Sistema de raíces

Disposiciones geométricas de puntos, fundamentales para la teoría de Lie

En matemáticas , un sistema de raíces es una configuración de vectores en un espacio euclidiano que satisface ciertas propiedades geométricas. El concepto es fundamental en la teoría de los grupos de Lie y las álgebras de Lie , especialmente la teoría de clasificación y representación de las álgebras de Lie semisimples . Dado que los grupos de Lie (y algunos análogos como los grupos algebraicos ) y las álgebras de Lie han cobrado importancia en muchas partes de las matemáticas durante el siglo XX, la naturaleza aparentemente especial de los sistemas de raíces oculta la cantidad de áreas en las que se aplican. Además, el esquema de clasificación de los sistemas de raíces, mediante diagramas de Dynkin , aparece en partes de las matemáticas sin una conexión manifiesta con la teoría de Lie (como la teoría de la singularidad ). Finalmente, los sistemas de raíces son importantes por sí mismos, como en la teoría de grafos espectrales . ^[1]

Definiciones y ejemplos

Los seis vectores del sistema radicular A ₂

Como primer ejemplo, considere los seis vectores en el espacio euclidiano bidimensional , R ² , como se muestra en la imagen de la derecha; llámelos raíces . Estos vectores abarcan todo el espacio. Si considera la línea perpendicular a cualquier raíz, digamos β , entonces la reflexión de R ² en esa línea envía cualquier otra raíz, digamos α , a otra raíz. Además, la raíz a la que se envía es igual a α + nβ , donde n es un entero (en este caso, n es igual a 1). Estos seis vectores satisfacen la siguiente definición y, por lo tanto, forman un sistema de raíces; este se conoce como A ₂ .

Definición

Sea E un espacio vectorial euclidiano de dimensión finita , con el producto interno euclidiano estándar denotado por . Un sistema de raíces en E es un conjunto finito de vectores distintos de cero (llamados raíces ) que satisfacen las siguientes condiciones: ^{[2] [3]} ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \Phi }$

1. Las raíces abarcan E .
2. Los únicos múltiplos escalares de una raíz que pertenecen a son él mismo y . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\alpha }$
3. Para cada raíz , el conjunto está cerrado bajo reflexión a través del hiperplano perpendicular a . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$
4. ( Integralidad ) Si y son raíces en , entonces la proyección de sobre la línea que pasa por es un múltiplo entero o semientero de . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Una forma equivalente de escribir las condiciones 3 y 4 es la siguiente:

3. Para dos raíces cualesquiera , el conjunto contiene el elemento ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta ):=\beta -2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha .}$
4. Para cualesquiera dos raíces , el número es un entero . ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$ ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle :=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}}$

Algunos autores solo incluyen las condiciones 1 a 3 en la definición de un sistema de raíces. ^[4] En este contexto, un sistema de raíces que también satisface la condición de integralidad se conoce como un sistema de raíces cristalográfico . ^[5] Otros autores omiten la condición 2; entonces llaman a los sistemas de raíces que satisfacen la condición 2 reducidos . ^[6] En este artículo, se supone que todos los sistemas de raíces son reducidos y cristalográficos.

En vista de la propiedad 3, la condición de integralidad es equivalente a afirmar que β y su reflejo σ _α ( β ) difieren en un múltiplo entero de  α . Nótese que el operador definido por la propiedad 4 no es un producto interno. No es necesariamente simétrico y es lineal solo en el primer argumento. $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} }$$

El rango de un sistema de raíces Φ es la dimensión de E . Dos sistemas de raíces pueden combinarse considerando los espacios euclidianos que abarcan como subespacios mutuamente ortogonales de un espacio euclidiano común. Un sistema de raíces que no surge de tal combinación, como los sistemas A ₂ , B ₂ y G ₂ que se muestran a la derecha, se dice que es irreducible .

Dos sistemas de raíces ( E ₁ , Φ ₁ ) y ( E ₂ , Φ ₂ ) se denominan isomorfos si existe una transformación lineal invertible E ₁  →  E ₂ que envía Φ ₁ a Φ ₂ de manera que para cada par de raíces, el número se conserva. ^[7] ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

ElLa red de raíces de un sistema de raíces Φ es elZdeEgenerado por Φ. Es unareden E.

Grupo Weyl

El grupo de Weyl del sistema de raíces es el grupo de simetría de un triángulo equilátero. ${\displaystyle A_{2}}$

El grupo de isometrías de  E generado por reflexiones a través de hiperplanos asociados a las raíces de Φ se llama grupo de Weyl de Φ. Como actúa fielmente sobre el conjunto finito Φ, el grupo de Weyl es siempre finito. Los planos de reflexión son los hiperplanos perpendiculares a las raíces, indicados por líneas discontinuas en la figura siguiente. El grupo de Weyl es el grupo de simetría de un triángulo equilátero, que tiene seis elementos. En este caso, el grupo de Weyl no es el grupo de simetría completo del sistema de raíces (por ejemplo, una rotación de 60 grados es una simetría del sistema de raíces pero no un elemento del grupo de Weyl). ${\displaystyle A_{2}}$

