En matemáticas , la geometría integral es la teoría de medidas en un espacio geométrico invariante bajo el grupo de simetría de ese espacio. En tiempos más recientes, el significado se ha ampliado para incluir una visión de las transformaciones invariantes (o equivariantes ) del espacio de funciones en un espacio geométrico al espacio de funciones en otro espacio geométrico. Tales transformaciones a menudo toman la forma de transformadas integrales como la transformada de Radon y sus generalizaciones.
La geometría integral como tal surgió por primera vez como un intento de refinar ciertas afirmaciones de la teoría de la probabilidad geométrica . Los primeros trabajos de Luis Santaló [1] y Wilhelm Blaschke [2] se relacionaban con esto. Se deduce del teorema clásico de Crofton que expresa la longitud de una curva plana como una expectativa del número de intersecciones con una línea aleatoria . Aquí la palabra "aleatoria" debe interpretarse como sujeta a consideraciones de simetría correctas.
Existe un espacio muestral de rectas, sobre el que actúa el grupo afín del plano. Se busca una medida de probabilidad en este espacio, invariante bajo el grupo de simetría. Si, como en este caso, podemos encontrar una medida invariante única, entonces eso resuelve el problema de formular con precisión lo que significa "recta aleatoria" y las expectativas se convierten en integrales con respecto a esa medida. (Obsérvese, por ejemplo, que la frase "cuerda aleatoria de un círculo" se puede utilizar para construir algunas paradojas , como la paradoja de Bertrand ).
Por lo tanto, podemos decir que la geometría integral en este sentido es la aplicación de la teoría de la probabilidad (tal como la axiomatizó Kolmogorov ) en el contexto del programa de Erlangen de Klein . El contenido de la teoría es efectivamente el de medidas invariantes (suaves) en espacios homogéneos (preferiblemente compactos ) de grupos de Lie ; y la evaluación de integrales de las formas diferenciales . [3]
Un caso muy conocido es el problema de la aguja de Buffon : se deja caer una aguja sobre un suelo de tablas y se calcula la probabilidad de que la aguja se encuentre sobre una grieta. Esta teoría se generaliza y se aplica a diversos procesos estocásticos relacionados con cuestiones geométricas y de incidencia. Véase geometría estocástica .
Uno de los teoremas más interesantes en esta forma de geometría integral es el teorema de Hadwiger en el contexto euclidiano. Posteriormente se establecieron teoremas de tipo Hadwiger en varios contextos, en particular en la geometría hermítica, utilizando herramientas avanzadas de la teoría de la valoración .
El significado más reciente de geometría integral es el de Sigurdur Helgason [4] [5] e Israel Gelfand [6] . Trata más específicamente de transformadas integrales, modeladas sobre la transformada de Radon . Aquí la relación de incidencia geométrica subyacente (puntos que se encuentran en líneas, en el caso de Crofton) se ve desde una perspectiva más libre, como el sitio para una transformada integral compuesta como un retroceso sobre el gráfico de incidencia y luego un empuje hacia adelante .