Seguridad asintótica en la gravedad cuántica

Intento de encontrar una teoría consistente de la gravedad cuántica

La seguridad asintótica (a veces también denominada renormalizabilidad no perturbativa ) es un concepto de la teoría cuántica de campos que tiene como objetivo encontrar una teoría cuántica consistente y predictiva del campo gravitatorio . Su ingrediente clave es un punto fijo no trivial del flujo del grupo de renormalización de la teoría que controla el comportamiento de las constantes de acoplamiento en el régimen ultravioleta (UV) y hace que las cantidades físicas estén a salvo de las divergencias. Aunque originalmente fue propuesta por Steven Weinberg para encontrar una teoría de la gravedad cuántica , la idea de un punto fijo no trivial que proporcione una posible completitud UV se puede aplicar también a otras teorías de campos, en particular a las perturbativamente no renormalizables . En este sentido, es similar a la trivialidad cuántica .

La esencia de la seguridad asintótica es la observación de que los puntos fijos del grupo de renormalización no trivial se pueden utilizar para generalizar el procedimiento de renormalización perturbativa . En una teoría asintóticamente segura, los acoplamientos no necesitan ser pequeños o tender a cero en el límite de alta energía, sino que tienden a valores finitos: se aproximan a un punto fijo UV no trivial . El funcionamiento de las constantes de acoplamiento, es decir, su dependencia de escala descrita por el grupo de renormalización (RG), es así especial en su límite UV en el sentido de que todas sus combinaciones adimensionales permanecen finitas. Esto basta para evitar divergencias no físicas, por ejemplo, en amplitudes de dispersión . El requisito de un punto fijo UV restringe la forma de la acción desnuda y los valores de las constantes de acoplamiento desnudas, que se convierten en predicciones del programa de seguridad asintótica en lugar de entradas.

En cuanto a la gravedad, el procedimiento estándar de renormalización perturbativa falla ya que la constante de Newton , el parámetro de expansión relevante, tiene una dimensión de masa negativa, lo que hace que la relatividad general no sea renormalizable perturbativamente. Esto ha impulsado la búsqueda de marcos no perturbativos que describan la gravedad cuántica, incluida la seguridad asintótica que, a diferencia de otros enfoques, se caracteriza por su uso de métodos de teoría cuántica de campos, sin depender, sin embargo, de técnicas perturbativas. En la actualidad, existe evidencia acumulada de un punto fijo adecuado para la seguridad asintótica, mientras que aún falta una prueba rigurosa de su existencia.

Motivación

La gravedad, en el nivel clásico, se describe mediante las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein , . Estas ecuaciones combinan la geometría del espacio-tiempo codificada en la métrica con el contenido de materia comprendido en el tensor de energía-momento . La naturaleza cuántica de la materia se ha probado experimentalmente, por ejemplo, la electrodinámica cuántica es ahora una de las teorías confirmadas con mayor precisión en física. Por esta razón, la cuantización de la gravedad también parece plausible. Desafortunadamente, la cuantización no se puede realizar de la manera estándar (renormalización perturbativa): ya una simple consideración de conteo de potencias señala la no renormalizabilidad perturbativa ya que la dimensión de masa de la constante de Newton es . El problema ocurre de la siguiente manera. Según el punto de vista tradicional, la renormalización se implementa mediante la introducción de contratérminos que deberían cancelar las expresiones divergentes que aparecen en las integrales de bucle . Sin embargo, al aplicar este método a la gravedad, los contratérminos necesarios para eliminar todas las divergencias proliferan hasta un número infinito. Como esto conduce inevitablemente a un número infinito de parámetros libres para medir en los experimentos, es poco probable que el programa tenga poder predictivo más allá de su uso como teoría de baja efectividad energética . ${\displaystyle \textstyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}\,T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle -2}$

Resulta que las primeras divergencias en la cuantificación de la relatividad general que no pueden ser absorbidas en contratérminos consistentemente (es decir, sin la necesidad de introducir nuevos parámetros) aparecen ya en el nivel de un bucle en presencia de campos de materia. ^[1] En el nivel de dos bucles las divergencias problemáticas surgen incluso en gravedad pura. ^[2] Para superar esta dificultad conceptual fue necesario el desarrollo de técnicas no perturbativas, proporcionando varias teorías candidatas de gravedad cuántica . Durante mucho tiempo la opinión predominante ha sido que el concepto mismo de teoría cuántica de campos –aunque notablemente exitosa en el caso de las otras interacciones fundamentales– está condenado al fracaso para la gravedad. Por el contrario, la idea de seguridad asintótica conserva los campos cuánticos como el ámbito teórico y en su lugar abandona solo el programa tradicional de renormalización perturbativa.

