Símbolo 3-j

Coeficientes acoplados al momento angular

En mecánica cuántica , los símbolos 3-j de Wigner , también llamados símbolos 3 -jm , son una alternativa a los coeficientes de Clebsch-Gordan con el propósito de sumar momentos angulares. ^[1] Si bien los dos enfoques abordan exactamente el mismo problema físico, los símbolos 3- j lo hacen de manera más simétrica.

Relación matemática con los coeficientes de Clebsch-Gordan

Los símbolos 3- j se dan en términos de los coeficientes de Clebsch-Gordan por

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,(-m_{3})\rangle .}$

Los componentes j y m son números cuánticos de momento angular, es decir, cada j (y cada m correspondiente ) es un entero no negativo o un entero semiimpar . El exponente del factor signo siempre es un entero, por lo que permanece igual cuando se transpone a la izquierda, y la relación inversa se sigue al realizar la sustitución m ₃ → − m ₃ :

${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle =(-1)^{-j_{1}+j_{2}-m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Expresión explícita

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}&\equiv \delta (m_{1}+m_{2}+m_{3},0)(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}{}{\sqrt {\frac {(j_{1}+j_{2}-j_{3})!(j_{1}-j_{2}+j_{3})!(-j_{1}+j_{2}+j_{3})!}{(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(j_{3}-m_{3})!(j_{3}+m_{3})!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-j_{3}-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(j_{3}-j_{2}+m_{1}+k)!(j_{3}-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}}$

¿Dónde está el delta de Kronecker ? ${\displaystyle \delta (i,j)}$

La suma se realiza sobre aquellos valores enteros k para los cuales el argumento de cada factorial en el denominador no es negativo, es decir, los límites de la suma K y N se toman iguales: el inferior al superior . Los factoriales de números negativos se toman convencionalmente iguales a cero, de modo que los valores del símbolo 3 j en, por ejemplo, o se establecen automáticamente en cero. ${\displaystyle K=\max(0,j_{2}-j_{3}-m_{1},j_{1}-j_{3}+m_{2}),}$ ${\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-j_{3},j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).}$ ${\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}}$ ${\displaystyle j_{1}<m_{1}}$

Relación definicional con los coeficientes de Clebsch-Gordan

Los coeficientes CG se definen para expresar la suma de dos momentos angulares en términos de un tercero:

${\displaystyle |j_{3}\,m_{3}\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle .}$

Los símbolos 3- j , por otro lado, son los coeficientes a los que se deben sumar tres momentos angulares para que la resultante sea cero:

${\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=|0\,0\rangle .}$

Aquí se encuentra el estado de momento angular cero ( ). Es evidente que el símbolo 3- j trata los tres momentos angulares involucrados en el problema de la suma en igualdad de condiciones y, por lo tanto, es más simétrico que el coeficiente CG. ${\displaystyle |0\,0\rangle }$ ${\displaystyle j=m=0}$

Dado que el estado no cambia con la rotación, también se dice que la contracción del producto de tres estados rotacionales con un símbolo 3- j es invariante bajo rotaciones. ${\displaystyle |0\,0\rangle }$

Reglas de selección

El símbolo 3- j de Wigner es cero a menos que se cumplan todas estas condiciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{i}\in \{-j_{i},-j_{i}+1,-j_{i}+2,\ldots ,j_{i}\}\quad (i=1,2,3),\\&m_{1}+m_{2}+m_{3}=0,\\&|j_{1}-j_{2}|\leq j_{3}\leq j_{1}+j_{2},\\&(j_{1}+j_{2}+j_{3}){\text{ is an integer (and, moreover, an even integer if }}m_{1}=m_{2}=m_{3}=0{\text{)}}.\\\end{aligned}}}$

Propiedades de simetría

Un símbolo 3- j es invariante bajo una permutación par de sus columnas:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$

Una permutación impar de las columnas da un factor de fase:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle =(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\m_{3}&m_{2}&m_{1}\end{pmatrix}}.}$

