Teoría supersimétrica de la dinámica estocástica

Teoría de ecuaciones diferenciales parciales estocásticas

La teoría supersimétrica de la dinámica estocástica o estocástica ( STS ) es una teoría exacta de ecuaciones diferenciales (parciales) estocásticas (EDS), la clase de modelos matemáticos con la aplicabilidad más amplia que cubre, en particular, todos los sistemas dinámicos de tiempo continuo , con y sin ruido. La principal utilidad de la teoría desde el punto de vista físico es una explicación teórica rigurosa del comportamiento dinámico espontáneo ubicuo de largo alcance que se manifiesta en todas las disciplinas a través de fenómenos como 1/f , parpadeo y ruidos crepitantes y las estadísticas de ley de potencia , o ley de Zipf , de procesos instantáneos como terremotos y neuroavalanchas. Desde el punto de vista matemático, STS es interesante porque une las dos partes principales de la física matemática: la teoría de sistemas dinámicos y las teorías de campos topológicos . Además de estas y disciplinas relacionadas, como la topología algebraica y las teorías de campos supersimétricas , STS también está conectada con la teoría tradicional de ecuaciones diferenciales estocásticas y la teoría de operadores pseudohermíticos.

La teoría comenzó con la aplicación del procedimiento de fijación de calibre BRST a las SDE de Langevin, ^{[1] [2]} que luego se adaptó a la mecánica clásica ^{[3] [4] [5] [6]} y su generalización estocástica, ^[7] SDE de Langevin de orden superior, ^[8] y, más recientemente, a las SDE de forma arbitraria, ^[9] lo que permitió vincular el formalismo BRST al concepto de operadores de transferencia y reconocer la ruptura espontánea de la supersimetría BRST como una generalización estocástica del caos dinámico .

La idea principal de la teoría es estudiar, en lugar de trayectorias, la evolución temporal definida por SDE de las formas diferenciales . Esta evolución tiene una BRST intrínseca o supersimetría topológica que representa la preservación de la topología y/o el concepto de proximidad en el espacio de fases por dinámicas de tiempo continuo. La teoría identifica un modelo como caótico , en el sentido estocástico generalizado, si su estado fundamental no es supersimétrico, es decir, si la supersimetría se rompe espontáneamente. En consecuencia, el comportamiento emergente de largo alcance que siempre acompaña al caos dinámico y sus derivados, como la turbulencia y la criticidad autoorganizada, puede entenderse como una consecuencia del teorema de Goldstone .

Historia y relación con otras teorías

La primera relación entre la supersimetría y la dinámica estocástica fue establecida en dos artículos en 1979 y 1982 por Giorgio Parisi y Nicolas Sourlas, ^{[1] [2]} quienes demostraron que la aplicación del procedimiento de fijación de calibre BRST a las SDE de Langevin, es decir, a las SDE con espacios de fase lineales, campos vectoriales de flujo de gradiente y ruidos aditivos, da como resultado N = 2 modelos supersimétricos. El objetivo original de su trabajo era la reducción dimensional , es decir, una cancelación específica de divergencias en diagramas de Feynman propuesta unos años antes por Amnon Aharony , Yoseph Imry y Shang-keng Ma . ^[10] Desde entonces, se ha establecido una relación entre la supersimetría emergente de las ecuaciones diferenciales de Langevin y algunos conceptos físicos ^{[11] [12] [13] [14] [8], incluidos los} teoremas de disipación de fluctuaciones , ^[14] la igualdad de Jarzynski , ^[15] el principio de reversibilidad microscópica de Onsager , ^[16] las soluciones de las ecuaciones de Fokker-Planck, ^[17] la autoorganización , ^[18] etc.

Se utilizó un enfoque similar para establecer que la mecánica clásica , ^{[3] [4]} su generalización estocástica, ^[7] y las SDE de Langevin de orden superior ^[8] también tienen representaciones supersimétricas. Sin embargo, los sistemas dinámicos reales nunca son puramente Langevin o mecánicos clásicos. Además, las SDE de Langevin físicamente significativas nunca rompen la supersimetría espontáneamente. Por lo tanto, para el propósito de la identificación de la ruptura espontánea de la supersimetría como caos dinámico , se necesita la generalización del enfoque de Parisi-Sourlas a las SDE de forma general. Esta generalización podría venir solo después de una formulación rigurosa de la teoría de los operadores pseudohermíticos ^[19] porque el operador de evolución estocástica es pseudohermítico en el caso general. Tal generalización ^[9] mostró que todas las SDE poseen N=1 BRST o supersimetría topológica (TS) y este hallazgo completa la historia de la relación entre la supersimetría y las SDE.

En paralelo al enfoque del procedimiento BRST para las SDE, los matemáticos que trabajan en la teoría de sistemas dinámicos introdujeron y estudiaron el concepto de operador de transferencia generalizado definido para sistemas dinámicos aleatorios. ^{[20] [21]} Este concepto subyace al objeto más importante de la STS, el operador de evolución estocástica, y le proporciona un significado matemático sólido.

STS tiene una estrecha relación con la topología algebraica y su sector topológico pertenece a la clase de modelos conocidos como teoría de campos cohomológicos o topológicos de tipo Witten . ^{[22] [23] [24] [25] [26] [27]} Como teoría supersimétrica, el enfoque del procedimiento BRST para las SDE puede verse como una de las realizaciones del concepto de mapa de Nicolai. ^{[28] [29]}

Enfoque Parisi-Sourlas para las EDE de Langevin

En el contexto del enfoque supersimétrico de la dinámica estocástica, el término SDE de Langevin denota SDE con espacio de fase euclidiano, campo vectorial de flujo de gradiente y ruido blanco gaussiano aditivo . ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle {\dot {x}}(t)=-\partial U(x(t))+(2\Theta )^{1/2}\xi (t),}$$donde , es la variable de ruido, es la intensidad del ruido, y , que en coordenadas y , es el campo vectorial de flujo de gradiente, siendo la función de Langevin a menudo interpretada como la energía del sistema dinámico estocástico puramente disipativo. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \partial U(x)}$ ${\displaystyle (\partial U(x))^{i}\equiv \delta ^{ij}\partial _{j}U(x)}$ ${\displaystyle \partial _{i}U(x)\equiv \partial U(x)/\partial x^{i}}$ ${\displaystyle U(x)}$

El método Parisi-Sourlas es una forma de construir la representación de la integral de trayectoria de la SDE de Langevin. Puede considerarse como un procedimiento de fijación de calibre BRST que utiliza la SDE de Langevin como condición de calibre. Es decir, se considera la siguiente integral funcional,

$${\displaystyle {\mathcal {W}}=\left\langle \int \dots \int J\left(\prod \nolimits _{\tau }\delta ({\dot {x}}(\tau )-{\mathcal {F}}(x(\tau )))\right)Dx\right\rangle _{\text{noise}},}$$

donde denota el lado derecho de la SDE de Langevin, es la operación de promediado estocástico con siendo la distribución normalizada de configuraciones de ruido, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle \langle \cdot \rangle _{\text{noise}}\equiv \int \dots \int \cdot P(\xi )D\xi }$ ${\displaystyle P(\xi )\propto e^{-\int _{t'}^{t}d\tau \xi ^{2}(\tau )/2}}$

${\displaystyle \textstyle J=\operatorname {Det} {\frac {\delta ({\dot {x}}(\tau )-{\mathcal {F}}(x(\tau )))}{\delta x(\tau ')}}}$

es el jacobiano de la derivada funcional correspondiente, y la integración de trayectorias es sobre todas las trayectorias cerradas, , donde y son los momentos inicial y final de la evolución temporal. ${\displaystyle x(t)=x(t')}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle t>t'}$

