rectas tangentes a circunferencias

En la geometría plana euclidiana , una línea tangente a un círculo es una línea que toca el círculo exactamente en un punto , sin entrar nunca en el interior del círculo. Las rectas tangentes a círculos forman el tema de varios teoremas y desempeñan un papel importante en muchas construcciones y demostraciones geométricas . Dado que la recta tangente a un círculo en un punto $P$ es perpendicular al radio de ese punto, los teoremas que involucran rectas tangentes a menudo involucran rectas radiales y círculos ortogonales .

Rectas tangentes a una circunferencia

Una recta tangente $t$ a un círculo $C$ corta al círculo en un solo punto $T.$ A modo de comparación, las rectas secantes cortan un círculo en dos puntos, mientras que otra recta puede no cortar un círculo en absoluto. Esta propiedad de las líneas tangentes se conserva bajo muchas transformaciones geométricas , como escalas , rotaciones , traslaciones , inversiones y proyecciones cartográficas . En lenguaje técnico, estas transformaciones no cambian la estructura de incidencia de la recta tangente y el círculo, aunque la recta y el círculo puedan deformarse.

El radio de un círculo es perpendicular a la recta tangente que pasa por su punto final en la circunferencia del círculo. Por el contrario, la perpendicular a un radio que pasa por el mismo punto final es una recta tangente. La figura geométrica resultante del círculo y la recta tangente tiene una simetría de reflexión con respecto al eje del radio.

No se puede trazar una recta tangente que pase por un punto dentro de un círculo, ya que dicha recta debe ser una recta secante. Sin embargo, se pueden trazar dos rectas tangentes a un círculo desde un punto $P$ fuera del círculo. La figura geométrica de un círculo y ambas rectas tangentes también tienen una simetría de reflexión con respecto al eje radial que une $P$ con el punto central $O$ del círculo. Por tanto, las longitudes de los segmentos desde $P$ hasta los dos puntos tangentes son iguales. Según el teorema de la secante-tangente , el cuadrado de esta longitud tangente es igual a la potencia del punto P en el círculo $C.$ Esta potencia es igual al producto de las distancias desde $P$ hasta dos puntos cualesquiera de intersección del círculo con una recta secante que pasa por $P.$

La recta tangente $t$ y el punto tangente $T$ tienen una relación conjugada entre sí, que se ha generalizado en la idea de puntos polares y rectas polares . La misma relación recíproca existe entre un punto $P$ fuera del círculo y la recta secante que une sus dos puntos de tangencia.

Si un punto $P$ es exterior a un círculo con centro $O$ , y si las rectas tangentes de $P$ tocan el círculo en los puntos $T$ y $S$ , entonces $∠ TPS$ y $∠ TOS$ son suplementarios (suma de 180°).

Si se traza una cuerda $TM desde el punto de tangencia$ $T$ del punto exterior $P$ y $∠ PTM \leq 90°$ entonces $∠ PTM = ½ ∠ TOM$ .

ecuación cartesiana

Supongamos que la ecuación del círculo en coordenadas cartesianas tiene centro en $($ $a$ $,$ $b$ $)$ . Entonces la recta tangente del círculo en $($ $x$ $1$ $,$ $y$ $1$ $)$ tiene ecuación cartesiana $(xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2}$

(x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)=0

Esto se puede demostrar tomando la derivada implícita del círculo. Digamos que el círculo tiene la ecuación de y estamos encontrando la pendiente de la recta tangente en $($ $x$ $1$ $,$ $y$ $1$ $)$ donde comenzamos tomando la derivada implícita con respecto a $x$ : $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},$ $(x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2}=r^{2}.$

{\begin{aligned}{\overset {}{(}}x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\[4pt]2(x-a)+2(y-b){\frac {dy}{dx}}&=0\\[2pt]{\frac {dy}{dx}}&=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\end{aligned}}

Ahora que tenemos la pendiente de la recta tangente, podemos sustituir la pendiente y la coordenada del punto de tangencia en la ecuación de la recta $y = kx + m$ .

