Código gris

Ordenación de valores binarios, utilizada para posicionamiento y corrección de errores.

El código binario reflejado ( RBC ), también conocido como código binario reflejado ( RB ) o código Gray en honor a Frank Gray , es una ordenación del sistema numérico binario tal que dos valores sucesivos difieren en solo un bit (dígito binario).

Por ejemplo, la representación del valor decimal "1" en binario normalmente sería " 001 " y "2" sería " 010 ". En código Gray, estos valores se representan como " 001 " y " 011 ". De esa manera, para incrementar un valor de 1 a 2 solo se necesita cambiar un bit, en lugar de dos.

Los códigos Gray se utilizan ampliamente para evitar la salida espuria de los interruptores electromecánicos y para facilitar la corrección de errores en las comunicaciones digitales, como la televisión digital terrestre y algunos sistemas de televisión por cable . El uso del código Gray en estos dispositivos ayuda a simplificar las operaciones lógicas y a reducir los errores en la práctica. ^[3]

Función

Muchos dispositivos indican la posición mediante el cierre y la apertura de interruptores. Si ese dispositivo utiliza códigos binarios naturales , las posiciones 3 y 4 están una al lado de la otra, pero los tres bits de la representación binaria difieren:

El problema con los códigos binarios naturales es que los interruptores físicos no son ideales: es muy improbable que los interruptores físicos cambien de estado exactamente en sincronía. En la transición entre los dos estados que se muestran arriba, los tres interruptores cambian de estado. En el breve período en el que todos están cambiando, los interruptores leerán alguna posición falsa. Incluso sin el rebote de teclas , la transición podría verse como 011 — 001 — 101 — 100. Cuando los interruptores parecen estar en la posición 001 , el observador no puede decir si esa es la posición "real" 1, o un estado de transición entre otras dos posiciones. Si la salida alimenta un sistema secuencial , posiblemente a través de la lógica combinacional , entonces el sistema secuencial puede almacenar un valor falso.

Este problema se puede resolver cambiando solo un interruptor a la vez, por lo que nunca hay ninguna ambigüedad de posición, lo que resulta en códigos que asignan a cada uno de un conjunto contiguo de números enteros , o a cada miembro de una lista circular, una palabra de símbolos tal que no hay dos palabras de código idénticas y cada dos palabras de código adyacentes difieren exactamente en un símbolo. Estos códigos también se conocen como distancia unitaria , ^{[4] [5] [6] [7] [8]} distancia única , paso único , monostróficos ^{[9] [10] [7] [8]} o códigos sincópicos , ^[9] en referencia a la distancia de Hamming de 1 entre códigos adyacentes.

Invención

La patente de Gray introduce el término "código binario reflejado"

En principio, puede haber más de un código de este tipo para una longitud de palabra dada, pero el término código Gray se aplicó por primera vez a un código binario particular para números enteros no negativos, el código Gray binario reflejado o BRGC . El investigador de Bell Labs, George R. Stibitz, describió dicho código en una solicitud de patente de 1941, concedida en 1943. ^{[11] [12] [13]} Frank Gray introdujo el término código binario reflejado en su solicitud de patente de 1947, señalando que el código "aún no tenía un nombre reconocido". ^[14] Derivó el nombre del hecho de que "puede construirse a partir del código binario convencional mediante una especie de proceso de reflexión".

En la codificación estándar del Código Gray, el bit menos significativo sigue un patrón repetitivo de 2 activados, 2 desactivados (… 11001100 …); el siguiente dígito, un patrón de 4 activados, 4 desactivados; el i -ésimo bit menos significativo, un patrón de 2 ⁱ activados, 2 ⁱ desactivados. El dígito más significativo es una excepción a esto: para un código Gray de n bits, el dígito más significativo sigue el patrón 2 ^{n -1} activado, 2 ^{n -1} desactivado, que es la misma secuencia (cíclica) de valores que para el segundo dígito más significativo, pero desplazado hacia delante 2 ^{n -2} lugares. La versión de cuatro bits de esto se muestra a continuación:

Visualizado como un recorrido de vértices de un teseracto

Código Gray a lo largo de la línea numérica

Para el decimal 15, el código pasa al decimal 0 con un solo cambio de interruptor. Esto se denomina propiedad cíclica o de adyacencia del código. ^[15]

En las comunicaciones digitales modernas , los códigos Gray desempeñan un papel importante en la corrección de errores . Por ejemplo, en un esquema de modulación digital como QAM , donde los datos se transmiten normalmente en símbolos de 4 bits o más, el diagrama de constelación de la señal está dispuesto de modo que los patrones de bits transmitidos por puntos de constelación adyacentes difieran en solo un bit. Al combinar esto con la corrección de errores hacia adelante capaz de corregir errores de un solo bit, es posible que un receptor corrija cualquier error de transmisión que haga que un punto de constelación se desvíe hacia el área de un punto adyacente. Esto hace que el sistema de transmisión sea menos susceptible al ruido .

A pesar de que Stibitz describió este código ^{[11] [12] [13]} antes que Gray, el código binario reflejado recibió posteriormente el nombre de Gray por parte de otros que lo utilizaron. Dos solicitudes de patente diferentes de 1953 utilizan "código Gray" como nombre alternativo para el "código binario reflejado"; ^{[16] [17]} una de ellas también incluye "código de error mínimo" y "código de permutación cíclica" entre los nombres. ^[17] Una solicitud de patente de 1954 se refiere al "código Gray de Bell Telephone". ^[18] Otros nombres incluyen "código binario cíclico", ^[12] "código de progresión cíclica", ^{[19] [12]} "binario permutante cíclico" ^[20] o "binario permutado cíclico" (CPB). ^{[21] [22]}

El código Gray a veces se atribuye erróneamente al inventor del dispositivo eléctrico del siglo XIX, Elisha Gray . ^{[13] [23] [24] [25]}

Historia y aplicación práctica

Rompecabezas matemáticos

Los códigos binarios reflejados se aplicaron a problemas matemáticos antes de que fueran conocidos por los ingenieros.

El código Gray reflejado en binario representa el esquema subyacente del clásico rompecabezas de anillos chinos , un mecanismo de rompecabezas mecánico secuencial descrito por el francés Louis Gros en 1872. ^{[26] [13]}

Puede servir como guía de solución para el problema de las Torres de Hanoi , basado en un juego del francés Édouard Lucas en 1883. ^{[27] [28] [29] [30]} De manera similar, las configuraciones de juego llamadas Torres de Bucarest y Torres de Klagenfurt producen códigos Gray ternarios y pentarios. ^[31]

Martin Gardner escribió un relato popular del código Gray en su columna Mathematical Games de agosto de 1972 en Scientific American . ^[32]

El código también forma un ciclo hamiltoniano en un hipercubo , donde cada bit se ve como una dimensión.