Reducción dimensional

La construcción de Parisi-Sourlas originalmente apuntaba a la "reducción dimensional" propuesta en 1976 por Amnon Aharony , Yoseph Imry y Shang-keng Ma ^[10] quienes demostraron que para todos los órdenes en expansión de perturbaciones, los exponentes críticos en un sistema d -dimensional (4 < d < 6) con intercambio de corto alcance y un campo aleatorio extinguido son los mismos que los de un sistema puro ( d –2)-dimensional. ^[30] Sus argumentos indicaron que los "diagramas de Feynman que dan el comportamiento singular principal para el caso aleatorio son idénticamente iguales, aparte de los factores combinatorios, a los diagramas de Feynman correspondientes para el caso puro en dos dimensiones menos". ^[30]

... Parisi y Sourlas... observaron que los diagramas más divergentes en el infrarrojo son aquellos con el número máximo de inserciones de fuentes aleatorias y, si se descuidan los otros diagramas, se obtiene una expansión diagramática para una teoría clásica de campos en presencia de fuentes aleatorias.
Parisi y Sourlas señalaron entonces que el fenómeno subyacente para la conexión entre sistemas aleatorios y sistemas puros en dos dimensiones menos es que una teoría clásica de campos en presencia de fuentes aleatorias es perturbativamente equivalente a la teoría cuántica de campos correspondiente en dos dimensiones menos. Parisi y Sourlas explicaron esta reducción dimensional mediante una supersimetría oculta. ^[30]

Interpretación topológica

Los aspectos topológicos de la construcción de Parisi–Sourlas pueden resumirse brevemente de la siguiente manera. ^{[22] [31]} El delta-funcional, es decir, la colección del número infinito de funciones delta, asegura que solo las soluciones de la SDE de Langevin contribuyan a . En el contexto del procedimiento BRST, estas soluciones pueden verse como copias de Gribov . Cada solución contribuye con unidad positiva o negativa: con siendo el índice de la llamada función de Nicolai, , que en este caso es la función del espacio de caminos cerrados en el espacio de configuraciones de ruido, una función que proporciona una configuración de ruido en la que un camino cerrado dado es una solución de la SDE de Langevin. puede verse como una realización del teorema de Poincaré–Hopf en el espacio de dimensión infinita de caminos cerrados con la SDE de Langevin desempeñando el papel del campo vectorial y con las soluciones de la SDE de Langevin desempeñando el papel de los puntos críticos con índice . es independiente de la configuración de ruido porque es de carácter topológico. Lo mismo se aplica a su promedio estocástico, , que no es la función de partición del modelo sino, en cambio, su índice de Witten . ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\textstyle {\mathcal {W}}=\textstyle \left\langle I_{N}(\xi )\right\rangle _{\text{noise}}}$ ${\textstyle I_{N}(\xi )=\sum _{\text{solutions}}\operatorname {sign} J}$ ${\textstyle \xi =({\dot {x}}+\partial U)/(2\Theta )^{1/2}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle I_{N}(\xi )}$ ${\displaystyle \operatorname {sign} J}$ ${\textstyle I_{N}(\xi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

Representación integral de trayectoria

Con la ayuda de una técnica estándar de teoría de campos que implica la introducción de un campo adicional llamado multiplicador de Lagrange, , y un par de campos fermiónicos llamados fantasmas de Faddeev-Popov , , el índice de Witten puede adoptar la siguiente forma, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \chi ,{\bar {\chi }}}$

$${\displaystyle {\mathcal {W}}=\int \dots \int _{p.b.c.}e^{(Q,\Psi )}D\Phi ,}$$

donde denota la colección de todos los campos, pbc representa las condiciones de contorno periódicas, el llamado fermión de calibre, , con y , y la simetría BRST definida a través de su acción sobre funcional arbitrario como . En el formalismo BRST , las piezas Q-exactas como, , sirven como herramientas de fijación de calibre. Por lo tanto, la expresión integral de trayectoria para puede interpretarse como un modelo cuya acción no contiene nada más que el término de fijación de calibre. Esta es una característica definitiva de las teorías de campos topológicos de tipo Witten y en este caso particular de enfoque de procedimiento BRST para SDE, la simetría BRST también puede reconocerse como la supersimetría topológica. ^[22] ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \textstyle \Psi =\int _{t'}^{t}d\tau (\imath _{\dot {x}}-{\bar {d}})(\tau )}$ ${\displaystyle \textstyle \imath _{\dot {x}}=i{\bar {\chi }}_{j}{\dot {x}}^{j}}$ ${\textstyle \textstyle {\bar {d}}=-i{\bar {\chi }}_{j}\delta ^{jk}(\partial _{k}U+\Theta iB_{k})}$ ${\displaystyle A(\Phi )}$ ${\displaystyle (Q,A(\Phi ))=\textstyle \int _{t'}^{t}d\tau (\chi ^{i}(\tau )\delta /\delta x^{i}(\tau )+B_{i}(\tau )\delta /\delta {\bar {\chi }}_{i}(\tau ))A(\Phi )}$ ${\displaystyle (Q,\Psi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

Una forma habitual de explicar el procedimiento BRST es decir que la simetría BRST genera la versión fermiónica de las transformaciones de calibración, mientras que su efecto global sobre la integral de trayectoria es limitar la integración solo a las configuraciones que satisfacen una condición de calibración especificada. Esta interpretación también se aplica al enfoque de Parisi-Sourlas, en el que las deformaciones de la trayectoria y la SDE de Langevin desempeñan los papeles de las transformaciones de calibración y la condición de calibración, respectivamente.

Representación del operador

Los fermiones físicos en los modelos de física de alta energía y de materia condensada tienen condiciones de contorno antiperiódicas en el tiempo. Las condiciones de contorno periódicas no convencionales para fermiones en la expresión de la integral de trayectoria para el índice de Witten son el origen del carácter topológico de este objeto. Estas condiciones de contorno se revelan en la representación del operador del índice de Witten como el operador de signo alterno, donde es el operador del número de fantasmas/fermiones y el operador de evolución estocástica de tiempo finito (SEO), , donde, es el SEO infinitesimal con siendo la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial subíndice, siendo el Laplaciano, siendo la derivada exterior , que es el operador representativo de la supersimetría topológica (TS), y , donde y son momentos bosónicos y fermiónicos, y con corchetes que denotan conmutador bigraduado, es decir, es un anticonmutador si ambos operadores son fermiónicos (contienen un número total impar de 's y 's) y un conmutador en caso contrario. La derivada exterior y son supercargas . Son nilpotentes , por ejemplo , y conmutativas con la SEO. En otras palabras, las EDS de Langevin poseen supersimetría N=2. El hecho de que sea una supercarga es accidental. Para EDS de forma arbitraria, esto no es cierto. $${\displaystyle {\mathcal {W}}=\operatorname {Tr} (-1)^{\hat {n}}{\hat {\mathcal {M}}}_{tt'},}$$ ${\textstyle {\hat {n}}}$ ${\textstyle {\hat {\mathcal {M}}}_{tt'}=e^{-(t-t'){\hat {H}}}}$ $${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {L}}_{-\partial U}-\Theta {\hat {\triangle }}=[{\hat {d}},{\hat {\bar {d}}}],}$$ ${\displaystyle \textstyle {\hat {L}}}$ ${\textstyle {\hat {\triangle }}}$ ${\displaystyle \textstyle {\hat {d}}=\chi ^{i}\partial /\partial x^{i}}$ ${\displaystyle \textstyle {\hat {\bar {d}}}=-(i{\hat {\bar {\chi }}}_{i})\delta ^{ij}(\partial _{j}U+\Theta (i{\hat {B}}_{j}))}$ ${\displaystyle i{\hat {B}}_{j}=\partial /\partial x^{j}}$ ${\displaystyle i{\hat {\bar {\chi }}}_{j}=\partial /\partial \chi ^{j}}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle {\hat {\bar {\chi }}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\hat {\bar {d}}}}$ ${\displaystyle {\hat {d}}^{2}=0}$ ${\displaystyle \textstyle {\hat {\bar {d}}}}$

