En matemáticas , una tabla de Young (/tæˈb l oʊ , ˈtæb l oʊ / ; plural : tableaux ) es un objeto combinatorio útil en la teoría de la representación y el cálculo de Schubert . Proporciona una forma conveniente de describir las representaciones grupales de los grupos lineales simétricos y generales y de estudiar sus propiedades.
Los cuadros de Young fueron introducidos por Alfred Young , un matemático de la Universidad de Cambridge , en 1900. [1] [2] Luego fueron aplicados al estudio del grupo simétrico por Georg Frobenius en 1903. Su teoría fue desarrollada aún más por muchos matemáticos, entre ellos Percy MacMahon , WVD Hodge , G. de B. Robinson , Gian-Carlo Rota , Alain Lascoux , Marcel-Paul Schützenberger y Richard P. Stanley .
Nota: este artículo utiliza la convención inglesa para mostrar diagramas y tablas de Young .
Un diagrama de Young (también llamado diagrama de Ferrers , particularmente cuando se representa usando puntos) es una colección finita de cajas, o celdas, dispuestas en filas justificadas a la izquierda, con las longitudes de fila en orden no creciente. Enumerar el número de cajas en cada fila da una partición λ de un entero no negativo n , el número total de cajas del diagrama. Se dice que el diagrama de Young tiene forma λ y contiene la misma información que esa partición. La contención de un diagrama de Young en otro define un ordenamiento parcial en el conjunto de todas las particiones, que es de hecho una estructura reticular , conocida como reticulado de Young . Enumerar el número de cajas de un diagrama de Young en cada columna da otra partición, la partición conjugada o transpuesta de λ ; uno obtiene un diagrama de Young de esa forma reflejando el diagrama original a lo largo de su diagonal principal.
Existe un acuerdo casi universal en que al etiquetar cajas de diagramas de Young por pares de números enteros, el primer índice selecciona la fila del diagrama y el segundo índice selecciona la caja dentro de la fila. Sin embargo, existen dos convenciones distintas para mostrar estos diagramas y, en consecuencia, los cuadros: la primera coloca cada fila debajo de la anterior, la segunda apila cada fila sobre la anterior. Dado que la primera convención es utilizada principalmente por los anglófonos mientras que la segunda es a menudo preferida por los francófonos , es habitual referirse a estas convenciones respectivamente como la notación inglesa y la notación francesa ; por ejemplo, en su libro sobre funciones simétricas , Macdonald aconseja a los lectores que prefieren la convención francesa que "lean este libro al revés en un espejo" (Macdonald 1979, p. 2). Esta nomenclatura probablemente comenzó siendo jocosa. La notación inglesa corresponde a la que se usa universalmente para matrices, mientras que la notación francesa se acerca más a la convención de coordenadas cartesianas ; Sin embargo, la notación francesa difiere de esa convención al colocar primero la coordenada vertical. La figura de la derecha muestra, utilizando la notación inglesa, el diagrama de Young correspondiente a la partición (5, 4, 1) del número 10. La partición conjugada, que mide las longitudes de las columnas, es (3, 2, 2, 2, 1).
En muchas aplicaciones, por ejemplo, al definir funciones de Jack , es conveniente definir la longitud del brazo a λ ( s ) de una caja s como el número de cajas a la derecha de s en el diagrama λ en notación inglesa. De manera similar, la longitud de la pierna l λ ( s ) es el número de cajas debajo de s . La longitud del gancho de una caja s es el número de cajas a la derecha de s o debajo de s en notación inglesa, incluida la propia caja s ; en otras palabras, la longitud del gancho es a λ ( s ) + l λ ( s ) + 1.
Una tabla de Young se obtiene rellenando las casillas del diagrama de Young con símbolos tomados de algún alfabeto , que normalmente se requiere que sea un conjunto totalmente ordenado . Originalmente, ese alfabeto era un conjunto de variables indexadas x 1 , x 2 , x 3 ..., pero ahora se suele utilizar un conjunto de números para abreviar. En su aplicación original a las representaciones del grupo simétrico , las tablas de Young tienen n entradas distintas, asignadas arbitrariamente a las casillas del diagrama. Una tabla se denomina estándar si las entradas en cada fila y cada columna son crecientes. El número de tablas de Young estándar distintas en n entradas viene dado por los números de involución.
