Serie de Dirichlet

Serie matemática

En matemáticas , una serie de Dirichlet es cualquier serie de la forma donde s es compleja y es una secuencia compleja . Es un caso especial de la serie de Dirichlet general . $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$$ ${\displaystyle a_{n}}$

Las series de Dirichlet desempeñan una variedad de papeles importantes en la teoría analítica de números . La definición más común de la función zeta de Riemann es una serie de Dirichlet, al igual que las funciones L de Dirichlet . Se conjetura que la clase de series de Selberg obedece a la hipótesis generalizada de Riemann . La serie recibe su nombre en honor a Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Importancia combinatoria

La serie de Dirichlet se puede utilizar como serie generadora para contar conjuntos ponderados de objetos con respecto a un peso que se combina multiplicativamente al tomar productos cartesianos.

Supóngase que A es un conjunto con una función w : A → N que asigna un peso a cada uno de los elementos de A , y supóngase además que la fibra sobre cualquier número natural bajo ese peso es un conjunto finito. (Llamamos a tal disposición ( A , w ) un conjunto ponderado.) Supóngase además que a _n es el número de elementos de A con peso n . Entonces definimos la serie generadora de Dirichlet formal para A con respecto a w de la siguiente manera:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)=\sum _{a\in A}{\frac {1}{w(a)^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

Nótese que si A y B son subconjuntos disjuntos de algún conjunto ponderado ( U , w ), entonces la serie de Dirichlet para su unión (disjunta) es igual a la suma de sus series de Dirichlet:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\uplus B}(s)={\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)+{\mathfrak {D}}_{w}^{B}(s).}$

Además, si ( A , u ) y ( B , v ) son dos conjuntos ponderados, y definimos una función de ponderación w : A × B → N por

${\displaystyle w(a,b)=u(a)v(b),}$

para todo a en A y b en B , entonces tenemos la siguiente descomposición para la serie de Dirichlet del producto cartesiano:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\times B}(s)={\mathfrak {D}}_{u}^{A}(s)\cdot {\mathfrak {D}}_{v}^{B}(s).}$

Esto se desprende en última instancia del simple hecho de que ${\displaystyle n^{-s}\cdot m^{-s}=(nm)^{-s}.}$

Ejemplos

El ejemplo más famoso de una serie de Dirichlet es

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$

cuya continuación analítica de (aparte de un polo simple en ) es la función zeta de Riemann . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle s=1}$

Siempre que f tenga un valor real en todos los números naturales n , las partes reales e imaginarias respectivas de la serie de Dirichlet F tienen fórmulas conocidas donde escribimos : ${\displaystyle s\equiv \sigma +it}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Re [F(s)]&=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\cos(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\\\Im [F(s)]&=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\sin(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\,.\end{aligned}}}$

Si las consideramos por el momento como series formales de Dirichlet para poder ignorar cuestiones de convergencia, observemos que tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&={\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\mathbb {N} }(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}:n\in \mathbb {N} \}}(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}\}}(s)\\&=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{(p^{n})^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }\left({\frac {1}{p^{s}}}\right)^{n}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\end{aligned}}}$

Como cada número natural tiene una descomposición multiplicativa única en potencias de primos, es este fragmento de combinatoria el que inspira la fórmula del producto de Euler .

Otra es:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

donde μ ( n ) es la función de Möbius . Esta y muchas de las siguientes series pueden obtenerse aplicando la inversión de Möbius y la convolución de Dirichlet a series conocidas. Por ejemplo, dado un carácter de Dirichlet χ ( n ), se tiene

${\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}}$

donde L ( χ , s ) es una función L de Dirichlet .

Si la función aritmética f tiene una función inversa de Dirichlet , es decir, si existe una función inversa tal que la convolución de Dirichlet de f con su inversa produce la identidad multiplicativa , entonces la DGF de la función inversa está dada por el recíproco de F : ${\displaystyle f^{-1}(n)}$ ${\textstyle \sum _{d|n}f(d)f^{-1}(n/d)=\delta _{n,1}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f^{-1}(n)}{n^{s}}}=\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)^{-1}.}$

