Correpresentaciones de grupos unitarios y antiunitarios

En mecánica cuántica, las operaciones de simetría son importantes para brindar información sobre las soluciones de un sistema. Normalmente, estas operaciones forman un grupo matemático , como el grupo de rotación SO(3) para potenciales esféricamente simétricos. La teoría de representación de estos grupos conduce a representaciones irreducibles , que para SO(3) dan los vectores de momento angular ket del sistema.

La teoría de representación estándar utiliza operadores lineales . Sin embargo, algunos operadores de importancia física, como la inversión temporal, son antilineales y su inclusión en el grupo de simetría conduce a grupos que incluyen operadores tanto unitarios como antiunitarios.

Este artículo trata sobre la teoría de la correpresentación, el equivalente de la teoría de la representación para estos grupos. Se utiliza principalmente en el estudio teórico de la estructura magnética , pero también es relevante para la física de partículas debido a la simetría CPT . Ofrece resultados básicos, la relación con la teoría de la representación ordinaria y algunas referencias a aplicaciones.

Correpresentaciones de grupos unitarios/antiunitarios

Eugene Wigner ^[1] demostró que una operación de simetría S de un hamiltoniano se representa en mecánica cuántica mediante un operador unitario, S = U , o uno antiunitario, S = UK donde U es unitario y K denota conjugación compleja. Los operadores antiunitarios surgen en mecánica cuántica debido al operador de inversión temporal

Si el conjunto de operaciones de simetría (tanto unitarias como antiunitarias) forma un grupo , entonces se le conoce comúnmente como grupo magnético y muchas de estas se describen en grupos espaciales magnéticos .

Un grupo de operadores unitarios puede representarse mediante una representación de grupo . Debido a la presencia de operadores antiunitarios, esta debe reemplazarse por la teoría de correpresentación de Wigner. ^[1]

Definición

Sea G un grupo con un subgrupo H de índice 2. Una correpresentación es un homomorfismo en un grupo de operadores sobre un espacio vectorial sobre los números complejos donde para todo u en H la imagen de u es un operador lineal y para todo a en la clase lateral GH la imagen de a es antilineal (donde '*' significa conjugación compleja):

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall u\in H,D(u)(a{\bf {x}}+b{\bf {y}})=a\times D(u){\bf {x}}+b\times D(u){\bf {y}}\\&\forall a\in G-H,D(a)(a{\bf {x}}+b{\bf {y}})=a^{*}\times D(a){\bf {x}}+b^{*}\times D(a){\bf {y}}\end{aligned}}}$

Propiedades

Como esto es un homomorfismo

${\displaystyle {\begin{aligned}&D(u_{1}u_{2})=D(u_{1})D(u_{2})\\&D(ua)=D(u)D(a)\\&D(au)=D(a)D(u)^{*}\\&D(a_{1}a_{2})=D(a_{1})D(a_{2})^{*}\end{aligned}}}$

Reducibilidad

Dos correpresentaciones son equivalentes si existe una matriz V

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall u,D'(u)=VD(u)V^{-}1\\&\forall a,D'(a)=VD(a)V^{*-1}\end{aligned}}}$

Al igual que las representaciones, una correpresentación es reducible si existe un subespacio propio invariante bajo las operaciones de la correpresentación. Si la correpresentación está dada por matrices, es reducible si es equivalente a una correpresentación con cada matriz en forma diagonal de bloques.

Si la correpresentación no es reducible, entonces es irreducible .

Lema de Schur

El lema de Schur para representaciones irreducibles sobre los números complejos establece que si una matriz conmuta con todas las matrices de la representación, entonces es un múltiplo (complejo) de la matriz identidad, es decir, el conjunto de matrices conmutativas es isomorfo a los números complejos . El equivalente del lema de Schur para correpresentaciones irreducibles es que el conjunto de matrices conmutativas es isomorfo a , o los cuaterniones . ^[2] Utilizando el número entrelazado [1] sobre los números reales, esto puede expresarse como un número entrelazado de 1, 2 o 4. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Relación con las representaciones del subgrupo lineal

Típicamente, las correlaciones irreducibles están relacionadas con las representaciones irreducibles del subgrupo lineal H. ^{[1] [2] [3] [4]} Sea una representación irreducible (ordinaria) del subgrupo lineal H . Forme la suma sobre todos los operadores antilineales del cuadrado del carácter de cada uno de estos operadores: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle S=\sum _{a}\chi _{\Delta }(a^{2})}$

y establecer para un elemento arbitrario . ${\displaystyle P=D(a_{0})}$ ${\displaystyle a_{0}}$

Hay tres casos, que se distinguen por la prueba de carácter ecuación 7.3.51 de Cracknell y Bradley. ^[5]

Tipo(a)

