Función cuyo dominio son los números enteros positivos
En teoría de números , una función aritmética , aritmética o de teoría de números [1] [2] es generalmente cualquier función f ( n ) cuyo dominio son los números enteros positivos y cuyo rango es un subconjunto de los números complejos . [3] [4] [5] Hardy y Wright incluyen en su definición el requisito de que una función aritmética "exprese alguna propiedad aritmética de n ". [6] Existe una clase más amplia de funciones de teoría de números que no se ajustan a esta definición, por ejemplo, las funciones de conteo de primos . Este artículo proporciona enlaces a funciones de ambas clases.
Un ejemplo de función aritmética es la función divisor cuyo valor en un entero positivo n es igual al número de divisores de n .
Las funciones aritméticas suelen ser extremadamente irregulares (ver tabla), pero algunas de ellas tienen expansiones en serie en términos de la suma de Ramanujan .
Funciones multiplicativas y aditivas
Una función aritmética a es
Dos números enteros m y n se llaman coprimos si su máximo común divisor es 1, es decir, si no existe ningún número primo que los divida a ambos.
Entonces una función aritmética a es
- aditivo si a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) para todos los números naturalescoprimos myn ;
- multiplicativo si a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) para todos los números naturalescoprimos myn .
Notación
En este artículo, significa que la suma o el producto está sobre todos los números primos :
y
de manera similar, y significa que la suma o el producto está sobre todas las potencias primos con exponente estrictamente positivo (por lo que k = 0 no está incluido):
Las notaciones y significan que la suma o producto está sobre todos los divisores positivos de n , incluidos 1 y n . Por ejemplo, si n = 12 , entonces
Las notaciones se pueden combinar: y significan que la suma o producto está sobre todos los divisores primos de n . Por ejemplo, si n = 18, entonces
y de manera similar significan que la suma o producto es sobre todas las potencias primas que dividen a n . Por ejemplo, si n = 24, entonces
Ω(norte),ω(norte),vpag(norte) – descomposición del poder primario
El teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier entero positivo n puede representarse únicamente como un producto de potencias de números primos: donde p 1 < p 2 < ... < p k son primos y a j son números enteros positivos. (1 viene dado por el producto vacío).
A menudo es conveniente escribir esto como un producto infinito de todos los números primos, donde todos menos un número finito tienen un exponente cero. Defina la valoración p -ádica ν p ( n ) como el exponente de la potencia más alta del primo p que divide a n . Es decir, si p es uno de los p i entonces ν p ( n ) = a i , en caso contrario es cero. Entonces
En términos de lo anterior, las funciones omega primas ω y Ω están definidas por
ω ( norte ) = k ,
Ω( norte ) = un 1 + un 2 + ... + un k .
Para evitar repeticiones, siempre que sea posible, las fórmulas para las funciones enumeradas en este artículo se dan en términos de n y los correspondientes p i , a i , ω y Ω.
Funciones multiplicativas
σk(norte), τ(norte),d(norte) – sumas divisorias
σ k ( n ) es la suma de las k -ésimas potencias de los divisores positivos de n , incluidos 1 y n , donde k es un número complejo.
σ 1 ( n ) , la suma de los divisores (positivos) de n , generalmente se denota por σ( n ) .
Dado que un número positivo elevado a cero es uno, σ 0 ( n ) es, por tanto, el número de divisores (positivos) de n ; normalmente se denota por d ( n ) o τ( n ) (para el alemán Teiler = divisores).
Establecer k = 0 en el segundo producto da
φ(norte) – Función de paciente de Euler
φ( n ) , la función totiente de Euler, es el número de enteros positivos no mayores que n que son coprimos de n .
jk(norte) – Función de paciente de Jordan
J k ( n ) , la función totiente de Jordan, es el número de k -tuplas de enteros positivos todos menores o iguales que n que forman una tupla coprime ( k + 1) junto con n . Es una generalización del totiente de Euler, φ( n ) = J 1 ( n ) .
µ(norte) – función de Moebius
μ( n ) , la función de Möbius, es importante debido a la fórmula de inversión de Möbius . Consulte la convolución de Dirichlet a continuación.
Esto implica que μ(1) = 1. (Porque Ω(1) = ω(1) = 0.)