Ejemplo de rango uno

Solo existe un sistema de raíces de rango 1, que consta de dos vectores distintos de cero . Este sistema de raíces se denomina . ${\displaystyle \{\alpha ,-\alpha \}}$ ${\displaystyle A_{1}}$

Ejemplos de rango dos

En el rango 2 hay cuatro posibilidades, correspondientes a , donde . ^[8] La figura de la derecha muestra estas posibilidades, pero con algunas redundancias: es isomorfo a y es isomorfo a . ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha }$ ${\displaystyle n=0,1,2,3}$ ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

Nótese que un sistema de raíces no está determinado por la red que genera: y ambos generan una red cuadrada mientras que y ambos generan una red hexagonal . ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle G_{2}}$

Siempre que Φ sea un sistema de raíces en E y S sea un subespacio de E generado por Ψ = Φ ∩  S , entonces Ψ es un sistema de raíces en  S. Por lo tanto, la lista exhaustiva de cuatro sistemas de raíces de rango 2 muestra las posibilidades geométricas para dos raíces cualesquiera elegidas de un sistema de raíces de rango arbitrario. En particular, dos de esas raíces deben encontrarse en un ángulo de 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150 o 180 grados.

Sistemas de raíces que surgen de álgebras de Lie semisimples

Si es un álgebra de Lie semisimple compleja y es un subálgebra de Cartan , podemos construir un sistema de raíces de la siguiente manera. Decimos que es una raíz de relativa a si y existe alguna tal que para todo . Se puede demostrar ^[9] que hay un producto interno para el cual el conjunto de raíces forma un sistema de raíces. El sistema de raíces de es una herramienta fundamental para analizar la estructura de y clasificar sus representaciones. (Véase la sección siguiente sobre Sistemas de raíces y teoría de Lie). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle X\neq 0\in {\mathfrak {g}}}$ $${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$$ ${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Historia

El concepto de sistema de raíces fue introducido originalmente por Wilhelm Killing alrededor de 1889 (en alemán, Wurzelsystem ^[10] ). ^[11] Los utilizó en su intento de clasificar todas las álgebras de Lie simples sobre el campo de los números complejos . (Killing originalmente cometió un error en la clasificación, enumerando dos sistemas de raíces de rango 4 excepcionales, cuando en realidad solo hay uno, ahora conocido como F ₄ . Cartan corrigió más tarde este error, al mostrar que los dos sistemas de raíces de Killing eran isomorfos. ^[12] )

Killing investigó la estructura de un álgebra de Lie considerando lo que ahora se llama una subálgebra de Cartan . Luego estudió las raíces del polinomio característico , donde . Aquí una raíz se considera como una función de , o de hecho como un elemento del espacio vectorial dual . Este conjunto de raíces forma un sistema de raíces dentro de , como se definió anteriormente, donde el producto interno es la forma de Killing . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \det(\operatorname {ad} _{L}x-t)}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$

Consecuencias elementales de los axiomas del sistema raíz

La condición de integralidad para se cumple solo para β en una de las líneas verticales, mientras que la condición de integralidad para se cumple solo para β en uno de los círculos rojos. Cualquier β perpendicular a α (en el eje Y ) cumple trivialmente ambas con 0, pero no define un sistema de raíces irreducible. Módulo reflexión, para un α dado solo hay 5 posibilidades no triviales para β , y 3 ángulos posibles entre α y β en un conjunto de raíces simples. Las letras subíndices corresponden a la serie de sistemas de raíces para los cuales el β dado puede servir como la primera raíz y α como la segunda raíz (o en F ₄ como las 2 raíces del medio). ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$

El coseno del ángulo entre dos raíces está restringido a ser la mitad de la raíz cuadrada de un entero positivo. Esto se debe a que y son ambos números enteros, por suposición, y ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \beta ,\alpha \rangle \langle \alpha ,\beta \rangle &=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\cdot 2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\beta ,\beta )}}\\&=4{\frac {(\alpha ,\beta )^{2}}{\vert \alpha \vert ^{2}\vert \beta \vert ^{2}}}\\&=4\cos ^{2}(\theta )=(2\cos(\theta ))^{2}\in \mathbb {Z} .\end{aligned}}}$$

Como , los únicos valores posibles para son y , correspondientes a ángulos de 90°, 60° o 120°, 45° o 135°, 30° o 150° y 0° o 180°. La condición 2 dice que ningún múltiplo escalar de α distinto de 1 y −1 puede ser raíz, por lo que 0 o 180°, que corresponderían a 2 α o −2 α , quedan descartados. El diagrama de la derecha muestra que un ángulo de 60° o 120° corresponde a raíces de igual longitud, mientras que un ángulo de 45° o 135° corresponde a una razón de longitud de y un ángulo de 30° o 150° corresponde a una razón de longitud de . ${\displaystyle 2\cos(\theta )\in [-2,2]}$ ${\displaystyle \cos(\theta )}$ ${\displaystyle 0,\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\displaystyle \pm {\tfrac {\sqrt {4}}{2}}=\pm 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