Cambiando el signo de los números cuánticos ( inversión del tiempo ) también se obtiene una fase: ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Los símbolos 3- j también tienen las llamadas simetrías de Regge, que no se deben a permutaciones o inversiones temporales. ^[2] Estas simetrías son:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{1}&{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}\\j_{3}-j_{2}&{\frac {j_{2}-j_{3}-m_{1}}{2}}-m_{3}&{\frac {j_{2}-j_{3}+m_{1}}{2}}+m_{3}\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{3}+m_{2}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{2}+m_{3}}{2}}\\j_{1}-{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&j_{2}-{\frac {j_{1}+j_{3}-m_{2}}{2}}&j_{3}-{\frac {j_{1}+j_{2}-m_{3}}{2}}\end{pmatrix}}.}$

Con las simetrías de Regge, el símbolo 3- j tiene un total de 72 simetrías. Estas se muestran mejor mediante la definición de un símbolo de Regge, que es una correspondencia uno a uno entre él y un símbolo 3- j y asume las propiedades de un cuadrado semimágico: ^[3]

${\displaystyle R={\begin{array}{|ccc|}\hline -j_{1}+j_{2}+j_{3}&j_{1}-j_{2}+j_{3}&j_{1}+j_{2}-j_{3}\\j_{1}-m_{1}&j_{2}-m_{2}&j_{3}-m_{3}\\j_{1}+m_{1}&j_{2}+m_{2}&j_{3}+m_{3}\\\hline \end{array}},}$

por lo que las 72 simetrías corresponden ahora a 3! intercambios de filas y 3! intercambios de columnas más una transposición de la matriz. Estos hechos se pueden utilizar para diseñar un esquema de almacenamiento eficaz. ^[3]

Relaciones de ortogonalidad

Un sistema de dos momentos angulares con magnitudes j ₁ y j ₂ se puede describir en términos de los estados base desacoplados (etiquetados por los números cuánticos m ₁ y m ₂ ), o de los estados base acoplados (etiquetados por j ₃ y m ₃ ). Los símbolos 3- j constituyen una transformación unitaria entre estas dos bases, y esta unitaridad implica las relaciones de ortogonalidad

${\displaystyle (2j_{3}+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'_{3}\\m_{1}&m_{2}&m'_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{j_{3},j'_{3}}\delta _{m_{3},m'_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}},}$

${\displaystyle \sum _{j_{3}m_{3}}(2j_{3}+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}'&m_{2}'&m_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}.}$

El delta triangular { j ₁  j ₂  j ₃ } es igual a 1 cuando la tríada ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) satisface las condiciones del triángulo, y es cero en caso contrario. El delta triangular en sí mismo a veces se denomina de manera confusa ^[4] un " símbolo 3- j " (sin la m ) en analogía con los símbolos 6- j y 9- j , todos los cuales son sumas irreducibles de símbolos 3- jm donde no quedan m variables.

Relación con los armónicos esféricos; coeficientes de Gaunt

Los símbolos 3- jm dan la integral de los productos de tres armónicos esféricos ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&\quad ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

con , y enteros. Estas integrales se denominan coeficientes de Gaunt. ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle l_{3}}$

Relación con las integrales de armónicos esféricos ponderados por espín

Existen relaciones similares para los armónicos esféricos ponderados por espín si : ${\displaystyle s_{1}+s_{2}+s_{3}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int d\mathbf {\hat {n}} \,_{s_{1}}\!Y_{j_{1}m_{1}}(\mathbf {\hat {n}} )\,_{s_{2}}\!Y_{j_{2}m_{2}}(\mathbf {\hat {n}} )\,_{s_{3}}\!Y_{j_{3}m_{3}}(\mathbf {\hat {n}} )\\&\quad ={\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Relaciones de recursión

${\displaystyle {\begin{aligned}&{-}{\sqrt {(l_{3}\mp s_{3})(l_{3}\pm s_{3}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}&s_{3}\pm 1\end{pmatrix}}=\\&\quad ={\sqrt {(l_{1}\mp s_{1})(l_{1}\pm s_{1}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}\pm 1&s_{2}&s_{3}\end{pmatrix}}+{\sqrt {(l_{2}\mp s_{2})(l_{2}\pm s_{2}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}\pm 1&s_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Expresiones asintóticas