Espacio de Hilbert

Las funciones de onda son funciones no solo de las variables bosónicas, , sino también de los números de Grassmann o fermiones, , del espacio tangente de . Las funciones de onda pueden verse como formas diferenciales en con los fermiones jugando el papel de los diferenciales . ^[26] El concepto de SEO infinitesimal generaliza el operador de Fokker-Planck , que es esencialmente el SEO actuando sobre las formas diferenciales superiores que tienen el significado de las distribuciones de probabilidad total . Las formas diferenciales de menor grado pueden interpretarse, al menos localmente en , como distribuciones de probabilidad condicional . ^[32] Ver los espacios de formas diferenciales de todos los grados como funciones de onda del modelo es una necesidad matemática. Sin él, el índice de Witten que representa el objeto más fundamental del modelo (la función de partición del ruido) no existiría y la función de partición dinámica no representaría el número de puntos fijos de la SDE (ver más abajo). La comprensión más general de las funciones de onda son los objetos libres de coordenadas que contienen información no sólo sobre las trayectorias sino también sobre la evolución de los diferenciales y/o exponentes de Lyapunov . ^[33] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \chi \in TX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \chi \equiv dx\wedge }$ ${\displaystyle X}$

Relación con el modelo sigma no lineal y la topología algebraica

En la referencia ^[26] se ha introducido un modelo que puede verse como un prototipo 1D de los modelos sigma no lineales topológicos (TNSM), ^[23] una subclase de las teorías de campos topológicos de tipo Witten . El TNSM 1D se define para espacios de fase de Riemann, mientras que para espacios de fase euclidianos se reduce al modelo de Parisi-Sourlas. Su diferencia clave con el STS es el operador de difusión, que es el laplaciano de Hodge para TNSM 1D y para STS. Esta diferencia no es importante en el contexto de la relación entre STS y la topología algebraica, la relación establecida por la teoría del TNSM 1D (ver, por ejemplo, referencias ^{[26] [22]} ). ${\displaystyle \textstyle {\hat {L}}_{e_{a}}{\hat {L}}_{e_{a}}}$

El modelo se define por el siguiente operador de evolución , donde siendo la métrica, es el Laplaciano de Hodge , y las formas diferenciales del álgebra exterior del espacio de fases, , se consideran funciones de onda. Existe una transformación de similitud, , que lleva al operador de evolución a la forma explícitamente hermítica con . En el caso euclidiano, es el hamiltoniano de una mecánica cuántica supersimétrica N=2 . Se pueden introducir dos operadores hermíticos, y , tales que . Esto demuestra que el espectro de y/o es real y no negativo. Esto también es cierto para las SEO de las SDE de Langevin. Sin embargo, para las SDE de forma arbitraria, esto ya no es cierto ya que los valores propios de la SEO pueden ser negativos e incluso complejos, lo que en realidad permite que la TS se rompa espontáneamente. ${\textstyle {\hat {H}}={\hat {L}}_{-\partial U}+\Theta [{\hat {d}},{\hat {d}}^{\dagger }]}$ ${\textstyle (\partial U)^{i}=g^{ij}\partial _{j}U}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle [{\hat {d}},{\hat {d}}^{\dagger }]}$ ${\textstyle \Omega (X)}$ ${\displaystyle {\hat {H}}\to {\hat {H}}_{U}=e^{U/2\Theta }{\hat {H}}e^{-U/2\Theta }}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{U}=\Theta [{\hat {d}}_{U},{\hat {d}}_{U}^{\dagger }]}$ ${\displaystyle {\hat {d}}_{U}=e^{U/2\Theta }{\hat {d}}e^{-U/2\Theta }=\chi ^{i}(\partial /\partial x^{i}-\partial _{i}U/2\Theta )}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{U}}$ ${\displaystyle {\hat {q}}_{1}=({\hat {d}}_{U}+{\hat {d}}_{U}^{\dagger })/2^{1/2}}$ ${\displaystyle {\hat {q}}_{2}=i({\hat {d}}_{U}-{\hat {d}}_{U}^{\dagger })/2^{1/2}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{U}=\Theta {\hat {q}}_{1}^{2}=\Theta {\hat {q}}_{2}^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{U}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Las siguientes propiedades del operador de evolución de 1D TNSM se cumplen incluso para la SEO de las SDE de forma arbitraria. El operador de evolución conmuta con el operador del grado de las formas diferenciales. Como resultado, , donde y es el espacio de formas diferenciales de grado . Además, debido a la presencia de TS, , donde son los estados propios supersimétricos, , no triviales en la cohomología de De Rham, mientras que el resto son los pares de estados propios no supersimétricos de la forma y . Todos los estados propios supersimétricos tienen exactamente un valor propio cero y, salvo situaciones accidentales, todos los estados no supersimétricos tienen valores propios distintos de cero. Los pares de estados propios no supersimétricos no contribuyen al índice de Witten, que es igual a la diferencia en los números de los estados supersimétricos de grados pares e impares, Para , cada clase de cohomología de De Rham proporciona un estado propio supersimétrico y el índice de Witten es igual a la característica de Euler del espacio de fases. ${\displaystyle \textstyle {\hat {H}}={\hat {H}}^{(\dim X)}\oplus \dots \oplus {\hat {H}}^{(0)}}$ ${\displaystyle \textstyle {\hat {H}}^{(k)}={\hat {H}}|_{\Omega ^{(k)}}}$ ${\displaystyle \Omega ^{(n)}(X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \Omega (X)={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {N}}\oplus ({\hat {d}}{\mathcal {N}})}$ ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ ${\textstyle \theta 's}$ ${\textstyle |\vartheta \rangle }$ ${\textstyle {\hat {d}}|\vartheta \rangle }$ ${\textstyle {\mathcal {W}}=\#\{{\text{even }}\theta 's\}-\#\{{\text{odd }}\theta 's\}.}$ ${\displaystyle X}$

Procedimiento BRST para SDE de forma arbitraria

El método Parisi-Sourlas del procedimiento BRST se ha adaptado también a la mecánica clásica, ^[3] a la generalización estocástica de la mecánica clásica, ^[7] a las SDE de Langevin de orden superior, ^[8] y, más recientemente, a las SDE de forma arbitraria. ^[9] Aunque existen técnicas estándar que permiten considerar modelos con ruidos coloreados, "espacios base" de dimensión superior descritos por SDE parciales, etc., los elementos clave de las STS se pueden discutir utilizando la siguiente clase básica de SDE, donde es un punto en el espacio de fases asumido por simplicidad como una variedad topológica cerrada , es un campo vectorial suficientemente suave , llamado campo vectorial de flujo, del espacio tangente de , y es un conjunto de campos vectoriales suficientemente suaves que especifican cómo se acopla el sistema al ruido, lo que se llama aditivo / multiplicativo dependiendo de si son independientes/dependientes de la posición en . $${\displaystyle {\dot {x}}(t)=F(x(t))+(2\Theta )^{1/2}e_{a}(x(t))\xi ^{a}(t),}$$ ${\textstyle x\in X}$ ${\displaystyle F(x)\in TX_{x}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle e_{a}\in TX,a=1,\ldots ,\dim X}$ ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle X}$

Ambigüedad de la representación de la integral de trayectorias y dilema de Ito-Stratonovich