En resumen, aquí están las únicas posibilidades para cada par de raíces. ^[13]

• Ángulo de 90 grados; en ese caso, la relación de longitud no tiene restricciones.
• Ángulo de 60 o 120 grados, con una relación de longitud de 1.
• Ángulo de 45 o 135 grados, con una relación de longitud de . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• Ángulo de 30 o 150 grados, con una relación de longitud de . ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Raíces positivas y raíces simples

Las raíces etiquetadas son un conjunto de raíces positivas para el sistema de raíces, siendo y las raíces simples. ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

Dado un sistema de raíces siempre podemos elegir (de muchas maneras) un conjunto de raíces positivas . Este es un subconjunto de tal que ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \Phi }$

• Para cada raíz exactamente una de las raíces , está contenida en . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\alpha }$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$
• Para cualesquiera dos números distintos tales que sea una raíz, . ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ${\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi ^{+}}$

Si se elige un conjunto de raíces positivas, los elementos de se denominan raíces negativas . Se puede construir un conjunto de raíces positivas eligiendo un hiperplano que no contenga ninguna raíz y estableciendo que todas las raíces que se encuentran en un lado fijo de . Además, todo conjunto de raíces positivas surge de esta manera. ^[14] ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle -\Phi ^{+}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle V}$

Un elemento de se denomina raíz simple (también raíz fundamental ) si no se puede escribir como la suma de dos elementos de . (El conjunto de raíces simples también se denomina base de ). El conjunto de raíces simples es una base de con las siguientes propiedades especiales adicionales: ^[15] ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle E}$

• Cada raíz es una combinación lineal de elementos con coeficientes enteros . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Delta }$
• Para cada , los coeficientes del punto anterior son todos no negativos o todos no positivos. ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$

Para cada sistema de raíces hay muchas opciones diferentes del conjunto de raíces positivas (o, equivalentemente, de raíces simples), pero dos conjuntos de raíces positivas difieren por la acción del grupo de Weyl. ^[16] ${\displaystyle \Phi }$

Sistema de raíz dual, cororraíces y elementos integrales

El sistema de raíz dual

Si Φ es un sistema de raíces en E , la co-raíz α ^∨ de una raíz α se define por $${\displaystyle \alpha ^{\vee }={2 \over (\alpha ,\alpha )}\,\alpha .}$$

El conjunto de co-raíces también forma un sistema de raíces Φ ^∨ en E , llamado sistema de raíces dual (o a veces sistema de raíces inverso ). Por definición, α ^{∨ ∨} = α, de modo que Φ es el sistema de raíces dual de Φ ^∨ . La red en E generada por Φ ^∨ se llama red de co-raíces . Tanto Φ como Φ ^∨ tienen el mismo grupo de Weyl W y, para s en W , $${\displaystyle (s\alpha )^{\vee }=s(\alpha ^{\vee }).}$$

Si Δ es un conjunto de raíces simples para Φ, entonces Δ ^∨ es un conjunto de raíces simples para Φ ^∨ . ^[17]

En la clasificación que se describe a continuación, los sistemas de raíces de tipo y junto con los sistemas de raíces excepcionales son todos autoduales, lo que significa que el sistema de raíces dual es isomorfo al sistema de raíces original. Por el contrario, los sistemas de raíces y son duales entre sí, pero no isomorfos (excepto cuando ). ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle n=2}$

Elementos integrales

Un vector en E se llama integral ^[18] si su producto interno con cada co-raíz es un entero: Dado que el conjunto de con forma una base para el sistema de raíces duales, para verificar que es integral, basta con comprobar la condición anterior para . ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle 2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} ,\quad \alpha \in \Phi .}$$ ${\displaystyle \alpha ^{\vee }}$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$

El conjunto de elementos integrales se denomina red de pesos asociada al sistema raíz dado. Este término proviene de la teoría de representación de las álgebras de Lie semisimples , donde los elementos integrales forman los pesos posibles de las representaciones de dimensión finita.

La definición de un sistema de raíces garantiza que las propias raíces son elementos integrales. Por lo tanto, toda combinación lineal entera de raíces también es integral. Sin embargo, en la mayoría de los casos habrá elementos integrales que no sean combinaciones enteras de raíces. Es decir, en general, la red de pesos no coincide con la red de raíces.

Clasificación de los sistemas radiculares según los diagramas de Dynkin

Imágenes de todos los diagramas de Dynkin conectados

Un sistema raíz es irreducible si no se puede dividir en la unión de dos subconjuntos propios , tales que para todos y . ${\displaystyle \Phi =\Phi _{1}\cup \Phi _{2}}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )=0}$ ${\displaystyle \alpha \in \Phi _{1}}$ ${\displaystyle \beta \in \Phi _{2}}$

Los sistemas de raíces irreducibles corresponden a ciertos grafos , los diagramas de Dynkin, llamados así por Eugene Dynkin . La clasificación de estos grafos es una simple cuestión de combinatoria e induce una clasificación de los sistemas de raíces irreducibles.

