (U)^{*},}$ $${\displaystyle \langle f^{*}\phi ,\psi \rangle =\langle \phi ,f_{*}\psi \rangle .}$$

Valoraciones en colectores

En una serie de artículos que comenzó en 2006, Alesker sentó las bases para una teoría de las valoraciones en variedades que extiende la teoría de las valoraciones en cuerpos convexos. La observación clave que conduce a esta extensión es que a través de la integración sobre el ciclo normal ( 1 ), una valoración suave e invariante en la traducción puede evaluarse en conjuntos mucho más generales que los convexos. También ( 1 ) sugiere definir valoraciones suaves en general eliminando el requisito de que la forma sea invariante en la traducción y reemplazando la medida de Lebesgue invariante en la traducción con una medida suave arbitraria. ${\displaystyle \omega }$

Sea una variedad suave n-dimensional y sea el fibrado coesférico de es decir, la proyectivización orientada del fibrado cotangente. Sea la colección de poliedros diferenciables compactos en cuyo ciclo normal consiste en las conormales externas a es naturalmente una subvariedad de Lipschitz de dimensión ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}=\mathbb {P} _{+}(T^{*}X)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle N(A)\subset \mathbb {P} _{X}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(X),}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle n-1.}$

Para facilitar la presentación, asumimos de ahora en adelante que está orientado, aunque el concepto de valoraciones suaves de hecho no depende de la orientabilidad. El espacio de valoraciones suaves en consiste en funciones de la forma donde y puede ser arbitrario. Alesker demostró que las valoraciones suaves en subconjuntos abiertos de forman un haz suave sobre ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi :{\mathcal {P}}(X)\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \phi (A)=\int _{A}\mu +\int _{N(A)}\omega ,\qquad A\in {\mathcal {P}}(X),}$$ ${\displaystyle \mu \in \Omega ^{n}(X)}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n-1}(\mathbb {P} _{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de valoraciones suaves en una variedad suave : ${\displaystyle X}$

• Medidas suaves en ${\displaystyle X.}$
• La característica de Euler ; esto se desprende del trabajo de Chern ^[8] sobre el teorema de Gauss-Bonnet , donde se construyeron y para representar la característica de Euler. En particular, es entonces el integrando de Chern-Gauss-Bonnet , que es el Pfaffiano del tensor de curvatura de Riemann. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mu }$
• Si es riemanniano, entonces las valoraciones de Lipschitz-Killing o volúmenes intrínsecos son valoraciones suaves. Si es cualquier inmersión isométrica en un espacio euclidiano, entonces donde denota los volúmenes intrínsecos habituales en (ver más abajo la definición del pullback). La existencia de estas valoraciones es la esencia de la fórmula del tubo de Weyl. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V_{0}^{X}=\chi ,V_{1}^{X},\ldots ,V_{n}^{X}=\mathrm {vol} _{X}}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle V_{i}^{X}=f^{*}V_{i}^{\mathbb {R} ^{m}},}$ ${\displaystyle V_{i}^{\mathbb {R} ^{m}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
• Sea el espacio proyectivo complejo , y sea el Grassmanniano de todos los subespacios proyectivos complejos de dimensión fija La función ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} _{k}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle k.}$

$${\displaystyle \phi (A)=\int _{\mathrm {Gr} _{k}^{\mathbb {C} }}\chi (A\cap E)dE,\qquad A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {C} P^{n}),}$$donde la integración es con respecto a la medida de probabilidad de Haar en es una valoración suave. Esto se desprende del trabajo de Fu. ^[10] ${\displaystyle \mathrm {Gr} _{k}^{\mathbb {C} },}$

Filtración

El espacio no admite ninguna gradación natural en general, sin embargo lleva una filtración canónica Aquí consiste en las medidas suaves en y está dado por formas en el ideal generado por donde está la proyección canónica. ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$ $${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)=W_{0}\supset W_{1}\supset \cdots \supset W_{n}.}$$ ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle W_{j}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \pi ^{*}\Omega ^{j}(X),}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {P} _{X}\to X}$

El espacio vectorial graduado asociado es canónicamente isomorfo al espacio de secciones suaves donde denota el fibrado vectorial sobre tal que la fibra sobre un punto es el espacio de valoraciones homogéneas suaves e invariantes en el espacio tangente. ${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}W_{i}/W_{i+1}}$ $${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}C^{\infty }(X,\operatorname {Val} _{i}^{\infty }(TX)),}$$ ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{\infty }(TX)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{\infty }(T_{x}X),}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle T_{x}X.}$

Producto

El espacio admite un producto natural. Este producto es continuo, conmutativo, asociativo, compatible con la filtración y tiene como elemento identidad la característica de Euler. También conmuta con la restricción a subvariedades encajadas, y el grupo de difeomorfismos actúa sobre automorfismos algebraicos. ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$ $${\displaystyle W_{i}\cdot W_{j}\subset W_{i+j},}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$

Por ejemplo, si es riemanniano, las valoraciones de Lipschitz-Killing satisfacen ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle V_{i}^{X}\cdot V_{j}^{X}=V_{i+j}^{X}.}$$

La dualidad Alesker-Poincaré sigue siendo válida. En el caso de la compactación, dice que el emparejamiento no es degenerado. Al igual que en el caso de invariancia de la traducción, esta dualidad se puede utilizar para definir valoraciones generalizadas. A diferencia del caso de invariancia de la traducción, no existe una buena definición de valoraciones continuas para valoraciones en variedades. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)\times {\mathcal {V}}^{\infty }(X)\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle (\phi ,\psi )\mapsto (\phi \cdot \psi )(X)}$