El procedimiento de fijación de calibre BRST sigue las mismas líneas que en el caso de las SDE de Langevin. La interpretación topológica del procedimiento BRST es exactamente la misma y la representación integral de trayectoria del índice de Witten está definida por el fermión de calibre, , dado por la misma expresión pero con la versión generalizada de . Sin embargo, hay una sutileza importante que aparece en el camino hacia la representación del operador del modelo. A diferencia de las SDE de Langevin, la mecánica clásica y otras SDE con ruidos aditivos, la representación integral de trayectoria del SEO de tiempo finito es un objeto ambiguo. Esta ambigüedad se origina en la no conmutatividad de los operadores de momento y posición, por ejemplo, . Como resultado, en la representación integral de trayectoria tiene toda una familia de un parámetro de posibles interpretaciones en la representación del operador, , donde denota una función de onda arbitraria. En consecuencia, hay toda una familia de SEO infinitesimales, donde , es la multiplicación interior por el campo vectorial de subíndice, y el campo vectorial de flujo "desplazado" es . Es de destacar que, a diferencia de las SDE de Langevin, no hay una supercarga y la STS no puede identificarse como una teoría supersimétrica N=2 en el caso general. ${\displaystyle \textstyle \Psi }$ ${\textstyle \textstyle {\bar {d}}=\imath _{F}-\Theta \imath _{e_{a}}(Q,\imath _{e_{a}})}$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {x}}\neq {\hat {x}}{\hat {B}}}$ ${\displaystyle B(\tau )x(\tau )}$ ${\displaystyle (\alpha {\hat {B}}{\hat {x}}+(1-\alpha ){\hat {x}}{\hat {B}})|\psi (\tau )\rangle }$ ${\displaystyle |\psi (\tau )\rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle {\hat {H}}_{\alpha }={\hat {L}}_{F}-\Theta {\hat {L}}_{e_{a}}{\hat {L}}_{e_{a}}=[{\hat {d}},{\hat {\bar {d}}}_{\alpha }],}$$ ${\displaystyle \textstyle {\hat {\bar {d}}}_{\alpha }={\hat {\imath }}_{F_{\alpha }}-\Theta {\hat {\imath }}_{e_{a}}{\hat {L}}_{e_{a}}}$ ${\displaystyle {\hat {\imath }}_{F_{\alpha }}}$ ${\displaystyle \textstyle F_{\alpha }=F-\Theta (2\alpha -1)(e_{a}\cdot \partial )e_{a}}$ ${\displaystyle {\hat {\bar {d}}}_{\alpha }}$

La representación integral de trayectoria de la dinámica estocástica es equivalente a la comprensión tradicional de las SDE como un límite de tiempo continuo de ecuaciones diferenciales estocásticas donde las diferentes elecciones de parámetros se denominan "interpretaciones" de las SDE. La elección , para la cual y la cual se conoce en la teoría cuántica como regla de simetrización de Weyl , se conoce como la interpretación de Stratonovich , mientras que como la interpretación de Ito . Mientras que en la teoría cuántica se prefiere la simetrización de Weyl porque garantiza la hermiticidad de los hamiltonianos, en STS se prefiere el enfoque de Stratonovich-Weyl porque corresponde al significado matemático más natural de la SEO de tiempo finito que se analiza a continuación: el pullback promediado estocásticamente inducido por los difeomorfismos definidos por la SDE. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle \textstyle F_{1/2}=F}$ ${\displaystyle \alpha =1}$

Sistema propio del operador de evolución estocástica

Los tres tipos posibles de espectros SEO en una esfera 3D. Cada línea de triples de gráficos representa . para los tres tipos de espectros. Los puntos negros en el origen para la primera y la última línea representan estados propios supersimétricos de las cohomologías cero y tercera de la 3ª esfera. Para los tipos b y c , los estados propios fundamentales (de crecimiento más rápido) no son supersimétricos porque tienen valores propios distintos de cero. TS se rompe espontáneamente. Las líneas verticales con flechas visualizan el operador de supersimetría. ${\displaystyle spec{\hat {H}}^{(n)},}$ ${\displaystyle n=0,...3}$

En comparación con el SEO de las SDE de Langevin, el SEO de una SDE de forma general es pseudohermítico. ^[19] Como resultado, los valores propios de los estados propios no supersimétricos no están restringidos a ser positivos reales, mientras que los valores propios de los estados propios supersimétricos siguen siendo exactamente cero. Al igual que para las SDE de Langevin y el modelo sigma no lineal, la estructura del sistema propio del SEO restablece el carácter topológico del índice de Witten: las contribuciones de los pares de estados propios no supersimétricos se desvanecen y solo los estados supersimétricos contribuyen con la característica de Euler de (cerrado) . Entre otras propiedades de los espectros SEO está que y nunca rompen TS, es decir, . Como resultado, hay tres tipos principales de espectros SEO presentados en la figura de la derecha. Los dos tipos que tienen valores propios negativos (partes reales de) corresponden al TS roto espontáneamente. Se pueden realizar todos los tipos de espectros SEO, como se puede establecer, por ejemplo, a partir de la relación exacta entre la teoría del dinamo cinemático y STS. ^[34] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \textstyle {\hat {H}}^{(\operatorname {dim} X)}}$ ${\displaystyle \textstyle {\hat {H}}^{(0)}}$ ${\displaystyle \textstyle Re(\operatorname {spec} {\hat {H}}^{(\operatorname {dim} X)})\geq 0}$

STS sin procedimiento BRST

El significado matemático del operador de evolución estocástica

El SEO de tiempo finito se puede obtener de otra manera, más matemática, basada en la idea de estudiar las acciones inducidas por SDE sobre formas diferenciales directamente, sin pasar por el procedimiento de fijación de calibre BRST. El SEO de tiempo finito así obtenido se conoce en la teoría de sistemas dinámicos como el operador de transferencia generalizado ^{[20] [21]} y también se ha utilizado en la teoría clásica de SDE (ver, por ejemplo, Refs. ^{[35] [36]} ). La contribución a esta construcción de STS ^[9] es la exposición de la estructura supersimétrica subyacente y el establecimiento de su relación con el procedimiento BRST para SDE.

Es decir, para cualquier configuración del ruido, , y una condición inicial, , SDE define una única solución/trayectoria, . Incluso para configuraciones de ruido que no son diferenciables con respecto al tiempo, , la solución es diferenciable con respecto a la condición inicial, . ^{[37] En otras palabras, SDE define la familia de} los difeomorfismos dependientes de la configuración de ruido del espacio de fase a sí mismo, . Este objeto puede entenderse como una colección y/o definición de todas las trayectorias dependientes de la configuración de ruido, . Los difeomorfismos inducen acciones o retrocesos , . A diferencia de, digamos, las trayectorias en , los retrocesos son objetos lineales incluso para no lineales . Los objetos lineales pueden promediarse y promediar sobre las configuraciones de ruido, , da como resultado el SEO de tiempo finito que es único y corresponde a la interpretación de Stratonovich–Weyl del enfoque del procedimiento BRST para SDE, . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle x(t')=x'\in X}$ ${\displaystyle x(t)\in X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle M_{tt'}:X\to X}$ ${\displaystyle x(t)=M_{tt'}(x')}$ ${\displaystyle \textstyle M_{t't}^{*}:\Omega (X)\to \Omega (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{t't}^{*}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {M}}}_{tt'}=\langle M_{t't}^{*}\rangle _{\text{noise}}=e^{-(t-t'){\hat {H}}_{1/2}}}$

Dentro de esta definición del SEO de tiempo finito, el índice de Witten puede reconocerse como el trazo nítido del operador de transferencia generalizado. ^{[20] [21]} También vincula el índice de Witten con el índice de Lefschetz , , una constante topológica que es igual a la característica de Euler del espacio de fase (cerrado). Es decir, . ${\textstyle \textstyle I_{L}=\operatorname {Tr} (-1)^{\hat {n}}M_{t't}^{*}=\sum _{x\in \operatorname {fix} M_{tt'}}\operatorname {sign} \operatorname {det} (\delta _{j}^{i}-\partial M_{tt'}^{i}(x)/\partial x^{j})}$ ${\textstyle \textstyle {\mathcal {W}}=\operatorname {Tr} (-1)^{\hat {n}}\langle M_{t't}^{*}\rangle _{\text{noise}}=\langle \operatorname {Tr} (-1)^{\hat {n}}M_{t't}^{*}\rangle _{\text{noise}}=I_{L}}$