Construyendo el diagrama de Dynkin

Dado un sistema de raíces, seleccione un conjunto Δ de raíces simples como en la sección anterior. Los vértices del diagrama de Dynkin asociado corresponden a las raíces en Δ. Las aristas se dibujan entre los vértices de la siguiente manera, según los ángulos. (Observe que el ángulo entre raíces simples siempre es de al menos 90 grados).

• No hay arista si los vectores son ortogonales,
• Un borde único no dirigido si forman un ángulo de 120 grados,
• Un doble filo dirigido si forman un ángulo de 135 grados, y
• Un triple filo dirigido si forman un ángulo de 150 grados.

El término "arista dirigida" significa que las aristas dobles y triples están marcadas con una flecha que apunta hacia el vector más corto. (Si pensamos en la flecha como un signo de "mayor que", queda claro hacia dónde debe apuntar la flecha).

Nótese que, por las propiedades elementales de las raíces mencionadas anteriormente, las reglas para crear el diagrama de Dynkin también se pueden describir de la siguiente manera. No hay arista si las raíces son ortogonales; para raíces no ortogonales, una arista simple, doble o triple según si la razón de longitud de la más larga a la más corta es 1, , . En el caso del sistema de raíces, por ejemplo, hay dos raíces simples en un ángulo de 150 grados (con una razón de longitud de ). Por lo tanto, el diagrama de Dynkin tiene dos vértices unidos por una arista triple, con una flecha que apunta desde el vértice asociado a la raíz más larga al otro vértice. (En este caso, la flecha es un poco redundante, ya que el diagrama es equivalente en cualquier dirección en que vaya la flecha). ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Clasificación de los sistemas de raíces

Aunque un sistema de raíces dado tiene más de un conjunto posible de raíces simples, el grupo de Weyl actúa transitivamente sobre dichas elecciones. ^[19] En consecuencia, el diagrama de Dynkin es independiente de la elección de raíces simples; está determinado por el propio sistema de raíces. Por el contrario, dados dos sistemas de raíces con el mismo diagrama de Dynkin, se pueden emparejar las raíces, comenzando con las raíces en la base, y demostrar que los sistemas son, de hecho, el mismo. ^[20]

Así, el problema de clasificar los sistemas de raíces se reduce al problema de clasificar los posibles diagramas de Dynkin. Un sistema de raíces es irreducible si y sólo si su diagrama de Dynkin es conexo. ^[21] Los posibles diagramas conexos son los que se indican en la figura. Los subíndices indican el número de vértices del diagrama (y, por lo tanto, el rango del sistema de raíces irreducible correspondiente).

Si es un sistema de raíces, el diagrama de Dynkin para el sistema de raíces dual se obtiene a partir del diagrama de Dynkin de manteniendo todos los mismos vértices y aristas, pero invirtiendo las direcciones de todas las flechas. Por lo tanto, podemos ver a partir de sus diagramas de Dynkin que y son duales entre sí. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$

Cámaras de Weyl y el grupo Weyl

La región sombreada es la cámara de Weyl fundamental para la base. ${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2}\}}$

Si es un sistema de raíces, podemos considerar el hiperplano perpendicular a cada raíz . Recordemos que denota la reflexión sobre el hiperplano y que el grupo de Weyl es el grupo de transformaciones de generado por todos los . El complemento del conjunto de hiperplanos es desconexo, y cada componente conexo se llama cámara de Weyl . Si hemos fijado un conjunto particular Δ de raíces simples, podemos definir la cámara de Weyl fundamental asociada a Δ como el conjunto de puntos tales que para todo . ${\displaystyle \Phi \subset E}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$ ${\displaystyle v\in E}$ ${\displaystyle (\alpha ,v)>0}$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$

Como las reflexiones conservan , también conservan el conjunto de hiperplanos perpendiculares a las raíces. Por lo tanto, cada elemento del grupo de Weyl permuta las cámaras de Weyl. ${\displaystyle \sigma _{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

La figura ilustra el caso del sistema radicular. Los "hiperplanos" (en este caso, unidimensionales) ortogonales a las raíces se indican con líneas discontinuas. Los seis sectores de 60 grados son las cámaras de Weyl y la región sombreada es la cámara de Weyl fundamental asociada a la base indicada. ${\displaystyle A_{2}}$

Un teorema general básico sobre las cámaras de Weyl es el siguiente: ^[22]

Teorema : El grupo de Weyl actúa libre y transitivamente sobre las cámaras de Weyl. Por lo tanto, el orden del grupo de Weyl es igual al número de cámaras de Weyl.

En este caso, por ejemplo, el grupo de Weyl tiene seis elementos y hay seis cámaras de Weyl. ${\displaystyle A_{2}}$

Un resultado relacionado es éste: ^[23]

Teorema : Fijemos una cámara de Weyl . Entonces, para todo , la órbita de Weyl de contiene exactamente un punto en el cierre de . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle v\in E}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\bar {C}}}$ ${\displaystyle C}$

Sistemas de raíces y teoría de Lie

Los sistemas de raíces irreducibles clasifican una serie de objetos relacionados en la teoría de Lie, en particular los siguientes:

• álgebras de Lie complejas simples (ver la discusión anterior sobre sistemas de raíces que surgen de álgebras de Lie semisimples),
• grupos de Lie complejos simplemente conexos que son centros módulo simples, y
• grupos de Lie compactos simplemente conexos que son centros módulo simples.