{\begin{aligned}y&=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}x+y_{1}+x_{1}{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\\y-y_{1}&=(x_{1}-x){\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\\[2pt](y-y_{1})(y_{1}-b)&=-(x-x_{1})(x_{1}-a)\\[8pt](x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)&=0\end{aligned}}

Construcciones con compás y regla

Es relativamente sencillo construir una recta $t$ tangente a un círculo en un punto $T$ de la circunferencia del círculo:

Se traza una línea $a desde$ $O$ , el centro del círculo, que pasa por el punto radial $T$ ;
La recta $t$ es la recta perpendicular a $a$ .

El teorema de Tales se puede utilizar para construir las rectas tangentes a un punto $P$ externo al círculo $C$ :

Se dibuja un círculo centrado en el punto medio del segmento de línea $OP$ , que tiene diámetro $OP$ , donde $O$ es nuevamente el centro del círculo $C.$
Los puntos de intersección $T 1$ y $T 2$ del círculo $C$ y el nuevo círculo son los puntos tangentes de las rectas que pasan por $P$ , según el siguiente argumento.

Los segmentos de recta $OT 1$ y $OT 2$ son radios del círculo $C$ ; como ambos están inscritos en un semicírculo, son perpendiculares a los segmentos de recta $PT 1$ y $PT 2$ , respectivamente. Pero sólo una recta tangente es perpendicular a la recta radial. Por tanto, las dos rectas que salen de $P$ y pasan por $T 1$ y $T 2$ son tangentes al círculo $C$ .

Otro método para construir las rectas tangentes a un punto $P$ externo al círculo usando solo una regla :

Dibuja tres líneas diferentes a través del punto $P$ dado que intersequen el círculo dos veces.
Sean $A 1, A 2, B 1, B 2, C 1, C 2$ los seis puntos de intersección, correspondiendo la misma letra a la misma recta y el índice 1 correspondiente al punto más cercano a $P$ .
Sea $D$ el punto donde se cruzan las rectas $A 1 B 2$ y $A 2 B 1$ ,
De manera similar, $E$ para las líneas $B 1 C 2$ y $B 2 C 1$ .
Dibuja una línea que pase por $D$ y $E.$
Esta línea corta al círculo en dos puntos , $F$ y $G.$
Las tangentes son las rectas $PF$ y $PG$ . ^[1]

Con geometría analítica

Sea un punto del círculo con ecuación La tangente en $P$ tiene ecuación porque $P$ se encuentra en ambas curvas y es un vector normal de la recta. La tangente corta al eje $x$ en el punto con $P=(a,b)$ $x^{2}+y^{2}=r^{2}.$ $ax+by=r^{2},$ ${\vec {OP}}=(a,b)^{T}$ $P_{0}=(x_{0},0)$ $ax_{0}=r^{2}.$

Por el contrario, si se comienza con un punto , las dos tangentes que pasan por $P$ $0$ se encuentran con el círculo en los dos puntos con $P_{0}=(x_{0},0),$ $P_{1/2}=(a,b_{\pm })$

a={\frac {r^{2}}{x_{0}}},\qquad b_{\pm }=\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}=\pm {\frac {r}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}.

{\binom {a}{b_{\pm }}}={\frac {r^{2}}{x_{0}}}{\binom {1}{0}}\pm {\frac {r}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}{\binom {0}{1}}\ .

Si el punto no se encuentra en el eje $x$ : En la forma vectorial se reemplaza $x$ $0$ por la distancia y los vectores unitarios base por los vectores unitarios ortogonales. Entonces las tangentes que pasan por el punto $P$ $0$ tocan el círculo en los puntos $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ ${\textstyle d_{0}={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}}$ ${\textstyle {\vec {e}}_{1}={\frac {1}{d_{0}}}{\binom {x_{0}}{y_{0}}},\ {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{d_{0}}}{\binom {-y_{0}}{x_{0}}}.}$

{\binom {x_{1/2}}{y_{1/2}}}={\frac {r^{2}}{d_{0}^{2}}}{\binom {x_{0}}{y_{0}}}\pm {\frac {r}{d_{0}^{2}}}{\sqrt {d_{0}^{2}-r^{2}}}{\binom {-y_{0}}{x_{0}}}.

