En matemáticas , una razón superparticular , también llamada número superparticular o razón epimórica , es el cociente de dos números enteros consecutivos .
Más concretamente, la relación toma la forma:
De este modo:
Un número superparticular es cuando un número mayor contiene un número menor, con el cual se compara, y al mismo tiempo una parte de él. Por ejemplo, cuando se comparan 3 y 2, contienen 2, más el 3 tiene otro 1, que es la mitad de dos. Cuando se comparan 3 y 4, cada uno contiene un 3, y el 4 tiene otro 1, que es una tercera parte de 3. Nuevamente, cuando se comparan 5 y 4, contienen el número 4, y el 5 tiene otro 1, que es la cuarta parte del número 4, etc.
— Throop (2006), [1]
Nicómaco escribió sobre las razones superparticulares en su tratado Introducción a la aritmética . Aunque estos números tienen aplicaciones en las matemáticas puras modernas , las áreas de estudio que más frecuentemente se refieren a las razones superparticulares con este nombre son la teoría musical [2] y la historia de las matemáticas . [3]
Como observó Leonhard Euler , los números superparticulares (incluyendo también las razones superparticulares múltiples, números formados al sumar un entero distinto de uno a una fracción unitaria ) son exactamente los números racionales cuya fracción continua simple termina después de dos términos. Los números cuya fracción continua termina en un término son los enteros, mientras que los números restantes, con tres o más términos en sus fracciones continuas, son superpartientes . [4]
representa el número irracional π de varias maneras como un producto de razones superparticulares y sus inversas . También es posible convertir la fórmula de Leibniz para π en un producto de Euler de razones superparticulares en el que cada término tiene un número primo como numerador y el múltiplo de cuatro más cercano como denominador: [5]
En la teoría de grafos , los números superparticulares (o más bien, sus recíprocos, 1/2, 2/3, 3/4, etc.) surgen a través del teorema de Erdős-Stone como los posibles valores de la densidad superior de un grafo infinito. [6]
En el estudio de la armonía , muchos intervalos musicales pueden expresarse como una razón superparticular (por ejemplo, debido a la equivalencia de octavas , el noveno armónico, 9/1, puede expresarse como una razón superparticular, 9/8). De hecho, si una razón era superparticular o no era el criterio más importante en la formulación de la armonía musical de Ptolomeo . [7] En esta aplicación, el teorema de Størmer puede usarse para enumerar todos los números superparticulares posibles para un límite dado ; es decir, todas las razones de este tipo en las que tanto el numerador como el denominador son números suaves . [2]
Estas proporciones también son importantes para la armonía visual. Las proporciones de aspecto de 4:3 y 3:2 son comunes en la fotografía digital [8] , y las proporciones de aspecto de 7:6 y 5:4 se utilizan en la fotografía de formato medio y gran formato respectivamente [9] .
Cada par de números enteros positivos adyacentes representa una razón superparticular y, de manera similar, cada par de armónicos adyacentes en la serie armónica (música) representa una razón superparticular. Muchas razones superparticulares individuales tienen sus propios nombres, ya sea en matemáticas históricas o en teoría musical. Entre ellas se incluyen las siguientes:
La raíz de algunos de estos términos proviene del latín sesqui- "uno y medio" (de semis "media" y -que "y") y describe la proporción 3:2.
{{citation}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ). Véase en particular la pág. 304.era el uso de la proporción superparticular..