Códigos de telegrafía

Cuando el ingeniero francés Émile Baudot cambió el uso de un código de 6 unidades (6 bits) a un código de 5 unidades para su sistema de telégrafo de impresión , en 1875 ^[33] o 1876, ^{[34] [35]} ordenó los caracteres alfabéticos en su rueda de impresión utilizando un código binario reflejado y asignó los códigos utilizando solo tres de los bits a las vocales. Con las vocales y consonantes ordenadas en su orden alfabético, ^{[36] [37] [38]} y otros símbolos colocados apropiadamente, el código de caracteres de 5 bits ha sido reconocido como un código binario reflejado. ^[13] Este código se conoció como código Baudot ^[39] y, con cambios menores, finalmente fue adoptado como Alfabeto Telegráfico Internacional No. 1 (ITA1, CCITT-1) en 1932. ^{[40] [41] [38]}

Casi al mismo tiempo, el germano-austriaco Otto Schäffler  [de] ^[42] demostró otro telégrafo de imprenta en Viena usando un código binario reflejado de 5 bits para el mismo propósito, en 1874. ^{[43] [13]}

Conversión de señal analógica a digital

Frank Gray , que se hizo famoso por inventar el método de señalización que se utilizó para la televisión en color compatible, inventó un método para convertir señales analógicas en grupos de códigos binarios reflejados utilizando un aparato basado en tubos de vacío . Presentada en 1947, el método y el aparato recibieron una patente en 1953, ^[14] y el nombre de Gray se quedó con los códigos. El aparato de " tubo PCM " que Gray patentó fue fabricado por Raymond W. Sears de Bell Labs, en colaboración con Gray y William M. Goodall, quien atribuyó a Gray la idea del código binario reflejado. ^[44]

Parte de la portada de la patente de Gray, que muestra el tubo PCM (10) con el código binario reflejado en la placa (15)

Gray estaba más interesado en utilizar los códigos para minimizar los errores en la conversión de señales analógicas a digitales; sus códigos todavía se utilizan hoy en día para este propósito.

Codificadores de posición

Codificador rotatorio para dispositivos de medición de ángulos marcado en código Gray binario reflejado de 3 bits (BRGC)

Un codificador rotatorio absoluto de código Gray con 13 pistas. La carcasa, el disco interruptor y la fuente de luz se encuentran en la parte superior; el elemento sensor y los componentes de soporte se encuentran en la parte inferior.

Los códigos Gray se utilizan en codificadores de posición lineales y rotatorios ( codificadores absolutos y codificadores de cuadratura ) en lugar de la codificación binaria ponderada. Esto evita la posibilidad de que, cuando varios bits cambian en la representación binaria de una posición, se produzca una lectura incorrecta debido a que algunos de los bits cambian antes que otros.

Por ejemplo, algunos codificadores rotatorios proporcionan un disco que tiene un patrón de código Gray conductor de electricidad en anillos concéntricos (pistas). Cada pista tiene un contacto de resorte metálico estacionario que proporciona contacto eléctrico al patrón de código conductor. Juntos, estos contactos producen señales de salida en forma de código Gray. Otros codificadores emplean mecanismos sin contacto basados ​​en sensores ópticos o magnéticos para producir las señales de salida del código Gray.

Independientemente del mecanismo o la precisión de un codificador móvil, pueden producirse errores de medición de posición en posiciones específicas (en los límites del código) porque el código puede estar cambiando en el momento exacto en que se lee (muestrea). Un código de salida binario puede provocar errores de medición de posición significativos porque es imposible hacer que todos los bits cambien exactamente al mismo tiempo. Si, en el momento en que se muestrea la posición, algunos bits han cambiado y otros no, la posición muestreada será incorrecta. En el caso de los codificadores absolutos, la posición indicada puede estar muy alejada de la posición real y, en el caso de los codificadores incrementales, esto puede dañar el seguimiento de la posición.

Por el contrario, el código Gray que utilizan los codificadores de posición garantiza que los códigos de dos posiciones consecutivas cualesquiera difieran en solo un bit y, en consecuencia, solo puede cambiar un bit a la vez. En este caso, el error de posición máximo será pequeño, lo que indica una posición adyacente a la posición real.

Algoritmos genéticos

Debido a las propiedades de distancia de Hamming de los códigos Gray, a veces se utilizan en algoritmos genéticos . ^[15] Son muy útiles en este campo, ya que las mutaciones en el código permiten cambios mayoritariamente incrementales, pero ocasionalmente un solo cambio de bit puede causar un gran salto y conducir a nuevas propiedades.

Minimización de circuitos booleanos

Los códigos Gray también se utilizan para etiquetar los ejes de los mapas de Karnaugh desde 1953 ^{[45] [46] [47]} así como en los gráficos circulares de Händler desde 1958, ^{[48] [49] [50] [51]} ambos métodos gráficos para la minimización de circuitos lógicos .

Corrección de errores

En las comunicaciones digitales modernas , los códigos Gray 1D y 2D desempeñan un papel importante en la prevención de errores antes de aplicar una corrección de errores . Por ejemplo, en un esquema de modulación digital como QAM , donde los datos se transmiten normalmente en símbolos de 4 bits o más, el diagrama de constelación de la señal está dispuesto de modo que los patrones de bits transmitidos por puntos de constelación adyacentes difieran en solo un bit. Al combinar esto con la corrección de errores hacia adelante capaz de corregir errores de un solo bit, es posible que un receptor corrija cualquier error de transmisión que haga que un punto de constelación se desvíe hacia el área de un punto adyacente. Esto hace que el sistema de transmisión sea menos susceptible al ruido .

• 
  Códigos 4-PSK
• 
  Códigos 8-PSK
• 
  Códigos 16-QAM

Comunicación entre dominios de reloj

Los diseñadores de lógica digital utilizan ampliamente los códigos Gray para pasar información de conteo de múltiples bits entre lógicas sincrónicas que operan a diferentes frecuencias de reloj. Se considera que la lógica opera en diferentes "dominios de reloj". Es fundamental para el diseño de chips grandes que operan con muchas frecuencias de reloj diferentes.

Recorriendo los estados en bicicleta con el mínimo esfuerzo

Si un sistema tiene que pasar secuencialmente por todas las combinaciones posibles de estados de encendido y apagado de un conjunto de controles, y los cambios de los controles requieren un gasto significativo (por ejemplo, tiempo, desgaste, trabajo humano), un código Gray minimiza la cantidad de cambios de configuración a solo un cambio por cada combinación de estados. Un ejemplo sería probar un sistema de tuberías para todas las combinaciones de configuraciones de sus válvulas operadas manualmente.

Se puede construir un código Gray equilibrado , ^[52] que invierta cada bit con la misma frecuencia. Dado que los cambios de bits se distribuyen de manera uniforme, esto es óptimo de la siguiente manera: los códigos Gray equilibrados minimizan el recuento máximo de cambios de bits para cada dígito.

Contadores de código Gray y aritmética

George R. Stibitz utilizó un código binario reflejado en un dispositivo de conteo de pulsos binarios ya en 1941. ^{[11] [12] [13]}

Un uso típico de los contadores de código Gray es la construcción de un búfer de datos FIFO (primero en entrar, primero en salir) que tiene puertos de lectura y escritura que existen en diferentes dominios de reloj. Los contadores de entrada y salida dentro de un FIFO de puerto dual a menudo se almacenan utilizando código Gray para evitar que se capturen estados transitorios no válidos cuando el conteo cruza dominios de reloj. ^[53] Los punteros de lectura y escritura actualizados deben pasarse entre dominios de reloj cuando cambian, para poder rastrear el estado de vacío y lleno de FIFO en cada dominio. Cada bit de los punteros se muestrea de forma no determinista para esta transferencia de dominio de reloj. Por lo tanto, para cada bit, se propaga el valor antiguo o el nuevo. Por lo tanto, si más de un bit en el puntero multibit está cambiando en el punto de muestreo, se puede propagar un valor binario "incorrecto" (ni nuevo ni antiguo). Al garantizar que solo un bit puede cambiar, los códigos Gray garantizan que los únicos valores muestreados posibles sean el valor multibit nuevo o antiguo. Normalmente se utilizan códigos Gray de longitud de potencia de dos.