Para $d 0 < r$ no existen tangentes.
Para $d 0 = r$ el punto $P 0$ se encuentra en el círculo y solo hay una tangente con la ecuación $x_{0}x+y_{0}y=r^{2}.$
En caso de $d 0 > r$ hay 2 tangentes con ecuaciones $x_{1}x+y_{1}y=r^{2},\ x_{2}x+y_{2}y=r^{2}.$

Relación con la inversión del círculo : la ecuación describe la inversión del círculo del punto. $ax_{0}=r^{2}$ $(x_{0},0).$

Relación con el polo y el polar : el polar del punto tiene ecuación $(x_{0},0)$ $xx_{0}=r^{2}.$

Polígonos tangenciales

Un polígono tangencial es un polígono cuyos lados son tangentes a un círculo particular, llamado incírculo . Todo triángulo es un polígono tangencial, como lo es todo polígono regular de cualquier número de lados; además, por cada número de lados de un polígono hay un número infinito de polígonos tangenciales no congruentes .

Teorema del cuadrilátero tangente y círculos inscritos

Un cuadrilátero tangencial $ABCD$ es una figura cerrada de cuatro lados rectos que son tangentes a un círculo dado $C.$ De manera equivalente, el círculo $C$ está inscrito en el cuadrilátero $ABCD$ . Según el teorema de Pitot , las sumas de los lados opuestos de cualquier cuadrilátero son iguales, es decir,

{\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {BC}}+{\overline {DA}}.

Esta conclusión se desprende de la igualdad de los segmentos tangentes de los cuatro vértices del cuadrilátero. Denotemos los puntos tangentes como $P$ (en el segmento $AB$ ), $Q$ (en el segmento $BC$ ), $R$ (en el segmento $CD$ ) y $S$ (en el segmento $DA$ ). Los segmentos tangentes simétricos con respecto a cada punto de $ABCD$ son iguales:

{\begin{aligned}{\overline {BP}}={\overline {BQ}}=b,&\quad {\overline {CQ}}={\overline {CR}}=c,\\{\overline {DR}}={\overline {DS}}=d,&\quad {\overline {AS}}={\overline {AP}}=a.\end{aligned}}

{\begin{aligned}&{\overline {AB}}+{\overline {CD}}=(a+b)+(c+d)\\={}&{\overline {BC}}+{\overline {DA}}=(b+c)+(d+a)\end{aligned}}

demostrando el teorema.

Lo contrario también es cierto: se puede inscribir un círculo en cada cuadrilátero en el que las longitudes de los lados opuestos sumen el mismo valor. ^[2]

Este teorema y su inverso tienen varios usos. Por ejemplo, muestran inmediatamente que ningún rectángulo puede tener un círculo inscrito a menos que sea un cuadrado , y que todo rombo tiene un círculo inscrito, mientras que un paralelogramo general no.

Rectas tangentes a dos circunferencias.

Para dos círculos, generalmente hay cuatro líneas distintas que son tangentes a ambos ( bitangentes ), si los dos círculos están uno fuera del otro, pero en casos degenerados puede haber cualquier número entre cero y cuatro líneas bitangentes; estos se abordan a continuación. Para dos de ellas, las rectas tangentes externas, los círculos caen en el mismo lado de la recta; para las otras dos, las rectas tangentes internas, los círculos caen en lados opuestos de la recta. Las rectas tangentes externas se cruzan en el centro homotético externo , mientras que las rectas tangentes internas se cruzan en el centro homotético interno. Tanto el centro homotético externo como el interno se encuentran en la línea de centros (la línea que conecta los centros de los dos círculos), más cerca del centro del círculo más pequeño: el centro interno está en el segmento entre los dos círculos, mientras que el centro externo no está entre los puntos, sino afuera, en el lado del centro del círculo más pequeño. Si los dos círculos tienen igual radio, todavía hay cuatro bitangentes, pero las rectas tangentes externas son paralelas y no hay ningún centro externo en el plano afín ; en el plano proyectivo , el centro homotético externo se encuentra en el punto del infinito correspondiente a la pendiente de estas rectas. ^[3]

tangente exterior

La línea roja que une los puntos $(x 3, y 3)$ y $(x 4, y 4)$ es la tangente exterior entre los dos círculos. Dados los puntos $(x 1, y 1)$ , $(x 2, y 2),$ los puntos $(x 3, y 3)$ , $(x 4, y 4)$ se pueden calcular fácilmente con la ayuda del ángulo $α$ :

