Integral de bucle

Clase de integrales que aparecen en la teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos y la mecánica estadística , las integrales de bucles son las integrales que aparecen al evaluar los diagramas de Feynman con uno o más bucles mediante la integración sobre los momentos internos. ^[1] Estas integrales se utilizan para determinar contratérminos, que a su vez permiten la evaluación de la función beta , que codifica la dependencia del acoplamiento para una interacción en una escala de energía . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$

Integral de un bucle

Fórmula genérica

Una integral genérica de un bucle, por ejemplo las que aparecen en la renormalización de un bucle de QED o QCD, se puede escribir como una combinación lineal de términos en la forma

${\displaystyle \int {\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {k_{\mu _{1}}\cdots k_{\mu _{n}}}{((k+q_{1})^{2}+m_{1}^{2})\cdots ((k+q_{b})^{2}+m_{b}^{2})}}}$

donde son 4-momentos que son combinaciones lineales de los momentos externos, y son masas de partículas en interacción. Esta expresión utiliza la signatura euclidiana. En la signatura lorentziana, el denominador sería en cambio un producto de expresiones de la forma . ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle (k+q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }$

Usando la parametrización de Feynman , esto se puede reescribir como una combinación lineal de integrales de la forma

${\displaystyle \int {\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {l_{\mu _{1}}\cdots l_{\mu _{n}}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}},}$

donde los 4-vectores y son funciones de y de los parámetros de Feynman. Esta integral también está integrada sobre el dominio de los parámetros de Feynman. La integral es un tensor isotrópico y, por lo tanto, se puede escribir como un tensor isotrópico sin dependencia (pero posiblemente dependiente de la dimensión ), multiplicado por la integral ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle q_{i},m_{i}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \int {\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}}.}$

Nótese que si fuera impar, entonces la integral se desvanece, por lo que podemos definir . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2a}$

Regularizando la integral

Regularización de corte

En la renormalización wilsoniana , la integral se hace finita al especificar una escala de corte . La integral a evaluar es entonces ${\displaystyle \Lambda >0}$

${\displaystyle \int ^{\Lambda }{\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}},}$

donde es la abreviatura de integración sobre el dominio . La expresión es finita, pero en general, como , la expresión diverge. ${\displaystyle \int ^{\Lambda }}$ ${\displaystyle \{l\in \mathbb {R} ^{d}:|l|<\Lambda \}}$ ${\displaystyle \Lambda \rightarrow \infty }$

Regularización dimensional

La integral sin un corte de momento puede evaluarse como

${\displaystyle I_{d}(b,a,\Delta ):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}}={\frac {1}{(4\pi )^{d/2}}}{\frac {1}{\Gamma (d/2)}}B\left(b-a-{\frac {d}{2}},a+{\frac {d}{2}}\right)\Delta ^{-(b-a-d/2)},}$

donde es la función Beta . Para los cálculos en la renormalización de QED o QCD, toma valores y . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0,1}$ ${\displaystyle 2}$

Para las integrales de bucle en QFT, en realidad tiene un polo para valores relevantes de y . Por ejemplo, en la teoría escalar en 4 dimensiones, la integral de bucle en el cálculo de la renormalización de un bucle del vértice de interacción tiene . Usamos el 'truco' de la regularización dimensional , continuando analíticamente con un parámetro pequeño. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle (a,b,d)=(0,2,4)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=4-\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Para el cálculo de los contratérminos, la integral de bucle debe expresarse como una serie de Laurent en . Para ello, es necesario utilizar la expansión de Laurent de la función Gamma , ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \Gamma (\epsilon )={\frac {1}{\epsilon }}-\gamma +{\mathcal {O}}(\epsilon )}$

donde es la constante de Euler-Mascheroni . En la práctica, la integral de bucle generalmente diverge como . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$

Para una evaluación completa del diagrama de Feynman, puede haber factores algebraicos que se deben evaluar. Por ejemplo, en QED, los índices tensoriales de la integral se pueden contraer con matrices Gamma , y ​​se necesitan identidades que los involucren para evaluar la integral. En QCD, puede haber factores de álgebra de Lie adicionales , como el Casimir cuadrático de la representación adjunta, así como de cualquier representación que importe (campos escalares o de espinores) en la transformación de la teoría.

Ejemplos

Teoría de campos escalares

φ⁴teoría

El punto de partida es la acción de la teoría en es ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle S[\phi _{0}]=\int d^{d}x{\frac {1}{2}}(\partial \phi _{0})^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}\phi _{0}^{2}+{\frac {1}{4!}}\lambda _{0}\phi _{0}^{4}.}$

Dónde . El dominio se deja ambiguo a propósito, ya que varía según el esquema de regularización. ${\displaystyle (\partial \phi _{0})^{2}=\nabla \phi _{0}\cdot \nabla \phi _{0}=\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\phi _{0}\partial _{i}\phi _{0}}$

El propagador de la firma euclidiana en el espacio del momento es

${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}+m_{0}^{2}}}.}$

La contribución de un bucle al correlador de dos puntos (o más bien, al correlador de dos puntos del espacio de momento o transformada de Fourier del correlador de dos puntos) proviene de un solo diagrama de Feynman y es ${\displaystyle \langle \phi (x)\phi (y)\rangle }$

${\displaystyle {\frac {\lambda _{0}}{2}}\int {\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{k^{2}+m_{0}^{2}}}.}$

Este es un ejemplo de una integral de bucle.

Si y el dominio de integración es , esta integral diverge. Esto es típico del rompecabezas de divergencias que asoló históricamente la teoría cuántica de campos. Para obtener resultados finitos, elegimos un esquema de regularización . A modo de ilustración, presentamos dos esquemas. ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Regularización de corte : corrección . La integral de bucle regularizada es la integral sobre el dominio y es típico denotar esta integral por ${\displaystyle \Lambda >0}$ ${\displaystyle k=|\mathbf {k} |<\Lambda ,}$

${\displaystyle {\frac {\lambda _{0}}{2}}\int ^{\Lambda }{\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{k^{2}+m_{0}^{2}}}.}$

Esta integral es finita y en este caso se puede evaluar.

Regularización dimensional : integramos sobre todos los , pero en lugar de considerar que es un entero positivo, continuamos analíticamente hasta , donde es pequeño. Mediante el cálculo anterior, demostramos que la integral se puede escribir en términos de expresiones que tienen una continuación analítica bien definida desde números enteros hasta funciones en : específicamente, la función gamma tiene una continuación analítica y, al tomar potencias, , es una operación que se puede continuar analíticamente. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=n-\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x^{d}}$

Véase también

• Regularización (física)
• Renormalización

Referencias

1. Peskin, Michael E .; Schroeder, Daniel V. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos . ISBN 9780201503975.

Lecturas adicionales

• Vladimir A. Smirnov: "Evaluación de integrales de Feynman", Springer, ISBN 978-3-540239338 (2004).
• Vladimir A. Smirnov: "Cálculo integral de Feynman", Springer, ISBN 978-3-540306108 (2006).
• Vladimir A. Smirnov: "Herramientas analíticas para integrales de Feynman", Springer, ISBN 978-3642348853 (2013).
• Johannes Blümlein y Carsten Schneider (Eds.): "Antidiferenciación y el cálculo de amplitudes de Feynman", Springer, ISBN 978-3-030-80218-9 (2021).
• Stefan Weinzierl: "Integrales de Feynman: un tratamiento integral para estudiantes e investigadores", Springer, ISBN 978-3-030-99560-7 (2023).