Teorema de sicigia de Hilbert

Teorema sobre relaciones lineales en ideales y módulos sobre anillos polinómicos

En matemáticas , el teorema de sicigia de Hilbert es uno de los tres teoremas fundamentales sobre anillos polinómicos sobre cuerpos , demostrado por primera vez por David Hilbert en 1890, que se introdujeron para resolver importantes cuestiones abiertas en la teoría de invariantes y son la base de la geometría algebraica moderna . Los otros dos teoremas son el teorema de la base de Hilbert , que afirma que todos los ideales de anillos polinómicos sobre un cuerpo son finitamente generados , y el Nullstellensatz de Hilbert , que establece una correspondencia biyectiva entre variedades algebraicas afines e ideales primos de anillos polinómicos.

El teorema de sicigia de Hilbert se ocupa de las relaciones , o sicigias en la terminología de Hilbert, entre los generadores de un ideal o, más generalmente, un módulo . Como las relaciones forman un módulo, se pueden considerar las relaciones entre las relaciones; el teorema afirma que, si se continúa de esta manera, comenzando con un módulo sobre un anillo de polinomios en n indeterminados sobre un cuerpo, se encuentra eventualmente un módulo cero de relaciones, después de como máximo n pasos.

El teorema de sicigia de Hilbert se considera actualmente un resultado temprano del álgebra homológica . Es el punto de partida del uso de métodos homológicos en el álgebra conmutativa y la geometría algebraica.

Historia

El teorema de sicigia apareció por primera vez en el artículo seminal de Hilbert "Über die Theorie der algebraischen Formen" (1890). ^[1] El artículo se divide en cinco partes: la parte I demuestra el teorema de la base de Hilbert sobre un cuerpo, mientras que la parte II lo demuestra sobre los números enteros. La parte III contiene el teorema de sicigia (Teorema III), que se utiliza en la parte IV para discutir el polinomio de Hilbert . La última parte, la parte V, demuestra la generación finita de ciertos anillos de invariantes . Por cierto, la parte III también contiene un caso especial del teorema de Hilbert-Burch .

Sicigias (relaciones)

Originalmente, Hilbert definió sicigias para ideales en anillos polinomiales , pero el concepto se generaliza trivialmente a módulos (izquierdos) sobre cualquier anillo .

Dado un conjunto generador de un módulo M sobre un anillo R , una relación o primera sicigia entre los generadores es una k -tupla de elementos de R tal que ^[2] ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{k})}$

${\displaystyle a_{1}g_{1}+\cdots +a_{k}g_{k}=0.}$

Sea un módulo libre con base La k - tupla puede identificarse con el elemento ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle (G_{1},\ldots ,G_{k}).}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{k})}$

${\displaystyle a_{1}G_{1}+\cdots +a_{k}G_{k},}$

y las relaciones forman el núcleo del mapa lineal definido por En otras palabras, se tiene una secuencia exacta ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle L_{0}\to M}$ ${\displaystyle G_{i}\mapsto g_{i}.}$

${\displaystyle 0\to R_{1}\to L_{0}\to M\to 0.}$

Este primer módulo de sicigia depende de la elección de un grupo electrógeno, pero, si es el módulo que se obtiene con otro grupo electrógeno, existen dos módulos libres y tales que ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

${\displaystyle R_{1}\oplus F_{1}\cong S_{1}\oplus F_{2}}$

donde denota la suma directa de los módulos . ${\displaystyle \oplus }$

El segundo módulo de sicigia es el módulo de las relaciones entre generadores del primer módulo de sicigia. Siguiendo de esta manera, se puede definir el k- ésimo módulo de sicigia para cada entero positivo k .

Si el módulo de sicigia k es libre para algún k , entonces al tomar una base como conjunto generador, el siguiente módulo de sicigia (y todos los subsiguientes) es el módulo cero . Si no se toma una base como conjunto generador, entonces todos los módulos de sicigia subsiguientes son libres.

