Número regular

Números que dividen de manera uniforme potencias de 60

Diagrama de Hasse de relaciones de divisibilidad entre números regulares hasta 400. La escala vertical es logarítmica . ^[1]

Los números regulares son aquellos que dividen de forma exacta potencias de 60 (o, equivalentemente, potencias de 30 ). De manera equivalente, son los números cuyos únicos divisores primos son 2 , 3 y 5. Por ejemplo, 60 ²  = 3600 = 48 × 75, por lo que, como divisores de una potencia de 60, tanto 48 como 75 son regulares.

Estos números surgen en varias áreas de las matemáticas y sus aplicaciones, y tienen diferentes nombres provenientes de sus diferentes áreas de estudio.

• En teoría de números , estos números se denominan 5-suaves , porque se pueden caracterizar por tener solo 2, 3 o 5 como factores primos . Este es un caso específico de los números k - suaves más generales , los números que no tienen ningún factor primo mayor que k .
• En el estudio de las matemáticas babilónicas , los divisores de potencias de 60 se denominan números regulares o números sexagesimales regulares , y son de gran importancia en esta área debido al sistema numérico sexagesimal (base 60) que los babilonios usaban para escribir sus números, y que era central para las matemáticas babilónicas.
• En teoría musical , los números regulares se dan en proporciones de tonos en entonación justa de cinco límites . En relación con la teoría musical y las teorías relacionadas de la arquitectura , estos números se han denominado números enteros armónicos .
• En informática , los números regulares suelen denominarse números de Hamming , en honor a Richard Hamming , quien propuso el problema de encontrar algoritmos informáticos para generar estos números en orden ascendente. Este problema se ha utilizado como caso de prueba para la programación funcional .

Teoría de números

Formalmente, un número regular es un entero de la forma , para los enteros no negativos , , y . Un número de este tipo es un divisor de . Los números regulares también se denominan 5- suavizantes , lo que indica que su mayor factor primo es como máximo 5. ^[2] De manera más general, un número k -suavizante es un número cuyo mayor factor primo es como máximo k . ^[3] ${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 60^{\max(\lceil i\,/2\rceil ,j,k)}}$

Los primeros números regulares son ^[2]

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, ... (secuencia A051037 en la OEIS )

Varias otras secuencias en la Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros tienen definiciones que involucran números 5-suaves. ^[4]

Aunque los números regulares parecen densos dentro del rango de 1 a 60, son bastante dispersos entre los enteros más grandes. Un número regular es menor o igual a algún umbral si y solo si el punto pertenece al tetraedro limitado por los planos de coordenadas y el plano como se puede ver tomando logaritmos de ambos lados de la desigualdad . Por lo tanto, el número de números regulares que son como máximo se puede estimar como el volumen de este tetraedro, que es Aún más precisamente, usando la notación O grande , el número de números regulares hasta es y se ha conjeturado que el término de error de esta aproximación es en realidad . ^[2] Srinivasa Ramanujan da una fórmula similar para el número de números 3-suaves hasta en su primera carta a GH Hardy . ^[5] ${\displaystyle n=2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (i,j,k)}$ $${\displaystyle i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5\leq \ln N,}$$ ${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}\leq N}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\frac {\log _{2}N\,\log _{3}N\,\log _{5}N}{6}}.}$$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\frac {\left(\ln(N{\sqrt {30}})\right)^{3}}{6\ln 2\ln 3\ln 5}}+O(\log N),}$$ ${\displaystyle O(\log \log N)}$ ${\displaystyle N}$

Matemáticas babilónicas

AO 6456, una tabla de recíprocos de números regulares del Uruk seléucida , copiada de una fuente anterior desconocida

En la notación sexagesimal babilónica , el recíproco de un número regular tiene una representación finita. Si divide a , entonces la representación sexagesimal de es justamente la de , desplazada por una cierta cantidad de lugares. Esto permite una fácil división por estos números: para dividir por , multiplicar por , luego desplazar. ^[6] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 60^{k}}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle 60^{k}/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$

Por ejemplo, considere la división por el número regular 54 = 2 ¹ 3 ³ . 54 es un divisor de 60 ³ , y 60 ³ /54 = 4000, por lo que dividir por 54 en sexagesimal se puede lograr multiplicando por 4000 y desplazando tres lugares. En sexagesimal 4000 = 1×3600 + 6×60 + 40×1, o (como lo enumera Joyce) 1:6:40. Por lo tanto, 1/54, en sexagesimal, es 1/60 + 6/60 ² + 40/60 ³ , también denotado 1:6:40 ya que las convenciones de notación babilónicas no especificaban la potencia del dígito inicial. Por el contrario, 1/4000 = 54/60 ³ , por lo que la división por 1:6:40 = 4000 se puede lograr multiplicando por 54 y desplazando tres lugares sexagesimales.