En cada caso, las raíces son pesos distintos de cero de la representación adjunta .

Ahora damos una breve indicación de cómo los sistemas de raíces irreducibles clasifican las álgebras de Lie simples sobre , siguiendo los argumentos de Humphreys. ^[24] Un resultado preliminar dice que un álgebra de Lie semisimple es simple si y solo si el sistema de raíces asociado es irreducible. ^[25] Por lo tanto, restringimos la atención a los sistemas de raíces irreducibles y las álgebras de Lie simples. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• En primer lugar, debemos establecer que para cada álgebra simple sólo existe un sistema de raíces. Esta afirmación se desprende del resultado de que la subálgebra de Cartan de es única salvo automorfismo, ^[26] de lo que se sigue que dos subálgebras de Cartan cualesquiera dan sistemas de raíces isomorfos. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• A continuación, debemos demostrar que para cada sistema de raíces irreducible, puede haber como máximo un álgebra de Lie, es decir, que el sistema de raíces determina el álgebra de Lie hasta el isomorfismo. ^[27]
• Finalmente, debemos demostrar que para cada sistema de raíces irreducible, existe un álgebra de Lie simple asociada. Esta afirmación es obvia para los sistemas de raíces de tipo A, B, C y D, para los cuales las álgebras de Lie asociadas son las álgebras de Lie clásicas . Es posible entonces analizar las álgebras excepcionales caso por caso. Alternativamente, se puede desarrollar un procedimiento sistemático para construir un álgebra de Lie a partir de un sistema de raíces, utilizando las relaciones de Serre . ^[28]

Para las conexiones entre los sistemas de raíces excepcionales y sus grupos de Lie y álgebras de Lie, consulte E 8 , E 7 , E 6 , F 4 y G 2 .

Propiedades de los sistemas de raíces irreducibles

Los sistemas de raíces irreducibles se nombran según sus diagramas de Dynkin conexos correspondientes. Hay cuatro familias infinitas (A _n , B _n , C _n y D _n , llamadas sistemas de raíces clásicos ) y cinco casos excepcionales (los sistemas de raíces excepcionales ). El subíndice indica el rango del sistema de raíces.

En un sistema de raíces irreducible puede haber como máximo dos valores para la longitud ( α , α ) ^1/2 , correspondientes a raíces cortas y largas . Si todas las raíces tienen la misma longitud se toman como largas por definición y se dice que el sistema de raíces está simplemente enlazado ; esto ocurre en los casos A, D y E. Dos raíces cualesquiera de la misma longitud se encuentran en la misma órbita del grupo de Weyl. En los casos no simplemente enlazados B, C, G y F, la red de raíces está abarcada por las raíces cortas y las raíces largas abarcan una subred, invariante bajo el grupo de Weyl, igual a r ² /2 veces la red de la cororraíz, donde r es la longitud de una raíz larga.

En la tabla adyacente, | Φ ^< | denota el número de raíces cortas, I denota el índice en la red de raíces de la subred generada por raíces largas, D denota el determinante de la matriz de Cartan y | W | denota el orden del grupo de Weyl .

Construcción explícita de los sistemas de raíces irreducibles

Anorte

Modelo del sistema de raíces en el sistema Zometool ${\displaystyle A_{3}}$

Sea E el subespacio de R ^{n +1} para el cual las coordenadas suman 0, y sea Φ el conjunto de vectores en E de longitud √ 2 y que son vectores enteros, es decir, tienen coordenadas enteras en R ^{n +1} . Tal vector debe tener todas menos dos coordenadas iguales a 0, una coordenada igual a 1 y una igual a −1, por lo que hay n ² + n raíces en total. Una opción de raíces simples expresadas en la base estándar es α _i = e _i − e _{i +1} para 1 ≤ i ≤ n .

La reflexión σ _i a través del hiperplano perpendicular a α _i es la misma que la permutación de las coordenadas i ésima y ( i  + 1) ésima adyacentes . Tales transposiciones generan el grupo de permutación completo . Para raíces simples adyacentes, σ _i ( α _{i +1} ) = α _{i +1}  +  α _i =  σ _{i +1} ( α _i ) =  α _i  +  α _{i +1} , es decir, la reflexión es equivalente a sumar un múltiplo de 1; pero la reflexión de una raíz simple perpendicular a una raíz simple no adyacente la deja sin cambios, difiriendo en un múltiplo de 0.

La red de raíces A _n –es decir, la red generada por las raíces A _n– se describe más fácilmente como el conjunto de vectores enteros en R ^{n +1} cuyos componentes suman cero.

La red de raíces A2 es la disposición de los vértices _del mosaico triangular .

Los cristalógrafos conocen la red _{de raíces} A3 como red cúbica centrada en las caras (o red cúbica compacta ). ^[29] Es la disposición de los vértices del panal tetraédrico-octaédrico .

