En matemáticas , resolver una ecuación es encontrar sus soluciones , que son los valores ( números , funciones , conjuntos , etc.) que cumplen la condición planteada por la ecuación , constituida generalmente por dos expresiones relacionadas por un signo igual . Al buscar una solución, una o más variables se designan como incógnitas . Una solución es una asignación de valores a las variables desconocidas que hace que la igualdad en la ecuación sea verdadera. En otras palabras, una solución es un valor o una colección de valores (uno para cada incógnita) tal que, cuando se sustituyen las incógnitas, la ecuación se convierte en una igualdad . Una solución de una ecuación a menudo se denomina raíz de la ecuación, en particular, pero no solo, para las ecuaciones polinómicas . El conjunto de todas las soluciones de una ecuación es su conjunto solución .
Una ecuación se puede resolver numérica o simbólicamente. Resolver una ecuación numéricamente significa que sólo se admiten números como soluciones. Resolver una ecuación simbólicamente significa que se pueden usar expresiones para representar las soluciones.
Por ejemplo, la ecuación x + y = 2 x – 1 se resuelve para la incógnita x mediante la expresión x = y + 1 , porque sustituir y + 1 por x en la ecuación da como resultado ( y + 1) + y = 2( y + 1) – 1 , una afirmación verdadera. También es posible tomar la variable y como incógnita y luego resolver la ecuación con y = x – 1 . O bien, x e y pueden tratarse como incógnitas, y entonces hay muchas soluciones a la ecuación; una solución simbólica es ( x , y ) = ( a + 1, a ) , donde la variable a puede tomar cualquier valor. Crear una instancia de una solución simbólica con números específicos da una solución numérica; por ejemplo, a = 0 da ( x , y ) = (1, 0) (es decir, x = 1, y = 0 ), y a = 1 da ( x , y ) = (2, 1) .
La distinción entre variables conocidas y variables desconocidas generalmente se hace en el planteamiento del problema , mediante frases como "una ecuación en xey ", o "resolver para xey " , que indican las incógnitas , aquí xey . Sin embargo, es común reservar x , y , z ,... para denotar las incógnitas, y utilizar a , b , c ,... para denotar las variables conocidas, que a menudo se denominan parámetros . Este suele ser el caso cuando se consideran ecuaciones polinómicas , como las ecuaciones cuadráticas . Sin embargo, para algunos problemas, todas las variables pueden asumir cualquiera de los dos roles.
Dependiendo del contexto, resolver una ecuación puede consistir en encontrar cualquier solución (con encontrar una única solución es suficiente), todas las soluciones o una solución que satisfaga otras propiedades, como pertenecer a un intervalo determinado . Cuando la tarea es encontrar la solución que sea mejor bajo algún criterio, se trata de un problema de optimización . La resolución de un problema de optimización generalmente no se denomina "resolución de ecuaciones", ya que, generalmente, los métodos de resolución comienzan a partir de una solución particular para encontrar una mejor solución y repiten el proceso hasta encontrar finalmente la mejor solución.
Una forma general de una ecuación es
donde f es una función , x 1 , ..., x n son las incógnitas y c es una constante. Sus soluciones son los elementos de la imagen inversa.
donde D es el dominio de la función f . El conjunto de soluciones puede ser el conjunto vacío (no hay soluciones), un singleton (hay exactamente una solución), finito o infinito (hay infinitas soluciones).
Por ejemplo, una ecuación como
con incógnitas x , y y z , se puede poner en la forma anterior restando 21 z de ambos lados de la ecuación, para obtener
En este caso particular, no hay una sola solución, sino un conjunto infinito de soluciones, que se pueden escribir usando la notación constructora de conjuntos como
Una solución particular es x = 0, y = 0, z = 0 . Otras dos soluciones son x = 3, y = 6, z = 1 y x = 8, y = 9, z = 2 . Existe un único plano en el espacio tridimensional que pasa por los tres puntos con estas coordenadas , y este plano es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas son soluciones de la ecuación.
