Teorema de Hadwiger

Teorema de geometría integral

En geometría integral (también llamada teoría de probabilidad geométrica), el teorema de Hadwiger caracteriza las valoraciones de los cuerpos convexos en Fue demostrado por Hugo Hadwiger . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Introducción

Valoraciones

Sea la colección de todos los conjuntos convexos compactos en Una valoración es una función tal que y para cada que satisface ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle v:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v(\varnothing )=0}$ ${\displaystyle S,T\in \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle S\cup T\in \mathbb {K} ^{n},}$ $${\displaystyle v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)~.}$$

Una valoración se denomina continua si es continua con respecto a la métrica de Hausdorff . Una valoración se denomina invariante bajo movimientos rígidos si siempre que y es una traslación o una rotación de ${\displaystyle v(\varphi (S))=v(S)}$ ${\displaystyle S\in \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Quermassintegrales

Las integrales de quermasa se definen mediante la fórmula de Steiner, donde es la bola euclidiana. Por ejemplo, es el volumen, es proporcional a la medida de la superficie , es proporcional al ancho medio y es la constante ${\displaystyle W_{j}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}~,}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle W_{1}}$ ${\displaystyle W_{n-1}}$ ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Vol} _{n}(B).}$

${\displaystyle W_{j}}$es una valoración que es homogénea de grado , es decir, ${\displaystyle n-j,}$ $${\displaystyle W_{j}(tK)=t^{n-j}W_{j}(K)~,\quad t\geq 0~.}$$

Declaración

Cualquier valoración continua que sea invariante bajo movimientos rígidos puede representarse como ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ $${\displaystyle v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}W_{j}(S)~.}$$

Corolario

Cualquier valoración continua sobre que sea invariante bajo movimientos rígidos y homogénea de grado es un múltiplo de ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle W_{n-j}.}$

Véase también

• Funcional de Minkowski  : Función formada a partir de un conjunto
• Función de conjunto  : función de conjuntos a números

Referencias

Una explicación y una prueba del teorema de Hadwiger se pueden encontrar en

• Klain, DA; Rota, G.-C. (1997). Introducción a la probabilidad geométrica . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-59362-X.Señor 1608265  .

Beifang Chen dio una prueba elemental y autónoma en

• Chen, B. (2004). "Una prueba elemental simplificada del teorema de volumen de Hadwiger". Geom. Dedicata . 105 : 107–120. doi :10.1023/b:geom.0000024665.02286.46. MR  2057247.