Los babilonios utilizaban tablas de recíprocos de números regulares, algunas de las cuales todavía sobreviven. ^[7] Estas tablas existieron relativamente sin cambios a lo largo de la época babilónica. ^[6] Una tablilla de la época seléucida , de alguien llamado Inaqibıt-Anu, contiene los recíprocos de 136 de los 231 números regulares de seis cifras cuyo primer lugar es 1 o 2, enumerados en orden. También incluye recíprocos de algunos números de más de seis cifras, como 3 ²³ (2 1 4 8 3 0 7 en sexagesimal), cuyo recíproco tiene 17 dígitos sexagesimales. Al señalar la dificultad tanto de calcular estos números como de ordenarlos, Donald Knuth aclamó en 1972 a Inaqibıt-Anu como "el primer hombre en la historia en resolver un problema computacional que lleva más de un segundo de tiempo en una computadora electrónica moderna". (También se conocen dos tablas que dan aproximaciones de recíprocos de números no regulares, una de las cuales da recíprocos para todos los números del 56 al 80.) ^{[8] [9]}

Aunque la razón principal para preferir los números regulares a otros números tiene que ver con la finitud de sus recíprocos, algunos cálculos babilónicos distintos de los recíprocos también involucraban números regulares. Por ejemplo, se han encontrado tablas de cuadrados regulares ^[6] y Neugebauer ha interpretado la tablilla rota Plimpton 322 como una lista de ternas pitagóricas generadas por y tanto regulares como menores que 60. ^[10] Fowler y Robson discuten el cálculo de raíces cuadradas, como por ejemplo cómo los babilonios encontraron una aproximación a la raíz cuadrada de 2 , tal vez usando aproximaciones de números regulares de fracciones como 17/12. ^[9] ${\displaystyle (p^{2}-q^{2},\,2pq,\,p^{2}+q^{2})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Teoría musical

En teoría musical , la entonación justa de la escala diatónica involucra números regulares: las notas en una sola octava de esta escala tienen frecuencias proporcionales a los números en la secuencia 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48 de números regulares casi consecutivos. ^{[11] Por lo tanto, para un instrumento con esta afinación, todas las notas son} armónicos de números regulares de una sola frecuencia fundamental . Esta escala se llama afinación de límite 5 , lo que significa que el intervalo entre dos notas cualesquiera se puede describir como un producto 2 ⁱ 3 ^j 5 ^k de potencias de los números primos hasta 5, o equivalentemente como una relación de números regulares. ^[12]

También se han utilizado escalas musicales de 5 límites distintas de la escala diatónica familiar de la música occidental, tanto en músicas tradicionales de otras culturas como en música experimental moderna: Honingh y Bod (2005) enumeran 31 escalas de 5 límites diferentes, extraídas de una base de datos más grande de escalas musicales. Cada una de estas 31 escalas comparte con la entonación justa diatónica la propiedad de que todos los intervalos son proporciones de números regulares. ^[12] El tonnetz de Euler proporciona una representación gráfica conveniente de los tonos en cualquier afinación de 5 límites, al factorizar las relaciones de octava (potencias de dos) de modo que los valores restantes formen una cuadrícula plana . ^[12] Algunos teóricos de la música han afirmado de manera más general que los números regulares son fundamentales para la música tonal en sí, y que las proporciones de tonos basadas en primos mayores que 5 no pueden ser consonantes . ^[13] Sin embargo, el temperamento igual de los pianos modernos no es una afinación de límite 5, ^[14] y algunos compositores modernos han experimentado con afinaciones basadas en primos mayores de cinco. ^[15]

En relación con la aplicación de los números regulares a la teoría musical, resulta interesante encontrar pares de números regulares que difieran en uno. Hay exactamente diez pares de este tipo y cada uno de ellos define una proporción superparticular que tiene sentido como intervalo musical. Estos intervalos son 2/1 (la octava ), 3/2 (la quinta perfecta ), 4/3 (la cuarta perfecta ), 5/4 (la tercera mayor justa ), 6/5 (la tercera menor justa ), 9/8 (el tono mayor justo ), 10/9 (el tono menor justo ), 16/15 (el semitono diatónico justo ), 25/24 (el semitono cromático justo ) y 81/80 (la coma sintónica ). ^[16] ${\displaystyle (x,x+1)}$ ${\displaystyle {\tfrac {x+1}{x}}}$

En la teoría renacentista de la armonía universal , las proporciones musicales se utilizaban en otras aplicaciones, incluida la arquitectura de los edificios. En relación con el análisis de estas proporciones musicales y arquitectónicas compartidas, por ejemplo en la arquitectura de Palladio , los números regulares también se han denominado números enteros armónicos . ^[17]

Algoritmos

Los algoritmos para calcular los números regulares en orden ascendente fueron popularizados por Edsger Dijkstra . Dijkstra (1976, 1981) atribuye a Hamming el problema de construir la secuencia ascendente infinita de todos los números 5-suaves; este problema se conoce ahora como el problema de Hamming , y los números así generados también se denominan números de Hamming . Las ideas de Dijkstra para calcular estos números son las siguientes:

• La secuencia de números de Hamming comienza con el número 1.
• Los valores restantes en la secuencia tienen la forma , , y , donde es cualquier número de Hamming. ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle 3h}$ ${\displaystyle 5h}$ ${\displaystyle h}$
• Por lo tanto, la secuencia se puede generar generando el valor 1 y luego fusionando las secuencias , , y . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 2H}$ ${\displaystyle 3H}$ ${\displaystyle 5H}$