A veces, los buses digitales en los sistemas electrónicos se utilizan para transmitir cantidades que solo pueden aumentar o disminuir de a una por vez, por ejemplo, la salida de un contador de eventos que se pasa entre dominios de reloj o a un convertidor digital a analógico. La ventaja de los códigos Gray en estas aplicaciones es que las diferencias en los retrasos de propagación de los muchos cables que representan los bits del código no pueden hacer que el valor recibido pase por estados que están fuera de la secuencia del código Gray. Esto es similar a la ventaja de los códigos Gray en la construcción de codificadores mecánicos, sin embargo, la fuente del código Gray es un contador electrónico en este caso. El contador en sí debe contar en código Gray, o si el contador funciona en binario, entonces el valor de salida del contador debe volver a cronometrarse después de que se haya convertido a código Gray, porque cuando un valor se convierte de binario a código Gray, ^{[nb 1]} es posible que las diferencias en los tiempos de llegada de los bits de datos binarios al circuito de conversión de binario a Gray signifiquen que el código podría pasar brevemente por estados que están muy fuera de secuencia. Agregar un registro sincronizado después del circuito que convierte el valor del conteo en código Gray puede introducir un ciclo de reloj de latencia, por lo que contar directamente en código Gray puede ser ventajoso. ^[54]

Para producir el siguiente valor de conteo en un contador de código Gray, es necesario tener alguna lógica combinacional que incremente el valor de conteo actual que está almacenado. Una forma de incrementar un número de código Gray es convertirlo en código binario ordinario, ^[55] sumarle uno con un sumador binario estándar y luego convertir el resultado nuevamente a código Gray. ^[56] Otros métodos de conteo en código Gray se analizan en un informe de Robert W. Doran , que incluye tomar la salida de los primeros pestillos de los flip flops maestro-esclavo en un contador de ondulación binaria. ^[57]

Direccionamiento de código Gray

Como la ejecución del código del programa generalmente genera un patrón de acceso a la memoria de instrucciones de direcciones consecutivas localmente, las codificaciones de bus que utilizan direccionamiento de código Gray en lugar de direccionamiento binario pueden reducir significativamente la cantidad de cambios de estado de los bits de dirección, reduciendo así el consumo de energía de la CPU en algunos diseños de bajo consumo. ^{[58] [59]}

Construyendo unnorte-Código Gray de bit

Los primeros pasos del método de reflexión y prefijo.

Permutación del código Gray de 4 bits

La lista de código Gray reflejada en binario para n bits se puede generar recursivamente a partir de la lista para n  − 1 bits reflejando la lista (es decir, enumerando las entradas en orden inverso), anteponiendo un 0 binario a las entradas de la lista original, anteponiendo un 1 binario a las entradas de la lista reflejada  y, a continuación, concatenando la lista original con la lista invertida. ^[13] Por ejemplo, generar la lista n  = 3 a partir de la lista n  = 2:

El código Gray de un bit es G ₁  = ( 0,1 ). Se puede pensar que se construye recursivamente como se indicó anteriormente a partir de un código Gray de cero bits G ₀  = (  Λ  ) que consiste en una única entrada de longitud cero. Este proceso iterativo de generación de G _{n +1} a partir de G _n deja claras las siguientes propiedades del código reflectivo estándar:

• G _n es una permutación de los números 0, ..., 2 ⁿ  − 1. (Cada número aparece exactamente una vez en la lista).
• G _n está incrustado como la primera mitad de G _{n +1} .
• Por lo tanto, la codificación es estable , en el sentido de que una vez que un número binario aparece en G _n aparece en la misma posición en todas las listas más largas; por lo que tiene sentido hablar del valor del código Gray reflectante de un número: G ( m ) = el m ésimo código Gray reflectante, contando desde 0.
• Cada entrada en G _n difiere de la entrada anterior en solo un bit. (La distancia de Hamming es 1).
• La última entrada en G _n difiere de la primera en solo un bit. (El código es cíclico).

Estas características sugieren un método simple y rápido de traducir un valor binario al código Gray correspondiente. Cada bit se invierte si el siguiente bit más alto del valor de entrada se establece en uno. Esto se puede realizar en paralelo mediante una operación de desplazamiento de bits y de o exclusivo si están disponibles: el código Gray n -ésimo se obtiene calculando . Anteponer un bit 0 deja sin cambios el orden de las palabras de código, anteponer un bit 1 invierte el orden de las palabras de código. Si se invierten los bits en la posición de las palabras de código, se invierte el orden de los bloques vecinos de palabras de código. Por ejemplo, si se invierte el bit 0 en una secuencia de palabras de código de 3 bits, se invierte el orden de dos palabras de código vecinas. ${\displaystyle n\oplus \left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 2^{i}}$

000,001,010,011,100,101,110,111 → 001,000,011,010,101,100,111,110  (invertir bit 0)

Si se invierte el bit 1, los bloques de 2 palabras de código cambian de orden:

000,001,010,011,100,101,110,111 → 010,011,000,001,110,111,100,101  (invertir bit 1)

Si se invierte el bit 2, los bloques de 4 palabras de código invierten el orden:

000,001,010,011,100,101,110,111 → 100,101,110,111,000,001,010,011  (invertir bit 2)

Por lo tanto, al ejecutar una operación exclusiva o en un bit en la posición con el bit en la posición se deja intacto el orden de las palabras de código si , y se invierte el orden de los bloques de palabras de código si . Ahora bien, esta es exactamente la misma operación que el método reflect-and-prefix para generar el código Gray. ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle b_{i+1}}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle b_{i+1}={\mathtt {0}}}$ ${\displaystyle 2^{i+1}}$ ${\displaystyle b_{i+1}={\mathtt {1}}}$

Se puede utilizar un método similar para realizar la traducción inversa, pero el cálculo de cada bit depende del valor calculado del siguiente bit superior, por lo que no se puede realizar en paralelo. Suponiendo que es el bit codificado en Gray ( siendo el bit más significativo), y es el bit codificado en binario ( siendo el bit más significativo), la traducción inversa se puede dar de forma recursiva: , y . Alternativamente, la decodificación de un código Gray en un número binario se puede describir como una suma de prefijo de los bits en el código Gray, donde cada operación de suma individual en la suma de prefijo se realiza módulo dos. ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle b_{0}=g_{0}}$ ${\displaystyle b_{i}=g_{i}\oplus b_{i-1}}$

Para construir el código Gray binario reflejado de forma iterativa, en el paso 0 comience con , y en el paso encuentre la posición de bit del 1 menos significativo en la representación binaria de e invierta el bit en esa posición en el código anterior para obtener el siguiente código . Las posiciones de bit comienzan 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, .... ^{[nb 2]} Consulte encontrar el primer conjunto para obtener algoritmos eficientes para calcular estos valores. ${\displaystyle \mathrm {code} _{0}={\mathtt {0}}}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathrm {code} _{i-1}}$ ${\displaystyle \mathrm {code} _{i}}$