{\begin{aligned}x_{3}&=x_{1}\pm r\sin \alpha \\y_{3}&=y_{1}\pm r\cos \alpha \\x_{4}&=x_{2}\pm R\sin \alpha \\y_{4}&=y_{2}\pm R\cos \alpha \\\end{aligned}}

Aquí $R$ y $r$ indican los radios de los dos círculos y el ángulo $α$ se puede calcular usando trigonometría básica. Tienes $α = γ - β$ con ^[4] ^{[ verificación fallida – ver discusión ]}

{\begin{aligned}\gamma &=-{\text{atan2}}\left({y_{2}-y_{1}},{x_{2}-x_{1}}\right)\\[2pt]\beta &=\pm \arcsin \left({\frac {R-r}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}\right)\end{aligned}}

atan2

Las distancias entre los centros de los círculos más cercano y más lejano, $O 2$ y $O 1$ y el punto donde se cruzan las dos tangentes exteriores de los dos círculos ( centro homotético ), $S$ respectivamente, se pueden encontrar usando similitud de la siguiente manera:

{\frac {dr}{r_{1}-r_{2}}}

r

r 1

r 2

O 2

O 1

d

O 1 O 2

tangente interior

Una tangente interior es una tangente que corta el segmento que une los centros de dos círculos. Tenga en cuenta que la tangente interior no se definirá en los casos en que los dos círculos se superpongan.

Construcción

Las rectas bitangentes se pueden construir construyendo los centros homotéticos, como se describe en ese artículo, y luego construyendo las rectas tangentes a través del centro homotético que es tangente a un círculo, mediante uno de los métodos descritos anteriormente. La línea resultante también será tangente al otro círculo. Alternativamente, las rectas tangentes y los puntos tangentes se pueden construir de forma más directa, como se detalla a continuación. Obsérvese que en casos degenerados estas construcciones se desmoronan; Para simplificar la exposición, esto no se analiza en esta sección, pero una forma de construcción puede funcionar en casos límite (por ejemplo, dos círculos tangentes en un punto).

Geometría sintética

Sean $O 1$ y $O 2$ los centros de los dos círculos, $C 1$ y $C 2$ y sean $r 1$ y $r 2$ sus radios , siendo $r 1 > r 2$ ; en otras palabras, el círculo $C 1$ se define como el mayor de los dos círculos. Se pueden utilizar dos métodos diferentes para construir las rectas tangentes externa e interna.

Tangentes externas

Se dibuja un nuevo círculo $C 3$ de radio $r 1 - r 2 centrado en$ $O 1$ . Usando el método anterior, se dibujan dos líneas desde $O 2$ que son tangentes a este nuevo círculo. Estas líneas son paralelas a las líneas tangentes deseadas, porque la situación corresponde a contraer ambos círculos $C 1$ y $C 2$ en una cantidad constante, $r 2$ , lo que contrae $C 2$ hasta un punto. Se pueden trazar dos líneas radiales desde el centro $O 1$ a través de los puntos tangentes en $C 3$ ; estos intersectan $a C 1$ en los puntos tangentes deseados. Las líneas tangentes externas deseadas son las líneas perpendiculares a estas líneas radiales en esos puntos tangentes, que pueden construirse como se describió anteriormente.

Tangentes internas

Se dibuja un nuevo círculo $C 3$ de radio $r 1 + r 2 centrado en$ $O 1$ . Usando el método anterior, se dibujan dos líneas desde $O 2$ que son tangentes a este nuevo círculo. Estas líneas son paralelas a las líneas tangentes deseadas, porque la situación corresponde a contraer $C 2$ hasta un punto mientras se expande $C 1$ en una cantidad constante, $r 2$ . Se pueden trazar dos líneas radiales desde el centro $O 1$ a través de los puntos tangentes en $C 3$ ; estos intersectan $a C 1$ en los puntos tangentes deseados. Las líneas tangentes internas deseadas son las líneas perpendiculares a estas líneas radiales en esos puntos tangentes, que pueden construirse como se describió anteriormente.

