rombicuboctaedro

Sólido de Arquímedes con 26 caras.

En geometría, el rombicuboctaedro es un sólido de Arquímedes con 26 caras, formado por 8 triángulos equiláteros y 18 cuadrados. Fue nombrado por Johannes Kepler en sus Harmonices Mundi de 1618 , siendo la abreviatura de rombo cuboctaédrico truncado , siendo rombo cuboctaédrico su nombre para un dodecaedro rómbico . ^[1]

El rombicuboctaedro es un sólido de Arquímedes , y tiene como icositetraedro dual, deltoidal, el sólido catalán . La girobicúpula cuadrada alargada es un poliedro similar a un rombicuboctaedro, pero no es un sólido de Arquímedes porque no es transitivo de vértice . El esqueleto de un rombicuboctaedro se puede representar como una gráfica. El rombicuboctaedro se encuentra en diversas culturas en la arquitectura, los juguetes, las artes y otros lugares.

Construcción

El rombicuboctaedro se puede construir a partir de un cubo dibujando uno más pequeño en el medio de cada cara, paralelo a las aristas del cubo. Después de eliminar las aristas de un cubo, los cuadrados se pueden unir agregando más cuadrados adyacentes entre ellos, y las esquinas se pueden llenar con triángulos equiláteros . Otra forma de construir el rombicuboctaedro es uniendo dos cúpulas cuadradas regulares a las bases de un prisma octogonal regular . ^[2]

Proceso de expansión del rombicuboctaedro.

Un rombicuboctaedro también puede conocerse como octaedro expandido o cubo expandido . Esto se debe a que el rombicuboctaedro también se puede construir separando y alejando las caras de un cubo o de un octaedro regular de su centroide (en azul o rojo, respectivamente, en la animación), y rellenando entre ellas con cuadrados y triángulos equiláteros. Este proceso constructivo se conoce como expansión . ^[3] Al utilizar todos estos métodos anteriores, el rombicuboctaedro tiene 8 triángulos equiláteros y 16 cuadrados como caras. ^[4] De manera relacionada, el rombicuboctaedro también se puede construir cortando todos los bordes y vértices de un cubo o de un octaedro regular, un proceso conocido como rectificación . ^[5]

Las coordenadas cartesianas de un rombicuboctaedro con una longitud de arista 2 son las permutaciones de . ^[6] ${\displaystyle \left(\pm \left(1+{\sqrt {2}}\right),\pm 1,\pm 1\right)}$

Propiedades

Propiedades de medición y métricas.

El área de la superficie de un rombicuboctaedro se puede determinar sumando el área de todas las caras: 8 triángulos equiláteros y 18 cuadrados. El volumen de un rombicuboctaedro se puede determinar cortándolo en dos cúpulas cuadradas y un prisma octogonal. Dado que la longitud del borde , su área de superficie y volumen es: ^[7] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(18+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}&\approx 21.464a^{2},\\V&={\frac {12+10{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}&\approx 8.714a^{3}.\end{aligned}}}$$

La fracción de empaquetamiento óptima de rombicuboctaedros está dada por De Graaf, van Roij y Dijkstra (2011) observaron que este valor óptimo lo obtienen en una red de Bravais . ^[8] Dado que el rombicuboctaedro está contenido en un dodecaedro rómbico cuya esfera inscrita es idéntica a su esfera inscrita, el valor de la fracción de empaquetamiento óptima es un corolario de la conjetura de Kepler : se puede lograr colocando un rombicuboctaedro en cada celda del panal dodecaédrico rómbico , y no se puede superar, ya que de lo contrario se podría superar la densidad óptima de empaquetamiento de esferas poniendo una esfera en cada rombicuboctaedro del hipotético empaquetamiento que lo supera. ^{[ cita necesaria ]} $${\displaystyle \eta ={\frac {4}{3}}\left(4{\sqrt {2}}-5\right).}$$

El ángulo diédrico de un rombicuboctaedro se puede determinar sumando el ángulo diédrico de una cúpula cuadrada y un prisma octogonal: ^[9]