Para un 3- j distinto de cero el símbolo es ${\displaystyle l_{1}\ll l_{2},l_{3}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {2l_{3}+1}}},}$

donde , y es una función de Wigner . Generalmente, una mejor aproximación que obedece la simetría de Regge se da mediante ${\displaystyle \cos(\theta )=-2m_{3}/(2l_{3}+1)}$ ${\displaystyle d_{mn}^{l}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {l_{2}+l_{3}+1}}},}$

dónde . ${\displaystyle \cos(\theta )=(m_{2}-m_{3})/(l_{2}+l_{3}+1)}$

Tensor métrico

La siguiente cantidad actúa como un tensor métrico en la teoría del momento angular y también se conoce como símbolo de Wigner 1-jm : ^[1]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j\\m\quad m'\end{pmatrix}}:={\sqrt {2j+1}}{\begin{pmatrix}j&0&j\\m&0&m'\end{pmatrix}}=(-1)^{j-m'}\delta _{m,-m'}.}$

Se puede utilizar para realizar inversiones temporales en momentos angulares.

Casos especiales y otras propiedades

${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}{\begin{pmatrix}j&j&J\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\sqrt {2j+1}}\,\delta _{J,0}.}$

De la ecuación (3.7.9) en ^[6]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j&j&0\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2j+1}}}(-1)^{j-m}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x)\,dx={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{2}\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2},}$

donde P son polinomios de Legendre .

Relación con RacahV-coeficientes

Los símbolos 3- j de Wigner están relacionados con los coeficientes V de Racah ^[7] mediante una fase simple:

${\displaystyle V(j_{1}\,j_{2}\,j_{3};m_{1}\,m_{2}\,m_{3})=(-1)^{j_{1}-j_{2}-j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Relación con la teoría de grupos

Esta sección esencialmente reformula la relación definicional en el lenguaje de la teoría de grupos.

Una representación grupal de un grupo es un homomorfismo del grupo en un grupo de transformaciones lineales sobre algún espacio vectorial. Las transformaciones lineales pueden estar dadas por un grupo de matrices con respecto a alguna base del espacio vectorial.

El grupo de transformaciones que dejan los momentos angulares invariantes es el grupo de rotación tridimensional SO(3) . Cuando se incluyen los momentos angulares de "espín", el grupo es su grupo de recubrimiento doble , SU(2) .

Una representación reducible es aquella en la que se puede aplicar un cambio de base para llevar todas las matrices a la forma diagonal en bloques. Una representación es irreducible (irrep) si no existe tal transformación.

Para cada valor de j , los 2 j +1 kets forman una base para una representación irreducible (irrep) de SO(3)/SU(2) sobre los números complejos. Dados dos irreps, el producto directo tensorial se puede reducir a una suma de irreps, dando lugar a los coeficientes de Clebcsh-Gordon, o por reducción del triple producto de tres irreps al irrep trivial 1 dando lugar a los símbolos 3j.

Símbolos 3j para otros grupos

El símbolo se ha estudiado con mayor intensidad en el contexto del acoplamiento del momento angular. Por ello, está estrechamente relacionado con la teoría de representación de grupos de los grupos SU(2) y SO(3), como se ha comentado anteriormente. Sin embargo, muchos otros grupos son importantes en física y química , y se ha trabajado mucho en el símbolo de estos otros grupos. En esta sección, se analiza parte de ese trabajo. ${\displaystyle 3j}$ ${\displaystyle 3j}$

Grupos simplemente reducibles

El artículo original de Wigner ^[1] no se limitaba a SO(3)/SU(2), sino que se centraba en los grupos simplemente reducibles (SR). Estos son grupos en los que

• Todas las clases son ambivalentes, es decir, si es miembro de una clase, entonces también lo es. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{-1}}$
• El producto Kronecker de dos irrep no tiene multiplicidad, es decir, no contiene ninguna irrep más de una vez.

Para los grupos SR, cada irrep es equivalente a su conjugado complejo, y bajo permutaciones de las columnas el valor absoluto del símbolo es invariante y la fase de cada uno puede elegirse de modo que, como máximo, cambien de signo bajo permutaciones impares y permanezcan sin cambios bajo permutaciones pares.