Sea n el entero más pequeño, si lo hay, tal que el n -ésimo módulo sicigiótico de un módulo M sea libre o proyectivo . La propiedad de invariancia anterior, hasta la suma directa con módulos libres, implica que n no depende de la elección de conjuntos generadores. La dimensión proyectiva de M es este entero, si existe, o ∞ si no lo existe. Esto es equivalente a la existencia de una sucesión exacta.

${\displaystyle 0\longrightarrow R_{n}\longrightarrow L_{n-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,}$

donde los módulos son libres y es proyectivo. Se puede demostrar que siempre se pueden elegir los grupos electrógenos por ser libres, es decir, que la secuencia exacta anterior sea una resolución libre . ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}}$

Declaración

El teorema de sicigia de Hilbert establece que, si M es un módulo finitamente generado sobre un anillo de polinomios en n indeterminados sobre un cuerpo k , entonces el n- ésimo módulo de sicigia de M es siempre un módulo libre . ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

En lenguaje moderno, esto implica que la dimensión proyectiva de M es como máximo n y, por lo tanto, que existe una resolución libre.

${\displaystyle 0\longrightarrow L_{k}\longrightarrow L_{k-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0}$

de longitud k ≤ n .

Este límite superior en la dimensión proyectiva es preciso, es decir, hay módulos de dimensión proyectiva exactamente n . El ejemplo estándar es el cuerpo k , que puede considerarse como un -módulo estableciendo para cada i y cada c ∈ k . Para este módulo, el n º módulo de sicigia es libre, pero no el ( n − 1) º (para una prueba, véase § Complejo de Koszul, más abajo). ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle x_{i}c=0}$

El teorema también es válido para módulos que no se generan de forma finita. Como la dimensión global de un anillo es el supremo de las dimensiones proyectivas de todos los módulos, el teorema de sicigia de Hilbert puede reformularse como: la dimensión global de es n ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ .

Baja dimensión

En el caso de indeterminados cero, el teorema de sicigia de Hilbert es simplemente el hecho de que cada espacio vectorial tiene una base .

En el caso de un único indeterminado, el teorema de sicigia de Hilbert es un ejemplo del teorema que afirma que sobre un anillo ideal principal , cada submódulo de un módulo libre es en sí mismo libre.

Complejo Koszul

El complejo de Koszul , también llamado "complejo de álgebra exterior", permite, en algunos casos, una descripción explícita de todos los módulos de sicigia.

Sea un sistema generador de un ideal I en un anillo de polinomios , y sea un módulo libre de base. El álgebra exterior de es la suma directa ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}}$ ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k}.}$ ${\displaystyle L_{1}}$

${\displaystyle \Lambda (L_{1})=\bigoplus _{t=0}^{k}L_{t},}$

¿Dónde está el módulo libre, que tiene como base los productos exteriores ? ${\displaystyle L_{t}}$

${\displaystyle G_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge G_{i_{t}},}$

tal que En particular, se tiene (debido a la definición del producto vacío ), las dos definiciones de coinciden, y para t > k . Para cada t positivo , se puede definir una función lineal mediante ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{t}.}$ ${\displaystyle L_{0}=R}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{t}=0}$ ${\displaystyle L_{t}\to L_{t-1}}$

${\displaystyle G_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge G_{i_{t}}\mapsto \sum _{j=1}^{t}(-1)^{j+1}g_{i_{j}}G_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\widehat {G}}_{i_{j}}\wedge \cdots \wedge G_{i_{t}},}$

donde el sombrero significa que se omite el factor. Un cálculo sencillo muestra que la composición de dos de estos mapas consecutivos es cero y, por lo tanto, que uno tiene un complejo

${\displaystyle 0\to L_{t}\to L_{t-1}\to \cdots \to L_{1}\to L_{0}\to R/I.}$

Este es el complejo de Koszul . En general, el complejo de Koszul no es una sucesión exacta , pero sí lo es si se trabaja con un anillo de polinomios y un ideal generado por una sucesión regular de polinomios homogéneos . ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