• El ángulo diédrico de un rombicuboctaedro entre dos cuadrados adyacentes tanto en la parte superior como en la inferior es el de una cúpula cuadrada de 135°. El ángulo diédrico de un prisma octogonal entre dos cuadrados adyacentes es el ángulo interno de un octágono regular de 135°. El ángulo diédrico entre dos cuadrados adyacentes en el borde donde una cúpula cuadrada está unida a un prisma octogonal es la suma del ángulo diédrico de una cúpula cuadrada de un cuadrado a un octágono y el ángulo de un prisma octogonal de un cuadrado a un octágono 45 ° + 90° = 135°. Por tanto, el ángulo diédrico de un rombicuboctaedro por cada dos cuadrados adyacentes es 135°.
• El ángulo diédrico de un rombicuboctaedro cuadrado a triángulo es el de una cúpula cuadrada entre esos 144,7°. El ángulo diédrico entre cuadrado y triángulo, en el borde donde se une una cúpula cuadrada a un prisma octogonal, es la suma del ángulo diédrico de una cúpula cuadrada de triángulo a octágono y el ángulo diédrico de un prisma octagonal de cuadrado a -octágono 54,7° + 90° = 144,7°. Por lo tanto, el ángulo diédrico de un rombicuboctaedro para cada cuadrado a triángulo es 144,7°.

Un rombicuboctaedro tiene la propiedad de Rupert , es decir, hay un poliedro de igual o mayor tamaño que puede pasar por su agujero. ^[10]

Simetría y su familia de clasificación.

Modelo 3D de un rombicuboctaedro

El rombicuboctaedro tiene la misma simetría que un cubo y un octaedro regular, la simetría octaédrica . ^[11] Sin embargo, el rombicuboctaedro también tiene un segundo conjunto de distorsiones con seis caras rectangulares y dieciséis trapezoidales, que no tienen simetría octaédrica sino piritoédrica , por lo que son invariantes bajo las mismas rotaciones que el tetraedro pero con diferentes reflexiones. ^[12] Es centrosimétrico , lo que significa que su simetría es intercambiable por la apariencia del centro de inversión . También es no quiral ; es decir, es congruente con su propia imagen especular. ^[13] ${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {h} }}$

El rombicuboctaedro es un sólido de Arquímedes , lo que significa que es un poliedro altamente simétrico y semirregular, y dos o más caras poligonales regulares diferentes se encuentran en un vértice. ^[14] Las caras poligonales que se encuentran en cada vértice son un triángulo equilátero y tres cuadrados, y la figura del vértice se denota como . Su dual es el icositetraedro deltoidal , un sólido catalán , comparte la misma simetría que el rombicuboctaedro. ^[15] ${\displaystyle 3\cdot 4^{3}}$

La girobicúpula cuadrada alargada es el único poliedro que se parece al rombicuboctaedro. La diferencia es que la girobicúpula cuadrada alargada se construye girando una de sus cúpulas. Alguna vez fue considerado como el decimocuarto sólido de Arquímedes, hasta que se descubrió que no es transitivo de vértice , categorizándolo en su lugar como el sólido de Johnson . ^[dieciséis]

Grafico

La gráfica de un rombicuboctaedro.

El esqueleto de un rombicuboctaedro se puede describir como un gráfico . Es un gráfico poliédrico , lo que significa que es plano y está conectado por 3 vértices . En otras palabras, los bordes de un gráfico no se cruzan mientras se dibujan, y al eliminar dos de sus vértices se deja un subgrafo conectado. Tiene 24 vértices y 48 aristas. Es un cuártico , lo que significa que cada uno de sus vértices está conectado por cuatro vértices. Esta gráfica se clasifica como gráfica de Arquímedes , porque se parece a la gráfica del sólido de Arquímedes. ^[17]

Apariciones

Muchos objetos rombicuboctaédricos, como la Biblioteca Nacional de Minsk en la imagen conmemorativa (arriba a la izquierda) y la variación del cubo de Rubik (arriba a la derecha). Además, el rombicuboctaedro puede aparecer en el arte, como en el Retrato de Luca Pacioli (abajo a la izquierda) y la ilustración de Leonardo da Vinci de 1509 en Divina proporcionale (abajo a la derecha).

El rombicuboctaedro aparece en la arquitectura, siendo un ejemplo del edificio la Biblioteca Nacional ubicada en Minsk . ^[18] La Casa Wilson es otro ejemplo del edificio rombicuboctaedro, aunque su módulo se representó como un cubo truncado en el que todos los bordes están cortados. Fue construido durante la Segunda Guerra Mundial y la Operación Breakthrough en la década de 1960. ^[19]