Historia

Después de haber comprendido la no renormalizabilidad perturbativa de la gravedad, los físicos intentaron emplear técnicas alternativas para solucionar el problema de la divergencia, por ejemplo, la resumación o teorías extendidas con campos de materia y simetrías adecuados, todas las cuales tienen sus propios inconvenientes. En 1976, Steven Weinberg propuso una versión generalizada de la condición de renormalizabilidad, basada en un punto fijo no trivial del flujo del grupo de renormalización (RG) subyacente para la gravedad. ^[3] Esto se denominó seguridad asintótica. ^{[4] [5]} La idea de una completitud UV por medio de un punto fijo no trivial de los grupos de renormalización había sido propuesta anteriormente por Kenneth G. Wilson y Giorgio Parisi en la teoría de campos escalares ^{[6] [7]} (véase también Trivialidad cuántica ). La aplicabilidad a teorías perturbativamente no renormalizables se demostró por primera vez explícitamente para el modelo sigma no lineal ^[8] y para una variante del modelo de Gross-Neveu . ^[9]

En cuanto a la gravedad, los primeros estudios sobre este nuevo concepto se realizaron en dimensiones espacio-temporales a finales de los años setenta. En exactamente dos dimensiones existe una teoría de la gravedad pura que es renormalizable según el antiguo punto de vista. (Para que la acción de Einstein-Hilbert sea adimensional, la constante de Newton debe tener dimensión de masa cero). Para perturbaciones pequeñas pero finitas, la teoría sigue siendo aplicable, y se puede expandir la función beta ( -función) que describe el funcionamiento del grupo de renormalización de la constante de Newton como una serie de potencias en . De hecho, en este espíritu fue posible demostrar que muestra un punto fijo no trivial. ^[4] ${\displaystyle d=2+\epsilon }$ ${\displaystyle \textstyle {1 \over 16\pi G}\int \mathrm {d} ^{2}x{\sqrt {g}}\,R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Sin embargo, no estaba claro cómo hacer una continuación de a dimensiones ya que los cálculos dependían de la pequeñez del parámetro de expansión . Los métodos computacionales para un tratamiento no perturbativo no estaban disponibles en ese momento. Por esta razón, la idea de seguridad asintótica en la gravedad cuántica se dejó de lado durante algunos años. Solo a principios de los años 90, los aspectos de la gravedad dimensional se revisaron en varios trabajos, pero todavía no se continuó la dimensión a cuatro. ${\displaystyle d=2+\epsilon }$ ${\displaystyle d=4}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle 2+\epsilon }$

En cuanto a los cálculos más allá de la teoría de perturbaciones, la situación mejoró con la llegada de nuevos métodos de grupos de renormalización funcional , en particular la llamada acción promedio efectiva (una versión dependiente de la escala de la acción efectiva ). Introducida en 1993 por Christof Wetterich y Tim R Morris para teorías escalares, ^{[10] [11]} y por Martin Reuter y Christof Wetterich para teorías de calibre generales (en el espacio euclidiano plano), ^[12] es similar a una acción wilsoniana ( energía libre de grano grueso ) ^[6] y aunque se argumenta que difiere a un nivel más profundo, ^[13] de hecho está relacionada por una transformada de Legendre. ^[11] La dependencia de la escala de corte de este funcional está gobernada por una ecuación de flujo funcional que, a diferencia de intentos anteriores, también se puede aplicar fácilmente en presencia de simetrías de calibre locales.

En 1996, Martin Reuter construyó una acción promedio efectiva similar y la ecuación de flujo asociada para el campo gravitacional. ^[14] Cumple con el requisito de independencia de fondo , uno de los principios fundamentales de la gravedad cuántica. Este trabajo puede considerarse un avance esencial en los estudios relacionados con la seguridad asintótica sobre la gravedad cuántica, ya que proporciona la posibilidad de cálculos no perturbativos para dimensiones arbitrarias del espacio-tiempo. Se demostró que al menos para el truncamiento de Einstein-Hilbert, el ansatz más simple para la acción promedio efectiva, de hecho está presente un punto fijo no trivial.

Estos resultados marcan el punto de partida para muchos cálculos posteriores. Dado que no estaba claro en qué medida los hallazgos dependían del ansatz de truncamiento considerado, el siguiente paso obvio consistió en ampliar el truncamiento. Este proceso fue iniciado por Roberto Percacci y colaboradores, comenzando con la inclusión de campos de materia. ^[15] Hasta el presente, muchos trabajos diferentes de una comunidad en continuo crecimiento, incluidos, por ejemplo, truncamientos al cuadrado del tensor de Weyl y de Weyl , han confirmado de forma independiente que el escenario de seguridad asintótica es realmente posible: se demostró la existencia de un punto fijo no trivial dentro de cada truncamiento estudiado hasta ahora. ^[16] Aunque todavía falta una prueba final, hay evidencia creciente de que el programa de seguridad asintótica puede conducir en última instancia a una teoría cuántica de la gravedad consistente y predictiva dentro del marco general de la teoría cuántica de campos . ${\displaystyle f(R)}$