El significado de la supersimetría y el efecto mariposa

La supersimetría N=2 de las SDE de Langevin se ha vinculado al principio de Onsager de reversibilidad microscópica ^[16] y la igualdad de Jarzynski . ^[15] En mecánica clásica, se ha propuesto una relación entre la supersimetría N=2 correspondiente y la ergodicidad . ^[6] En las SDE de forma general, donde los argumentos físicos pueden no ser aplicables, está disponible una explicación de nivel inferior de la TS. Esta explicación se basa en la comprensión del SEO de tiempo finito como un pullback promediado estocásticamente de los difeomorfismos definidos por la SDE (ver la subsección anterior). En esta imagen, la pregunta de por qué cualquier SDE tiene TS es la misma que la pregunta de por qué la derivada exterior conmuta con el pullback de cualquier difeomorfismo. La respuesta a esta pregunta es la diferenciabilidad de la función correspondiente. En otras palabras, la presencia de TS es la versión algebraica de la afirmación de que el flujo de tiempo continuo preserva la continuidad de . Dos puntos inicialmente cercanos permanecerán cercanos durante la evolución, lo que es otra forma de decir que se trata de un difeomorfismo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{tt'}}$

En los modelos caóticos deterministas, los puntos inicialmente cercanos pueden separarse en el límite de una evolución temporal infinitamente larga. Este es el famoso efecto mariposa , que equivale a la afirmación de que se pierde diferenciabilidad en este límite. En la representación algebraica de la dinámica, la evolución en el límite temporal infinitamente largo se describe por el estado fundamental del SEO y el efecto mariposa es equivalente a la ruptura espontánea del TS, es decir, a la situación en la que el estado fundamental no es supersimétrico. Cabe destacar que, a diferencia de la comprensión tradicional de la dinámica caótica determinista, la ruptura espontánea del TS funciona también para los casos estocásticos. Esta es la generalización más importante porque la dinámica determinista es, de hecho, una idealización matemática. Los sistemas dinámicos reales no pueden aislarse de sus entornos y, por lo tanto, siempre experimentan influencia estocástica. ${\displaystyle M_{tt'}}$

Ruptura espontánea de la supersimetría y caos dinámico

El procedimiento de fijación de calibre BRST aplicado a las SDE conduce directamente al índice de Witten. El índice de Witten es de carácter topológico y no responde a ninguna perturbación. En particular, todos los correladores de respuesta calculados utilizando el índice de Witten se desvanecen. Este hecho tiene una interpretación física dentro del STS: el significado físico del índice de Witten es la función de partición del ruido ^[32] y dado que no hay retroacción del sistema dinámico al ruido, el índice de Witten no tiene información sobre los detalles de la SDE. En contraste, la información sobre los detalles del modelo está contenida en el otro objeto de la teoría similar a una traza, la función de partición dinámica, donde apbc denota condiciones de contorno antiperiódicas para los campos fermiónicos y condiciones de contorno periódicas para los campos bosónicos. De la manera estándar, la función de partición dinámica se puede promover a la función generadora acoplando el modelo a campos de sondeo externos. $${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{tt'}=\int \dots \int _{a.p.b.c.}e^{(Q,\Psi )}D\Phi =\operatorname {Tr} {\hat {\mathcal {M}}}_{tt'},}$$

Para una amplia clase de modelos, la función de partición dinámica proporciona un límite inferior para el número promediado estocásticamente de puntos fijos de los difeomorfismos definidos por SDE. Aquí, el índice se ejecuta sobre "estados físicos", es decir, los estados propios que crecen más rápido con la tasa de crecimiento exponencial dada como, y el parámetro puede verse como una versión estocástica de la entropía dinámica, como la entropía topológica . La entropía positiva es una de las firmas clave del caos determinista. Por lo tanto, la situación con positiva debe identificarse como caótica en el sentido estocástico generalizado, ya que implica entropía positiva: . Al mismo tiempo, positivo implica que TS se rompe espontáneamente, es decir, el estado fundamental no es supersimétrico porque su valor propio no es cero. En otras palabras, la entropía dinámica positiva es una razón para identificar la ruptura espontánea de TS como la generalización estocástica del concepto de caos dinámico. Cabe destacar que los SDE de Langevin nunca son caóticos porque el espectro de su SEO es realmente no negativo. $${\displaystyle \left.{\mathcal {Z}}_{tt'}\right|_{t-t'\to \infty }=\sum \nolimits _{p}e^{-(t-t'){\mathsf {E}}_{p}}\leq \langle \#\{{\text{fixed points of }}M_{t't}\}\rangle _{\text{noise}}\propto e^{(t-t')S}.}$$ ${\displaystyle p}$ ${\textstyle \Gamma _{g}=-\min _{\alpha }\operatorname {Re} {\mathsf {E}}_{\alpha }\geq 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma _{g}}$ ${\displaystyle 0<\Gamma _{g}\leq S}$ ${\displaystyle \Gamma _{g}}$

La lista completa de razones por las que la ruptura espontánea de TS debe considerarse como la generalización estocástica del concepto de caos dinámico es la siguiente. ^[38]

• Entropía dinámica positiva.
• Según el teorema de Goldstone , la ruptura espontánea de TS debe generar un comportamiento dinámico de largo alcance, una de cuyas manifestaciones es el efecto mariposa discutido anteriormente en el contexto del significado de TS.
• A partir de las propiedades del sistema propio de SEO, TS puede romperse espontáneamente solo si . Esta conclusión puede considerarse como la generalización estocástica del teorema de Poincaré-Bendixson para el caos determinista. ${\displaystyle \dim X\geq 3}$
• En el caso determinista, los modelos integrables en el sentido de sistemas dinámicos tienen variedades globales estables e inestables bien definidas de . Los bras/kets de los estados fundamentales globales de tales modelos son los duales de Poincaré de las variedades globales estables/inestables. Estos estados fundamentales son supersimétricos de modo que TS no se rompe espontáneamente. Por el contrario, cuando el modelo no es integrable o caótico, sus variedades globales (inestables) no son variedades topológicas bien definidas, sino que tienen una estructura fractal, auto-recurrente que puede ser capturada usando el concepto de variedades ramificadas. ^[39] Las funciones de onda que pueden representar tales variedades no pueden ser supersimétricas. Por lo tanto, la ruptura de TS está intrínsecamente relacionada con el concepto de no integrabilidad en el sentido de sistemas dinámicos, que es en realidad otra definición ampliamente aceptada de caos determinista. ${\displaystyle F}$

Todas las características anteriores de la ruptura de TS funcionan tanto para modelos deterministas como estocásticos. Esto contrasta con el caos determinista tradicional cuyas propiedades basadas en trayectorias, como la mezcla topológica, en principio no se pueden generalizar al caso estocástico porque, al igual que en la dinámica cuántica, todas las trayectorias son posibles en presencia de ruido y, por ejemplo, la propiedad de mezcla topológica se satisface trivialmente por todos los modelos con una intensidad de ruido distinta de cero.