τ(norte) – Función tau de Ramanujan
τ( n ) , la función tau de Ramanujan, se define por suidentidad de función generadora :
Aunque es difícil decir exactamente qué "propiedad aritmética de n " "expresa", [7] ( τ ( n ) es (2π) −12 veces el n -ésimo coeficiente de Fourier en la expansión q de la función discriminante modular ) [8] se incluye entre las funciones aritméticas porque es multiplicativa y ocurre en identidades que involucran ciertas funciones σ k ( n ) y r k ( n ) (porque estas también son coeficientes en la expansión de formas modulares ).
Cq(norte) – suma de Ramanujan
c q ( n ) , la suma de Ramanujan, es la suma de lasn-ésimas potencias de lasq-ésimasraíces primitivas de la unidad:
Aunque se define como una suma de números complejos (irracionales para la mayoría de los valores de q ), es un número entero. Para un valor fijo de n es multiplicativo en q :
- Si q y r son coprimos , entonces
ψ(norte) - Función psi de Dedekind
La función psi de Dedekind , utilizada en la teoría de funciones modulares , está definida por la fórmula
Funciones completamente multiplicativas
λ(norte) – función de Liouville
λ ( n ) , la función de Liouville, está definida por
χ(norte) - caracteres
Todos los caracteres de Dirichlet χ ( n ) son completamente multiplicativos. Dos caracteres tienen notaciones especiales:
El carácter principal (mod n ) se denota por χ 0 ( a ) (o χ 1 ( a )). Se define como
El carácter cuadrático (mod n ) se denota mediante el símbolo de Jacobi para n impar (no está definido para n par ):
En esta fórmula está el símbolo de Legendre , definido para todos los números enteros a y todos los primos impares p por
Siguiendo la convención normal para el producto vacío,
Funciones aditivas
ω(norte) – divisores primos distintos
ω( n ) , definido anteriormente como el número de números primos distintos que dividen a n , es aditivo (ver Función omega prima ).
Funciones completamente aditivas
Ω(norte) – divisores primos
Ω( n ) , definido anteriormente como el número de factores primos de n contados con multiplicidades, es completamente aditivo (ver Función omega prima ).
vpag(norte) –valoración p -ádicade un número enteronorte
Para un primo fijo p , ν p ( n ) , definido anteriormente como el exponente de la mayor potencia de p que divide n , es completamente aditivo.
Derivada logarítmica
, donde está la derivada aritmética.
Ni multiplicativo ni aditivo
π(X), Π(X),θ(X),ψ(X) – funciones de conteo de primos
Estas importantes funciones (que no son funciones aritméticas) se definen para argumentos reales no negativos y se utilizan en los diversos enunciados y demostraciones del teorema de los números primos . Son funciones de suma (consulte la sección principal justo debajo) de funciones aritméticas que no son multiplicativas ni aditivas.
π ( x ) , la función de conteo de primos, es el número de primos que no excedex. Es la función sumatoria de lafunción característicade los números primos.
Una función relacionada cuenta potencias primas con peso 1 para los primos, 1/2 para sus cuadrados, 1/3 para los cubos, ... Es la función sumatoria de la función aritmética que toma el valor 1/ k en los números enteros que son los k. -ésima potencia de algún número primo y el valor 0 en otros números enteros.
θ ( x ) y ψ ( x ), las funciones de Chebyshev, se definen como sumas de los logaritmos naturales de los números primos que no excedenx.
La función de Chebyshev ψ ( x ) es la función de suma de la función de von Mangoldt justo debajo.
Λ(norte) – función de von Mangoldt
Λ( n ) , la función de von Mangoldt, es 0 a menos que el argumento n sea una potencia prima pk , en cuyo caso es el logaritmo natural del primo p :
pag(norte) - función de partición
p ( n ) , la función de partición, es el número de formas de representarncomo una suma de números enteros positivos, donde dos representaciones con los mismos sumandos en diferente orden no se cuentan como diferentes:
λ(norte) – Función Carmichael
λ ( n ) , la función de Carmichael, es el número positivo más pequeño tal que para todosseacoprimo den. De manera equivalente, es elmínimo común múltiplode los órdenes de los elementos delgrupo multiplicativo de números enteros módulo n .
Para potencias de números primos impares y para 2 y 4, λ ( n ) es igual a la función totiente de Euler de n ; para potencias de 2 mayores que 4 es igual a la mitad de la función totiente de Euler de n : y para n
general es el mínimo común múltiplo de λ de cada uno de los factores de potencia primos de n :
h(norte) - Numero de clase
h ( n ) , la función de número de clase, es el orden delgrupo de clases idealde una extensión algebraica de los racionales condiscriminante n. La notación es ambigua, ya que en general existen muchas extensiones con el mismo discriminante. Consultecampo cuadráticoycampo ciclotómicopara ver ejemplos clásicos.
rk(norte) - La suma dekcuadrícula
r k ( n ) es el número de formas en quenpuede representarse como la suma dekcuadrados, donde las representaciones que difieren sólo en el orden de los sumandos o en los signos de las raíces cuadradas se cuentan como diferentes.