Otras identidades incluyen

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}$

¿Dónde está la función totient ? ${\displaystyle \varphi (n)}$

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}}$

donde J _k es la función de Jordan , y

${\displaystyle {\begin{aligned}&\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-2a)}{\zeta (2s-2a)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}\end{aligned}}}$

donde σ _a ( n ) es la función divisora . Por especialización a la función divisora ​​d  =  σ ₀ tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{2}(s)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.\end{aligned}}}$

El logaritmo de la función zeta está dado por

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}{\frac {1}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1.}$

De manera similar, tenemos que

${\displaystyle -\zeta '(s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\log(n)}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1.}$

Aquí, Λ( n ) es la función de von Mangoldt . La derivada logarítmica es entonces

${\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Estos tres últimos son casos especiales de una relación más general para derivadas de series de Dirichlet, que se detallan a continuación.

Dada la función de Liouville λ ( n ), se tiene

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Otro ejemplo es la suma de Ramanujan :

${\displaystyle {\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}.}$

Otro par de ejemplos involucra la función de Möbius y la función omega prima : ^[1]

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu ^{2}(n)}{n^{s}}}.}$

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}.}$

Tenemos que la serie de Dirichlet para la función zeta prima , que es análoga a la función zeta de Riemann sumada sólo sobre los índices n que son primos, está dada por una suma sobre la función de Moebius y los logaritmos de la función zeta:

${\displaystyle P(s):=\sum _{p{\text{ prime}}}p^{-s}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns).}$

Aquí se encuentra un gran catálogo tabular que incluye otros ejemplos de sumas correspondientes a representaciones de series de Dirichlet conocidas.

Aquí se dan ejemplos de factores de factor de factor de factor de serie de Dirichlet correspondientes a f aditiva (en lugar de multiplicativa) para las funciones omega primos y , que cuentan respectivamente el número de factores primos distintos de n (con multiplicidad o no). Por ejemplo, el factor de factor de factor de serie de Dirichlet de la primera de estas funciones se expresa como el producto de la función zeta de Riemann y la función zeta primo para cualquier complejo s con : ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\cdot P(s),\Re (s)>1.}$

Si f es una función multiplicativa tal que su DGF F converge absolutamente para todo , y si p es cualquier número primo , tenemos que ${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{a,f}}$

${\displaystyle \left(1+f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)}{n^{s}}}=\left(1-f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)\mu (\gcd(p,n))}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f},}$

donde es la función de Moebius . Otra identidad única de la serie de Dirichlet genera la función sumatoria de alguna aritmética f evaluada en entradas de MCD dadas por ${\displaystyle \mu (n)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}f(\gcd(k,n))\right){\frac {1}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f}+1.}$

También tenemos una fórmula entre los DGF de dos funciones aritméticas f y g relacionadas por inversión de Moebius . En particular, si , entonces por inversión de Moebius tenemos que . Por lo tanto, si F y G son los dos DGF respectivos de f y g , entonces podemos relacionar estos dos DGF por las fórmulas: ${\displaystyle g(n)=(f\ast 1)(n)}$ ${\displaystyle f(n)=(g\ast \mu )(n)}$

${\displaystyle F(s)={\frac {G(s)}{\zeta (s)}},\Re (s)>\max(\sigma _{a,f},\sigma _{a,g}).}$

Existe una fórmula conocida para la exponencial de una serie de Dirichlet. Si es la DGF de alguna función aritmética f con , entonces la DGF G se expresa mediante la suma ${\displaystyle F(s)=\exp(G(s))}$ ${\displaystyle f(1)\neq 0}$

${\displaystyle G(s)=\log(f(1))+\sum _{n\geq 2}{\frac {(f^{\prime }\ast f^{-1})(n)}{\log(n)\cdot n^{s}}},}$

donde es la inversa de Dirichlet de f y donde la derivada aritmética de f viene dada por la fórmula para todos los números naturales . ${\displaystyle f^{-1}(n)}$ ${\displaystyle f^{\prime }(n)=\log(n)\cdot f(n)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Propiedades analíticas

Dada una secuencia de números complejos intentamos considerar el valor de ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

como función de la variable compleja s . Para que esto tenga sentido, debemos considerar las propiedades de convergencia de la serie infinita anterior:

Si es una secuencia acotada de números complejos, entonces la serie de Dirichlet correspondiente f converge absolutamente en el semiplano abierto Re( s ) > 1. En general, si a _n = O( n ^k ), la serie converge absolutamente en el semiplano Re( s ) >  k  + 1. ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

Si el conjunto de sumas

${\displaystyle a_{n}+a_{n+1}+\cdots +a_{n+k}}$

está acotado para n y k ≥ 0, entonces la serie infinita anterior converge en el semiplano abierto de s tal que Re( s ) > 0.