El sistema de raíces A3 (así como los otros sistemas de raíces de rango tres) se pueden modelar en el conjunto _de construcción Zometool . ^[30]

En general, la red raíz A _n es la disposición de los vértices del panal simplicial n -dimensional .

Bnorte

Sea E = R ⁿ , y sea Φ formado por todos los vectores enteros en E de longitud 1 o √ 2 . El número total de raíces es 2 n ² . Una opción de raíces simples es α _i = e _i – e _{i +1} para 1 ≤ i ≤ n – 1 (la opción anterior de raíces simples para A _{n −1} ), y la raíz más corta α _n = e _n .

La reflexión σ _n a través del hiperplano perpendicular a la raíz corta α _n es, por supuesto, simplemente la negación de la coordenada n . Para la raíz simple larga α _{n −1} , σ _{n −1} ( α _n ) = α _n + α _{n −1} , pero para la reflexión perpendicular a la raíz corta, σ _n ( α _{n −1} ) = α _{n −1} + 2 α _n , una diferencia por un múltiplo de 2 en lugar de 1.

La red de raíces B _n , es decir, la red generada por las raíces B _n , está formada por todos los vectores enteros.

B ₁ es isomorfo a A ₁ a través de la escala por √ 2 y, por lo tanto, no es un sistema de raíces distinto.

donorte

Sistema de raíces B ₃ , C ₃ y A ₃ = D ₃ como puntos dentro de un cubo y un octaedro

Sea E = R ⁿ , y sea Φ formado por todos los vectores enteros en E de longitud √ 2 junto con todos los vectores de la forma 2 λ , donde λ es un vector entero de longitud 1. El número total de raíces es 2 n ² . Una elección de raíces simples es: α _i = e _i − e _{i +1} , para 1 ≤ i ≤ n − 1 (la elección anterior de raíces simples para A _{n −1} ), y la raíz más larga α _n = 2 e _n . La reflexión σ _n ( α _{n −1} ) = α _{n −1} + α _n , pero σ _{n −1} ( α _n ) = α _n + 2 α _{n −1} .

La red de raíces C _n (es decir, la red generada por las raíces C _n ) consta de todos los vectores enteros cuyos componentes suman un entero par.

C ₂ es isomorfo a B ₂ a través de una escala de √ 2 y una rotación de 45 grados, y por lo tanto no es un sistema de raíces distinto.

Dnorte

Sea E = R ⁿ , y sea Φ formado por todos los vectores enteros en E de longitud √ 2 . El número total de raíces es 2 n ( n − 1) . Una opción de raíces simples es α _i = e _i − e _{i +1} para 1 ≤ i ≤ n − 1 (la opción anterior de raíces simples para A _{n −1} ) junto con α _n = e _{n −1} + e _n .

La reflexión a través del hiperplano perpendicular a α _n es lo mismo que transponer y negar las coordenadas adyacentes n -ésima y ( n − 1)-ésima. Cualquier raíz simple y su reflexión perpendicular a otra raíz simple difieren en un múltiplo de 0 o 1 de la segunda raíz, no en ningún múltiplo mayor.

La red de raíces D _n (es decir, la red generada por las raíces D _n ) está formada por todos los vectores enteros cuyos componentes suman un entero par. Es lo mismo que la red de raíces C _{n .}

Las raíces D _n se expresan como los vértices de un n - ortoplex rectificado , diagrama de Coxeter-Dynkin :...Los 2 n ( n − 1) vértices existen en el medio de los bordes del n -ortoplex.

D ₃ coincide con A ₃ y, por lo tanto, no es un sistema de raíces distinto. Los doce vectores de raíz D ₃ se expresan como los vértices de, una construcción de simetría inferior del cuboctaedro .

D ₄ tiene una simetría adicional llamada trialidad . Los veinticuatro vectores raíz de D ₄ se expresan como los vértices de, una construcción de simetría inferior de 24 celdas .

mi6,mi7,mi8

• El sistema raíz E ₈ es cualquier conjunto de vectores en R ⁸ que sea congruente con el siguiente conjunto: $${\displaystyle D_{8}\cup \left\{{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{8}\varepsilon _{i}\mathbf {e} _{i}\right):\varepsilon _{i}=\pm 1,\,\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{8}=+1\right\}.}$$

El sistema de raíces tiene 240 raíces. El conjunto que acabamos de mencionar es el conjunto de vectores de longitud √ 2 en la red de raíces E8, también conocida simplemente como red E8 o Γ ₈ . Este es el conjunto de puntos en R ⁸ tales que:

1. todas las coordenadas son números enteros o todas las coordenadas son semienteros (no se permite una mezcla de números enteros y semienteros), y
2. La suma de las ocho coordenadas es un entero par .