Si S = | H | (el número entrelazado es uno) entonces D es una correpresentación irreducible de la misma dimensión que con ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&D(u)=\Delta (u)\\&D(a)=D(aa_{0}^{-1}a_{0})=\Delta (aa_{0})P\end{aligned}}}$

Tipo(b)

S = -| H | (el número entrelazado es cuatro) entonces D es una representación irreducible formada a partir de dos 'copias' de ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&D(u)={\begin{pmatrix}\Delta (u)&0\\0&\Delta (u)\end{pmatrix}}\\&D(a)={\begin{pmatrix}0&\Delta (aa_{0}^{-1})P\\-\Delta (aa_{0}^{-1})P&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Tipo(c)

Si S = 0 (el número entrelazado es dos), entonces D es una correpresentación irreducible formada a partir de dos representaciones no equivalentes y donde ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta '}$ ${\displaystyle \Delta '(u)=\Delta (a_{0}^{-1}ua_{0})^{*}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&D(u)={\begin{pmatrix}\Delta (u)&0\\0&\Delta (a_{0}^{-1}ua_{0})^{*}\end{pmatrix}}\\&D(a)={\begin{pmatrix}0&\Delta (aa_{0})\\\Delta (a_{0}^{-1}a)^{*}&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Cracknell y Bradley ^[5] muestran cómo utilizarlos para construir correpresentaciones para los grupos puntuales magnéticos, mientras que Cracknell y Wong ^[6] dan tablas más explícitas para los grupos magnéticos dobles.

Teoría de los caracteres de las correpresentaciones

La teoría de representación estándar para grupos finitos tiene una tabla de caracteres cuadrados con propiedades de ortogonalidad de filas y columnas. Con una definición ligeramente diferente de clases de conjugación y el uso del número entrelazado, también existe una tabla de caracteres cuadrados con propiedades de ortogonalidad similares para las correpresentaciones de grupos magnéticos finitos. ^[2]

A partir de esta tabla de caracteres se ha desarrollado una teoría del carácter que refleja la teoría de la representación. ^[7]

Véase también

• Mock, A. (2016). "Caracterización de la simetría paridad-tiempo en redes fotónicas utilizando la teoría de grupos de Heesh-Shubnikov". Optics Express . 24 (20): 22693–22707. arXiv : 1606.05044 . Bibcode :2016OExpr..2422693M. doi :10.1364/OE.24.022693. PMID  27828339. S2CID  24476384.
• Schweiser, J. (2005). "Inversión temporal en el análisis de la representación de la teoría de estructuras magnéticas". CR Physique . 6 : 375–384. doi :10.1016/j.crhy.2005.01.009.
• Angeloval, MN; Boyle, LL (2005). "Sobre la clasificación y enumeración de las co-representaciones irreducibles de los grupos espaciales magnéticos". Journal of Physics A: Mathematical and General . 29 (5): 993–1010. doi :10.1088/0305-4470/29/5/014.
• Scurek, R. (2004). "Comprensión del grupo CPT en física de partículas: representaciones estándar y no estándar". Am. J. Phys . 75 (5): 638–643. Bibcode :2004AmJPh..72..638S. doi :10.1119/1.1629087.

Referencias

1. Wigner, EP (1959). Teoría de grupos y sus aplicaciones a la mecánica cuántica de los espectros atómicos . Academic, Nueva York.
2. Newmarch, JD; Golding, RM (1982). "La tabla de caracteres para las correpresentaciones de grupos magnéticos". J. Math. Phys . 23 (5): 695–704. Bibcode :1982JMP....23..695N. doi :10.1063/1.525423.
3. Rudra, P (1974). "Sobre correpresentaciones irreducibles de grupos magnéticos finitos". J. Math. Phys . 15 (12): 2031–2035. Bibcode :1974JMP....15.2031R. doi :10.1063/1.1666577.
4. Bradley, CJ; Davies, BL (1968). "Grupos magnéticos y sus correpresentaciones". Reseñas de física moderna . 40 (2): 359–379. Bibcode :1968RvMP...40..359B. doi :10.1103/RevModPhys.40.359.
5. Cracknell, CJ; Bradley, A. P (1972). La teoría matemática de la simetría en sólidos: teoría de la representación para grupos puntuales y grupos espaciales . Oxford University Press.
6. Cracknell, AP; Wong, KC (1967). "Correpresentaciones de doble valor de grupos de puntos magnéticos". Aust. J. Phys . 20 (2): 173–188. Código Bibliográfico :1967AuJPh..20..173C. doi : 10.1071/PH670173 .
7. Newmarch, JD (1983). "Alguna teoría de caracteres para grupos de operadores lineales/antilineales". J. Math. Phys . 24 (4): 742–756. Bibcode :1983JMP....24..742N. doi :10.1063/1.525790.