En ambos casos f es una función analítica en el semiplano abierto correspondiente.

En general, es la abscisa de convergencia de una serie de Dirichlet si converge para y diverge para Este es el análogo para la serie de Dirichlet del radio de convergencia para series de potencias . Sin embargo, el caso de la serie de Dirichlet es más complicado: la convergencia absoluta y la convergencia uniforme pueden ocurrir en semiplanos distintos. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$ ${\displaystyle \Re (s)<\sigma .}$

En muchos casos, la función analítica asociada con una serie de Dirichlet tiene una extensión analítica a un dominio más grande.

Abscisa de convergencia

Suponer

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}}$

converge para algunos ${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {C} ,\Re (s_{0})>0.}$

Proposición 1. ${\displaystyle A(N):=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=o(N^{s_{0}}).}$

Prueba. Nótese que:

${\displaystyle (n+1)^{s}-n^{s}=\int _{n}^{n+1}sx^{s-1}\,dx={\mathcal {O}}(n^{s-1}).}$

y definir

${\displaystyle B(N)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}=\ell +o(1)}$

dónde

${\displaystyle \ell =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}.}$

Por suma por partes tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}A(N)&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}n^{s_{0}}\\&=B(N)N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N-1}B(n)\left(n^{s_{0}}-(n+1)^{s_{0}}\right)\\&=(B(N)-\ell )N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N-1}(B(n)-\ell )\left(n^{s_{0}}-(n+1)^{s_{0}}\right)\\&=o(N^{s_{0}})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {o}}(n^{s_{0}-1})\\&=o(N^{s_{0}})\end{aligned}}}$

Proposición 2. Definir

${\displaystyle L={\begin{cases}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}&{\text{If convergent}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Entonces:

${\displaystyle \sigma =\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {\ln |A(N)-L|}{\ln N}}=\inf _{\sigma }\left\{A(N)-L={\mathcal {O}}(N^{\sigma })\right\}}$

es la abscisa de convergencia de la serie de Dirichlet.

Prueba. De la definición

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\qquad A(N)-L={\mathcal {O}}(N^{\sigma +\varepsilon })}$

de modo que

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}&=A(N)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&=(A(N)-L)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}(A(n)-L)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&={\mathcal {O}}(N^{\sigma +\varepsilon -s})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {O}}(n^{\sigma +\varepsilon -s-1})\end{aligned}}}$

que converge siempre que Por lo tanto, para cada uno que diverge, tenemos y esto termina la prueba. ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle \Re (s)>\sigma .}$ ${\displaystyle s}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$ ${\displaystyle \sigma \geq \Re (s),}$

Proposición 3. Si converge entonces como y donde es meromórfico ( no tiene polos en ). ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle f(\sigma +it)=o\left({\tfrac {1}{\sigma }}\right)}$ ${\displaystyle \sigma \to 0^{+}}$ ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle \Re (s)=0}$

Prueba. Nótese que

${\displaystyle n^{-s}-(n+1)^{-s}=sn^{-s-1}+O(n^{-s-2})}$

y tenemos por suma por partes, para ${\displaystyle A(N)-f(0)\to 0}$ ${\displaystyle \Re (s)>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(s)&=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}\\&=\lim _{N\to \infty }A(N)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&=s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}+\underbrace {{\mathcal {O}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-2}\right)} _{={\mathcal {O}}(1)}\end{aligned}}}$

Ahora encuentre N tal que para n  >  N , ${\displaystyle |A(n)-f(0)|<\varepsilon }$

${\displaystyle s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}=\underbrace {sf(0)\zeta (s+1)+s\sum _{n=1}^{N}(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{={\mathcal {O}}(1)}+\underbrace {s\sum _{n=N+1}^{\infty }(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{<\varepsilon |s|\int _{N}^{\infty }x^{-\Re (s)-1}\,dx}}$

y por lo tanto, para cada hay un tal que para : ^[2] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \sigma >0}$