De este modo, $${\displaystyle E_{8}=\left\{\alpha \in \mathbb {Z} ^{8}\cup \left(\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right)^{8}:|\alpha |^{2}=\sum \alpha _{i}^{2}=2,\,\sum \alpha _{i}\in 2\mathbb {Z} .\right\}}$$

• El sistema de raíces E ₇ es el conjunto de vectores en E ₈ que son perpendiculares a una raíz fija en E _8. El sistema de raíces E ₇ tiene 126 raíces.
• El sistema de raíces E ₆ no es el conjunto de vectores en E ₇ que son perpendiculares a una raíz fija en E ₇ , de hecho, de esa manera se obtiene D ₆ . Sin embargo, E ₆ es el subsistema de E ₈ perpendicular a dos raíces de E ₈ elegidas adecuadamente . El sistema de raíces E ₆ tiene 72 raíces.

Una descripción alternativa de la red E ₈ que a veces es conveniente es como el conjunto Γ' ₈ de todos los puntos en R ⁸ tales que

• todas las coordenadas son números enteros y la suma de las coordenadas es par, o
• todas las coordenadas son semienteros y la suma de las coordenadas es impar.

Las redes Γ ₈ y Γ' ₈ son isomorfas ; se puede pasar de una a otra cambiando los signos de cualquier número impar de coordenadas. La red Γ ₈ a veces se denomina sistema de coordenadas par para E _8, mientras que la red Γ' ₈ se denomina sistema de coordenadas impar .

Una opción de raíces simples para E ₈ en el sistema de coordenadas par con filas ordenadas por orden de nodos en los diagramas de Dynkin alternativos (no canónicos) (arriba) es:

α _i = e _i − e _{i +1} , para 1 ≤ i ≤ 6, y

α7 = e7 + e6_​​​

(la elección anterior de raíces simples para D ₇ ) junto con $${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{8}={\boldsymbol {\beta }}_{0}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{8}\mathbf {e} _{i}=(-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2).}$$

Una opción de raíces simples para E ₈ en el sistema de coordenadas impar con filas ordenadas por orden de nodo en diagramas de Dynkin alternativos (no canónicos) (arriba) es

α _i = e _i − e _{i +1} , para 1 ≤ i ≤ 7

(la elección anterior de raíces simples para A ₇ ) junto con

α ₈ = β ₅ , donde

${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}={\frac {1}{2}}\left(-\sum _{i=1}^{j}e_{i}+\sum _{i=j+1}^{8}e_{i}\right).}$

(Usar β ₃ daría un resultado isomorfo. Usar β _1,7 o β _2,6 simplemente daría A ₈ o D ₈ . En cuanto a β ₄ , sus coordenadas suman 0, y lo mismo es cierto para α _1...7 , por lo que abarcan solo el subespacio de 7 dimensiones para el cual las coordenadas suman 0; de hecho, −2 β ₄ tiene coordenadas (1,2,3,4,3,2,1) en la base ( α _i ).)

Como la perpendicularidad a α ₁ significa que las dos primeras coordenadas son iguales, E ₇ es entonces el subconjunto de E ₈ donde las dos primeras coordenadas son iguales, y de manera similar E ₆ es el subconjunto de E ₈ donde las tres primeras coordenadas son iguales. Esto facilita las definiciones explícitas de E ₇ y E ₆ como

mi ₇ = { α ∈ Z ⁷ ∪ ( Z +1/2 ) ⁷  : Σ α _i ² + α ₁ ² = 2, Σ α _i + α ₁ ∈ 2 Z },

mi ₆ = { α ∈ Z ⁶ ∪ ( Z +1/2 ) ⁶  : Σ α _yo ² + 2 α ₁ ² = 2, Σ α _yo + 2 α ₁ ∈ 2 Z }

Nótese que al eliminar α ₁ y luego α ₂ se obtienen conjuntos de raíces simples para E ₇ y E ₆ . Sin embargo, estos conjuntos de raíces simples están en subespacios E ₇ y E _{6 diferentes de} E ₈ que los escritos anteriormente, ya que no son ortogonales a α ₁ o α ₂ .

F4

Vectores raíz de 48 de F4, definidos por los vértices de la celda de 24 y su dual, vistos en el plano de Coxeter

Para F ₄ , sea E = R ⁴ , y sea Φ el conjunto de vectores α de longitud 1 o √ 2 tales que las coordenadas de 2α son todas enteras y son todas pares o todas impares. Hay 48 raíces en este sistema. Una opción de raíces simples es: la opción de raíces simples dada anteriormente para B ₃ , más . ${\textstyle {\boldsymbol {\alpha }}_{4}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{4}e_{i}}$

La red de raíces F ₄ (es decir, la red generada por el sistema de raíces F ₄ ) es el conjunto de puntos en R ⁴ tales que todas las coordenadas son números enteros o todas las coordenadas son semienteros (no se permite una mezcla de números enteros y semienteros). Esta red es isomorfa a la red de cuaterniones de Hurwitz .

GRAMO2

El sistema de raíces G ₂ tiene 12 raíces, que forman los vértices de un hexagrama . Véase la imagen de arriba.

Una elección de raíces simples es ( α ₁ , β = α ₂ − α ₁ ) donde α _i = e _i − e _{i +1} para i = 1, 2 es la elección anterior de raíces simples para A ₂ .