Ideas principales

Espacio teórico

Las trayectorias del flujo del grupo de renormalización en el espacio teórico, parametrizadas por infinitas constantes de acoplamiento, se encuentran por convención en el campo vectorial (y en la trayectoria verde) que apuntan desde la escala UV hasta la IR. El conjunto de acciones que se encuentran dentro del espacio teórico y que son atraídas hacia el punto fijo bajo el flujo RG inverso (es decir, que van en la dirección opuesta a las flechas) se denomina superficie crítica UV. La hipótesis de seguridad asintótica es que una trayectoria solo se puede realizar en la naturaleza si está contenida en la superficie crítica UV, ya que solo entonces tiene un límite de alta energía que se comporta bien (trayectorias naranja, azul y magenta, a modo de ejemplo). Las trayectorias fuera de esta superficie escapan al espacio teórico, ya que desarrollan divergencias inaceptables en el UV, mientras que al pasar a escalas inferiores se aproximan a la superficie crítica UV. Esta situación está representada por la trayectoria verde que se encuentra por encima de la superficie y se aleja de ella a medida que aumenta la escala RG (opuesta a la flecha verde). ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$

El programa de seguridad asintótica adopta un punto de vista wilsoniano moderno sobre la teoría cuántica de campos. Aquí, los datos de entrada básicos que se deben fijar al principio son, en primer lugar, los tipos de campos cuánticos que llevan los grados de libertad de la teoría y, en segundo lugar, las simetrías subyacentes . Para cualquier teoría considerada, estos datos determinan la etapa en la que tiene lugar la dinámica del grupo de renormalización, el llamado espacio de teoría. Consiste en todos los funcionales de acción posibles que dependen de los campos seleccionados y que respetan los principios de simetría prescritos. Cada punto en este espacio de teoría representa, por tanto, una acción posible. A menudo, se puede pensar que el espacio está abarcado por todos los monomios de campo adecuados. En este sentido, cualquier acción en el espacio de teoría es una combinación lineal de monomios de campo, donde los coeficientes correspondientes son las constantes de acoplamiento , . (Aquí se supone que todos los acoplamientos son adimensionales. Los acoplamientos siempre se pueden hacer adimensionales mediante la multiplicación por una potencia adecuada de la escala RG). ${\displaystyle \{g_{\alpha }\}}$

Flujo del grupo de renormalización

El grupo de renormalización (RG) describe el cambio de un sistema físico debido al suavizado o promediado de detalles microscópicos al pasar a una resolución más baja. Esto pone en juego una noción de dependencia de escala para los funcionales de acción de interés. Las transformaciones infinitesimales de RG asignan acciones a las cercanas, dando lugar así a un campo vectorial en el espacio teórico. La dependencia de escala de una acción está codificada en un "desplazamiento" de las constantes de acoplamiento que parametrizan esta acción, , con la escala de RG . Esto da lugar a una trayectoria en el espacio teórico (trayectoria de RG), que describe la evolución de un funcional de acción con respecto a la escala. Cuál de todas las trayectorias posibles se realiza en la naturaleza tiene que determinarse mediante mediciones. ${\displaystyle \{g_{\alpha }\}\equiv \{g_{\alpha }(k)\}}$ ${\displaystyle k}$

Tomando el límite UV

La construcción de una teoría cuántica de campos equivale a encontrar una trayectoria RG que se extienda infinitamente en el sentido de que la función de acción descrita por se comporte bien para todos los valores del parámetro de escala de momento , incluidos el límite infrarrojo y el límite ultravioleta (UV) . La seguridad asintótica es una forma de lidiar con este último límite. Su requisito fundamental es la existencia de un punto fijo del flujo RG. Por definición, este es un punto en el espacio de la teoría donde se detiene el funcionamiento de todos los acoplamientos o, en otras palabras, un cero de todas las funciones beta : para todos . Además, ese punto fijo debe tener al menos una dirección atractiva para UV. Esto garantiza que haya una o más trayectorias RG que se encuentren en el punto fijo para una escala creciente. El conjunto de todos los puntos en el espacio de la teoría que son "atraídos" hacia el punto fijo UV al pasar a escalas mayores se conoce como superficie crítica UV . Por lo tanto, la superficie crítica UV consiste en todas aquellas trayectorias que están a salvo de las divergencias UV en el sentido de que todos los acoplamientos se acercan a valores de punto fijo finitos como . La hipótesis clave que sustenta la seguridad asintótica es que sólo las trayectorias que discurren completamente dentro de la superficie crítica UV de un punto fijo apropiado pueden extenderse infinitamente y, por lo tanto, definir una teoría cuántica de campos fundamental. Es obvio que dichas trayectorias se comportan bien en el límite UV, ya que la existencia de un punto fijo les permite "permanecer en un punto" durante un "tiempo" RG infinitamente largo. ${\displaystyle \{g_{\alpha }(k)\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\rightarrow 0}$ ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \{g_{\alpha }^{*}\}}$ ${\displaystyle \beta _{\gamma }(\{g_{\alpha }^{*}\})=0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$