Conversión hacia y desde código Gray

Las siguientes funciones en C convierten entre números binarios y sus códigos Gray asociados. Si bien puede parecer que la conversión de Gray a binario requiere que cada bit se maneje de a uno por vez, existen algoritmos más rápidos. ^{[60] [55] [nb 1]}

tipo def int sin signo uint ;   // Esta función convierte un número binario sin signo en código binario Gray reflejado. uint BinaryToGray ( uint num ) { return num ^ ( num >> 1 ); // El operador >> es desplazamiento a la derecha. El operador ^ es or exclusivo. }         // Esta función convierte un número de código Gray binario reflejado en un número binario. uint GrayToBinary ( uint num ) { uint mask = num ; while ( mask ) { // Cada bit de código Gray se asocia de forma exclusiva con todos los bits más significativos. mask >>= 1 ; num ^= mask ; } return num ; }                   // Una versión más eficiente para códigos Gray de 32 bits o menos mediante el uso de técnicas SWAR (SIMD dentro de un registro). // Implementa una función XOR de prefijo paralelo. Las instrucciones de asignación pueden estar en cualquier orden. // // Esta función se puede adaptar para códigos Gray más largos agregando pasos.uint GrayToBinary32 ( uint num ) { num ^= num >> 16 ; num ^= num >> 8 ; num ^= num >> 4 ; num ^= num >> 2 ; num ^= num >> 1 ; return num ; } // Una variante de cuatro bits a la vez cambia un número binario (abcd)2 a (abcd)2 ^ (00ab)2, luego a (abcd)2 ^ (00ab)2 ^ (0abc)2 ^ (000a)2.                             

En los procesadores más nuevos, la cantidad de instrucciones ALU en el paso de decodificación se puede reducir aprovechando el conjunto de instrucciones CLMUL . Si MASK es la cadena binaria constante de unos que termina con un solo dígito cero, entonces la multiplicación sin acarreo de MASK con la codificación gris de x siempre dará x o su negación bit a bit.

Tipos especiales de códigos Gray

En la práctica, el "código Gray" casi siempre se refiere a un código Gray binario reflejado (BRGC). Sin embargo, los matemáticos han descubierto otros tipos de códigos Gray. Al igual que los BRGC, cada uno consiste en una lista de palabras, donde cada palabra difiere de la siguiente en solo un dígito (cada palabra tiene una distancia de Hamming de 1 con respecto a la palabra siguiente).

Códigos grises connortebits y de longitud menor a 2norte

Es posible construir códigos Gray binarios con n bits con una longitud menor que 2 ⁿ , si la longitud es par. Una posibilidad es comenzar con un código Gray balanceado y eliminar pares de valores al principio y al final, o en el medio. ^{[61] La secuencia} OEIS A290772 ^[62] proporciona el número de posibles secuencias Gray de longitud 2 n que incluyen cero y utilizan el número mínimo de bits.

norte-Código Gray ario

Existen muchos tipos especializados de códigos Gray además del código Gray de reflexión binaria. Uno de estos tipos de códigos Gray es el código Gray n -ario , también conocido como código Gray no booleano . Como su nombre lo indica, este tipo de código Gray utiliza valores no booleanos en sus codificaciones.

Por ejemplo, un código Gray 3-ario ( ternario ) utilizaría los valores 0,1,2. ^[31] El código Gray ( n ,  k ) es el código Gray n -ario con k dígitos. ^[63] La secuencia de elementos en el código Gray (3, 2) es: 00,01,02,12,11,10,20,21,22. El código Gray ( n ,  k ) puede construirse recursivamente, como el BRGC, o puede construirse iterativamente . Se presenta un algoritmo para generar iterativamente el código Gray ( N ,  k ) (en C ):

// entradas: base, dígitos, valor // salida: Gray // Convierte un valor en un código Gray con la base y los dígitos dados. // Iterar a través de una secuencia de valores daría como resultado una secuencia // de códigos Gray en la que solo cambia un dígito a la vez. void toGray ( unsigned base , unsigned digits , unsigned value , unsigned gray [ digit ]) { unsigned baseN [ digit ]; // Almacena el número base-N ordinario, un dígito por entrada unsigned i ; // La variable de bucle // Coloca el número baseN normal en la matriz baseN. Para la base 10, 109 // se almacenaría como [9,0,1] for ( i = 0 ; i < digits ; i ++ ) { baseN [ i ] = value % base ; value = value / base ; } // Convierte el número baseN normal en el código Gray equivalente. Ten en cuenta que // el bucle comienza en el dígito más significativo y va hacia abajo. unsigned shift = 0 ; mientras ( i -- ) { // El dígito Gray se desplaza hacia abajo por la suma de los dígitos superiores. gray [ i ] = ( baseN [ i ] + shift ) % base ; shift = shift + base - gray [ i ]; // Restar de la base para que shift sea positivo } } // EJEMPLOS // entrada: valor = 1899, base = 10, dígitos = 4 // salida: baseN[] = [9,9,8,1], gray[] = [0,1,7,1] // entrada: valor = 1900, base = 10, dígitos = 4 // salida: baseN[] = [0,0,9,1], gray[] = [0,1,8,1]                                              

Existen otros algoritmos de código Gray para los códigos Gray ( n , k ). El código Gray ( n , k ) producido por el algoritmo anterior siempre es cíclico; algunos algoritmos, como el de Guan, ^[63] carecen de esta propiedad cuando k es impar. Por otro lado, aunque con este método solo cambia un dígito a la vez, puede cambiar envolviéndolo (haciendo un bucle de n  − 1 a 0). En el algoritmo de Guan, el conteo aumenta y disminuye alternativamente, de modo que la diferencia numérica entre dos dígitos del código Gray siempre es uno.

Los códigos Gray no están definidos de forma única, ya que una permutación de las columnas de un código de este tipo también es un código Gray. El procedimiento anterior produce un código en el que cuanto menor sea la importancia de un dígito, más a menudo cambia, lo que lo hace similar a los métodos de conteo normales.

Véase también Sistema de numeración binaria sesgada , una variante del sistema de numeración ternario en el que como máximo cambian dos dígitos en cada incremento, ya que cada incremento puede realizarse con una operación de acarreo de un dígito como máximo .