Grupos compactos generales

Los grupos compactos forman una amplia clase de grupos con estructura topológica . Incluyen los grupos finitos con topología discreta añadida y muchos de los grupos de Lie .

Los grupos compactos generales no serán ambivalentes ni estarán libres de multiplicidad. Derome y Sharp ^[8] y Derome ^[9] examinaron el símbolo para el caso general utilizando la relación con los coeficientes de Clebsch-Gordon de ${\displaystyle 3j}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {1}{[j_{3}]}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}^{*}\,m_{3}\rangle .}$

donde es la dimensión del espacio de representación de y es la representación conjugada compleja de . ${\displaystyle [j]}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j_{3}^{*}}$ ${\displaystyle j_{3}}$

Al examinar permutaciones de columnas del símbolo, mostraron tres casos: ${\displaystyle 3j}$

• Si todos son inequivalentes, entonces el símbolo puede elegirse para que sea invariante bajo cualquier permutación de sus columnas. ${\displaystyle j_{1},j_{2},j_{3}}$ ${\displaystyle 3j}$
• si exactamente dos son equivalentes, entonces se pueden elegir transposiciones de sus columnas de modo que algunos símbolos sean invariantes mientras que otros cambien de signo. Un enfoque que utiliza un producto de corona del grupo con ^[10] mostró que estos corresponden a las representaciones o del grupo simétrico . Las permutaciones cíclicas dejan el símbolo invariante. ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle [2]}$ ${\displaystyle [1^{2}]}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle 3j}$
• Si los tres son equivalentes, el comportamiento depende de las representaciones del grupo simétrico . Las representaciones del grupo de corona correspondientes a son invariantes bajo transposiciones de las columnas, correspondientes a cambian de signo bajo transposiciones, mientras que un par correspondiente a la representación bidimensional se transforma de acuerdo con eso. ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle [3]}$ ${\displaystyle [1^{3}]}$ ${\displaystyle [21]}$

Se han realizado más investigaciones sobre símbolos para grupos compactos basándose en estos principios. ^[11] ${\displaystyle 3j}$

Sol)

El grupo unitario especial SU(n) es el grupo de Lie de matrices unitarias n × n con determinante 1.

El grupo SU(3) es importante en la teoría de partículas . Existen muchos artículos que tratan sobre su símbolo o equivalente ^{[12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19]} ${\displaystyle 3j}$

Se ha estudiado el símbolo del grupo SU(4) ^{[20] [21],} aunque también hay trabajos sobre los grupos SU(n) generales ^{[22] [23].} ${\displaystyle 3j}$

Grupos puntuales cristalográficos

Hay muchos artículos que tratan los símbolos o coeficientes de Clebsch-Gordon para los grupos puntuales cristalográficos finitos y los grupos puntuales dobles. El libro de Butler ^[24] hace referencia a estos y detalla la teoría junto con tablas. ${\displaystyle 3j}$

Grupos magnéticos

Los grupos magnéticos incluyen operadores antilineales y lineales. Deben tratarse utilizando la teoría de Wigner de correpresentaciones de grupos unitarios y antiunitarios . Una desviación significativa de la teoría de representación estándar es que la multiplicidad de la correpresentación irreducible en el producto directo de las correpresentaciones irreducibles es generalmente menor que la multiplicidad de la correpresentación trivial en el producto triple , lo que conduce a diferencias significativas entre los coeficientes de Clebsch-Gordon y el símbolo. ${\displaystyle j_{3}^{*}}$ ${\displaystyle j_{1}\otimes j_{2}}$ ${\displaystyle j_{1}\otimes j_{2}\otimes j_{3}}$ ${\displaystyle 3j}$

Se han examinado los símbolos para los grupos grises ^{[25] [26]} y para los grupos de puntos magnéticos ^[27]. ${\displaystyle 3j}$

Véase también

• Coeficientes de Clebsch-Gordan
• Armónicos esféricos
• Símbolo 6-j
• Símbolo 9-j
• Representaciones de grupos de Lie clásicos

Referencias

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Enlaces externos

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