${\displaystyle |f(\sigma +it)|<C+\varepsilon |\sigma +it|{\frac {1}{\sigma }}.}$

Serie formal de Dirichlet

Una serie formal de Dirichlet sobre un anillo R está asociada a una función a de los números enteros positivos hasta R

${\displaystyle D(a,s)=\sum _{n=1}^{\infty }a(n)n^{-s}\ }$

con adición y multiplicación definidas por

${\displaystyle D(a,s)+D(b,s)=\sum _{n=1}^{\infty }(a+b)(n)n^{-s}\ }$

${\displaystyle D(a,s)\cdot D(b,s)=\sum _{n=1}^{\infty }(a*b)(n)n^{-s}\ }$

dónde

${\displaystyle (a+b)(n)=a(n)+b(n)\ }$

es la suma puntual y

${\displaystyle (a*b)(n)=\sum _{k\mid n}a(k)b(n/k)\ }$

es la convolución de Dirichlet de a y b .

Las series formales de Dirichlet forman un anillo Ω, en realidad un R -álgebra, con la función cero como elemento cero aditivo y la función δ definida por δ (1) = 1, δ ( n ) = 0 para n  > 1 como identidad multiplicativa. Un elemento de este anillo es invertible si a (1) es invertible en R . Si R es conmutativo, también lo es Ω; si R es un dominio integral , también lo es Ω. Las funciones multiplicativas no nulas forman un subgrupo del grupo de unidades de Ω.

El anillo de series formales de Dirichlet sobre C es isomorfo a un anillo de series formales de potencia en un número contable de variables. ^[3]

Derivados

Dado

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

Es posible demostrar que

${\displaystyle F'(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\log(n)}{n^{s}}}}$

Suponiendo que el lado derecho converge. Para una función completamente multiplicativa ƒ( n ), y suponiendo que la serie converge para Re( s ) > σ ₀ , entonces se tiene que

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

converge para Re( s ) > σ ₀ . Aquí, Λ( n ) es la función de von Mangoldt .

Productos

Suponer

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

y

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.}$

Si tanto F ( s ) como G ( s ) son absolutamente convergentes para s > a y s > b entonces tenemos

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

Si a = b y ƒ ( n ) = g ( n ) tenemos

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|F(a+it)|^{2}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

Inversión de coeficientes (fórmula integral)

Para todos los números enteros positivos , la función f en x , se puede recuperar a partir de la función generadora de Dirichlet (DGF) F de f (o la serie de Dirichlet sobre f ) utilizando la siguiente fórmula integral siempre que , la abscisa de convergencia absoluta de la DGF F ^[4] ${\displaystyle x\geq 1}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \sigma >\sigma _{a,f}}$

${\displaystyle f(x)=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x^{\sigma +it}F(\sigma +it)dt.}$

También es posible invertir la transformada de Mellin de la función sumatoria de f que define la función de convergencia diferencial F de f para obtener los coeficientes de la serie de Dirichlet (véase la sección siguiente). En este caso, llegamos a una fórmula integral de contorno compleja relacionada con el teorema de Perron. En términos prácticos, las tasas de convergencia de la fórmula anterior en función de T son variables, y si la serie de Dirichlet F es sensible a los cambios de signo como una serie que converge lentamente, puede requerir un valor de T muy grande para aproximar los coeficientes de F utilizando esta fórmula sin tomar el límite formal.

Otra variante de la fórmula anterior expuesta en el libro de Apostol proporciona una fórmula integral para una suma alternativa en la siguiente forma para y cualquier real donde denotamos : ${\displaystyle c,x>0}$ ${\displaystyle \Re (s)\equiv \sigma >\sigma _{a,f}-c}$ ${\displaystyle \Re (s):=\sigma }$

${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}^{\prime }{\frac {f(n)}{n^{s}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }D_{f}(s+z){\frac {x^{z}}{z}}dz.}$

Transformaciones integrales y en serie

La transformada de Mellin inversa de una serie de Dirichlet, dividida por s, se obtiene mediante la fórmula de Perron . Además, si es la función generadora ordinaria (formal) de la secuencia de , entonces una representación integral para la serie de Dirichlet de la secuencia de funciones generadoras, , se obtiene mediante ^[5] ${\textstyle F(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \{f_{n}z^{n}\}_{n\geq 0}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}z^{n}}{(n+1)^{s}}}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)\,dt,\ s\geq 1.}$