D(norte) – Derivada aritmética
Usando la notación de Heaviside para la derivada, la derivada aritmética D ( n ) es una función tal que
- si n primo, y
- (la regla del producto )
Funciones de suma
Dada una función aritmética a ( n ), su función de suma A ( x ) definida por A puede considerarse como una función de una variable real. Dado un entero positivo m , A es constante a lo largo de intervalos abiertos m < x < m + 1, y tiene una discontinuidad de salto en cada entero para el cual a ( m ) ≠ 0.
Dado que estas funciones suelen representarse mediante series e integrales, para lograr la convergencia puntual es habitual definir el valor en las discontinuidades como el promedio de los valores a la izquierda y a la derecha:
Los valores individuales de funciones aritméticas pueden fluctuar enormemente, como en la mayoría de los ejemplos anteriores. Las funciones de suma "suavizan" estas fluctuaciones. En algunos casos, es posible encontrar un comportamiento asintótico para la función de suma para x grande .
Un ejemplo clásico de este fenómeno [9] viene dado por la función sumatoria del divisor , la función sumatoria de d ( n ), el número de divisores de n :
Un orden promedio de una función aritmética es alguna función más simple o mejor comprendida que tiene la misma función de suma asintóticamente y, por tanto, toma los mismos valores "en promedio". Decimos que g es un orden promedio de f si
cuando x tiende a infinito. El ejemplo anterior muestra que d ( n ) tiene el registro de orden promedio ( n ). [10]
convolución de Dirichlet
Dada una función aritmética a ( n ), sea F a ( s ), para s complejo , la función definida por la serie de Dirichlet correspondiente (donde converge ): [11] F a ( s ) se llama función generadora de a ( n ). La serie más simple, correspondiente a la función constante a ( n ) = 1 para todo n , es ζ ( s ), la función zeta de Riemann .
La función generadora de la función de Möbius es la inversa de la función zeta:
Considere dos funciones aritméticas a y b y sus respectivas funciones generadoras F a ( s ) y F b ( s ). El producto F a ( s ) F b ( s ) se puede calcular de la siguiente manera:
Es un ejercicio sencillo demostrar que si c ( n ) está definido por
entonces
Esta función c se llama convolución de Dirichlet de a y b , y se denota por .
Un caso particularmente importante es la convolución con la función constante a ( n ) = 1 para todo n , correspondiente a multiplicar la función generadora por la función zeta:
Multiplicando por la inversa de la función zeta se obtiene la fórmula de inversión de Möbius :
Si f es multiplicativa, entonces g también lo es . Si f es completamente multiplicativa, entonces g es multiplicativa, pero puede ser completamente multiplicativa o no.
Relaciones entre las funciones
Hay muchísimas fórmulas que conectan funciones aritméticas entre sí y con funciones de análisis, especialmente potencias, raíces y funciones exponenciales y logarítmicas. La página de identidades de suma divisoria contiene muchos ejemplos más generalizados y relacionados de identidades que involucran funciones aritméticas.
Aquí están algunos ejemplos:
convoluciones de Dirichlet
- donde λ es la función de Liouville. [12]
- [13]
- inversión de moebius
- [14]
- inversión de moebius
- [15]
- [16] [17]
- [18]
- inversión de moebius
-
- inversión de moebius
-
- inversión de moebius
-
- donde λ es la función de Liouville .
- [19]
- inversión de moebius
sumas de cuadrados
Para todos ( teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange ).
- [20]
donde el símbolo de Kronecker tiene los valores
Hay una fórmula para r 3 en la sección sobre números de clase a continuación.
donde ν = ν 2 ( norte ) . [21] [22] [23]
donde [24]
Defina la función σ k * ( n ) como [25]
Es decir, si n es impar, σ k * ( n ) es la suma de las k ésimas potencias de los divisores de n , es decir, σ k ( n ), y si n es par es la suma de las k ésimas. potencias de los divisores pares de n menos la suma de las k -ésimas potencias de los divisores impares de n .
- [24] [26]
Adopte la convención de que τ ( x ) = 0 de Ramanujan si x no es un número entero.