En relación con el punto fijo, las direcciones atractivas a los rayos UV se denominan relevantes y las repulsivas a los rayos UV irrelevantes, ya que los campos de escala correspondientes aumentan y disminuyen, respectivamente, cuando se reduce la escala. Por lo tanto, la dimensionalidad de la superficie crítica de los rayos UV es igual al número de acoplamientos relevantes. Por lo tanto, una teoría asintóticamente segura es tanto más predictiva cuanto menor sea la dimensionalidad de la superficie crítica de los rayos UV correspondiente.

Por ejemplo, si la superficie crítica de UV tiene una dimensión finita, basta con realizar sólo mediciones para identificar de forma única la trayectoria de RG de la naturaleza. Una vez que se miden los acoplamientos pertinentes, el requisito de seguridad asintótica fija todos los demás acoplamientos, ya que estos últimos deben ajustarse de tal manera que la trayectoria de RG se encuentre dentro de la superficie crítica de UV. En este sentido, la teoría es altamente predictiva, ya que una cantidad infinita de parámetros se fijan mediante un número finito de mediciones. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

A diferencia de otros enfoques, en este caso no se necesita como entrada una acción desnuda que deba ser promovida a una teoría cuántica. Son el espacio teórico y las ecuaciones de flujo RG las que determinan los posibles puntos fijos UV. Dado que dicho punto fijo, a su vez, corresponde a una acción desnuda, se puede considerar la acción desnuda como una predicción en el programa de seguridad asintótica. Esto puede considerarse como una estrategia de búsqueda sistemática entre teorías que ya son "cuánticas" que identifica las "islas" de teorías físicamente aceptables en el "mar" de teorías inaceptables plagado de singularidades de corta distancia.

Puntos fijos gaussianos y no gaussianos

Un punto fijo se denomina gaussiano si corresponde a una teoría libre. Sus exponentes críticos concuerdan con las dimensiones de masa canónicas de los operadores correspondientes, lo que generalmente equivale a los valores triviales de punto fijo para todos los acoplamientos esenciales . Por lo tanto, la teoría de perturbación estándar solo es aplicable en la vecindad de un punto fijo gaussiano. En este sentido, la seguridad asintótica en el punto fijo gaussiano es equivalente a la renormalización perturbativa más la libertad asintótica . Sin embargo, debido a los argumentos presentados en las secciones introductorias, esta posibilidad se descarta para la gravedad. ${\displaystyle g_{\alpha }^{*}=0}$ ${\displaystyle g_{\alpha }}$

Por el contrario, un punto fijo no trivial, es decir, un punto fijo cuyos exponentes críticos difieren de los canónicos, se denomina no gaussiano . Por lo general, esto requiere al menos un punto fijo esencial . Es un punto fijo no gaussiano de este tipo el que proporciona un escenario posible para la gravedad cuántica. Hasta ahora, los estudios sobre este tema se centraron principalmente en establecer su existencia. ${\displaystyle g_{\alpha }^{*}\neq 0}$ ${\displaystyle g_{\alpha }}$

Gravedad cuántica de Einstein (QEG)

La gravedad cuántica de Einstein (QEG) es el nombre genérico de cualquier teoría cuántica de campos de la gravedad que (independientemente de su acción desnuda ) toma la métrica del espacio-tiempo como variable de campo dinámico y cuya simetría está dada por la invariancia del difeomorfismo . Esto fija el espacio de la teoría y un flujo RG de la acción media efectiva definida sobre él, pero no singulariza a priori ningún funcional de acción específico. Sin embargo, la ecuación de flujo determina un campo vectorial en ese espacio de la teoría que puede investigarse. Si muestra un punto fijo no gaussiano por medio del cual se puede tomar el límite UV de la manera "asintóticamente segura", este punto adquiere el estado de la acción desnuda.

Gravedad cuadrática cuántica (QQG)

Una realización específica de la QEG es la gravedad cuadrática cuántica (QQG). Se trata de una extensión cuántica de la relatividad general que se obtiene añadiendo todos los términos cuadráticos locales en curvatura al lagrangiano de Einstein-Hilbert. ^{[17] [18]} Además de ser renormalizable, también se ha demostrado que la QQG presenta un punto fijo UV ^[19] (incluso en presencia de sectores de materia realistas). ^[20] Por lo tanto, puede considerarse como una realización concreta de la seguridad asintótica.