Geometría analítica

Deje que los círculos tengan centros $c 1 = (x 1, y 1)$ y $c 2 = (x 2, y 2)$ con radio $r 1$ y $r 2$ respectivamente. Al expresar una recta mediante la ecuación con la normalización, entonces una recta bitangente satisface: $ax+by+c=0,$ $a^{2}+b^{2}=1,$

{\begin{aligned}ax_{1}+by_{1}+c&=r_{1}\\ax_{2}+by_{2}+c&=r_{2}\\\end{aligned}}

(a, b, c)

a\Delta x+b\Delta y=\Delta r,\qquad (1)

\Delta x=x_{2}-x_{1},\quad \Delta y=y_{2}-y_{1}

\Delta r=r_{2}-r_{1}

\Delta r=r_{2}+r_{1}

Si es la distancia de $c$ $1$ a $c$ $2$ podemos normalizar mediante ${\textstyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}$

X={\frac {\Delta x}{d}},\quad Y={\frac {\Delta y}{d}},\quad R={\frac {\Delta r}{d}}

{\begin{aligned}aX+bY&=R,\\a^{2}+b^{2}&=1;\end{aligned}}

k = \pm1

{\begin{aligned}a&=RX-kY{\sqrt {1-R^{2}}}\\b&=RY+kX{\sqrt {1-R^{2}}}\\c&=r_{1}-(ax_{1}+by_{1})\end{aligned}}

$(X, Y)$ es el vector unitario que apunta de $c 1$ a $c 2$ , mientras que $R$ es $cos θ$ donde $θ$ es el ángulo entre la línea de centros y una línea tangente. entonces $sin θ$ es (dependiendo del signo de $θ$ , equivalentemente la dirección de rotación), y las ecuaciones anteriores son la rotación de $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ por $\pm$ $θ$ usando la matriz de rotación: $\pm {\sqrt {1-R^{2}}}$

{\begin{pmatrix}R&\mp {\sqrt {1-R^{2}}}\\\pm {\sqrt {1-R^{2}}}&R\end{pmatrix}}

$k = 1$ es la línea tangente a la derecha de los círculos mirando desde $c 1$ hasta $c 2$ .
$k = -1$ es la línea tangente a la derecha de los círculos mirando desde $c 2$ hasta $c 1$ .

Lo anterior supone que cada círculo tiene un radio positivo. Si $r 1$ es positivo y $r 2$ negativo, entonces $c 1$ estará a la izquierda de cada línea y $c 2$ a la derecha, y las dos líneas tangentes se cruzarán. De esta forma se obtienen las cuatro soluciones. Los signos de conmutación de ambos radios cambian $k = 1$ y $k = -1$ .

Vectores

En general, los puntos de tangencia $t 1$ y $t 2$ para las cuatro rectas tangentes a dos círculos con centros $v 1$ y $v 2$ y radios $r 1$ y $r 2$ se obtienen resolviendo las ecuaciones simultáneas:

{\begin{aligned}(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{1}-v_{1})&=r_{1}^{2}\\(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-v_{2})&=r_{2}^{2}\\\end{aligned}}

Estas ecuaciones expresan que la recta tangente, que es paralela a, es perpendicular a los radios, y que los puntos tangentes se encuentran en sus respectivas circunferencias. $t_{2}-t_{1},$

Estas son cuatro ecuaciones cuadráticas en dos variables vectoriales bidimensionales y, en general, tendrán cuatro pares de soluciones.

Casos degenerados

Dos círculos distintos pueden tener entre cero y cuatro líneas bitangentes, según la configuración; estos se pueden clasificar en términos de la distancia entre los centros y los radios. Si se cuenta con multiplicidad (contando dos veces una tangente común) hay cero, dos o cuatro rectas bitangentes. Las líneas bitangentes también se pueden generalizar a círculos con radio negativo o cero. Los casos degenerados y las multiplicidades también pueden entenderse en términos de límites de otras configuraciones: por ejemplo, un límite de dos círculos que casi se tocan y uno se mueve para que se toquen, o un círculo con un radio pequeño que se reduce a un círculo de radio cero. .