En otras aplicaciones, es natural permitir que el mismo número aparezca más de una vez (o no aparezca en absoluto) en una tabla. Una tabla se denomina semiestándar o estricta en columnas si las entradas aumentan débilmente a lo largo de cada fila y aumentan estrictamente hacia abajo en cada columna. Al registrar el número de veces que aparece cada número en una tabla, se obtiene una secuencia conocida como el peso de la tabla. Por lo tanto, las tablas de Young estándar son precisamente las tablas semiestándar de peso (1,1,...,1), que requiere que cada número entero hasta n aparezca exactamente una vez.
En una tabla de Young estándar, el entero es un descendente si aparece en una fila estrictamente debajo de . La suma de los descendentes se denomina índice mayor de la tabla. [3]
Existen diversas variaciones de esta definición: por ejemplo, en una tabla con filas estrictas, las entradas aumentan estrictamente a lo largo de las filas y aumentan débilmente a lo largo de las columnas. Asimismo, las tablas con entradas decrecientes se han considerado, en particular, en la teoría de particiones planas . También existen generalizaciones como las tablas de dominó o las tablas de cinta, en las que se pueden agrupar varias casillas antes de asignarles entradas.
Una forma oblicua es un par de particiones ( λ , μ ) tales que el diagrama de Young de λ contiene el diagrama de Young de μ ; se denota por λ / μ . Si λ = ( λ 1 , λ 2 , ...) y μ = ( μ 1 , μ 2 , ...) , entonces la contención de diagramas significa que μ i ≤ λ i para todo i . El diagrama oblicuo de una forma oblicua λ / μ es la diferencia de teoría de conjuntos de los diagramas de Young de λ y μ : el conjunto de cuadrados que pertenecen al diagrama de λ pero no al de μ . Una tabla oblicua de forma λ / μ se obtiene llenando los cuadrados del diagrama oblicuo correspondiente; una tabla de este tipo es semiestándar si las entradas aumentan débilmente a lo largo de cada fila y aumentan estrictamente hacia abajo en cada columna, y es estándar si además todos los números desde 1 hasta el número de cuadrados del diagrama de sesgo ocurren exactamente una vez. Mientras que el mapa de particiones a sus diagramas de Young es inyectivo, este no es el caso para el mapa de formas sesgadas a diagramas sesgados; [4] por lo tanto, la forma de un diagrama de sesgo no siempre se puede determinar a partir del conjunto de cuadrados llenos solamente. Aunque muchas propiedades de las tablas sesgadas solo dependen de los cuadrados llenos, algunas operaciones definidas en ellas requieren conocimiento explícito de λ y μ , por lo que es importante que las tablas sesgadas registren esta información: dos tablas sesgadas distintas pueden diferir solo en su forma, mientras que ocupan el mismo conjunto de cuadrados, cada uno lleno con las mismas entradas. [5] Las tablas de Young se pueden identificar con tablas sesgadas en las que μ es la partición vacía (0) (la partición única de 0).
Cualquier tabla semiestándar oblicua T de forma λ / μ con entradas enteras positivas da lugar a una secuencia de particiones (o diagramas de Young), comenzando con μ y tomando como partición i lugares más adelante en la secuencia aquella cuyo diagrama se obtiene a partir del de μ sumando todas las cajas que contienen un valor ≤ i en T ; esta partición eventualmente se vuelve igual a λ . Cualquier par de formas sucesivas en tal secuencia es una forma oblicua cuyo diagrama contiene como máximo una caja en cada columna; tales formas se denominan franjas horizontales . Esta secuencia de particiones determina completamente T , y de hecho es posible definir tablas semiestándar (sesgadas) como tales secuencias, como lo hace Macdonald (Macdonald 1979, p. 4). Esta definición incorpora las particiones λ y μ en los datos que componen la tabla oblicua.
Las tablas de Young tienen numerosas aplicaciones en combinatoria , teoría de la representación y geometría algebraica . Se han explorado varias formas de contar las tablas de Young y han conducido a la definición de funciones de Schur y a identidades para ellas .
Se conocen muchos algoritmos combinatorios sobre tablas, incluidos el jeu de taquin de Schützenberger y la correspondencia Robinson-Schensted-Knuth . Lascoux y Schützenberger estudiaron un producto asociativo sobre el conjunto de todas las tablas de Young semiestándar, dándole la estructura denominada monoide pláctico (en francés: le monoïde plaxique ).
