Un espacio simplemente conectado

Espacio que no tiene agujeros

En topología , un espacio topológico se denomina simplemente conexo (o 1-conexo , o 1-simplemente conexo ^[1] ) si es conexo por caminos y cada camino entre dos puntos puede transformarse continuamente en cualquier otro camino de ese tipo mientras se preservan los dos puntos finales en cuestión. Intuitivamente, esto corresponde a un espacio que no tiene partes disjuntas ni agujeros que lo atraviesen completamente, porque dos caminos que rodean lados diferentes de un agujero de ese tipo no pueden transformarse continuamente uno en otro. El grupo fundamental de un espacio topológico es un indicador del fracaso del espacio para ser simplemente conexo: un espacio topológico conexo por caminos es simplemente conexo si y solo si su grupo fundamental es trivial.

Definición y formulaciones equivalentes

Esta forma representa un conjunto que no está simplemente conexo, porque cualquier bucle que encierra uno o más de los agujeros no puede contraerse hasta un punto sin salir de la región.

Un espacio topológico se llama simplemente conexo si está conexo por caminos y cualquier bucle definido por puede contraerse a un punto: existe una función continua tal que restringida a es Aquí, y denota el círculo unitario y el disco unitario cerrado en el plano euclidiano respectivamente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S^{1}\to X}$ ${\displaystyle F:D^{2}\to X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$

Una formulación equivalente es la siguiente: está simplemente conexo si y solo si está conexo por caminos, y siempre que y sean dos caminos (es decir, mapas continuos) con el mismo punto de inicio y final ( y ), entonces pueden deformarse continuamente en mientras se mantienen fijos ambos puntos finales. Explícitamente, existe una homotopía tal que y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle q:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle p(0)=q(0)}$ ${\displaystyle p(1)=q(1)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}$ ${\displaystyle F(x,0)=p(x)}$ ${\displaystyle F(x,1)=q(x).}$

Un espacio topológico es simplemente conexo si y solo si es conexo por trayectorias y el grupo fundamental de en cada punto es trivial, es decir, consta solo del elemento identidad . De manera similar, es simplemente conexo si y solo si para todos los puntos el conjunto de morfismos en el grupoide fundamental de tiene solo un elemento. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)}$ ${\displaystyle X}$

En análisis complejo : un subconjunto abierto es simplemente conexo si y sólo si tanto él como su complemento en la esfera de Riemann son conexos. El conjunto de números complejos con parte imaginaria estrictamente mayor que cero y menor que uno proporciona un ejemplo de un subconjunto abierto, conexo y no acotado del plano cuyo complemento no es conexo. Sin embargo, es simplemente conexo. Una relajación del requisito de que sea conexo conduce a una exploración de subconjuntos abiertos del plano con complemento extendido conexo. Por ejemplo, un conjunto abierto (no necesariamente conexo) tiene un complemento extendido conexo exactamente cuando cada uno de sus componentes conexos es simplemente conexo. ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Discusión informal

De manera informal, un objeto en nuestro espacio está simplemente conectado si consta de una sola pieza y no tiene ningún "agujero" que lo atraviese por completo. Por ejemplo, ni una rosquilla ni una taza de café (con asa) están simplemente conectados, pero una pelota de goma hueca sí lo está. En dos dimensiones, un círculo no está simplemente conectado, pero sí lo están un disco y una línea. Los espacios que están conectados pero no simplemente conectados se denominan no simplemente conectados o múltiples veces conectados .

Una esfera está simplemente conexa porque cada bucle puede contraerse (en la superficie) hasta un punto.

La definición excluye únicamente los agujeros en forma de mango . Una esfera (o, equivalentemente, una pelota de goma con un centro hueco) está simplemente conectada, porque cualquier bucle en la superficie de una esfera puede contraerse hasta un punto aunque tenga un "agujero" en el centro hueco. La condición más fuerte, que el objeto no tenga agujeros de ninguna dimensión, se llama contractibilidad .

Ejemplos

Un toro no es una superficie simplemente conexa. Ninguno de los dos bucles de colores que se muestran aquí puede contraerse hasta un punto sin abandonar la superficie. Un toro sólido tampoco está simplemente conexo porque el bucle violeta no puede contraerse hasta un punto sin abandonar el sólido.

• El plano euclidiano es simplemente conexo, pero menos el origen no lo es. Si entonces tanto y menos el origen son simplemente conexos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle n>2,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Análogamente: la esfera n -dimensional está simplemente conexa si y sólo si ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2.}$
• Cada subconjunto convexo de está simplemente conexo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Un toro , un cilindro (elíptico) , una cinta de Möbius , un plano proyectivo y una botella de Klein no están simplemente conectados.
• Todo espacio vectorial topológico está simplemente conexo; esto incluye los espacios de Banach y los espacios de Hilbert .
• Porque el grupo ortogonal especial no es simplemente conexo y el grupo unitario especial es simplemente conexo. ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$
• La compactificación de un punto de no está simplemente conexa (aunque sí lo está). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• La línea larga está simplemente conectada, pero su compactación, la línea larga extendida, no lo está (ya que ni siquiera está conectada por trayectorias). ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{*}}$

Propiedades

Una superficie ( variedad topológica bidimensional ) es simplemente conexa si y sólo si es conexa y su género (el número de asas de la superficie) es 0.

Una cubierta universal de cualquier espacio (adecuado) es un espacio simplemente conectado que se asigna a través de un mapa de cobertura . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Si y son homotópicamente equivalentes y están simplemente conexos, entonces también lo están ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

La imagen de un conjunto simplemente conexo bajo una función continua no necesita ser simplemente conexa. Tomemos como ejemplo el plano complejo bajo la función exponencial: la imagen es que no es simplemente conexa. ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\},}$

La noción de conectividad simple es importante en el análisis complejo debido a los siguientes hechos:

• El teorema integral de Cauchy establece que si es un subconjunto abierto simplemente conexo del plano complejo y es una función holomorfa , entonces tiene una antiderivada en y el valor de cada integral de línea en con integrando depende solo de los puntos finales y del camino, y puede calcularse como La integral, por lo tanto, no depende del camino particular que conecta y ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle F(v)-F(u).}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v,}$
• El teorema de mapeo de Riemann establece que cualquier subconjunto abierto simplemente conexo no vacío de (excepto él mismo) es conformemente equivalente al disco unitario . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

La noción de conectividad simple es también una condición crucial en la conjetura de Poincaré .

Véase también

• Retracción de deformación  : mapeo continuo que preserva la posición desde un espacio topológico a un subespacioPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio conectado de forma local y sencilla
• espacio n-conectado
• Espacio unicoherente

Referencias

1. "Espacio n-conexo en nLab". ncatlab.org . Consultado el 17 de septiembre de 2017 .
2. Ronald, Brown (junio de 2006). Topología y grupoides . Academic Search Complete. North Charleston: CreateSpace. ISBN 1419627228.OCLC 712629429  .

• Spanier, Edwin (diciembre de 1994). Topología algebraica . Springer. ISBN 0-387-94426-5.
• Conway, John (1986). Funciones de una variable compleja I. Springer. ISBN 0-387-90328-3.
• Bourbaki, Nicolás (2005). Grupos de mentiras y álgebras de mentiras . Saltador. ISBN 3-540-43405-4.
• Gamelin, Theodore (enero de 2001). Análisis complejo . Saltador. ISBN 0-387-95069-9.
• Joshi, Kapli (agosto de 1983). Introducción a la topología general . New Age Publishers. ISBN 0-85226-444-5.