La red radicular G ₂ , es decir, la red generada por las raíces G ₂ , es la misma que la red radicular A _{2 .}

El poset raíz

Diagrama de Hasse del conjunto raíz E6 con etiquetas de borde que identifican la raíz simple agregada

El conjunto de raíces positivas se ordena naturalmente diciendo que si y solo si es una combinación lineal no negativa de raíces simples. Este conjunto parcial se clasifica por , y tiene muchas propiedades combinatorias notables, una de ellas es que se pueden determinar los grados de los invariantes fundamentales del grupo de Weyl correspondiente a partir de este conjunto parcial. ^[31] El gráfico de Hasse es una visualización del ordenamiento del conjunto parcial raíz. ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ ${\displaystyle \beta -\alpha }$ ${\textstyle \deg \left(\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }\alpha \right)=\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }}$

Véase también

• Clasificación ADE
• Sistema de raíces afines
• Diagrama de Coxeter-Dynkin
• Grupo Coxeter
• Matriz de Coxeter
• Diagrama de Dynkin
• dato raíz
• Álgebra de Lie semisimple
• Pesos en la teoría de representación de álgebras de Lie semisimples
• Sistema de raíces de un álgebra de Lie semisimple
• Grupo Weyl

Notas

1. Cvetković, Dragoš (2002). "Gráficos con el menor valor propio −2; un estudio histórico y desarrollos recientes en gráficos excepcionales maximalistas". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 356 (1–3): 189–210. doi : 10.1016/S0024-3795(02)00377-4 .
2. Bourbaki, Cap. VI, Sección 1
3. Humphreys 1972, pág. 42
4. Humphreys 1992, pág. 6
5. Humphreys 1992, pág. 39
6. Humphreys 1992, pág. 41
7. Humphreys 1972, pág. 43
8. Propuesta 8.8 del Salón 2015
9. Hall 2015, Sección 7.5
10. Asesinato de 1889
11. Bourbaki 1998, pág. 270
12. Coleman 1989, pág. 34
13. Propuesta 8.6 del Salón 2015
14. Hall 2015, Teoremas 8.16 y 8.17
15. Hall 2015, Teorema 8.16
16. Hall 2015, Proposición 8.28
17. Hall 2015, Proposición 8.18
18. Hall 2015, Sección 8.7
19. Esto se desprende de Hall 2015, Proposición 8.23
20. Hall 2015, Proposición 8.32
21. Hall 2015, Proposición 8.23
22. Hall 2015, Proposiciones 8.23 ​​y 8.27
23. Hall 2015, Proposición 8.29
24. Véanse varias partes de los capítulos III, IV y V de Humphreys 1972, que culminan en la Sección 19 del Capítulo V.
25. Hall 2015, Teorema 7.35
26. Humphreys 1972, Sección 16
27. Humphreys 1972, Parte (b) del Teorema 18.4
28. Humphreys 1972 Sección 18.3 y Teorema 18.4
29. Conway, John ; Sloane, Neil JA (1998). "Sección 6.3". Empaquetamientos de esferas, redes y grupos. Springer. ISBN 978-0-387-98585-5.
30. Sala 2015 Sección 8.9
31. Humphreys 1992, Teorema 3.20

Referencias

• Adams, JF (1983), Conferencias sobre grupos de Lie , University of Chicago Press, ISBN 0-226-00530-5
• Bourbaki, Nicolas (2002), Grupos de Lie y álgebras de Lie, capítulos 4-6 (traducido del original francés de 1968 por Andrew Pressley) , Elements of Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42650-7. La referencia clásica para sistemas raíz.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elementos de la historia de las matemáticas . Springer. ISBN 3540647678.
• Coleman, AJ (verano de 1989), "El artículo matemático más importante de todos los tiempos", The Mathematical Intelligencer , 11 (3): 29–38, doi :10.1007/bf03025189, S2CID  35487310
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James (1972). Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación . Springer. ISBN 0387900535.
• Humphreys, James (1992). Grupos de reflexión y grupos de Coxeter . Cambridge University Press. ISBN 0521436133.
• Matar, Wilhelm (junio de 1888). "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen". Annalen Matemáticas . 31 (2): 252–290. doi :10.1007/BF01211904. S2CID  120501356. Archivado desde el original el 5 de marzo de 2016.
  • — (marzo de 1888). "Parte 2". Math. Ann . 33 (1): 1–48. doi :10.1007/BF01444109. S2CID  124198118.
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  • — (junio de 1890). "Parte 4". Math. Ann . 36 (2): 161–189. doi :10.1007/BF01207837. S2CID  : 179178061.
• Kac, Victor G. (1990). Álgebras de Lie de dimensión infinita (3.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46693-6.
• Springer, TA (1998). Grupos algebraicos lineales (2.ª ed.). Birkhäuser. ISBN 0817640215.

Lectura adicional

• Dynkin, EB (1947). "La estructura de las álgebras semisimples". Uspekhi Mat. Nauk . 2 (en ruso). 4 (20): 59–127. MR  0027752.

Enlaces externos