STS como teoría de campos topológicos

El cuadrado acbd representa un instantón, es decir, la familia de trayectorias de flujo determinista (curvas con flechas punteadas) que conducen desde un punto crítico (b) a otro (a). Los puntos de unión ( / ) de los estados fundamentales localmente supersimétricos (vacíos) correspondientes a estos puntos críticos son los duales de Poincaré de las variedades inestables/estables locales. Los operadores son duales de Poincaré de líneas verticales/horizontales. El valor del elemento de matriz instantónica es el número de intersección (la diferencia en los números de intersecciones positivas (negras) y negativas (blancas)). Es invariante bajo la evolución temporal debida al flujo, . ${\displaystyle \langle a|}$ ${\displaystyle |b\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {O}}_{1,2}}$ ${\displaystyle {\hat {O}}_{1}(0)\to {\hat {O}}_{1}(t)}$

El sector topológico de STS puede reconocerse como un miembro de las teorías de campos topológicos de tipo Witten . ^{[22] [23] [25] [26] [27]} En otras palabras, algunos objetos en STS son de carácter topológico, siendo el índice de Witten el ejemplo más famoso. Hay otras clases de objetos topológicos. Una clase de objetos está relacionada con los instantones , es decir, la dinámica transitoria. El arrugado de papel, el plegamiento de proteínas y muchos otros procesos dinámicos no lineales en respuesta a los apagados, es decir, a cambios externos (repentinos) de parámetros, pueden reconocerse como dinámicas instantónicas. Desde el punto de vista matemático, los instantones son familias de soluciones de ecuaciones deterministas de movimiento, , que conducen desde, digamos, un punto fijo menos estable de a un punto fijo más estable. Ciertos elementos de matriz calculados sobre instantones son de naturaleza topológica. Un ejemplo de tales elementos de matriz se puede definir para un par de puntos críticos, y , con ser más estable que , Aquí y son los bra y ket de los estados fundamentales supersimétricos perturbativos correspondientes, o vacua, que son los duales de Poincaré de las variedades locales estables e inestables del punto crítico correspondiente; denota ordenación cronológica; 's son observables que son los duales de Poincaré de algunas subvariedades cerradas en ; son los observables en la representación de Heisenberg con ser un momento de tiempo de referencia sin importancia. Los puntos críticos tienen diferentes índices de estabilidad de modo que los estados y son topológicamente inequivalentes ya que representan variedades inestables de diferentes dimensionalidades. Los elementos de matriz anteriores son independientes de ya que en realidad representan el número de intersección de -variedades en el instantón como se ejemplifica en la figura. ${\displaystyle {\dot {x}}=F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle \left.\int \dots \int _{x(\pm \infty )=a,b}\left(\prod \nolimits _{i}O_{i}(t_{i})\right)e^{({\mathcal {Q}},\Psi )}D\Phi \right|_{\Theta \to 0}=\langle a|{\mathcal {T}}\left(\prod \nolimits _{i}{\hat {O}}_{i}(t_{i})\right)|b\rangle .}$$ ${\displaystyle \langle a|}$ ${\displaystyle |b\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {O}}(t)={\hat {\mathcal {M}}}_{t_{0},t}{\hat {O}}{\hat {\mathcal {M}}}_{t,t_{0}}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle |a\rangle }$ ${\displaystyle |b\rangle }$ ${\displaystyle t_{i}'s}$ ${\displaystyle O}$

Los elementos de la matriz instantónica anteriores son exactos solo en el límite determinista. En el caso estocástico general, se pueden considerar estados supersimétricos globales, 's, a partir de las clases de cohomología de De Rham de y observables, , que son duales de Poincaré de variedades cerradas no triviales en homología de . Los siguientes elementos de la matriz, son invariantes topológicos representativos de la estructura del anillo de cohomología de De Rham de . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \langle \theta _{\alpha }|{\mathcal {T}}\left(\prod \nolimits _{i}{\hat {\gamma }}_{i}(t_{i})\right)|\theta _{\beta }\rangle ,}$ ${\displaystyle X}$

Aplicaciones

La teoría supersimétrica de la dinámica estocástica puede ser interesante de diferentes maneras. Por ejemplo, STS ofrece una realización prometedora del concepto de supersimetría . En general, hay dos problemas principales en el contexto de la supersimetría. El primero es establecer conexiones entre esta entidad matemática y el mundo real. Dentro de STS, la supersimetría es la simetría más común en la naturaleza porque es pertinente a todos los sistemas dinámicos de tiempo continuo. El segundo es la ruptura espontánea de la supersimetría . Este problema es particularmente importante para la física de partículas porque la supersimetría de partículas elementales , si existe en una escala extremadamente corta, debe romperse espontáneamente a gran escala. Este problema no es trivial porque las supersimetrías son difíciles de romper espontáneamente, la razón detrás de la introducción de la ruptura suave o explícita de la supersimetría . ^[40] Dentro de STS, la ruptura espontánea de la supersimetría es de hecho un fenómeno dinámico no trivial que ha sido conocido de diversas formas en las disciplinas como caos , turbulencia , criticidad autoorganizada , etc.

Algunas aplicaciones más específicas de STS son las siguientes.

Clasificación de la dinámica estocástica

Los sistemas dinámicos estocásticos pueden clasificarse según si el TS se rompe espontáneamente o no (ordenado/simétrico) y si el campo de flujo vectorial es integrable o no integrable (a veces caótico). La fase simétrica puede identificarse como equilibrio térmico (T). La fase ordenada no integrable puede llamarse caos (C) porque alberga un caos determinista convencional. La fase integrable ordenada puede llamarse caos inducido por ruido (N) porque la ruptura del TS implica antiinstantones que desaparecen en el límite determinista. La fase N también se conoce en la literatura como criticidad autoorganizada.

El STS permite clasificar los modelos estocásticos en función de si el TS está roto y de la integrabilidad del campo de vectores de flujo. Se puede ejemplificar como parte del diagrama de fase general en el límite del caos (véase la figura de la derecha). El diagrama de fase tiene las siguientes propiedades:

• Para los modelos físicos, el TS se restaura eventualmente con el aumento de la intensidad del ruido.
• La fase simétrica puede denominarse equilibrio térmico o fase T porque el estado fundamental es el estado supersimétrico de la distribución de probabilidad total en estado estable.
• En el límite determinista, la fase ordenada es equivalente a una dinámica caótica determinista con flujo no integrable.
• La fase ordenada no integrable puede llamarse caos o fase C porque a ella pertenece el caos determinista ordinario.
• La fase integrable ordenada puede denominarse caos inducido por ruido o fase N porque desaparece en el límite determinista. El TS se rompe por la condensación de (anti)instantones (ver más abajo).
• En caso de ruidos más fuertes, el límite NC nítido debe difuminarse en un cruce porque los (anti)instantones pierden su individualidad y es difícil para un observador externo diferenciar un proceso de tunelización de otro.

Desmitificación de la criticidad autoorganizada

Muchos procesos repentinos (o instantónicos) en la naturaleza, como, por ejemplo, el ruido crepitante , exhiben estadísticas libres de escala a menudo llamadas la ley de Zipf . Como explicación de este peculiar comportamiento dinámico espontáneo, se propuso creer que algunos sistemas dinámicos estocásticos tienen una tendencia a autoajustarse en un punto crítico , el enfoque fenomenológico conocido como criticidad autoorganizada (SOC). ^[41] STS ofrece una perspectiva alternativa sobre este fenómeno. ^[42] Dentro de STS, SOC no es más que dinámica en la fase N. Específicamente, la característica definitiva de la fase N es el mecanismo peculiar de la ruptura del TS. A diferencia de la fase C, donde el TS se rompe por la no integrabilidad del flujo, en la fase N , el TS se rompe espontáneamente debido a la condensación de las configuraciones de instantones y antiinstantones inducidos por ruido, es decir, instantones invertidos en el tiempo. Estos procesos pueden interpretarse aproximadamente como los eventos de tunelización inducidos por ruido entre, por ejemplo, diferentes atractores. Cualitativamente, la dinámica en la fase N aparece para un observador externo como una secuencia de saltos repentinos o "avalanchas" que deben exhibir un comportamiento/estadística libre de escala como resultado del teorema de Goldstone . Esta imagen de la dinámica en la fase N es exactamente el comportamiento dinámico que el concepto de SOC fue diseñado para explicar. En contraste con la comprensión original de SOC, ^[43] su interpretación STS tiene poco que ver con la teoría tradicional de fenómenos críticos donde el comportamiento libre de escala está asociado con puntos fijos inestables del flujo del grupo de renormalización .