Implementación a través de la acción promedio efectiva

Ecuación exacta del grupo de renormalización funcional

La herramienta principal para investigar el flujo gravitacional de RG con respecto a la escala de energía en el nivel no perturbativo es la acción promedio efectiva para la gravedad. ^[14] Es la versión dependiente de la escala de la acción efectiva donde en el campo funcional integral subyacente se suprimen los modos con momentos covariantes a continuación , mientras que solo se integran los restantes. Para un espacio teórico dado, sea y denote el conjunto de campos dinámicos y de fondo, respectivamente. Entonces satisface la siguiente ecuación funcional de RG de tipo Wetterich-Morris (FRGE): ^{[10] [11]} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\bar {\Phi }}}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$

${\displaystyle k\partial _{k}\Gamma _{k}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}{\big ]}={\frac {1}{2}}\,{\mbox{STr}}{\Big [}{\big (}\Gamma _{k}^{(2)}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}{\big ]}+{\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]{\big )}^{-1}k\partial _{k}{\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]{\Big ]}.}$

Aquí está la segunda derivada funcional de con respecto a los campos cuánticos en fijo . El operador de supresión de modo proporciona un término de masa dependiente de para fluctuaciones con momentos covariantes y se desvanece para . Su aparición en el numerador y el denominador hace que la supertraza sea finita tanto en infrarrojo como en ultravioleta, con un pico en los momentos . La FRGE es una ecuación exacta sin ninguna aproximación perturbativa. Dada una condición inicial, determina para todas las escalas de forma única. ${\displaystyle \Gamma _{k}^{(2)}}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\bar {\Phi }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p^{2}\ll k^{2}}$ ${\displaystyle p^{2}\gg k^{2}}$ ${\displaystyle ({\mbox{STr}})}$ ${\displaystyle p^{2}\approx k^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$

Las soluciones de la FRGE interpolan entre la acción desnuda (microscópica) en y la acción efectiva en . Pueden visualizarse como trayectorias en el espacio teórico subyacente. Nótese que la FRGE en sí es independiente de la acción desnuda. En el caso de una teoría asintóticamente segura, la acción desnuda está determinada por la función de punto fijo . ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \Gamma [\Phi ]=\Gamma _{k=0}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}=\Phi {\big ]}}$ ${\displaystyle k\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \Gamma _{*}=\Gamma _{k\rightarrow \infty }}$

Truncamientos del espacio teórico

Supongamos que existe un conjunto de funcionales de base que abarcan el espacio teórico en consideración, de modo que cualquier funcional de acción, es decir, cualquier punto de este espacio teórico, puede escribirse como una combinación lineal de los . Entonces, las soluciones de la FRGE tienen expansiones de la forma ${\displaystyle \{P_{\alpha }[\,\cdot \,]\}}$ ${\displaystyle P_{\alpha }}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$

${\displaystyle \Gamma _{k}[\Phi ,{\bar {\Phi }}]=\sum \limits _{\alpha =1}^{\infty }g_{\alpha }(k)P_{\alpha }[\Phi ,{\bar {\Phi }}].}$

Insertando esta expansión en la FRGE y expandiendo la traza en su lado derecho para extraer las funciones beta , se obtiene la ecuación RG exacta en forma de componentes: . Junto con las condiciones iniciales correspondientes, estas ecuaciones fijan la evolución de los acoplamientos en funcionamiento , y por lo tanto determinan completamente. Como se puede ver, la FRGE da lugar a un sistema de infinitas ecuaciones diferenciales acopladas ya que hay infinitos acoplamientos, y las funciones pueden depender de todos ellos. Esto hace que sea muy difícil resolver el sistema en general. ${\displaystyle k\partial _{k}g_{\alpha }(k)=\beta _{\alpha }(g_{1},g_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle g_{\alpha }(k)}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle \beta }$

Una posible salida es restringir el análisis a un subespacio de dimensión finita como aproximación del espacio teórico completo. En otras palabras, tal truncamiento del espacio teórico establece todos los acoplamientos excepto un número finito en cero, considerando solo la base reducida con . Esto equivale al ansatz ${\displaystyle \{P_{\alpha }[\,\cdot \,]\}}$ ${\displaystyle \alpha =1,\cdots ,N}$

${\displaystyle \Gamma _{k}[\Phi ,{\bar {\Phi }}]=\sum \limits _{\alpha =1}^{N}g_{\alpha }(k)P_{\alpha }[\Phi ,{\bar {\Phi }}],}$

lo que conduce a un sistema de un número finito de ecuaciones diferenciales acopladas, que ahora pueden resolverse empleando técnicas analíticas o numéricas. ${\displaystyle k\partial _{k}g_{\alpha }(k)=\beta _{\alpha }(g_{1},\cdots ,g_{N})}$