En teoría de la representación, las tablas de Young estándar de tamaño k describen bases en representaciones irreducibles del grupo simétrico en k letras. La base monomial estándar en una representación irreducible de dimensión finita del grupo lineal general GL n está parametrizada por el conjunto de tablas de Young semiestándar de forma fija sobre el alfabeto {1, 2, ..., n }. Esto tiene consecuencias importantes para la teoría de invariantes , comenzando por el trabajo de Hodge sobre el anillo de coordenadas homogéneo del Grassmanniano y explorado más a fondo por Gian-Carlo Rota con colaboradores, de Concini y Procesi , y Eisenbud . La regla de Littlewood-Richardson que describe (entre otras cosas) la descomposición de productos tensoriales de representaciones irreducibles de GL n en componentes irreducibles se formula en términos de ciertas tablas semiestándar sesgadas.
Las aplicaciones a la geometría algebraica se centran en el cálculo de Schubert sobre las variedades Grassmannianas y las variedades bandera . Ciertas clases de cohomología importantes pueden representarse mediante polinomios de Schubert y describirse en términos de tablas de Young.
Los diagramas de Young se corresponden biunívocamente con las representaciones irreducibles del grupo simétrico sobre los números complejos . Proporcionan una forma conveniente de especificar los simetrizadores de Young a partir de los cuales se construyen las representaciones irreducibles . Se pueden deducir muchos hechos sobre una representación a partir del diagrama correspondiente. A continuación, describimos dos ejemplos: determinación de la dimensión de una representación y representaciones restringidas. En ambos casos, veremos que algunas propiedades de una representación se pueden determinar utilizando únicamente su diagrama. Los cuadros de Young están involucrados en el uso del grupo simétrico en los estudios de química cuántica de átomos, moléculas y sólidos. [6] [7]
Los diagramas de Young también parametrizan las representaciones polinómicas irreducibles del grupo lineal general GL n (cuando tienen como máximo n filas no vacías), o las representaciones irreducibles del grupo lineal especial SL n (cuando tienen como máximo n − 1 filas no vacías), o las representaciones complejas irreducibles del grupo unitario especial SU n (de nuevo cuando tienen como máximo n − 1 filas no vacías). En estos casos, las tablas semiestándar con entradas de hasta n desempeñan un papel central, en lugar de las tablas estándar; en particular, es el número de esas tablas lo que determina la dimensión de la representación.
La dimensión de la representación irreducible π λ del grupo simétrico S n correspondiente a una partición λ de n es igual al número de tablas de Young estándar diferentes que se pueden obtener a partir del diagrama de la representación. Este número se puede calcular mediante la fórmula de la longitud del gancho .
La longitud de gancho hook( x ) de una caja x en el diagrama de Young Y ( λ ) de forma λ es el número de cajas que están en la misma fila a la derecha de ella más las cajas en la misma columna debajo de ella, más uno (para la caja misma). Por la fórmula de longitud de gancho, la dimensión de una representación irreducible es n ! dividido por el producto de las longitudes de gancho de todas las cajas en el diagrama de la representación:
La figura de la derecha muestra las longitudes de los ganchos para todas las cajas en el diagrama de la partición 10 = 5 + 4 + 1. Por lo tanto
De manera similar, la dimensión de la representación irreducible W ( λ ) de GL r correspondiente a la partición λ de n (con como máximo r partes) es el número de tablas de Young semiestándar de forma λ (que contienen solo las entradas de 1 a r ), que se da por la fórmula de longitud de gancho:
donde el índice i da la fila y j la columna de una caja. [8] Por ejemplo, para la partición (5,4,1) obtenemos como dimensión de la representación irreducible correspondiente de GL 7 (recorriendo las cajas por filas):
Una representación del grupo simétrico de n elementos, S n, es también una representación del grupo simétrico de n − 1 elementos, S n −1 . Sin embargo, una representación irreducible de S n puede no ser irreducible para S n −1 . En cambio, puede ser una suma directa de varias representaciones que son irreducibles para S n −1 . Estas representaciones se denominan entonces factores de la representación restringida (véase también representación inducida ).
La cuestión de determinar esta descomposición de la representación restringida de una representación irreducible dada de S n , correspondiente a una partición λ de n , se responde de la siguiente manera. Se forma el conjunto de todos los diagramas de Young que se pueden obtener a partir del diagrama de forma λ eliminando sólo una casilla (que debe estar al final tanto de su fila como de su columna); la representación restringida se descompone entonces como una suma directa de las representaciones irreducibles de S n −1 correspondientes a esos diagramas, cada una de las cuales aparece exactamente una vez en la suma.
Alfred Young introdujo estos sistemas en 1900..