Código Gray equilibrado

Aunque el código Gray binario reflejado es útil en muchos escenarios, no es óptimo en ciertos casos debido a una falta de "uniformidad". ^[52] En los códigos Gray balanceados , el número de cambios en las diferentes posiciones de coordenadas es lo más cercano posible. Para hacer esto más preciso, sea G un ciclo Gray completo R -ario que tiene una secuencia de transición ; los conteos de transición ( espectro ) de G son la colección de números enteros definidos por ${\displaystyle (\delta _{k})}$

${\displaystyle \lambda _{k}=|\{j\in \mathbb {Z} _{R^{n}}:\delta _{j}=k\}|\,,{\text{ for }}k\in \mathbb {Z} _{n}}$

Un código Gray es uniforme o uniformemente balanceado si sus conteos de transición son todos iguales, en cuyo caso tenemos para todo k . Claramente, cuando , tales códigos existen solo si n es una potencia de 2. ^[64] Si n no es una potencia de 2, es posible construir códigos binarios bien balanceados donde la diferencia entre dos conteos de transición es como máximo 2; de modo que (combinando ambos casos) cada conteo de transición es o . ^[52] Los códigos Gray también pueden estar balanceados exponencialmente si todos sus conteos de transición son potencias adyacentes de dos, y tales códigos existen para cada potencia de dos. ^[65] ${\displaystyle \lambda _{k}={\tfrac {R^{n}}{n}}}$ ${\displaystyle R=2}$ ${\displaystyle 2\left\lfloor {\tfrac {2^{n}}{2n}}\right\rfloor }$ ${\displaystyle 2\left\lceil {\tfrac {2^{n}}{2n}}\right\rceil }$

Por ejemplo, un código Gray equilibrado de 4 bits tiene 16 transiciones, que se pueden distribuir uniformemente entre las cuatro posiciones (cuatro transiciones por posición), lo que lo hace uniformemente equilibrado: ^[52]

0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0

0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

Mientras que un código Gray de 5 bits balanceado tiene un total de 32 transiciones, que no se pueden distribuir de manera uniforme entre las posiciones. En este ejemplo, cuatro posiciones tienen seis transiciones cada una y una tiene ocho: ^[52]

1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0

1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1

Ahora mostraremos una construcción ^[66] e implementación ^[67] para códigos Gray binarios bien balanceados que nos permite generar un código Gray balanceado de n dígitos para cada n . El principio principal es construir inductivamente un código Gray de ( n  + 2) dígitos dado un código Gray de n dígitos G de tal manera que se preserve la propiedad balanceada. Para hacer esto, consideramos particiones de en un número par L de bloques no vacíos de la forma ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G=g_{0},\ldots ,g_{2^{n}-1}}$

${\displaystyle \left\{g_{0}\right\},\left\{g_{1},\ldots ,g_{k_{2}}\right\},\left\{g_{k_{2}+1},\ldots ,g_{k_{3}}\right\},\ldots ,\left\{g_{k_{L-2}+1},\ldots ,g_{-2}\right\},\left\{g_{-1}\right\}}$

donde , , y ). Esta partición induce un código Gray de dígitos dado por ${\displaystyle k_{1}=0}$ ${\displaystyle k_{L-1}=-2}$ ${\displaystyle k_{L}\equiv -1{\pmod {2^{n}}}}$ ${\displaystyle (n+2)}$

${\displaystyle {\mathtt {00}}g_{0},}$

${\displaystyle {\mathtt {00}}g_{1},\ldots ,{\mathtt {00}}g_{k_{2}},{\mathtt {01}}g_{k_{2}},\ldots ,{\mathtt {01}}g_{1},{\mathtt {11}}g_{1},\ldots ,{\mathtt {11}}g_{k_{2}},}$

${\displaystyle {\mathtt {11}}g_{k_{2}+1},\ldots ,{\mathtt {11}}g_{k_{3}},{\mathtt {01}}g_{k_{3}},\ldots ,{\mathtt {01}}g_{k_{2}+1},{\mathtt {00}}g_{k_{2}+1},\ldots ,{\mathtt {00}}g_{k_{3}},\ldots ,}$

${\displaystyle {\mathtt {00}}g_{-2},{\mathtt {00}}g_{-1},{\mathtt {10}}g_{-1},{\mathtt {10}}g_{-2},\ldots ,{\mathtt {10}}g_{0},{\mathtt {11}}g_{0},{\mathtt {11}}g_{-1},{\mathtt {01}}g_{-1},{\mathtt {01}}g_{0}}$

Si definimos las multiplicidades de transición

${\displaystyle m_{i}=\left|\left\{j:\delta _{k_{j}}=i,1\leq j\leq L\right\}\right|}$

para ser el número de veces que el dígito en la posición i cambia entre bloques consecutivos en una partición, entonces para el código Gray de ( n  + 2) dígitos inducido por esta partición el espectro de transición es ${\displaystyle \lambda '_{i}}$

${\displaystyle \lambda '_{i}={\begin{cases}4\lambda _{i}-2m_{i},&{\text{if }}0\leq i<n\\L,&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$

La parte delicada de esta construcción es encontrar una partición adecuada de un código Gray de n dígitos balanceado de tal manera que el código inducido por él permanezca balanceado, pero para esto solo importan las multiplicidades de transición; unir dos bloques consecutivos sobre una transición de dígito y dividir otro bloque en otra transición de dígito produce un código Gray diferente con exactamente el mismo espectro de transición , por lo que uno puede, por ejemplo ^[65] designar las primeras transiciones en dígito como aquellas que caen entre dos bloques. Se pueden encontrar códigos uniformes cuando y , y esta construcción se puede extender también al caso R -ario. ^[66] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \lambda '_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle R\equiv 0{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle R^{n}\equiv 0{\pmod {n}}}$

Códigos Gray de largo plazo

Los códigos Gray de largo recorrido (o de intervalo máximo ) maximizan la distancia entre cambios consecutivos de dígitos en la misma posición. Es decir, la longitud mínima de recorrido de cualquier bit permanece inalterada durante el mayor tiempo posible. ^[68]

Códigos grises monótonos

Los códigos monótonos son útiles en la teoría de redes de interconexión, especialmente para minimizar la dilatación de matrices lineales de procesadores. ^[69] Si definimos el peso de una cadena binaria como la cantidad de 1 en la cadena, entonces, aunque claramente no podemos tener un código Gray con un peso estrictamente creciente, es posible que queramos aproximarnos a esto haciendo que el código pase por dos pesos adyacentes antes de llegar al siguiente.

Podemos formalizar el concepto de códigos Gray monótonos de la siguiente manera: considere la partición del hipercubo en niveles de vértices que tienen igual peso, es decir ${\displaystyle Q_{n}=(V_{n},E_{n})}$

${\displaystyle V_{n}(i)=\{v\in V_{n}:v{\text{ has weight }}i\}}$

para . Estos niveles satisfacen . Sea el subgrafo de inducido por , y sean las aristas en . Un código Gray monótono es entonces un camino hamiltoniano en tal que siempre que aparece antes en el camino, entonces . ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ${\displaystyle |V_{n}(i)|=\textstyle {\binom {n}{i}}}$ ${\displaystyle Q_{n}(i)}$ ${\displaystyle Q_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}(i)\cup V_{n}(i+1)}$ ${\displaystyle E_{n}(i)}$ ${\displaystyle Q_{n}(i)}$ ${\displaystyle Q_{n}}$ ${\displaystyle \delta _{1}\in E_{n}(i)}$ ${\displaystyle \delta _{2}\in E_{n}(j)}$ ${\displaystyle i\leq j}$

Una construcción elegante de códigos Gray monótonos de n dígitos para cualquier n se basa en la idea de construir recursivamente subcaminos de longitud que tengan aristas en . ^[69] Definimos , siempre que o , y ${\displaystyle P_{n,j}}$ ${\displaystyle 2\textstyle {\binom {n}{j}}}$ ${\displaystyle E_{n}(j)}$ ${\displaystyle P_{1,0}=({\mathtt {0}},{\mathtt {1}})}$ ${\displaystyle P_{n,j}=\emptyset }$ ${\displaystyle j<0}$ ${\displaystyle j\geq n}$