- [27]
Convoluciones de suma divisoria
Aquí "convolución" no significa "convolución de Dirichlet", sino que se refiere a la fórmula para los coeficientes del producto de dos series de potencias :
La secuencia se llama convolución o producto de Cauchy de las secuencias a n y b n . Estas fórmulas pueden demostrarse analíticamente (ver serie de Eisenstein ) o mediante métodos elementales. [28]
- [29]
- [30]
- [30] [31]
- [29] [32]
- donde τ ( n ) es la función de Ramanujan. [33] [34]
Dado que σ k ( n ) (para el número natural k ) y τ ( n ) son números enteros, las fórmulas anteriores se pueden utilizar para probar congruencias [35] para las funciones. Consulte la función tau de Ramanujan para ver algunos ejemplos.
Extienda el dominio de la función de partición estableciendo p (0) = 1.
- [36] Esta recurrencia se puede utilizar para calcular p ( n ).
Número de clase relacionado
Peter Gustav Lejeune Dirichlet descubrió fórmulas que relacionan el número de clase h de campos numéricos cuadráticos con el símbolo de Jacobi. [37]
Un número entero D se llama discriminante fundamental si es el discriminante de un campo numérico cuadrático. Esto es equivalente a D ≠ 1 y a) D no tiene cuadrados y D ≡ 1 (mod 4) o b) D ≡ 0 (mod 4), D /4 no tiene cuadrados y D /4 ≡ 2 o 3 (mod 4 ). [38]
Amplíe el símbolo de Jacobi para aceptar números pares en el "denominador" definiendo el símbolo de Kronecker :
Entonces, si D < −4 es un discriminante fundamental [39] [40]
También hay una fórmula que relaciona r 3 y h . Nuevamente, sea D un discriminante fundamental, D < −4. Entonces [41]
Relacionado con el recuento principal
Sea el enésimo número armónico . Entonces
- es verdadera para todo número natural n si y sólo si la hipótesis de Riemann es verdadera. [42]
La hipótesis de Riemann también es equivalente a la afirmación de que, para todo n > 5040, (donde γ es la constante de Euler-Mascheroni ). Este es el teorema de Robin .
- [43]
- [44]
- [45]
- [46]
La identidad de Menon.
En 1965, P Kesava Menon demostró [47]
Esto ha sido generalizado por varios matemáticos. Por ejemplo,
- B. Sury [48]
- N. Rao [49] donde a 1 , a 2 , ..., a s son números enteros, mcd( a 1 , a 2 , ..., a s , n ) = 1.
- László Fejes Tóth [50] donde m 1 y m 2 son impares, m = mcm( m 1 , m 2 ).
De hecho, si f es cualquier función aritmética [51] [52]
, donde representa la convolución de Dirichlet.
Misceláneas
Sean m y n distintos, impares y positivos. Entonces el símbolo de Jacobi satisface la ley de reciprocidad cuadrática :
Sea D ( n ) la derivada aritmética. Luego, la derivada logarítmica. Consulte Derivada aritmética para obtener más detalles.
Sea λ ( n ) la función de Liouville. Entonces
- y
-
Sea λ ( n ) la función de Carmichael. Entonces
- Más,
Consulte Grupo multiplicativo de números enteros módulo n y raíz primitiva módulo n .
- [53] [54]
- [55]
- [56] Tenga en cuenta que [57]
- [58] Compare esto con 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 = (1 + 2 + 3 + ... + n ) 2
- [59]
- [60]
- donde τ ( n ) es la función de Ramanujan. [61]
Primeros 100 valores de algunas funciones aritméticas.
Notas
- ^ Largo (1972, pág.151)
- ^ Pettofrezzo y Byrkit (1970, pág.58)
- ^ Niven y Zuckerman, 4.2.
- ^ Nagell, I.9.
- ^ Bateman y Diamante, 2.1.
- ^ Hardy y Wright, introducción. al cap. XVI
- ^ Hardy, Ramanujan , § 10.2
- ^ Apostol, Funciones modulares... , § 1.15, cap. 4, y cap. 6
- ^ Hardy y Wright, §§ 18.1–18.2
- ^ Gérald Tenenbaum (1995). Introducción a la teoría de números analítica y probabilística . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. vol. 46. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 36–55. ISBN 0-521-41261-7.
- ^ Hardy y Wright, § 17.6, muestran cómo la teoría de las funciones generadoras se puede construir de una manera puramente formal sin prestar atención a la convergencia.
