Catalán sólido

Construcción del dodecaedro rómbico , el poliedro dual de un cuboctaedro , por Dorman Luke construcción

Los sólidos catalanes son el poliedro dual de los sólidos arquimedianos , un conjunto de trece poliedros con formas altamente simétricas: poliedros semirregulares en los que dos o más de sus caras poligonales se encuentran en un vértice. ^[1] Un poliedro puede tener un dual por los vértices correspondientes a las caras del otro poliedro, y las aristas entre pares de vértices de uno corresponden a las aristas entre pares de caras del otro. ^[2] Una forma de construir los sólidos catalanes es mediante el método de construcción de Luke de Dorman . ^[3]

Estos sólidos son transitivos por las caras o isoedros porque sus caras son transitivas entre sí, pero no son transitivos por los vértices porque sus vértices no son transitivos entre sí. Su dual, los sólidos arquimedianos, son transitivos por los vértices pero no por las caras. Tienen ángulos diedros constantes , lo que significa que el ángulo entre dos de sus caras es el mismo. ^[1] Además, ambos sólidos Catalans, el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico , son transitivos por las aristas , lo que significa que hay una transitividad entre las aristas que preserva su simetría. ^{[ cita requerida ]} Estos sólidos también fueron descubiertos por Johannes Kepler durante el estudio de los zonoedros , hasta que Eugene Catalan completó por primera vez la lista de los trece sólidos en 1865. ^[4] El icositetraedro pentagonal y el hexecontaedro pentagonal son quirales porque son duales del cubo romo y del dodecaedro romo respectivamente, que son quirales. Dicho esto, estos dos sólidos no son idénticos cuando se reflejan en espejo.

Once de los trece sólidos catalanes tienen la propiedad de Rupert (una copia del mismo sólido o de una forma más grande puede pasarse a través de un agujero en el sólido). ^[5]

Referencias

Notas al pie

^ ab Diudea (2018), pág. 39.
^ Wenninger (1983), p. 1, Nociones básicas sobre estelación y dualidad.
^
- Cundy y Rollett (1961), pág. 117
- Wenninger (1983), pág. 30
^
- Diudea (2018), pág. 39
- Martini y Heil (1993), pág. 352
^ Fredriksson (2024).
^ Williams (1979).

Obras citadas

Cundy, H. Martyn ; Rollett, AP (1961), Modelos matemáticos (2.ª ed.), Oxford: Clarendon Press, MR 0124167.
Diudea, MV (2018), Cúmulos poliédricos de múltiples capas, Springer , doi :10.1007/978-3-319-64123-2, ISBN 978-3-319-64123-2.
Fredriksson, Albin (2024), "Optimización para la propiedad de Rupert", The American Mathematical Monthly , 131 (3): 255–261, arXiv : 2210.00601 , doi :10.1080/00029890.2023.2285200.
Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), "Dualidad de poliedros", Revista internacional de educación matemática en ciencia y tecnología , 36 (6): 617–642, doi :10.1080/00207390500064049, S2CID 120818796.
Heil, E.; Martil, H. (1993), "Cuerpos convexos especiales", en Gruber, PM; Wills, JM (eds.), Handbook of Convex Geometry, Holanda Septentrional
Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, Sr. 0730208
Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Sección 3-9)

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Sólidos catalanes .

Weisstein, Eric W. "Sólidos Catalanes". MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Isoedro". MathWorld .
Sólidos Catalanes – en Visual Polyhedra
Duales de Arquímedes – en Virtual Reality Polyhedra
Sólido Catalán Interactivo en Java
Enlace de descarga de la publicación original de Catalán de 1865 (con bellas figuras) en formato PDF