El producto de las valoraciones refleja de cerca la operación geométrica de intersección de subconjuntos. De manera informal, considere la valoración generalizada El producto está dado por Ahora se pueden obtener valoraciones suaves promediando valoraciones generalizadas de la forma con más precisión es una valoración suave si es una familia medida suficientemente grande de difeomorfismos. Entonces se tiene que ver. ^[11] ${\displaystyle \chi _{A}=\chi (A\cap \bullet ).}$ ${\displaystyle \chi _{A}\cdot \chi _{B}=\chi _{A\cap B}.}$ ${\displaystyle \chi _{A},}$ ${\displaystyle \phi (X)=\int _{S}\chi _{s(A)}ds}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \int _{S}\chi _{s(A)}ds\cdot \int _{S'}\chi _{s'(B)}ds'=\int _{S\times S'}\chi _{s(A)\cap s'(B)}dsds',}$$

Retroceso y avance

Toda inmersión suave de variedades suaves induce una función pullback Si es una incrustación, entonces El pullback es un morfismo de álgebras filtradas. Toda inmersión suave propia define una función pushforward por El pushforward también es compatible con la filtración: Para funciones suaves generales, se pueden definir pullback y pushforward para valoraciones generalizadas bajo algunas restricciones. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {V}}^{\infty }(Y)\to {\mathcal {V}}^{\infty }(X).}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle (f^{*}\phi )(A)=\phi (f(A)),\qquad A\in {\mathcal {P}}(X).}$$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {V}}^{\infty }(X)\to {\mathcal {V}}^{\infty }(Y)}$ $${\displaystyle (f_{*}\phi )(A)=\phi (f^{-1}(A)),\qquad A\in {\mathcal {P}}(Y).}$$ ${\displaystyle f_{*}:W_{i}(X)\to W_{i-(\dim X-\dim Y)}(Y).}$

Aplicaciones en geometría integral

Sea una variedad de Riemann y sea un grupo de Lie de isometrías de que actúan transitivamente sobre el fibrado esférico. Bajo estos supuestos, el espacio de valoraciones suaves invariantes en es de dimensión finita; sea una base. Sea poliedros diferenciables en Entonces, las integrales de la forma se pueden expresar como combinaciones lineales de con coeficientes independientes de y : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle SM.}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{m}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {P}}(M)}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \int _{G}\phi _{i}(A\cap gB)dg}$ ${\displaystyle \phi _{k}(A)\phi _{l}(B)}$ ${\displaystyle c_{i}^{kl}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Las fórmulas de este tipo se denominan fórmulas cinemáticas . Su existencia en esta generalidad fue demostrada por Fu. ^[10] Para las tres formas espaciales reales simplemente conexas, es decir, la esfera, el espacio euclidiano y el espacio hiperbólico, se remontan a Blaschke , Santaló , Chern y Federer .

Describir las fórmulas cinemáticas explícitamente es típicamente un problema difícil. De hecho, ya en el paso de las formas espaciales reales a las complejas, surgen dificultades considerables y estas solo han sido resueltas recientemente por Bernig, Fu y Solanes. ^{[12] [13]} La idea clave responsable de este progreso es que las fórmulas cinemáticas contienen la misma información que el álgebra de valoraciones invariantes Para una declaración precisa, sea el operador cinemático, es decir, la función determinada por las fórmulas cinemáticas ( 2 ). Sea la dualidad de Alesker-Poincaré, que es un isomorfismo lineal. Finalmente, sea el adjunto de la función producto El teorema fundamental de la geometría integral algebraica que relaciona las operaciones sobre valoraciones con la geometría integral, establece que si se utiliza la dualidad de Poincaré para identificar con entonces : ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}.}$ $${\displaystyle k_{G}:{\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\to {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\otimes {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$$ $${\displaystyle \operatorname {pd} :{\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\to {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G*}}$$ ${\displaystyle m_{G}^{*}}$ $${\displaystyle m_{G}:{\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\otimes {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\to {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G*},}$ ${\displaystyle k_{G}=m_{G}^{*}}$

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Véase también

• Teorema de Hadwiger  – Teorema de geometría integral
• Geometría integral  : teoría de medidas en un espacio geométrico invariante bajo el grupo de simetría de ese espacio.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Volumen mixto
• Función de conjunto modular  – Función de mapeoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Función de conjunto  : función de conjuntos a números
• Valoración (teoría de la medida)  : mapa en la teoría de la medida o del dominioPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

1. McMullen, Peter (1980), "Valoraciones invariantes de traducción continua en el espacio de conjuntos convexos compactos", Archiv der Mathematik , 34 (4): 377–384, doi :10.1007/BF01224974, S2CID  122127897
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3. Schneider, Rolf (1996), "Valoraciones simples en cuerpos convexos", Mathematika , 43 (1): 32–39, doi :10.1112/S0025579300011578
4. Klain, Daniel A. (1995), "Una prueba breve del teorema de caracterización de Hadwiger", Mathematika , 42 (2): 329–339, doi :10.1112/S0025579300014625
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6. Alesker, Semyon (2001), "Descripción de valoraciones invariantes de traducción en conjuntos convexos con solución de la conjetura de P. McMullen", Análisis geométrico y funcional , 11 (2): 244–272, doi :10.1007/PL00001675, S2CID  122986474
7. Alesker, Semyon (2011), "Una transformada de tipo Fourier sobre valoraciones invariantes de traducción en conjuntos convexos", Israel Journal of Mathematics , 181 : 189–294, arXiv : math/0702842 , doi : 10.1007/s11856-011-0008-6
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9. Weyl, Hermann (1939), "Sobre el volumen de los tubos", American Journal of Mathematics , 61 (2): 461–472, doi :10.2307/2371513, JSTOR  2371513
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Bibliografía

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• R. Schneider (2014). Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, 151. Cambridge University Press, Cambridge, RI. ISBN 978-1-107-60101-7.