Es evidente que se debe elegir un truncamiento que incorpore tantas características del flujo exacto como sea posible. Aunque se trata de una aproximación, el flujo truncado aún exhibe el carácter no perturbativo del FRGE, y las funciones pueden contener contribuciones de todas las potencias de los acoplamientos. ${\displaystyle \beta }$

Evidencia de ecuaciones de flujo truncadas

Diagrama de flujo QEG para el truncamiento de Einstein-Hilbert. Las flechas apuntan desde las escalas UV a IR. El color de fondo oscuro indica una región de flujo rápido, en las regiones de fondo claro el flujo es lento o incluso nulo. El último caso incluye una vecindad del punto fijo gaussiano en el origen y el NGFP en el centro de las flechas en espiral, respectivamente. La trayectoria de cruce tangente a las flechas verdes conecta el punto fijo no gaussiano con el gaussiano y desempeña el papel de una separatriz .

Truncamiento de Einstein-Hilbert

Como se describió en la sección anterior, la FRGE se presta a una construcción sistemática de aproximaciones no perturbativas a las funciones beta gravitacionales al proyectar el flujo RG exacto sobre subespacios abarcados por un ansatz adecuado para . En su forma más simple, dicho ansatz está dado por la acción de Einstein-Hilbert donde la constante de Newton y la constante cosmológica dependen de la escala RG . Sea y denoten la métrica dinámica y la de fondo, respectivamente. Entonces se lee, para una dimensión arbitraria del espacio-tiempo , ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle G_{k}}$ ${\displaystyle \Lambda _{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle {\bar {g}}_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \Gamma _{k}[g,{\bar {g}},\xi ,{\bar {\xi }}]={\frac {1}{16\pi G_{k}}}\int {\text{d}}^{d}x\,{\sqrt {g}}\,{\big (}-R(g)+2\Lambda _{k}{\big )}+\Gamma _{k}^{\text{gf}}[g,{\bar {g}}]+\Gamma _{k}^{\text{gh}}[g,{\bar {g}},\xi ,{\bar {\xi }}].}$

Representación de fases para el truncamiento de Einstein-Hilbert. Se muestran las trayectorias de RG correspondientes al diagrama de flujo del lado izquierdo. (Obtenido por primera vez en la referencia ^[21] )

Aquí se muestra la curvatura escalar construida a partir de la métrica . Además, denota la acción de fijación del calibre y la acción fantasma con los campos fantasma y . ${\displaystyle R(g)}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}^{\text{gf}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}^{\text{gh}}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\bar {\xi }}}$

Las funciones - correspondientes, que describen la evolución de la constante de Newton adimensional y la constante cosmológica adimensional , se han derivado por primera vez en la referencia ^[14] para cualquier valor de la dimensionalidad del espacio-tiempo, incluidos los casos de dimensiones inferiores y superiores . En particular, en dimensiones dan lugar al diagrama de flujo RG que se muestra en el lado izquierdo. El resultado más importante es la existencia de un punto fijo no gaussiano adecuado para la seguridad asintótica. Es atractivo a los rayos UV tanto en la dirección - como en la dirección -. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle g_{k}=k^{d-2}G_{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}=k^{-2}\Lambda _{k}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle d=4}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \lambda }$

Este punto fijo está relacionado con el encontrado en dimensiones por métodos perturbativos en el sentido de que se recupera en el enfoque no perturbativo presentado aquí insertando en las funciones y expandiendo en potencias de . ^[14] Dado que se demostró que las funciones existen y se calcularon explícitamente para cualquier valor real, es decir, no necesariamente entero de , aquí no se involucra ninguna continuación analítica. El punto fijo en dimensiones también es un resultado directo de las ecuaciones de flujo no perturbativas y, a diferencia de los intentos anteriores, no se requiere ninguna extrapolación en . ${\displaystyle d=2+\epsilon }$ ${\displaystyle d=2+\epsilon }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=4}$ ${\displaystyle \epsilon }$

Truncamientos extendidos

Posteriormente, se confirmó la existencia del punto fijo encontrado dentro del truncamiento de Einstein - Hilbert en subespacios de complejidad sucesivamente creciente. El siguiente paso en este desarrollo fue la inclusión de un término en el ansatz de truncamiento. ^[22] Esto se amplió aún más al tener en cuenta polinomios de la curvatura escalar (los llamados truncamientos), ^[23] y el cuadrado del tensor de curvatura de Weyl . ^{[24] [25]} Además, se investigaron teorías f(R) en la Aproximación de Potencial Local encontrando puntos fijos no perturbativos en apoyo del escenario de Seguridad Asintótica, lo que conduce al llamado punto fijo Benedetti-Caravelli (BC). En dicha formulación BC, la ecuación diferencial para el escalar de Ricci R está sobrerrestringida, pero algunas de estas restricciones se pueden eliminar mediante la resolución de singularidades móviles. ^{[26] [27]} ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(R)}$