Otra clase de transformaciones de funciones generadoras basadas en series y derivadas relacionadas con la función generadora ordinaria de una secuencia que produce efectivamente la expansión del lado izquierdo en la ecuación anterior se definen respectivamente en. ^{[6] [7]}

Relación con series de potencias

La secuencia a _n generada por una función generadora de series de Dirichlet corresponde a:

${\displaystyle \zeta (s)^{m}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

donde ζ ( s ) es la función zeta de Riemann , tiene la función generadora ordinaria:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}=x+{m \choose 1}\sum _{a=2}^{\infty }x^{a}+{m \choose 2}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }x^{ab}+{m \choose 3}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }x^{abc}+{m \choose 4}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }x^{abcd}+\cdots }$

Relación con la función sumatoria de una función aritmética mediante transformadas de Mellin

Si f es una función aritmética con DGF correspondiente F , y la función sumatoria de f está definida por

${\displaystyle S_{f}(x):={\begin{cases}\sum _{n\leq x}f(n),&x\geq 1;\\0,&0<x<1,\end{cases}}}$

Entonces podemos expresar F mediante la transformada de Mellin de la función sumatoria en . Es decir, tenemos que ${\displaystyle -s}$

${\displaystyle F(s)=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {S_{f}(x)}{x^{s+1}}}dx,\Re (s)>\sigma _{a,f}.}$

Para y cualquier número natural , también tenemos la aproximación al DGF F de f dada por ${\displaystyle \sigma :=\Re (s)>0}$ ${\displaystyle N\geq 1}$

${\displaystyle F(s)=\sum _{n\leq N}f(n)n^{-s}-{\frac {S_{f}(N)}{N^{s}}}+s\cdot \int _{N}^{\infty }{\frac {S_{f}(y)}{y^{s+1}}}dy.}$

Véase también

• Serie general de Dirichlet
• Regularización de la función zeta
• Producto de Euler
• Convolución de Dirichlet

Referencias

1. Las fórmulas para ambas series se dan en la Sección 27.4 del Manual de Funciones Matemáticas del NIST/
2. Hardy, GH ; Riesz, M. (1915). La teoría general de las series de Dirichlet. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 18. Cambridge University Press.
3. Cashwell, ED; Everett, CJ (1959). "El anillo de funciones de teoría de números". Pacific J. Math . 9 (4): 975–985. doi : 10.2140/pjm.1959.9.975 . ISSN  0030-8730. MR  0108510. Zbl  0092.04602.
4. La sección 11.11 del libro del Apóstol prueba esta fórmula.
5. Borwein, David; Borwein, Jonathan M.; Girgensohn, Roland (1995). "Evaluación explícita de sumas de Euler". Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo. Serie II . 38 (2): 277–294. doi :10.1017/S0013091500019088. hdl : 1959.13/1043647 .
6. Schmidt, MD (2017). "Transformaciones de funciones generadoras de series zeta relacionadas con funciones polilogarítmicas y números armónicos de orden k" (PDF) . Revista en línea de combinatoria analítica (12).
7. Schmidt, MD (2016). "Transformaciones de funciones generadoras de series zeta relacionadas con números de Stirling generalizados y sumas parciales de la función zeta de Hurwitz". arXiv : 1611.00957 [math.CO].

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001
• Hardy, GH ; Riesz, Marcel (1915). La teoría general de las series de Dirichlet . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 18. Cambridge University Press.
• La teoría general de las series de Dirichlet por GH Hardy. Monografías de matemáticas históricas de la biblioteca de la Universidad de Cornell. {Reimpreso por} Colecciones digitales de la biblioteca de la Universidad de Cornell
• Gould, Henry W.; Shonhiwa, Temba (2008). "Un catálogo de series interesantes de Dirichlet". Miss. J. Math. Sci . 20 (1). Archivado desde el original el 2 de octubre de 2011.
• Mathar, Richard J. (2011). "Estudio de series de Dirichlet de funciones aritméticas multiplicativas". arXiv : 1106.4038 [math.NT].
• Tenenbaum, Gérald (1995). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 46. Cambridge University Press . ISBN 0-521-41261-7.Zbl 0831.11001  .
• "Serie de Dirichlet". PlanetMath .