Este algoritmo se utiliza a menudo para demostrar el poder de un lenguaje de programación funcional perezoso , porque las implementaciones eficientes (implícitamente) concurrentes, utilizando un número constante de operaciones aritméticas por valor generado, se construyen fácilmente como se describió anteriormente. De manera similar, también son posibles implementaciones secuenciales imperativas o funcionales estrictas eficientes, mientras que las soluciones generativas explícitamente concurrentes pueden ser no triviales. ^[18]

En el lenguaje de programación Python , el código funcional perezoso para generar números regulares se utiliza como una de las pruebas integradas para comprobar la corrección de la implementación del lenguaje. ^[19]

Un problema relacionado, discutido por Knuth (1972), es el de listar todos los números sexagesimales de dígitos en orden ascendente (ver #matemáticas babilónicas arriba). En términos algorítmicos, esto es equivalente a generar (en orden) la subsecuencia de la secuencia infinita de números regulares, que van desde hasta . ^[8] Ver Gingerich (1965) para una descripción temprana del código de computadora que genera estos números fuera de orden y luego los ordena; ^[20] Knuth describe un algoritmo ad hoc, que atribuye a Bruins (1970), para generar los números de seis dígitos más rápidamente pero que no se generaliza de manera directa a valores mayores de . ^[8] Eppstein (2007) describe un algoritmo para calcular tablas de este tipo en tiempo lineal para valores arbitrarios de . ^[21] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 60^{k}}$ ${\displaystyle 60^{k+1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Otras aplicaciones

Heninger, Rains y Sloane (2006) muestran que, cuando es un número regular y es divisible por 8, la función generadora de una red unimodular par extremal -dimensional es una potencia ésima de un polinomio. ^[22] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Al igual que con otras clases de números suaves , los números regulares son importantes como tamaños de problemas en programas informáticos para realizar la transformada rápida de Fourier , una técnica para analizar las frecuencias dominantes de señales en datos que varían en el tiempo . Por ejemplo, el método de Temperton (1992) requiere que la longitud de la transformada sea un número regular. ^[23]

El Libro VIII de la República de Platón incluye una alegoría del matrimonio centrada en el número sumamente regular 60 ⁴ = 12.960.000 y sus divisores (véase el número de Platón ). Los estudiosos posteriores han invocado tanto las matemáticas babilónicas como la teoría musical en un intento de explicar este pasaje. ^[24]

Algunas especies de bambú liberan grandes cantidades de semillas en sincronía (un proceso llamado masting ) a intervalos que se han estimado como números regulares de años, con diferentes intervalos para diferentes especies, incluidos ejemplos con intervalos de 10, 15, 16, 30, 32, 48, 60 y 120 años. ^[25] Se ha planteado la hipótesis de que el mecanismo biológico para cronometrar y sincronizar este proceso se presta a números suaves, y en particular en este caso a números suaves de 5. Aunque los intervalos de masting estimados para algunas otras especies de bambú no son números regulares de años, esto puede explicarse como un error de medición. ^[25]

Notas

1. Inspirado en diagramas similares de Erkki Kurenniemi en "Acordes, escalas y celosías divisorias".
2. Sloane "A051037".
3. Pomerancia (1995).
4. Búsqueda OEIS de secuencias que involucran suavidad 5.
5. Berndt y Rankin (1995).
6. Aboe (1965).
7. Sachs (1947).
8. Knuth (1972).
9. Fowler y Robson (1998).
10. Véase Conway & Guy (1996) para un tratamiento popular de esta interpretación. Plimpton 322 tiene otras interpretaciones, para las cuales véase su artículo, pero todas implican números regulares.
11. Clarke (1877).
12. Honingh y Bod (2005).
13. Asmussen (2001), por ejemplo, afirma que "en cualquier pieza de música tonal" todos los intervalos deben ser proporciones de números regulares, haciéndose eco de afirmaciones similares de escritores mucho más antiguos, como Habens (1889). En la literatura de teoría musical moderna, esta afirmación se atribuye a menudo a Longuet-Higgins (1962), quien utilizó una disposición gráfica estrechamente relacionada con el tonnetz para organizar tonos de 5 límites.
14. Copiez (2003).
15. Lobo (2003).
16. Halsey y Hewitt (1972) señalan que esto se desprende del teorema de Størmer (Størmer 1897) y proporcionan una prueba para este caso; véase también Silver (1971).
17. Howard y Longair (1982).
18. Véase, por ejemplo, Hemmendinger (1988) o Yuen (1992).
19. Función m235 en test_generators.py.
20. Gingerich (1965).
21. Eppstein (2007).
22. Heninger, Rains y Sloane (2006).
23. Temperton (1992).
24. Barton (1908); McClain (1974).
25. Veller, Nowak y Davis (2015).

Referencias

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Enlaces externos

• Tabla de recíprocos de números regulares hasta 3600 del sitio web del profesor David E. Joyce, Universidad Clark.
• Generación de números de Hamming con RosettaCode en aproximadamente 50 lenguajes de programación