polinomio de Schubert

En matemáticas, los polinomios de Schubert son generalizaciones de los polinomios de Schur que representan clases de cohomología de ciclos de Schubert en variedades de bandera . Fueron introducidos por Lascoux y Schützenberger (1982) y llevan el nombre de Hermann Schubert .

Fondo

Lascoux (1995) describió la historia de los polinomios de Schubert.

Los polinomios de Schubert son polinomios en las variables que dependen de un elemento del grupo simétrico infinito de todas las permutaciones que fijan todos menos un número finito de elementos. Forman una base para el anillo polinomial en infinitas variables. ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle S_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]}$

La cohomología de la variedad bandera es donde está el ideal generado por funciones simétricas homogéneas de grado positivo. El polinomio de Schubert es el único polinomio homogéneo de grado que representa el ciclo de Schubert en la cohomología de la variedad bandera para todos los suficientemente grandes ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle {\text{Fl}}(m)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}]/I,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}}$ ${\displaystyle \ell (w)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\text{Fl}}(m)}$ ${\displaystyle m.}$

Propiedades

• Si es la permutación de mayor longitud en entonces ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w_{0}}=x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}}$

• ${\displaystyle \partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}}$if , dónde está la transposición y hacia dónde lleva el operador de diferencia dividida . ${\displaystyle w(i)>w(i+1)}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle (i,i+1)}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P-s_{i}P)/(x_{i}-x_{i+1})}$

Los polinomios de Schubert se pueden calcular de forma recursiva a partir de estas dos propiedades. En particular, esto implica que . ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}=\partial _{w^{-1}w_{0}}x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}}$

Otras propiedades son

• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{id}=1}$

• Si es la transposición , entonces . ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle (i,i+1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{s_{i}}=x_{1}+\cdots +x_{i}}$

• Si es para todos , entonces es el polinomio de Schur donde está la partición . En particular, todos los polinomios de Schur (de un número finito de variables) son polinomios de Schubert. ${\displaystyle w(i)<w(i+1)}$ ${\displaystyle i\neq r}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}}$ ${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{r})}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (w(r)-r,\ldots ,w(2)-2,w(1)-1)}$

• Los polinomios de Schubert tienen coeficientes positivos. Richard P. Stanley propuso una regla conjetural para sus coeficientes , que se demostró en dos artículos, uno de Sergey Fomin y Stanley y otro de Sara Billey , William Jockusch y Stanley.

• Los polinomios de Schubert pueden verse como una función generadora sobre ciertos objetos combinatorios llamados quimeras o rc-graphs . Estos están en biyección con caras de Kogan reducidas (introducidas en la tesis doctoral de Mikhail Kogan) que son caras especiales del politopo Gelfand-Tsetlin.

• Los polinomios de Schubert también se pueden escribir como una suma ponderada de objetos llamados quimeras sin golpes .

Como ejemplo

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{24531}(x)=x_{1}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}.}$

Constantes de estructura multiplicativa

Dado que los polinomios de Schubert forman una base, existen coeficientes únicos tales que ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle c_{\beta \gamma }^{\alpha }}$

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{\beta }{\mathfrak {S}}_{\gamma }=\sum _{\alpha }c_{\beta \gamma }^{\alpha }{\mathfrak {S}}_{\alpha }.}$

Estos pueden verse como una generalización de los coeficientes de Littlewood-Richardson descritos por la regla de Littlewood-Richardson . Por razones algebro-geométricas ( teorema de transversalidad de Kleiman de 1974 ), estos coeficientes son números enteros no negativos y es un problema pendiente en teoría de la representación y combinatoria dar una regla combinatoria para estos números.

Polinomios dobles de Schubert

Los polinomios dobles de Schubert son polinomios en dos conjuntos infinitos de variables, parametrizados por un elemento w del grupo simétrico infinito, que se convierten en los polinomios de Schubert habituales cuando todas las variables son . ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle 0}$

El doble polinomio de Schubert se caracteriza por las propiedades ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )=\prod \limits _{i+j\leq n}(x_{i}-y_{j})}$¿ Cuándo es la permutación de mayor longitud? ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 1,\ldots ,n}$

• ${\displaystyle \partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}}$si . ${\displaystyle w(i)>w(i+1)}$

Los polinomios dobles de Schubert también se pueden definir como

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{w}(x,y)=\sum _{w=v^{-1}u{\text{ and }}\ell (w)=\ell (u)+\ell (v)}{\mathfrak {S}}_{u}(x){\mathfrak {S}}_{v}(-y)}$.