Teoría de la dinamo cinemática

El fenómeno magnetohidrodinámico de la dinamo cinemática también puede identificarse como la ruptura espontánea de TS. ^[34] Este resultado se desprende de la equivalencia entre el operador de evolución del campo magnético y el SEO de la SDE correspondiente que describe el flujo de la materia de fondo. La correspondencia STS-dinamo cinemática que surge de esta manera demuestra, en particular, que ambos tipos de espectros de ruptura de TS son posibles, con los valores propios del estado fundamental real y complejo, porque se conocen dinamos cinemáticos con ambos tipos de modos propios de crecimiento más rápido. ^[44]

Dinámica transitoria

Es bien sabido que varios tipos de dinámica transitoria, como los quenches, exhiben un comportamiento espontáneo de largo alcance. En el caso de los quenches a través de transiciones de fase, este comportamiento se atribuye a menudo a la proximidad de la criticidad. También se sabe que los quenches que no exhiben una transición de fase exhiben características de largo alcance, siendo los ejemplos más conocidos el efecto Barkhausen y las diversas realizaciones del concepto de ruido crepitante . Es intuitivamente atractivo que las explicaciones teóricas para el comportamiento libre de escala en los quenches deben ser las mismas para todos los quenches, independientemente de si produce o no una transición de fase; STS ofrece tal explicación. Es decir, la dinámica transitoria es esencialmente un instantón compuesto y TS se rompe intrínsecamente dentro de los instantones. Aunque la ruptura de TS dentro de los instantones no se debe exactamente al fenómeno de la ruptura espontánea de una simetría por un estado fundamental global, esta ruptura efectiva de TS también debe dar como resultado un comportamiento libre de escala. Esta comprensión está respaldada por el hecho de que los instantones condensados ​​conducen a la aparición de logaritmos en las funciones de correlación. ^[45] Esta imagen de dinámica transitoria explica la eficiencia computacional de las máquinas de memoria digital. ^[46]