${\displaystyle P_{n+1,j}={\mathtt {1}}P_{n,j-1}^{\pi _{n}},{\mathtt {0}}P_{n,j}}$

De lo contrario, aquí, es una permutación adecuadamente definida y se refiere a la ruta P con sus coordenadas permutadas por . Estas rutas dan lugar a dos códigos Gray monótonos de n dígitos y están dadas por ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle P^{\pi }}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G_{n}^{(1)}}$ ${\displaystyle G_{n}^{(2)}}$

${\displaystyle G_{n}^{(1)}=P_{n,0}P_{n,1}^{R}P_{n,2}P_{n,3}^{R}\cdots {\text{ and }}G_{n}^{(2)}=P_{n,0}^{R}P_{n,1}P_{n,2}^{R}P_{n,3}\cdots }$

La elección de cuál garantiza que estos códigos sean realmente códigos Gray resulta ser . Los primeros valores de se muestran en la tabla siguiente. ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}=E^{-1}\left(\pi _{n-1}^{2}\right)}$ ${\displaystyle P_{n,j}}$

Estos códigos Gray monótonos se pueden implementar de manera eficiente de tal manera que cada elemento subsiguiente se pueda generar en tiempo O ( n ). El algoritmo se describe más fácilmente utilizando corrutinas .

Los códigos monótonos tienen una conexión interesante con la conjetura de Lovász , que establece que cada grafo transitivo de vértice conectado contiene un camino hamiltoniano. El subgrafo de "nivel medio" es transitivo de vértice (es decir, su grupo de automorfismos es transitivo, de modo que cada vértice tiene el mismo "entorno local" y no se puede diferenciar de los demás, ya que podemos reetiquetar las coordenadas así como los dígitos binarios para obtener un automorfismo ) y el problema de encontrar un camino hamiltoniano en este subgrafo se denomina "problema de niveles medios", que puede proporcionar información sobre la conjetura más general. La pregunta ha sido respondida afirmativamente para , y la construcción precedente para códigos monótonos asegura un camino hamiltoniano de longitud al menos 0,839 ‍ N , donde N es el número de vértices en el subgrafo de nivel medio. ^[70] ${\displaystyle Q_{2n+1}(n)}$ ${\displaystyle n\leq 15}$

Código Beckett-Gray

Otro tipo de código Gray, el código Beckett-Gray , recibe su nombre del dramaturgo irlandés Samuel Beckett , que estaba interesado en la simetría . Su obra " Quad " presenta cuatro actores y está dividida en dieciséis períodos de tiempo. Cada período termina con uno de los cuatro actores entrando o saliendo del escenario. La obra comienza y termina con un escenario vacío, y Beckett quería que cada subconjunto de actores apareciera en el escenario exactamente una vez. ^[71] Claramente, el conjunto de actores que se encuentran actualmente en el escenario puede representarse mediante un código Gray binario de 4 bits. Beckett, sin embargo, puso una restricción adicional en el guion: quería que los actores entraran y salieran de modo que el actor que hubiera estado en el escenario durante más tiempo siempre fuera el que saliera. Los actores podrían entonces representarse mediante una cola de primero en entrar, primero en salir , de modo que (de los actores en el escenario) el actor que se retira de la cola sea siempre el que se puso en cola primero. ^[71] Beckett no pudo encontrar un código Beckett-Gray para su obra y, de hecho, una lista exhaustiva de todas las secuencias posibles revela que no existe tal código para n = 4. Hoy se sabe que existen tales códigos para n = 2, 5, 6, 7 y 8, y no existen para n = 3 o 4. Un ejemplo de un código Beckett-Gray de 8 bits se puede encontrar en Art of Computer Programming de Donald Knuth . ^[13] Según Sawada y Wong, el espacio de búsqueda para n = 6 se puede explorar en 15 horas, y más deSe han encontrado 9500 soluciones para el caso n = 7. ^[72]

Códigos de la serpiente en la caja

Longitudes máximas de serpientes ( L _s ) y bobinas ( L _c ) en el problema de las serpientes en la caja para dimensiones n de 1 a 4

Los códigos de serpiente en la caja , o snakes , son las secuencias de nodos de caminos inducidos en un grafo de hipercubo n -dimensional , y los códigos de bobina en la caja, ^[73] o coils , son las secuencias de nodos de ciclos inducidos en un hipercubo. Vistas como códigos Gray, estas secuencias tienen la propiedad de poder detectar cualquier error de codificación de un solo bit. Los códigos de este tipo fueron descritos por primera vez por William H. Kautz a fines de la década de 1950; ^[5] desde entonces, ha habido mucha investigación para encontrar el código con el mayor número posible de palabras de código para una dimensión de hipercubo dada.

Código Gray de vía única

Otro tipo de código Gray es el código Gray de pista única (STGC) desarrollado por Norman B. Spedding ^{[74] [75]} y refinado por Hiltgen, Paterson y Brandestini en Single-track Gray Codes (1996). ^{[76] [77]} El STGC es una lista cíclica de P codificaciones binarias únicas de longitud n tales que dos palabras consecutivas difieren exactamente en una posición, y cuando la lista se examina como una matriz P  ×  n , cada columna es un desplazamiento cíclico de la primera columna. ^[78]

Versión animada y codificada por colores del rotor STGC.

El nombre proviene de su uso con codificadores rotatorios , donde una serie de pistas son detectadas por contactos, lo que resulta para cada una en una salida de 0 o 1. Para reducir el ruido debido a que los diferentes contactos no cambian exactamente en el mismo momento en el tiempo, es preferible configurar las pistas de modo que la salida de datos por los contactos esté en código Gray. Para obtener una alta precisión angular, se necesitan muchos contactos; para lograr una precisión de al menos 1°, se necesitan al menos 360 posiciones distintas por revolución, lo que requiere un mínimo de 9 bits de datos y, por lo tanto, la misma cantidad de contactos.

Si todos los contactos se colocan en la misma posición angular, se necesitan 9 pistas para obtener un BRGC estándar con una precisión de al menos 1°. Sin embargo, si el fabricante mueve un contacto a una posición angular diferente (pero a la misma distancia del eje central), entonces el "patrón de anillo" correspondiente debe rotarse el mismo ángulo para obtener el mismo resultado. Si el bit más significativo (el anillo interior en la Figura 1) se rota lo suficiente, coincide exactamente con el siguiente anillo. Como ambos anillos son idénticos, se puede cortar el anillo interior y mover el sensor de ese anillo al anillo idéntico restante (pero desplazado en ese ángulo respecto del otro sensor en ese anillo). Esos dos sensores en un solo anillo forman un codificador de cuadratura. Eso reduce el número de pistas para un codificador angular de "resolución de 1°" a 8 pistas. Reducir aún más el número de pistas no se puede hacer con BRGC.

Durante muchos años, Torsten Sillke ^[79] y otros matemáticos creyeron que era imposible codificar la posición en una sola pista de modo que las posiciones consecutivas difirieran en un solo sensor, excepto en el caso del codificador de cuadratura de 2 sensores y 1 pista. Por lo tanto, para aplicaciones en las que 8 pistas eran demasiado voluminosas, se utilizaban codificadores incrementales de una sola pista (codificadores de cuadratura) o codificadores de "codificador de cuadratura + muesca de referencia" de 2 pistas.