Si los círculos están uno fuera del otro ( ), que es la posición general , hay cuatro bitangentes. $d>r_{1}+r_{2}$
Si se tocan externamente en un punto ( ) – tienen un punto de tangencia externa – entonces tienen dos bitangentes externas y una bitangente interna, es decir, la línea tangente común. Esta recta tangente común tiene multiplicidad dos, ya que separa los círculos (uno a la izquierda, otro a la derecha) para cualquier orientación (dirección). $d=r_{1}+r_{2}$
Si los círculos se cruzan en dos puntos ( ), entonces no tienen bitangentes internas y dos bitangentes externas (no se pueden separar porque se cruzan, por lo tanto, no tienen bitangentes internas). $|r_{1}-r_{2}|<d<r_{1}+r_{2}$
Si los círculos se tocan internamente en un punto ( ) – tienen un punto de tangencia interna – entonces no tienen bitangentes internas y una bitangente externa, es decir, la línea tangente común, que tiene multiplicidad dos, como arriba. $d=|r_{1}-r_{2}|$
Si un círculo está completamente dentro del otro ( ), entonces no tienen bitangentes, ya que una línea tangente al círculo exterior no corta al círculo interior, o por el contrario, una línea tangente al círculo interior es una recta secante al círculo exterior. $d<|r_{1}-r_{2}|$

Finalmente, si los dos círculos son idénticos, cualquier tangente al círculo es una tangente común y, por lo tanto, bitangente (externa), por lo que hay un valor de bitangentes para un círculo.

Además, la noción de rectas bitangentes se puede extender a círculos con radio negativo (el mismo lugar geométrico de los puntos, pero considerados "de adentro hacia afuera"), en cuyo caso si los radios tienen signo opuesto (un círculo tiene radio negativo y el otro tiene radio positivo radio) los centros homotéticos externo e interno y las bitangentes externa e interna se intercambian, mientras que si los radios tienen el mismo signo (ambos radios positivos o ambos radios negativos) "externo" e "interno" tienen el mismo sentido habitual (cambiando un signo cambia ellos, por lo que cambiar ambos los vuelve a cambiar). $x^{2}+y^{2}=(-r)^{2},$

Las líneas bitangentes también se pueden definir cuando uno o ambos círculos tienen radio cero. En este caso, el círculo con radio cero es un punto doble y, por lo tanto, cualquier línea que lo atraviese corta el punto con multiplicidad dos, por lo tanto, es "tangente". Si un círculo tiene radio cero, una línea bitangente es simplemente una línea tangente al círculo que pasa por el punto y se cuenta con multiplicidad dos. Si ambos círculos tienen radio cero, entonces la recta bitangente es la recta que definen y se cuenta con multiplicidad de cuatro.

Tenga en cuenta que en estos casos degenerados el centro homotético externo e interno generalmente todavía existen (el centro externo está en el infinito si los radios son iguales), excepto si los círculos coinciden, en cuyo caso el centro externo no está definido, o si ambos círculos tienen radio cero, en cuyo caso el centro interno no está definido.

Aplicaciones

Problema con el cinturón

Las rectas tangentes interna y externa son útiles para resolver el problema de la correa , que consiste en calcular la longitud de una correa o cuerda necesaria para que encaje cómodamente sobre dos poleas. Si se considera que la correa es una línea matemática de espesor insignificante, y si se supone que ambas poleas se encuentran exactamente en el mismo plano, el problema se reduce a sumar las longitudes de los segmentos de línea tangente relevantes con las longitudes de los arcos circulares subtendidos por la cinturón. Si el cinturón se enrolla alrededor de las ruedas de manera que se cruce, los segmentos de la línea tangente interior son relevantes. Por el contrario, si la correa está enrollada exteriormente alrededor de las poleas, los segmentos de línea tangente exterior son relevantes; Este caso a veces se denomina problema de la polea .

Rectas tangentes a tres circunferencias: teorema de Monge

Para tres círculos indicados por $C 1$ , $C 2$ y $C 3$ , hay tres pares de círculos ( $C 1 C 2$ , $C 2 C 3$ y $C 1 C 3$ ). Como cada par de círculos tiene dos centros homotéticos, hay seis centros homotéticos en total. Gaspard Monge demostró a principios del siglo XIX que estos seis puntos se encuentran en cuatro líneas, cada una de las cuales tiene tres puntos colineales.