Véase también

• Cuantización estocástica

Referencias

1. Parisi, G.; Sourlas, N. (1979). "Campos magnéticos aleatorios, supersimetría y dimensiones negativas". Physical Review Letters . 43 (11): 744–745. Código Bibliográfico :1979PhRvL..43..744P. doi :10.1103/PhysRevLett.43.744.
2. Parisi, G. (1982). "Teorías de campos supersimétricos y ecuaciones diferenciales estocásticas". Física nuclear B . 206 (2): 321–332. Código Bibliográfico :1982NuPhB.206..321P. doi :10.1016/0550-3213(82)90538-7.
3. Gozzi, E.; Reuter, M. (1990). "Mecánica clásica como teoría topológica de campos". Physics Letters B . 240 (1–2): 137–144. Bibcode :1990PhLB..240..137G. doi :10.1016/0370-2693(90)90422-3.
4. Niemi, AJ (1995). "Un límite inferior para el número de trayectorias clásicas periódicas". Physics Letters B . 355 (3–4): 501–506. Bibcode :1995PhLB..355..501N. doi :10.1016/0370-2693(95)00780-o.
5. Niemi, AJ; Pasanen, P. (3 de octubre de 1996). "Modelo σ topológico, dinámica hamiltoniana y número de Lefschetz en el espacio de bucles". Physics Letters B . 386 (1): 123–130. arXiv : hep-th/9508067 . Código Bibliográfico :1996PhLB..386..123N. doi :10.1016/0370-2693(96)00941-0. S2CID  119102809.
6. Gozzi, E.; Reuter, M. (28 de diciembre de 1989). "Caracterización algebraica de la ergodicidad". Physics Letters B . 233 (3): 383–392. Código Bibliográfico :1989PhLB..233..383G. doi :10.1016/0370-2693(89)91327-0.
7. Tailleur, J.; Tănase-Nicola, S.; Kurchan, J. (1 de febrero de 2006). "Ecuación de Kramers y supersimetría". Revista de física estadística . 122 (4): 557–595. arXiv : cond-mat/0503545 . Código Bibliográfico :2006JSP...122..557T. doi :10.1007/s10955-005-8059-x. ISSN  0022-4715. S2CID  119716999.
8. Kleinert, H.; Shabanov, SV (27 de octubre de 1997). "Supersimetría en procesos estocásticos con derivadas temporales de orden superior". Physics Letters A . 235 (2): 105–112. arXiv : quant-ph/9705042 . Código Bibliográfico :1997PhLA..235..105K. doi :10.1016/s0375-9601(97)00660-9. S2CID  119459346.
9. Ovchinnikov, IV (28 de marzo de 2016). "Introducción a la teoría supersimétrica de la estocástica". Entropía . 18 (4): 108. arXiv : 1511.03393 . Código Bibliográfico :2016Entrp..18..108O. doi : 10.3390/e18040108 . S2CID  2388285.
10. Aharony, A.; Imry, Y.; Ma, SK (1976). "Reducción de la dimensionalidad en transiciones de fase con campos aleatorios". Physical Review Letters . 37 (20): 1364–1367. Código Bibliográfico :1976PhRvL..37.1364A. doi :10.1103/PhysRevLett.37.1364.
11. Cecotti, S; Girardello, L (1983-01-01). "Aspectos estocásticos y paraestocásticos de las medidas funcionales supersimétricas: Un nuevo enfoque no perturbativo de la supersimetría". Anales de Física . 145 (1): 81–99. Bibcode :1983AnPhy.145...81C. doi : 10.1016/0003-4916(83)90172-0 .
12. Zinn-Justin, J. (29 de septiembre de 1986). "Renormalización y cuantificación estocástica". Física nuclear B . 275 (1): 135–159. Código Bibliográfico :1986NuPhB.275..135Z. doi :10.1016/0550-3213(86)90592-4.
13. Dijkgraaf, R.; Orlando, D.; Reffert, S. (11 de enero de 2010). "Relacionar teorías de campo mediante cuantificación estocástica". Física nuclear B . 824 (3): 365–386. arXiv : 0903.0732 . Código Bibliográfico :2010NuPhB.824..365D. doi :10.1016/j.nuclphysb.2009.07.018. S2CID  2033425.
14. Kurchan, J. (1992-07-01). "Supersimetría en la dinámica del vidrio de espín". Journal de Physique I . 2 (7): 1333–1352. Bibcode :1992JPhy1...2.1333K. doi :10.1051/jp1:1992214. ISSN  1155-4304. S2CID  124073976.
15. Mallick, K.; Moshe, M.; Orland, H. (13 de noviembre de 2007). "Supersimetría y relaciones de trabajo de no equilibrio". arXiv : 0711.2059 [cond-mat.stat-mech].
16. Gozzi, E. (1984). "Principio de Onsager de reversibilidad microscópica y supersimetría". Physical Review D . 30 (6): 1218–1227. Código Bibliográfico :1984PhRvD..30.1218G. doi :10.1103/physrevd.30.1218.
17. Bernstein, M. (1984). "Supersimetría y la ecuación biestable de Fokker-Planck". Physical Review Letters . 52 (22): 1933–1935. Código Bibliográfico :1984PhRvL..52.1933B. doi :10.1103/physrevlett.52.1933.
18. Olemskoi, A. I; Khomenko, A. V; Olemskoi, D. A (1 de febrero de 2004). "Teoría de campos de la autoorganización". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 332 : 185–206. Bibcode :2004PhyA..332..185O. doi :10.1016/j.physa.2003.10.035.
19. Mostafazadeh, A. (19 de julio de 2002). "Pseudo-hermiticidad versus simetría PT III: equivalencia de pseudo-hermiticidad y presencia de simetrías antilineales". Journal of Mathematical Physics . 43 (8): 3944–3951. arXiv : math-ph/0203005 . Bibcode :2002JMP....43.3944M. doi :10.1063/1.1489072. ISSN  0022-2488. S2CID  7096321.
20. Reulle, D. (2002). "Funciones zeta dinámicas y operadores de transferencia" (PDF) . Avisos de la AMS . 49 (8): 887.
21. Ruelle, D. (1 de diciembre de 1990). "Una extensión de la teoría de los determinantes de Fredholm". Publicaciones Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 72 (1): 175-193. doi :10.1007/bf02699133. ISSN  0073-8301. S2CID  121869096.
22. Birmingham, D; Blau, M.; Rakowski, M.; Thompson, G. (1991). "Teoría de campos topológicos". Physics Reports . 209 (4–5): 129–340. Bibcode :1991PhR...209..129B. doi :10.1016/0370-1573(91)90117-5.
23. Witten, E. (1988-09-01). "Modelos sigma topológicos". Communications in Mathematical Physics . 118 (3): 411–449. Bibcode :1988CMaPh.118..411W. doi :10.1007/BF01466725. ISSN  0010-3616. S2CID  34042140.
24. Baulieu, L.; Singer, IM (1988). "El modelo sigma topológico". Comunicaciones en Física Matemática . 125 (2): 227–237. doi :10.1007/BF01217907. S2CID  120150962.
25. Witten, E. (1988-09-01). "Teoría cuántica de campos topológica". Communications in Mathematical Physics . 117 (3): 353–386. Bibcode :1988CMaPh.117..353W. doi :10.1007/BF01223371. ISSN  0010-3616. S2CID  43230714.
26. Witten, E. (1982). "Supersimetría y teoría de Morse". Revista de geometría diferencial . 17 (4): 661–692. doi : 10.4310/jdg/1214437492 . ISSN  0022-040X.
27. Labastida, JMF (1989-12-01). "Interpretación de la teoría Morse de las teorías topológicas cuánticas de campos". Communications in Mathematical Physics . 123 (4): 641–658. Bibcode :1989CMaPh.123..641L. CiteSeerX 10.1.1.509.3123 . doi :10.1007/BF01218589. ISSN  0010-3616. S2CID  53555484. 
28. Nicolai, H. (22 de diciembre de 1980). "Supersimetría y medidas de integración funcional". Física nuclear B . 176 (2): 419–428. Código Bibliográfico :1980NuPhB.176..419N. doi :10.1016/0550-3213(80)90460-5. hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5E89-E .
29. Nicolai, H. (28 de enero de 1980). "Sobre una nueva caracterización de las teorías escalares supersimétricas" (PDF) . Physics Letters B . 89 (3): 341–346. Bibcode :1980PhLB...89..341N. doi :10.1016/0370-2693(80)90138-0.
30. Klein, A. ; Landau, LJ; Perez, JF (1984). "Supersimetría y la reducción dimensional de Parisi-Sourlas: una prueba rigurosa". Communications in Mathematical Physics . 94 (4): 459–482. Bibcode :1984CMaPh..94..459K. doi :10.1007/BF01403882. S2CID  120640917.
31. Baulieu, L.; Grossman, B. (1988). "Una interpretación topológica de la cuantificación estocástica". Physics Letters B . 212 (3): 351–356. Código Bibliográfico :1988PhLB..212..351B. doi :10.1016/0370-2693(88)91328-7.
32. Ovchinnikov, IV (15 de enero de 2013). "Teoría de campos topológicos de sistemas dinámicos. II". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 23 (1): 013108. arXiv : 1212.1989 . Código Bibliográfico :2013Chaos..23a3108O. doi :10.1063/1.4775755. ISSN  1054-1500. PMID  23556945. S2CID  34229910.
33. Graham, R. (1988). "Exponentes de Lyapunov y supersimetría de sistemas dinámicos estocásticos". EPL . 5 (2): 101–106. Bibcode :1988EL......5..101G. doi :10.1209/0295-5075/5/2/002. ISSN  0295-5075. S2CID  250788554.
34. Ovchinnikov, IV; Ensslin, TA (2016). "Dinamo cinemática, ruptura de la supersimetría y caos". Physical Review D . 93 (8): 085023. arXiv : 1512.01651 . Código Bibliográfico :2016PhRvD..93h5023O. doi :10.1103/PhysRevD.93.085023. S2CID  59367815.
35. Ancona, A.; Elworthy, K. D.; Emery, M.; Kunita, H. (2013). Geometría diferencial estocástica en Saint-Flour . Springer. ISBN 9783642341700.OCLC 811000422  .
36. Kunita, H. (1997). Flujos estocásticos y ecuaciones diferenciales estocásticas . Cambridge University Press. ISBN 978-0521599252.OCLC 36864963  .
37. Slavík, A. (2013). "Ecuaciones diferenciales generalizadas: diferenciabilidad de soluciones con respecto a condiciones iniciales y parámetros". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 402 (1): 261–274. doi : 10.1016/j.jmaa.2013.01.027 .
38. Ovchinnikov, IV; Di Ventra, M. (2019). "El caos como fenómeno de ruptura de simetría". Modern Physics Letters B . 33 (24): 1950287–1950474. arXiv : 1702.06561 . Código Bibliográfico :2019MPLB...3350287O. doi :10.1142/S0217984919502877. S2CID  203039897.
39. Gilmore, R.; Lefranc, M. (2011). La topología del caos: Alicia en el país del estiramiento y la compresión . Wiley-VCH. ISBN 9783527410675.OCLC 967841676  .
40. Chung, DJH; Everett, LL; Kane, GL; King, SF; Lykken, J.; Wang, Lian-Tao (1 de febrero de 2005). "El lagrangiano que rompe la supersimetría suave: teoría y aplicaciones". Physics Reports . 407 (1–3): 1–203. arXiv : hep-ph/0312378 . Código Bibliográfico :2005PhR...407....1C. doi :10.1016/j.physrep.2004.08.032. S2CID  119344585.
41. Watkins, NW; Pruessner, G.; Chapman, SC; Crosby, NB; Jensen, HJ (1 de enero de 2016). "25 años de criticidad autoorganizada: conceptos y controversias". Space Science Reviews . 198 (1–4): 3–44. arXiv : 1504.04991 . Bibcode :2016SSRv..198....3W. doi :10.1007/s11214-015-0155-x. ISSN  0038-6308. S2CID  34782655.
42. Ovchinnikov, IV (1 de junio de 2016). "Teoría supersimétrica de la estocástica: desmitificación de la criticidad autoorganizada". En Skiadas CH y Skiadas C. (ed.). Manual de aplicaciones de la teoría del caos . Chapman y Hall/CRC. págs. 271–305. doi :10.1201/b20232. ISBN. 9781466590441.
43. Bak, P.; Tang, C.; Wiesenfeld, K. (1987). "Criticidad autoorganizada: una explicación del ruido 1/f". Physical Review Letters . 59 (4): 381–384. Bibcode :1987PhRvL..59..381B. doi :10.1103/PhysRevLett.59.381. PMID  10035754. S2CID  7674321.
44. Bouya, I.; Dormy, E. (1 de marzo de 2013). "Revisitando el dinamo de flujo ABC". Física de fluidos . 25 (3): 037103–037103–10. arXiv : 1206.5186 . Código Bibliográfico :2013PhFl...25c7103B. doi :10.1063/1.4795546. ISSN  1070-6631. S2CID  118722952.
45. Frenkel, E.; Losev, A.; Nekrasov, N. (2007). "Notas sobre instantones en la teoría de campos topológicos y más allá". Física nuclear B: Suplementos de actas . 171 : 215–230. arXiv : hep-th/0702137 . Código Bibliográfico : 2007NuPhS.171..215F. doi : 10.1016/j.nuclphysbps.2007.06.013. S2CID  14914819.
46. Di Ventra, M.; Traversa, FL; Ovchinnikov, IV (2017). "Teoría de campos topológicos y computación con instantones". Annalen der Physik . 2017 (12): 1700123. arXiv : 1609.03230 . Bibcode :2017AnP...52900123D. doi :10.1002/andp.201700123. ISSN  1521-3889. S2CID  9437990.