- ^ Hardy y Wright, Thm. 263
- ^ Hardy y Wright, Thm. 63
- ^ ver referencias en la función de atención al paciente de Jordan
- ^ Holden y col. en enlaces externos La fórmula es la de Gegenbauer
- ^ Hardy y Wright, Thm. 288–290
- ^ Dineva en enlaces externos, prop. 4
- ^ Hardy y Wright, Thm. 264
- ^ Hardy y Wright, Thm. 296
- ^ Hardy y Wright, Thm. 278
- ^ Hardy y Wright, Thm. 386
- ^ Hardy, Ramanujan , ecuaciones 9.1.2, 9.1.3
- ^ Koblitz, ej. III.5.2
- ^ ab Hardy y Wright, § 20.13
- ^ Hardy, Ramanujan , § 9.7
- ^ Hardy, Ramanujan , § 9.13
- ^ Hardy, Ramanujan , § 9.17
- ^ Williams, cap. 13; Huard, et al. (enlaces externos).
- ^ ab Ramanujan, Sobre ciertas funciones aritméticas , Tabla IV; Artículos , pág. 146
- ^ ab Koblitz, ej. III.2.8
- ^ Koblitz, ej. III.2.3
- ^ Koblitz, ej. III.2.2
- ^ Koblitz, ej. III.2.4
- ^ Apostol, Funciones Modulares... , Ej. 6.10
- ^ Apostol, Funciones modulares... , cap. 6 Ej. 10
- ^ GH Hardy, S. Ramannujan, Fórmulas asintóticas en análisis combinatorio , § 1.3; en Ramannujan, artículos p. 279
- ^ Landau, pág. 168, acredita a Gauss y a Dirichlet
- ^ Cohen, definidor. 5.1.2
- ^ Cohen, Corr. 5.3.13
- ^ consulte Edwards, § 9.5 ejercicios para fórmulas más complicadas.
- ^ Cohen, Proposición 5.3.10
- ^ Ver función divisor .
- ^ Hardy y Wright, ecuación. 22.1.2
- ^ Ver funciones de conteo de primos .
- ^ Hardy y Wright, ecuación. 22.1.1
- ^ Hardy y Wright, ecuación. 22.1.3
- ^ László Tóth, Identidad de Menon y sumas aritméticas... , eq. 1
- ^ Tóth, ecuación. 5
- ^ Tóth, ecuación. 3
- ^ Tóth, ecuación. 35
- ^ Tóth, ecuación. 2
- ↑ Tóth afirma que Menon demostró esto para la f multiplicativa en 1965 y V. Sita Ramaiah para la f general .
- ^ Hardy Ramanujan , ecuación. 3.10.3
- ^ Hardy y Wright, § 22.13
- ^ Hardy y Wright, Thm. 329
- ^ Hardy y Wright, Thms. 271, 272
- ^ Hardy y Wright, ecuación. 16.3.1
- ^ Ramanujan, Algunas fórmulas en la teoría analítica de números , eq. (C); Artículos pág. 133. Una nota a pie de página dice que Hardy le dijo a Ramanujan que también aparece en un artículo de 1857 de Liouville.
- ^ Ramanujan, Algunas fórmulas en la teoría analítica de números , eq. (F); Artículos pág. 134
- ^ Apostol, Funciones modulares... , cap. 6 eq. 4
- ^ Apostol, Funciones modulares... , cap. 6 eq. 3
Referencias
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- Nagell, Trygve (1964), Introducción a la teoría de números (segunda edición) , Chelsea, ISBN 978-0-8218-2833-5
- Niven, Iván M .; Zuckerman, Herbert S. (1972), Introducción a la teoría de números (tercera edición) , John Wiley & Sons , ISBN 0-471-64154-5
- Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elementos de la teoría de números , Englewood Cliffs: Prentice Hall , LCCN 77-81766
- Ramanujan, Srinivasa (2000), Artículos recopilados , Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6
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Otras lecturas
- Schwarz, Wolfgang; Spilker, Jürgen (1994), Funciones aritméticas. Una introducción a las propiedades elementales y analíticas de las funciones aritméticas y a algunas de sus propiedades casi periódicas , Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, vol. 184, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 0-521-42725-8, Zbl 0807.11001
enlaces externos
- "Función aritmética", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble Otra generalización más de la función tótiente de Euler
- Huard, Ou, Spearman y Williams. Evaluación elemental de ciertas sumas de convolución que involucran funciones divisorias
- Dineva, Rosica, Euler Totient, Möbius y las funciones divisoras Archivado el 16 de enero de 2021 en Wayback Machine.
- László Tóth, Identidad de Menon y sumas aritméticas que representan funciones de varias variables