El rombicuboctaedro también se puede encontrar en juguetes. Por ejemplo, las líneas a lo largo de las cuales se puede girar un cubo de Rubik son, proyectadas sobre una esfera, similares, topológicamente idénticas, a las aristas de un rombicuboctaedro. Se han producido variantes que utilizan el mecanismo del cubo de Rubik y que se parecen mucho al rombicuboctaedro. Durante la locura del Cubo de Rubik de la década de 1980, al menos dos rompecabezas retorcidos vendidos tenían la forma de un rombicuboctaedro (el mecanismo era similar al de un Cubo de Rubik) ^{[20] [21]} Otro ejemplo se puede encontrar en los dados del Castillo de Corfe . cada una de las cuales caras cuadradas tienen marcas de pares de letras y puntos . ^[22]

El rombicuboctaedro también podrá aparecer en el art. Un ejemplo es el Retrato de Luca Pacioli de 1495 , tradicionalmente atribuido a Jacopo de' Barbari , que incluye un rombicuboctaedro de vidrio medio lleno de agua, que pudo haber sido pintado por Leonardo da Vinci . ^[23] La primera versión impresa del rombicuboctaedro fue de Leonardo y apareció en la Divina proporcionale de Pacioli (1509).

Referencias

Notas

1. • Kepler (1997), pág. 119
   • Cromwell (1997), pág. 83
2. • Hartshorne (2000), pág. 463
   • Berman (1971), pág. 336, Ver tabla IV, Propiedades de los poliedros convexos de caras regulares, línea 13. Aquí, representa el prisma octogonal y representa la cúpula cuadrada. ${\displaystyle P_{8}}$ ${\displaystyle M_{5}}$
3. Viana y col. (2019), pág. 1123, consulte la figura 6.
4. • Cockram (2020), pág. 52
   • Berman (1971), pág. 336, Véase la tabla IV, Propiedades de los poliedros convexos de caras regulares, línea 13.
5. Linti (2013), pág. 41.
6. Pastor (1954).
7. Berman (1971), pág. 336, Véase la tabla IV, Propiedades de los poliedros convexos de caras regulares, línea 13.
8. de Graaf, van Roij y Dijkstra (2011).
9. Johnson (1966).
10. • Hoffman (2019)
    • Chai, Yuan y Zamfirescu (2018)
11. • Koca y Koca (2013), pág. 48
    • Cromwell (1997), pág. 377. Ver Figura 10.12.
12. Cromwell (1997), pág. 386. Véase la Tabla 10.21, Clases de poliedros transitivos por vértices.
13. • O'Keeffe y Hyde (2020), pág. 54
    • Koca y Koca (2013), pág. 48
14. Diudea (2018), pág. 39.
15. Williams (1979), pág. 80.
16. • Cromwell (1997), pág. 91
    • Grünbaum (2009)
    • Lando y Zvonkin (2004)
17. Leer y Wilson (1998), pág. 269.
18. • Gan (2020), pág. 14
    • Cockram (2020), pág. 52
19. Gabriel (1997), pág. 105–109.
20. "Bola de rompecabezas soviética". TwistyPuzzles.com . Consultado el 23 de diciembre de 2015 .
21. "Rompecabezas estilo diamante". Página de rompecabezas de Jaap . Consultado el 31 de mayo de 2017 .
22. Cromwell (1997), pág. 4–5.
23. MacKinnon, Nick (1993). "El retrato de Fray Luca Pacioli". La Gaceta Matemática . 77 (479): 143. doi : 10.2307/3619717. JSTOR  3619717. S2CID  195006163.

Trabajos citados

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• Williams, Robert (1979), La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño, Dover Publications, Inc.

Ver también

• rombicuboctaedro truncado
• Estrella de Moravia

Otras lecturas

• Cromwell, P. (1997). Poliedros . Reino Unido: Cambridge. Págs. 79–86 Sólidos de Arquímedes . ISBN 0-521-55432-2.
• Coxeter, HSM ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (13 de mayo de 1954). "Poliedros uniformes". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Matemáticas y Físicas . 246 (916): 401–450. Código bibliográfico : 1954RSPTA.246..401C. doi :10.1098/rsta.1954.0003. S2CID  202575183.
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• Hales, Thomas C. (2005), "Una prueba de la conjetura de Kepler", Annals of Mathematics , 162 (3): 1065–1185, arXiv : math/9811078v2 , doi : 10.4007/annals.2005.162.1065

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Rhombicuboctahedron" ("Sólido de Arquímedes") en MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Pequeño gráfico rombicuboctaédrico". MundoMatemático .
• Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D x3o4x - sirco".
• Los poliedros uniformes
• Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de los poliedros
• Red imprimible editable de un rombicuboctaedro con vista 3D interactiva
• Estrella rombicuboctaedro de Sándor Kabai, Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Rombicuboctaedro: tiras de papel para trenzar