Sin embargo, Norman B. Spedding registró una patente en 1994 con varios ejemplos que demostraban que era posible. ^[74] Aunque no es posible distinguir 2 ⁿ posiciones con n sensores en una sola pista, es posible distinguir cerca de esa cantidad. Etzion y Paterson conjeturan que cuando n es en sí mismo una potencia de 2, n sensores pueden distinguir como máximo 2 ⁿ  − 2 n posiciones y que para n primo el límite es 2 ⁿ  − 2 posiciones. ^[80] Los autores continuaron generando un código de pista única de 504 posiciones de longitud 9 que creen que es óptimo. Dado que este número es mayor que 2 ⁸ = 256, cualquier código requiere más de 8 sensores, aunque un BRGC podría distinguir 512 posiciones con 9 sensores.

 Se reproduce aquí un STGC para P  = 30 y n = 5:

Cada columna es un desplazamiento cíclico de la primera columna, y de cualquier fila a la siguiente solo cambia un bit. ^[81] La naturaleza de pista única (como una cadena de código) es útil en la fabricación de estas ruedas (en comparación con BRGC), ya que solo se necesita una pista, lo que reduce su costo y tamaño. La naturaleza del código Gray es útil (en comparación con los códigos en cadena , también llamados secuencias De Bruijn ), ya que solo cambiará un sensor en un momento dado, por lo que la incertidumbre durante una transición entre dos estados discretos solo será más o menos una unidad de medida angular que el dispositivo es capaz de resolver. ^[82]

Código Gray de pista única de 9 bits, que muestra una resolución angular de un grado.

Desde que se agregó este ejemplo de 30 grados, ha habido mucho interés en ejemplos con mayor resolución angular. En 2008, Gary Williams, ^[83] basándose en trabajos anteriores ^[80] descubrió un código Gray de pista única de 9 bits que brinda una resolución de 1 grado. Este código Gray se utilizó para diseñar un dispositivo real que se publicó en el sitio Thingiverse . Este dispositivo ^[84] fue diseñado por etzenseep (Florian Bauer) en septiembre de 2022.

 Se reproduce aquí un STGC para P  = 360 y n = 9:

Código Gray bidimensional

Diagrama de constelación codificado en Gray para 16- QAM rectangular

Los códigos Gray bidimensionales se utilizan en las comunicaciones para minimizar la cantidad de errores de bits en los puntos adyacentes de la constelación con modulación de amplitud en cuadratura (QAM) . En una codificación típica, los puntos adyacentes horizontales y verticales de la constelación difieren en un solo bit, y los puntos adyacentes diagonales difieren en 2 bits. ^[85]

Los códigos Gray bidimensionales también tienen usos en esquemas de identificación de ubicación , donde el código se aplicaría a mapas de área como una proyección de Mercator de la superficie de la Tierra y se usaría una función de distancia bidimensional cíclica apropiada como la métrica de Mannheim para calcular la distancia entre dos ubicaciones codificadas, combinando así las características de la distancia de Hamming con la continuación cíclica de una proyección de Mercator. ^[86]

Código Gray en exceso

Si se extrae una subsección de un valor de código específico de ese valor, por ejemplo los últimos 3 bits de un código Gray de 4 bits, el código resultante será un "código Gray en exceso". Este código muestra la propiedad de contar hacia atrás en esos bits extraídos si el valor original se incrementa aún más. La razón de esto es que los valores codificados en Gray no muestran el comportamiento de desbordamiento, conocido en la codificación binaria clásica, cuando aumentan más allá del valor "más alto".

Ejemplo: el código Gray de 3 bits más alto, 7, se codifica como (0)100. Si se suma 1, se obtiene el número 8, codificado en Gray como 1100. Los últimos 3 bits no se desbordan y cuentan hacia atrás si se aumenta aún más el código original de 4 bits.

Al trabajar con sensores que emiten múltiples valores codificados en Gray de manera serial, se debe prestar atención a si el sensor produce esos múltiples valores codificados en un único código Gray o como valores separados, ya que de lo contrario los valores podrían parecer contados hacia atrás cuando se espera un "desbordamiento".

Isometría gris

La aplicación biyectiva { 0 ↔ 00 , 1 ↔ 01 , 2 ↔ 11 , 3 ↔ 10 } establece una isometría entre el espacio métrico sobre el cuerpo finito con la métrica dada por la distancia de Hamming y el espacio métrico sobre el anillo finito (la aritmética modular habitual ) con la métrica dada por la distancia de Lee . La aplicación se extiende adecuadamente a una isometría de los espacios de Hamming y . Su importancia radica en establecer una correspondencia entre varios códigos "buenos" pero no necesariamente lineales como imágenes de mapa Gray en de códigos lineales de anillo de . ^{[87] [88]} ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{2m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$

Códigos relacionados

Hay una serie de códigos binarios similares a los códigos Gray, entre ellos:

• Los códigos Datex, también conocidos como códigos Giannini (1954), descritos por Carl P. Spaulding, ^{[9] [89] [90] [91] [92] [8]} utilizan una variante del código O'Brien II.
• Los códigos utilizados por Varec (ca. 1954), ^{[93] [94] [95] [96]} utilizan una variante del código O'Brien I, así como variantes del código Gray base 12 y base 16.
• Código Lucal (1959) ^{[1] [2] [57]} también conocido como código binario reflejado modificado (MRB) ^{[1] [2] [nb 3]}
• El código Gillham (1961/1962), ^{[90] [97] [8] [98] [99]} utiliza una variante del código Datex y del código O'Brien II.
• Código de Leslie y Russell (1964) ^{[100] [10] [101] [97]}
• Código de establecimiento del Royal Radar ^[97]
• Código Hoklas (1988) ^{[102] [103] [104]}

Los siguientes códigos decimales codificados en binario (BCD) también son variantes del código Gray:

• Código Petherick (1953), ^{[19] [105] [106] [107] [55] [103] [nb 4]} también conocido como código Royal Aircraft Establishment (RAE). ^[108]
• Códigos O'Brien I y II (1955) ^{[109] [110] [111] [91] [92] [103]} (Un código O'Brien tipo I ^{[nb 5]} ya fue descrito por Frederic A. Foss de IBM ^{[112] [113]} y utilizado por Varec en 1954. Más tarde, también se lo conoció como código Watts o código decimal reflejado de Watts (WRD) y a veces se lo denomina ambiguamente código Gray binario reflejado modificado. ^{[114] [20] [21] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [nb 1] [nb 3]} Un código O'Brien tipo II ya fue utilizado por Datex en 1954. ^{[nb 4]} )
• Código Gray de exceso-3 (1956) ^[121] (también conocido como código Gray de exceso-3 , ^{[91] [92] [8]} código Gray de exceso-3, código Gray de exceso-3 reflejo, código Gray de exceso, ^[103] código Gray de exceso-3, código Gray de exceso-10-3 o código Gray–Stibitz), descrito por Frank P. Turvey Jr. de ITT . ^[121]
• Códigos Tompkins I y II (1956) ^{[4] [110] [111] [91] [92] [103]}
• Código Glixon (1957), a veces llamado ambiguamente también código Gray modificado ^{[122] [55] [123 ] [124] [110] [111] [91] [92] [103] [nb 3] [nb 5]}