Además, se ha investigado el impacto de varios tipos de campos de materia. ^[15] También los cálculos basados ​​en una acción promedio efectiva invariante de reparametrización de campo parecen recuperar el punto fijo crucial. ^[28] En combinación, estos resultados constituyen una evidencia sólida de que la gravedad en cuatro dimensiones es una teoría cuántica de campos renormalizable no perturbativamente, de hecho con una superficie crítica UV de dimensionalidad reducida, coordinada por solo unos pocos acoplamientos relevantes. ^[16]

Estructura microscópica del espacio-tiempo

Los resultados de las investigaciones relacionadas con la seguridad asintótica indican que los espacios-tiempos efectivos de QEG tienen propiedades fractales en escalas microscópicas. Es posible determinar, por ejemplo, su dimensión espectral y argumentar que experimentan una reducción dimensional de 4 dimensiones a distancias macroscópicas a 2 dimensiones microscópicas. ^{[29] [30]} En este contexto, podría ser posible establecer la conexión con otros enfoques de la gravedad cuántica, por ejemplo, con las triangulaciones dinámicas causales , y comparar los resultados. ^[31]

Aplicaciones de la física

Las consecuencias fenomenológicas del escenario de seguridad asintótica se han investigado en muchas áreas de la física gravitacional. Como ejemplo, la seguridad asintótica en combinación con el Modelo Estándar permite una afirmación sobre la masa del bosón de Higgs y el valor de la constante de estructura fina . ^[32] Además, proporciona posibles explicaciones para fenómenos particulares en cosmología y astrofísica , relacionados con los agujeros negros o la inflación , por ejemplo. ^[32] Estos diferentes estudios aprovechan la posibilidad de que el requisito de seguridad asintótica pueda dar lugar a nuevas predicciones y conclusiones para los modelos considerados, a menudo sin depender de suposiciones adicionales, posiblemente no observadas.

Crítica

Algunos investigadores argumentaron que las implementaciones actuales del programa de seguridad asintótica para la gravedad tienen características no físicas, como el funcionamiento de la constante de Newton. ^[33] Otros argumentaron que el concepto mismo de seguridad asintótica es un nombre inapropiado, ya que sugiere una característica novedosa en comparación con el paradigma RG wilsoniano, mientras que no existe ninguna (al menos en el contexto de la teoría cuántica de campos, donde también se utiliza este término). ^[34]

Véase también

• Portal de física

• Libertad asintótica
• Triangulación dinámica causal
• Conjuntos causales
• Fenómenos críticos
• Gravedad cuántica euclidiana
• Cosmología fractal
• Grupo de renormalización funcional
• Gravedad cuántica de bucles
• Renormalización perturbativa
• Escala de Planck
• Aplicaciones físicas de la gravedad asintóticamente segura
• Cálculo Regge
• Gravedad cuántica
• Grupo de renormalización
• Punto fijo ultravioleta

Referencias

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11. Morris, Tim R. (1994-06-10). "El grupo de renormalización exacto y soluciones aproximadas". Revista Internacional de Física Moderna A . 09 (14): 2411–2449. arXiv : hep-ph/9308265 . Código Bibliográfico :1994IJMPA...9.2411M. doi :10.1142/S0217751X94000972. ISSN  0217-751X. S2CID  15749927.
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13. Véase, por ejemplo, el artículo de revisión de Berges, Tetradis y Wetterich (2002) en Lecturas adicionales.
14. Reuter, Martin (1998). "Ecuación de evolución no perturbativa para la gravedad cuántica". Phys. Rev . D. 57 (2): 971–985. arXiv : hep-th/9605030 . Código Bibliográfico :1998PhRvD..57..971R. doi :10.1103/PhysRevD.57.971. S2CID  119454616.
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16. Para revisiones sobre seguridad asintótica y QEG con listas completas de referencias, consulte Lectura adicional.
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19. Falls, Kevin; Ohta, Nobuyoshi; Percacci, Roberto (2020). "Hacia la determinación de la dimensión de la superficie crítica en gravedad asintóticamente segura". Physics Letters B . 810 (135773). arXiv : 2004.04126 . Código Bibliográfico :2020PhLB..81035773F. doi :10.1016/j.physletb.2020.135773.
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21. Reuter, Martin; Saueressig, Frank (2002). "Flujo del grupo de renormalización de la gravedad cuántica en el truncamiento de Einstein-Hilbert". Phys. Rev . D. 65 (6): 065016. arXiv : hep-th/0110054 . Código Bibliográfico :2002PhRvD..65f5016R. doi :10.1103/PhysRevD.65.065016. S2CID  17867494.
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27. Véase también Morris, Stulga, La aproximación funcional f(R), arXiv:2210.11356 (2022)
28. Donkin, Ivan; Pawlowski, Jan M. (2012). "El diagrama de fase de la gravedad cuántica a partir de flujos RG invariantes al difeomorfismo". arXiv : 1203.4207 [hep-th].
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31. Para una reseña, véase Lectura adicional: Reuter; Saueressig (2012)
32. Véase el artículo principal Aplicaciones físicas de la gravedad asintóticamente segura y referencias allí citadas.
33. Donoghue, John F. (11 de marzo de 2020). "Una crítica del programa de seguridad asintótica". Frontiers in Physics . 8 : 56. arXiv : 1911.02967 . Bibcode :2020FrP.....8...56D. doi : 10.3389/fphy.2020.00056 . ISSN  2296-424X. S2CID  207847938.
34. Asrat, Meseret (2018). "Comentarios sobre seguridad asintótica en teorías de calibración supersimétricas N=1 de cuatro dimensiones". arXiv : 1805.11543 . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )

Lectura adicional

• Niedermaier, Max; Reuter, Martin (2006). "El escenario de seguridad asintótica en la gravedad cuántica". Living Rev. Relativ . 9 (1): 5. Bibcode :2006LRR.....9....5N. doi : 10.12942/lrr-2006-5 . PMC  5256001 . PMID  28179875.
• Percacci, Roberto (2009). "Seguridad asintótica". En Oriti, D. (ed.). Enfoques de la gravedad cuántica: hacia una nueva comprensión del espacio, el tiempo y la materia . Cambridge University Press . arXiv : 0709.3851 . Bibcode :2007arXiv0709.3851P.
• Berges, Jürgen; Tetradis, Nikolaos; Wetterich, Christof (2002). "Flujo de renormalización no perturbativo en la teoría cuántica de campos y la física estadística". Physics Reports . 363 (4–6): 223–386. arXiv : hep-ph/0005122 . Código Bibliográfico :2002PhR...363..223B. doi :10.1016/S0370-1573(01)00098-9. S2CID  119033356.
• Reuter, Martin; Saueressig, Frank (2012). "Gravedad cuántica de Einstein". New J. Phys . 14 (5): 055022. arXiv : 1202.2274 . Código Bibliográfico :2012NJPh...14e5022R. doi :10.1088/1367-2630/14/5/055022. S2CID  119205964.
• Bonanno, Alfio; Saueressig, Frank (2017). "Cosmología asintóticamente segura: un informe de estado". Cuentas Rendus Physique . 18 (3–4): 254. arXiv : 1702.04137 . Código Bib : 2017CRPhy..18..254B. doi :10.1016/j.crhy.2017.02.002. S2CID  119045691.
• Litim, Daniel (2011). "Grupo de renormalización y la escala de Planck". Philosophical Transactions of the Royal Society A . 69 (1946): 2759–2778. arXiv : 1102.4624 . Bibcode :2011RSPTA.369.2759L. doi :10.1098/rsta.2011.0103. PMID  21646277. S2CID  8888965.
• Nagy, Sandor (2012). "Conferencias sobre renormalización y seguridad asintótica". Anales de Física . 350 : 310–346. arXiv : 1211.4151 . Código Bibliográfico :2014AnPhy.350..310N. doi :10.1016/j.aop.2014.07.027. S2CID  119183995.

Enlaces externos

• Preguntas frecuentes sobre seguridad asintótica: una colección de preguntas y respuestas sobre seguridad asintótica y una lista completa de referencias.
• Seguridad asintótica en la gravedad cuántica: un artículo de Scholarpedia sobre el mismo tema con algunos detalles más sobre la acción promedio efectiva gravitacional.
• La teoría cuántica de campos: ¿efectiva o fundamental? – Charla de Steven Weinberg en el CERN el 7 de julio de 2009.
• Seguridad asintótica: 30 años después – Todas las charlas del taller celebrado en el Perimeter Institute del 5 al 8 de noviembre de 2009.
• Cuatro rutas radicales hacia una teoría del todo – Un artículo de Amanda Gefter sobre la gravedad cuántica, publicado en 2008 en New Scientist (Física y Matemáticas).
• "Weinberg "Vivir con infinitos" - Conferencia Källén 2009". YouTube . Andrea Idini. 14 de enero de 2022.(Entre el minuto 1:11:28 y el 1:18:10 del vídeo, Weinberg ofrece una breve explicación de la seguridad asintótica. Véase también la respuesta de Weinberg a la pregunta de Cecilia Jarlskog al final de la conferencia. La conferencia de Källén de 2009 se grabó el 13 de febrero de 2009).