El problema de Apolonio

Muchos casos especiales del problema de Apolonio implican encontrar un círculo que sea tangente a una o más rectas. El más simple de ellos es construir círculos que sean tangentes a tres rectas dadas (el problema LLL ). Para resolver este problema, el centro de cualquier círculo debe estar en una bisectriz de cualquier par de rectas; hay dos rectas que bisectan ángulos por cada intersección de dos rectas. Las intersecciones de estas bisectrices dan los centros de los círculos solución. Hay cuatro círculos de este tipo en general, el círculo inscrito del triángulo formado por la intersección de las tres líneas y los tres círculos exscritos.

Un problema general de Apolonio se puede transformar en el problema más simple del círculo tangente a un círculo y dos rectas paralelas (en sí mismo un caso especial del caso especial LLC ). Para ello basta con escalar dos de los tres círculos dados hasta que se toquen, es decir, que sean tangentes. Una inversión en su punto tangente con respecto a un círculo de radio apropiado transforma los dos círculos dados que se tocan en dos líneas paralelas, y el tercer círculo dado en otro círculo. Así, las soluciones se pueden encontrar deslizando un círculo de radio constante entre dos líneas paralelas hasta que entre en contacto con el tercer círculo transformado. La reinversión produce las soluciones correspondientes al problema original.

Generalizaciones

El concepto de recta tangente a uno o más círculos se puede generalizar de varias maneras. Primero, la relación conjugada entre puntos tangentes y rectas tangentes se puede generalizar a puntos polares y rectas polares , en las que los puntos polares pueden estar en cualquier lugar, no sólo en la circunferencia del círculo. En segundo lugar, la unión de dos círculos es un caso especial ( reducible ) de una curva plana de cuarto grado , y las rectas tangentes externa e interna son las bitangentes de esta curva de cuarto grado. Una curva cuártica genérica tiene 28 bitangentes.

Una tercera generalización considera círculos tangentes, en lugar de líneas tangentes; una recta tangente puede considerarse como una circunferencia tangente de radio infinito. En particular, las rectas tangentes externas a dos círculos son casos límite de una familia de círculos que son interna o externamente tangentes a ambos círculos, mientras que las rectas tangentes internas son casos límite de una familia de círculos que son internamente tangentes a uno y externamente tangentes a uno. al otro de los dos círculos. ^[5]

En Möbius o geometría inversiva , las líneas se ven como círculos que pasan por un punto "en el infinito" y para cualquier línea y círculo, existe una transformación de Möbius que asigna una a la otra. En la geometría de Möbius, la tangencia entre una línea y un círculo se convierte en un caso especial de tangencia entre dos círculos. Esta equivalencia se amplía aún más en la geometría de la esfera de Lie .

El radio y la recta tangente son perpendiculares en un punto de un círculo e hiperbólico-ortogonal en un punto de la hipérbola unitaria . La representación paramétrica de la hipérbola unitaria a través del vector de radio es $p (a) = (cosh a, sinh a)$ . La derivada de $p (a)$ apunta en la dirección de la recta tangente en $p (a)$ y es El radio y la tangente son ortogonales hiperbólicas en $a$ ya que $p$ $($ $a$ $)$ y son reflejos entre sí en la asíntota $y$ $=$ $x$ de la hipérbola unitaria. Cuando se interpreta como números complejos divididos (donde $jj$ $= +1$ ), los dos números satisfacen ${\tfrac {dp}{da}}=(\sinh a,\cosh a).$ ${\tfrac {dp}{da}}$ $jp(a)={\tfrac {dp}{da}}.$

Referencias

^ "Encontrar tangentes a un círculo con una regla". Intercambio de pila . 15 de agosto de 2015.
^ Alexander Bogomolny "¿Cuando un cuadrilátero es inscriptible?" en Cortar el nudo
^ Paul Kunkel. "Círculos tangentes". Whistleralley.com . Consultado el 29 de septiembre de 2008 .
^ Libeskind, Shlomo (2007), Geometría euclidiana y transformacional: una investigación deductiva , págs.( copia en línea , p. 110, en Google Books )
^ Kunkel, Paul (2007), "El problema de la tangencia de Apolonio: tres miradas" (PDF) , Boletín BSHM: Revista de la Sociedad Británica de Historia de las Matemáticas , 22 (1): 34–46, doi :10.1080/17498430601148911 , S2CID 122408307

enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Rectas tangentes a un círculo". MundoMatemático .
Weisstein, Eric W. "Rectas tangentes a dos círculos". MundoMatemático .