Teorema de inversión de Mellin

En matemáticas , la fórmula de inversión de Mellin (llamada así en honor a Hjalmar Mellin ) nos indica las condiciones bajo las cuales la transformada de Mellin inversa , o equivalentemente la transformada de Laplace inversa de dos lados , se define y recupera la función transformada.

Método

Si es analítica en la tira , y si tiende a cero uniformemente como para cualquier valor real c entre a y b , con su integral a lo largo de dicha línea convergiendo absolutamente, entonces si ${\displaystyle \varphi (s)}$ ${\displaystyle a<\Re (s)<b}$ ${\displaystyle \Im (s)\to \pm \infty }$

${\displaystyle f(x)=\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds}$

tenemos eso

${\displaystyle \varphi (s)=\{{\mathcal {M}}f\}=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx.}$

Por el contrario, supongamos que es continua por partes en los números reales positivos , tomando un valor a medio camino entre los valores límite en cualquier discontinuidad de salto, y supongamos que la integral ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx}$

es absolutamente convergente cuando . Entonces es recuperable mediante la transformada de Mellin inversa a partir de su transformada de Mellin . Estos resultados se pueden obtener relacionando la transformada de Mellin con la transformada de Fourier mediante un cambio de variables y luego aplicando una versión apropiada del teorema de inversión de Fourier . ^[1] ${\displaystyle a<\Re (s)<b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$

Condición de acotación

La condición de acotación de se puede reforzar si es continua. Si es analítica en la franja , y si , donde K es una constante positiva, entonces, como se define por la integral de inversión, existe y es continua; además, la transformada de Mellin de es para al menos . ${\displaystyle \varphi (s)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \varphi (s)}$ ${\displaystyle a<\Re (s)<b}$ ${\displaystyle |\varphi (s)|<K|s|^{-2}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a<\Re (s)<b}$

Por otra parte, si estamos dispuestos a aceptar un original que es una función generalizada , podemos relajar la condición de acotación para simplemente convertirla en un crecimiento polinomial en cualquier franja cerrada contenida en la franja abierta . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a<\Re (s)<b}$

También podemos definir una versión de este teorema en el espacio de Banach . Si llamamos al espacio ponderado L p de funciones complejas en los reales positivos tales que ${\displaystyle L_{\nu ,p}(R^{+})}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \|f\|=\left(\int _{0}^{\infty }|x^{\nu }f(x)|^{p}\,{\frac {dx}{x}}\right)^{1/p}<\infty }$

donde ν y p son números reales fijos con , entonces si está en con , entonces pertenece a con y ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L_{\nu ,p}(R^{+})}$ ${\displaystyle 1<p\leq 2}$ ${\displaystyle \varphi (s)}$ ${\displaystyle L_{\nu ,q}(R^{+})}$ ${\displaystyle q=p/(p-1)}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\nu -i\infty }^{\nu +i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds.}$

Aquí se identifican funciones idénticas en todas partes excepto en un conjunto de medida cero.

Dado que la transformada de Laplace de dos lados se puede definir como

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)}$

Estos teoremas también pueden aplicarse inmediatamente.

Véase también

• Transformación de Mellin
• Teorema de Nachbin

Referencias

1. Debnath, Lokenath (2015). Transformadas integrales y sus aplicaciones. CRC Press. ISBN 978-1-4822-2357-6.OCLC 919711727  .

• Flajolet, P. ; Gourdon, X.; Dumas, P. (1995). "Transformadas de Mellin y asintóticas: sumas armónicas" (PDF) . Theoretical Computer Science . 144 (1–2): 3–58. doi :10.1016/0304-3975(95)00002-E.
• McLachlan, NW (1953). Teoría de variable compleja y cálculo transformado . Cambridge University Press.
• Polyanin, AD; Manzhirov, AV (1998). Manual de ecuaciones integrales . Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4.
• Titchmarsh, EC (1948). Introducción a la teoría de las integrales de Fourier (segunda edición). Oxford University Press.
• Yakubovich, SB (1996). Transformaciones del índice . World Scientific. ISBN 981-02-2216-5.
• Zemanian, AH (1968). Transformadas integrales generalizadas . John Wiley & Sons.

Enlaces externos

• Tablas de transformadas integrales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.