Véase también

• Registro de desplazamiento con retroalimentación lineal
• Secuencia de De Bruijn
• Algoritmo Steinhaus–Johnson–Trotter : un algoritmo que genera códigos Gray para el sistema de numeración factorial
• Código de distancia mínima
• Secuencia Prouhet-Thue-Morse : relacionada con el código Gray inverso
• Fórmula de Ryser
• Curva de Hilbert

Notas

1. Aplicando una regla de inversión simple , el código Gray y el código O'Brien I pueden traducirse al código binario puro 8421 y al código Aiken 2421 , respectivamente, para facilitar las operaciones aritméticas. ^[C]
2. Secuencia 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, … (secuencia A007814 en la OEIS ).
3. Existen varias variantes del código Gray que se denominan "modificadas" de algún modo: El código Glixon a veces se denomina código Gray modificado. ^[D] El código Lucal también se denomina código binario reflejado modificado (MRB). ^[E] El código O'Brien I o código Watts a veces se denomina código Gray modificado binario reflejado. ^[F]
4. Al intercambiar e invertir tres filas de bits, el código O'Brien II y el código Petherick se pueden transferir entre sí.
5. Al intercambiar dos pares de filas de bits, desplazando individualmente cuatro filas de bits e invirtiendo una de ellas, el código Glixon y el código O'Brien I pueden transferirse entre sí.
6. Libaw-Craig de 5 bits no relacionado con el código Gray y el código 1-2-1 .
7. Dependiendo de la aplicación de destino de un código, los pesos de Hamming de un código pueden ser propiedades importantes más allá de las consideraciones teóricas de codificación, también por razones físicas. En algunas circunstancias, los estados de todo despejado y/o todo listo deben omitirse (fe para evitar condiciones de no conducción o cortocircuito), puede ser deseable mantener el peso más alto utilizado lo más bajo posible (fe para reducir el consumo de energía del circuito lector) o mantener pequeña la varianza de los pesos utilizados (fe para reducir el ruido acústico o las fluctuaciones de corriente).
8. Para los códigos Gray BCD, Paul y Klar, la cantidad de pistas de lectura necesarias se puede reducir de 4 a 3 si la inversión de una de las pistas intermedias es aceptable.
9. Para los códigos O'Brien I y II y los códigos Petherick, Susskind, Klar y Gray Excess-3, se puede derivar un complemento de 9 invirtiendo el dígito binario más significativo (cuarto).
10. Para el código Tompkins II, se puede obtener un complemento de 9 invirtiendo los primeros tres dígitos e intercambiando los dos dígitos binarios del medio.

Referencias

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3. Gray, Joel (marzo de 2020). "Entender el código Gray: un sistema de codificación confiable". graycode.ie . Sección: Conclusión . Consultado el 30 de junio de 2023 .
4. Tompkins, Howard E. (septiembre de 1956) [16 de julio de 1956]. "Códigos binarios decimales de unidad de distancia para conmutación de dos vías". IRE Transactions on Electronic Computers . Correspondencia. EC-5 (3). Moore School of Electrical Engineering , University of Pennsylvania , Philadelphia, Pennsylvania, EE. UU.: 139. doi :10.1109/TEC.1956.5219934. ISSN  0367-9950. Archivado desde el original el 18 de mayo de 2020 . Consultado el 18 de mayo de 2020 .(1 página)
5. Kautz, William H. (junio de 1958). "Códigos de comprobación de errores de distancia unitaria". IRE Transactions on Electronic Computers . EC-7 (2): 179–180. doi :10.1109/TEC.1958.5222529. ISSN  0367-9950. S2CID  26649532.(2 páginas)
6. Susskind, Alfred Kriss; Ward, John Erwin (1958-03-28) [1957, 1956]. "III.F. Códigos de unidad de distancia / VI.E.2. Códigos binarios reflejados". Escrito en Cambridge, Massachusetts, EE. UU. En Susskind, Alfred Kriss (ed.). Notas sobre técnicas de conversión analógico-digital . Libros de tecnología en ciencia e ingeniería. Vol. 1 (3. ed.). Nueva York, EE. UU.: Technology Press del Instituto Tecnológico de Massachusetts / John Wiley & Sons, Inc. / Chapman & Hall, Ltd. pp. 3-10–3-16 [3-13–3-16], 6-65–6-60 [6-60].(x+416+2 páginas) (NB. El contenido del libro fue preparado originalmente por miembros del personal del Laboratorio de Servomecanismos , Departamento de Ingeniería Eléctrica, MIT , para los Programas Especiales de Verano celebrados en 1956 y 1957. El "código de tipo de lectura" de Susskind es en realidad una variante menor del código que se muestra aquí con las dos filas de bits más significativas intercambiadas para ilustrar mejor las simetrías. Además, al intercambiar dos filas de bits e invertir una de ellas, el código se puede transferir al código Petherick, mientras que al intercambiar e invertir dos filas de bits, el código se puede transferir al código O'Brien II.)
7. Chinal, Jean P. (enero de 1973). "3.3. Códigos de distancia unitaria". Escrito en París, Francia. Métodos de diseño para sistemas digitales. Traducido por Preston, Alan; Summer, Arthur (1.ª edición en inglés). Berlín, Alemania: Akademie-Verlag / Springer-Verlag . p. 50. doi :10.1007/978-3-642-86187-1. ISBN 978-0-387-05871-9. S2CID  60362404. Número de licencia 202-100/542/73. Número de orden 7617470(6047) ES 19 B 1 / 20 K 3 . Consultado el 21 de junio de 2020 .(xviii+506 páginas) (NB. El libro original francés de 1967 se llamó "Techniques Booléennes et Calculateurs Arithmétiques", publicado por Éditions Dunod  [fr] ).
8. Manual militar: codificadores: ángulo del eje a digital (PDF) . Departamento de Defensa de los Estados Unidos . 1991-09-30. MIL-HDBK-231A. Archivado (PDF) desde el original el 2020-07-25 . Consultado el 2020-07-25 .(NB. Reemplaza MIL-HDBK-231(AS) (1970-07-01).)
9. Spaulding, Carl P. (1965-01-12) [1954-03-09]. "Sistema de codificación y traducción digital" (PDF) . Monrovia, California, EE. UU.: Datex Corporation. Patente estadounidense 3165731A . Número de serie 415058. Archivado (PDF) desde el original el 2020-08-05 . Consultado el 2018-01-21 .(28 páginas)
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Enlaces externos

• Demostración de "Código Gris" por Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project (con implementación de Mathematica). 2007.
• Diccionario NIST de algoritmos y estructuras de datos: código Gray.
• Guía del autoestopista para la computación evolutiva, Q21: ¿Qué son los códigos Gray y por qué se utilizan?, incluido el código C para convertir entre binario y BRGC.
• Dragos A. Harabor utiliza códigos Gray en un digitalizador 3D.
• Los códigos grises de pista única, los códigos de cadena binarios (Lancaster 1994) y los registros de desplazamiento de retroalimentación lineal son útiles para encontrar la posición absoluta de uno en un codificador rotatorio de pista única (u otro sensor de posición).
• Columna AMS: Códigos Gray
• Generador de ruedas de codificador óptico
• ProtoTalk.net – Comprensión de la codificación en cuadratura: cubre la codificación en cuadratura con más detalle, con un enfoque en aplicaciones robóticas.