El conjunto solución de un conjunto dado de ecuaciones o desigualdades es el conjunto de todas sus soluciones, siendo una solución una tupla de valores, uno para cada incógnita , que satisface todas las ecuaciones o desigualdades. Si el conjunto solución está vacío, entonces no hay valores de las incógnitas que satisfagan simultáneamente todas las ecuaciones y desigualdades.
Para un ejemplo simple, considere la ecuación
Esta ecuación puede verse como una ecuación diofántica , es decir, una ecuación para la que sólo se buscan soluciones enteras . En este caso, el conjunto solución es el conjunto vacío , ya que 2 no es el cuadrado de un número entero. Sin embargo, si se buscan soluciones reales , hay dos soluciones, √ 2 y – √ 2 ; en otras palabras, el conjunto solución es { √ 2 , − √ 2 } .
Cuando una ecuación contiene varias incógnitas y cuando se tienen varias ecuaciones con más incógnitas que ecuaciones, el conjunto de soluciones suele ser infinito. En este caso, las soluciones no se pueden enumerar. Para representarlos suele ser útil una parametrización , que consiste en expresar las soluciones en términos de alguna de las incógnitas o variables auxiliares. Esto siempre es posible cuando todas las ecuaciones son lineales .
Estos conjuntos infinitos de soluciones pueden interpretarse naturalmente como formas geométricas como líneas , curvas (ver imagen), planos y, más generalmente, variedades o variedades algebraicas . En particular, la geometría algebraica puede verse como el estudio de conjuntos de soluciones de ecuaciones algebraicas .
Los métodos para resolver ecuaciones generalmente dependen del tipo de ecuación, tanto del tipo de expresiones en la ecuación como del tipo de valores que pueden asumir las incógnitas. La variedad de tipos de ecuaciones es grande, al igual que los métodos correspondientes. A continuación sólo se mencionan algunos tipos específicos.
En general, dada una clase de ecuaciones, es posible que no exista ningún método sistemático conocido ( algoritmo ) que garantice su funcionamiento. Esto puede deberse a una falta de conocimientos matemáticos; Algunos problemas sólo se resolvieron después de siglos de esfuerzo. Pero esto también refleja que, en general, tal método no puede existir: se sabe que algunos problemas no pueden resolverse mediante un algoritmo, como el décimo problema de Hilbert , que resultó irresoluble en 1970.
Para varias clases de ecuaciones, se han encontrado algoritmos para resolverlas, algunos de los cuales se han implementado e incorporado en sistemas de álgebra computacional , pero a menudo no requieren tecnología más sofisticada que lápiz y papel. En algunos otros casos, se conocen métodos heurísticos que a menudo tienen éxito pero no se garantiza que conduzcan al éxito.
Si el conjunto solución de una ecuación está restringido a un conjunto finito (como es el caso de las ecuaciones en aritmética modular , por ejemplo), o puede limitarse a un número finito de posibilidades (como es el caso de algunas ecuaciones diofánticas ), el El conjunto de soluciones se puede encontrar mediante fuerza bruta , es decir, probando cada uno de los valores posibles ( soluciones candidatas ). Sin embargo, puede darse el caso de que el número de posibilidades a considerar, aunque finito, sea tan enorme que una búsqueda exhaustiva no sea prácticamente factible; De hecho, este es un requisito para los métodos de cifrado seguros .
Como ocurre con todo tipo de resolución de problemas , la prueba y el error a veces pueden dar lugar a una solución, en particular cuando la forma de la ecuación, o su similitud con otra ecuación con una solución conocida, puede conducir a una "suposición inspirada" de la solución. Si una suposición, cuando se prueba, no logra ser una solución, la consideración de la forma en que falla puede conducir a una suposición modificada.
Ecuaciones que involucran funciones lineales o racionales simples de una única incógnita de valor real, digamos x , como
se puede resolver utilizando los métodos del álgebra elemental .
Los sistemas más pequeños de ecuaciones lineales también se pueden resolver mediante métodos de álgebra elemental. Para resolver sistemas más grandes se utilizan algoritmos que se basan en el álgebra lineal . Véase Eliminación gaussiana y solución numérica de sistemas lineales .