Polinomios cuánticos de Schubert

Fomin, Gelfand y Postnikov (1997) introdujeron los polinomios cuánticos de Schubert, que tienen la misma relación con la (pequeña) cohomología cuántica de variedades de bandera que los polinomios ordinarios de Schubert tienen con la cohomología ordinaria.

Polinomios universales de Schubert

Fulton (1999) introdujo los polinomios universales de Schubert, que generalizan los polinomios de Schubert clásicos y cuánticos. También describió polinomios dobles universales de Schubert que generalizan los polinomios dobles de Schubert.

Ver también

• Función simétrica de Stanley
• Polinomio de Kostant
• La fórmula de Monk da el producto de un polinomio lineal de Schubert y un polinomio de Schubert.
• álgebra nula de Coxeter

Referencias

• Bernstein, IN ; Gelfand, IM ; Gelfand, SI (1973), "Células de Schubert y la cohomología de los espacios G/P", Russian Math. Encuestas , 28 (3): 1–26, Bibcode :1973RuMaS..28....1B, doi :10.1070/RM1973v028n03ABEH001557, S2CID  800432
• Fomín, Sergey ; Gelfand, Sergei; Postnikov, Alexander (1997), "Polinomios cuánticos de Schubert", Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense , 10 (3): 565–596, doi : 10.1090/S0894-0347-97-00237-3 , ISSN  0894-0347, SEÑOR  1431829
• Fulton, William (1992), "Banderas, polinomios de Schubert, lugares geométricos de degeneración y fórmulas determinantes", Duke Mathematical Journal , 65 (3): 381–420, doi :10.1215/S0012-7094-92-06516-1, ISSN  0012 -7094, SEÑOR  1154177
• Fulton, William (1997), Cuadros jóvenes , Textos estudiantiles de la London Mathematical Society, vol. 35, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-56144-0, señor  1464693
• Fulton, William (1999), "Polinomios universales de Schubert", Duke Mathematical Journal , 96 (3): 575–594, arXiv : alg-geom/9702012 , doi :10.1215/S0012-7094-99-09618-7, ISSN  0012 -7094, SEÑOR  1671215, S2CID  10546579
• Lascoux, Alain (1995), "Polynômes de Schubert: une approche historique", Matemáticas discretas , 139 (1): 303–317, doi : 10.1016/0012-365X(95)93984-D , ISSN  0012-365X, SEÑOR  1336845
• Lascoux, Alain ; Schützenberger, Marcel-Paul (1982), "Polynômes de Schubert", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 294 (13): 447–450, ISSN  0249-6291, SEÑOR  0660739
• Lascoux, Alain ; Schützenberger, Marcel-Paul (1985), "Los polinomios de Schubert y la regla de Littlewood-Richardson", Letters in Mathematical Physics. Una revista para la rápida difusión de contribuciones breves en el campo de la física matemática , 10 (2): 111–124, Bibcode :1985LMaPh..10..111L, doi :10.1007/BF00398147, ISSN  0377-9017, MR  0815233, S2CID  119654656
• Macdonald, IG (1991), "Polinomios de Schubert", en Keedwell, AD (ed.), Surveys in combinatorics, 1991 (Guildford, 1991), London Math. Soc. Serie de notas de conferencia, vol. 166, Cambridge University Press , págs. 73–99, ISBN 978-0-521-40766-3, SEÑOR  1161461
• Macdonald, IG (1991b), Notas sobre los polinomios de Schubert, Publications du Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique, vol. 6, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique (LACIM), Université du Québec a Montréal, ISBN 978-2-89276-086-6
• Manivel, Laurent (2001) [1998], Funciones simétricas, polinomios de Schubert y loci de degeneración, Textos y monografías SMF/AMS, vol. 6, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-2154-1, señor  1852463
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