En particular, la sucesión es regular, y el complejo de Koszul es por tanto una resolución proyectiva de En este caso, el n º módulo de sicigia es libre de dimensión uno (generado por el producto de todos los ); el ( n − 1) º módulo de sicigia es por tanto el cociente de un módulo libre de dimensión n por el submódulo generado por Este cociente no puede ser un módulo proyectivo , ya que de lo contrario, existirían polinomios tales que lo cual es imposible (sustituyendo 0 por el en la última igualdad se obtiene 1 = 0 ). Esto demuestra que la dimensión proyectiva de es exactamente n . ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle k=R/\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle .}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle (x_{1},-x_{2},\ldots ,\pm x_{n}).}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{1}x_{1}+\cdots +p_{n}x_{n}=1,}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle k=R/\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$

La misma prueba se aplica para demostrar que la dimensión proyectiva de es exactamente t si forman una secuencia regular de polinomios homogéneos. ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle g_{1},\ldots ,g_{t}\rangle }$ ${\displaystyle g_{i}}$

Cálculo

En la época de Hilbert no existía ningún método para calcular sicigias. Solo se sabía que se podía deducir un algoritmo a partir de cualquier límite superior del grado de los generadores del módulo de sicigias. De hecho, los coeficientes de las sicigias son polinomios desconocidos. Si el grado de estos polinomios está acotado, el número de sus monomios también lo está. Expresar que se tiene una sicigia proporciona un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los coeficientes de estos monomios. Por lo tanto, cualquier algoritmo para sistemas lineales implica un algoritmo para sicigias, tan pronto como se conoce un límite de los grados.

El primer límite para las sicigias (así como para el problema de pertenencia ideal ) fue dado en 1926 por Grete Hermann : ^[3] Sea M un submódulo de un módulo libre L de dimensión t sobre si los coeficientes sobre una base de L de un sistema generador de M tienen un grado total como máximo d , entonces existe una constante c tal que los grados que ocurren en un sistema generador del primer módulo de sicigia son como máximo El mismo límite se aplica para probar la pertenencia a M de un elemento de L. ^[4 ] ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}];}$ ${\displaystyle (td)^{2^{cn}}.}$

Por otra parte, existen ejemplos en los que necesariamente se da un grado exponencial doble . Sin embargo, estos ejemplos son extremadamente raros, y esto plantea la cuestión de un algoritmo que sea eficiente cuando el resultado no es demasiado grande. En la actualidad, los mejores algoritmos para calcular sicigias son los algoritmos de base de Gröbner . Permiten calcular el primer módulo de sicigia y también, casi sin costo adicional, todos los módulos de sicigias.

Sicigias y regularidad

Uno podría preguntarse qué propiedad de la teoría de anillos de hace que se cumpla el teorema de sicigia de Hilbert. Resulta que se trata de la regularidad , que es una formulación algebraica del hecho de que el n -espacio afín es una variedad sin singularidades . De hecho, se cumple la siguiente generalización: Sea un anillo noetheriano . Entonces tiene dimensión global finita si y solo si es regular y la dimensión de Krull de es finita; en ese caso, la dimensión global de es igual a la dimensión de Krull. Este resultado puede demostrarse utilizando el teorema de Serre sobre anillos locales regulares . ${\displaystyle A=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Véase también

• Teorema de Quillen-Suslin
• Serie de Hilbert y polinomio de Hilbert

Referencias

1. D. Hilbert, Über die Theorie der algebraischen Formen, Mathematische Annalen 36, 473–530.
2. La teoría se presenta para módulos generados finitamente , pero se extiende fácilmente a módulos arbitrarios.
3. Grete Hermann: Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale. Unter Benutzung nachgelassener Sätze von K. Hentzelt , Mathematische Annalen, Volumen 95, Número 1, 736-788, doi :10.1007/BF01206635 (resumen en idioma alemán) — La cuestión de un número finito de pasos en la teoría del ideal polinomial (revisión y versión en inglés) traducción)
4. G. Hermann afirmó que c = 1 , pero no lo demostró.

• David Eisenbud , Álgebra conmutativa. Con vistas a la geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas, 150. Springer-Verlag, Nueva York, 1995. xvi+785 págs. ISBN 0-387-94268-8 ; ISBN 0-387-94269-6 MR 1322960  
• "Teorema de Hilbert", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]