Las ecuaciones polinómicas de grado hasta cuatro se pueden resolver exactamente utilizando métodos algebraicos, de los cuales la fórmula cuadrática es el ejemplo más simple. Las ecuaciones polinómicas con un grado de cinco o superior requieren en general métodos numéricos (ver más abajo) o funciones especiales como Traer radicales , aunque algunos casos específicos pueden resolverse algebraicamente, por ejemplo
(usando el teorema de la raíz racional ), y
(usando la sustitución x = z 1 ⁄ 3 , que simplifica esto a una ecuación cuadrática en z ).
En las ecuaciones diofánticas se requiere que las soluciones sean números enteros . En algunos casos se puede utilizar un enfoque de fuerza bruta, como se mencionó anteriormente. En algunos otros casos, en particular si la ecuación tiene una incógnita, es posible resolver la ecuación para incógnitas con valores racionales (ver Teorema de la raíz racional ) y luego encontrar soluciones a la ecuación diofántica restringiendo el conjunto de soluciones a números enteros. soluciones valoradas. Por ejemplo, la ecuación polinómica
tiene como soluciones racionales x = −1/2y x = 3 , por lo que, vista como una ecuación diofántica, tiene la única solución x = 3 .
Sin embargo, en general, las ecuaciones diofánticas se encuentran entre las ecuaciones más difíciles de resolver.
En el caso simple de una función de una variable, digamos, h ( x ) , podemos resolver una ecuación de la forma h ( x ) = c para alguna constante c considerando lo que se conoce como la función inversa de h .
Dada una función h : A → B , la función inversa, denotada h −1 y definida como h −1 : B → A , es una función tal que
Ahora, si aplicamos la función inversa a ambos lados de h ( x ) = c , donde c es un valor constante en B , obtenemos
y hemos encontrado la solución a la ecuación. Sin embargo, dependiendo de la función, la inversa puede ser difícil de definir o puede no ser una función en todo el conjunto B (solo en algún subconjunto) y tener muchos valores en algún momento.
Si solo una solución es suficiente, en lugar del conjunto completo de soluciones, en realidad es suficiente si solo se cumple la identidad funcional.
sostiene. Por ejemplo, la proyección π 1 : R 2 → R definida por π 1 ( x , y ) = x no tiene postinversa, pero sí preinversa π.−1
1definido por π−1
1( x ) = ( x , 0) . De hecho, la ecuación π 1 ( x , y ) = c se resuelve mediante
Ejemplos de funciones inversas incluyen la raíz n -ésima (inversa de x n ); el logaritmo (inverso de una x ); las funciones trigonométricas inversas ; y la función W de Lambert (inversa de xe x ).
Si la expresión del lado izquierdo de una ecuación P = 0 se puede factorizar como P = QR , el conjunto solución de la solución original consiste en la unión de los conjuntos solución de las dos ecuaciones Q = 0 y R = 0 . Por ejemplo, la ecuación
se puede reescribir, usando la identidad tan x cot x = 1 como
que se puede factorizar en
Las soluciones son, por tanto, las soluciones de la ecuación tan x = 1 y, por tanto, son el conjunto
Con ecuaciones más complicadas en números reales o complejos , los métodos simples para resolver ecuaciones pueden fallar. A menudo, se pueden utilizar algoritmos de búsqueda de raíces como el método de Newton-Raphson para encontrar una solución numérica a una ecuación que, para algunas aplicaciones, puede ser completamente suficiente para resolver algún problema. También existen métodos numéricos para sistemas de ecuaciones lineales .
Las ecuaciones que involucran matrices y vectores de números reales a menudo se pueden resolver utilizando métodos del álgebra lineal .
Existe una gran cantidad de métodos para resolver varios tipos de ecuaciones diferenciales , tanto numérica como analíticamente . Una clase particular de problema que se puede considerar que pertenece aquí es la integración , y los métodos analíticos para resolver este tipo de problemas ahora se denominan integración simbólica . [ cita requerida ] Las soluciones de ecuaciones diferenciales pueden ser implícitas o explícitas . [1]
