Quinto triple

En matemáticas, una terna quíntica es una hipersuperficie tridimensional de grado 5 en un espacio proyectivo de 4 dimensiones . Las ternas quínticas no singulares son variedades de Calabi-Yau . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$

El diamante de Hodge de una quintica triple no singular es

El matemático Robbert Dijkgraaf dijo: "Un número que todo geómetra algebraico conoce es el número 2.875 porque, obviamente, ese es el número de líneas de una ecuación de quinto grado". ^[1]

Definición

Una terna quíntica es una clase especial de variedades de Calabi-Yau definidas por una variedad proyectiva de grado en . Muchos ejemplos se construyen como hipersuperficies en , o intersecciones completas que se encuentran en , o como una variedad suave que resuelve las singularidades de otra variedad. Como conjunto, una variedad de Calabi-Yau es donde es un polinomio homogéneo de grado. Uno de los ejemplos más estudiados es el del polinomio llamado polinomio de Fermat . Probar que un polinomio de este tipo define una variedad de Calabi-Yau requiere algunas herramientas más, como la fórmula de adjunción y las condiciones de suavidad . ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ $${\displaystyle X=\{x=[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}]\in \mathbb {CP} ^{4}:p(x)=0\}}$$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle 5}$ $${\displaystyle p(x)=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}$$

Hipersuperficies en P4

Recordemos que un polinomio homogéneo (donde es el giro de Serre del fibrado de líneas del hiperplano ) define una variedad proyectiva , o esquema proyectivo , , del álgebra donde es un cuerpo, tal como . Luego, usando la fórmula de adjunción para calcular su fibrado canónico , tenemos por lo tanto para que la variedad sea Calabi-Yau, lo que significa que tiene un fibrado canónico trivial, su grado debe ser . Entonces es una variedad de Calabi-Yau si además esta variedad es suave . Esto se puede comprobar mirando los ceros de los polinomios y asegurándose de que el conjunto esté vacío. ${\displaystyle f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(d))}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(f)}}}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{X}^{3}&=\omega _{X}\\&=\omega _{\mathbb {P} ^{4}}\otimes {\mathcal {O}}(d)\\&\cong {\mathcal {O}}(-(4+1))\otimes {\mathcal {O}}(d)\\&\cong {\mathcal {O}}(d-5)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 5}$ $${\displaystyle \partial _{0}f,\ldots ,\partial _{4}f}$$ $${\displaystyle \{x=[x_{0}:\cdots :x_{4}]|f(x)=\partial _{0}f(x)=\cdots =\partial _{4}f(x)=0\}}$$

Ejemplos

Fermat Quintic

Uno de los ejemplos más fáciles de comprobar de una variedad de Calabi-Yau está dado por la triple quintica de Fermat , que está definida por el lugar de desaparición del polinomio. Al calcular las derivadas parciales de se obtienen los cuatro polinomios. Dado que los únicos puntos donde se desvanecen están dados por los ejes de coordenadas en , el lugar de desaparición está vacío ya que no es un punto en . $${\displaystyle f=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{0}f=5x_{0}^{4}\\\partial _{1}f=5x_{1}^{4}\\\partial _{2}f=5x_{2}^{4}\\\partial _{3}f=5x_{3}^{4}\\\partial _{4}f=5x_{4}^{4}\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle [0:0:0:0:0]}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$

Como banco de pruebas de la conjetura de Hodge

Otra aplicación de la triple quíntica es el estudio de la conjetura de Hodge generalizada infinitesimal , donde este difícil problema se puede resolver en este caso. ^[2] De hecho, todas las líneas de esta hipersuperficie se pueden encontrar explícitamente.

Familia Dwork de ternas quinticas

Otra clase popular de ejemplos de ternuras quínticas, estudiada en muchos contextos, es la familia Dwork . Un estudio popular de dicha familia es de Candelas, De La Ossa, Green y Parkes, ^[3] cuando descubrieron la simetría especular . Esto está dado por la familia ^{[4] páginas 123-125} donde es un único parámetro no igual a una raíz 5-ésima de la unidad . Esto se puede encontrar calculando las derivadas parciales de y evaluando sus ceros. Las derivadas parciales están dadas por En un punto donde las derivadas parciales son todas cero, esto da la relación . Por ejemplo, en obtenemos dividiendo el y multiplicando cada lado por . De la multiplicación de estas familias de ecuaciones juntas tenemos la relación que muestra que una solución está dada por un o . Pero en el primer caso, estos dan un sublocus suave ya que el término variable en se desvanece, por lo que un punto singular debe estar en . Dado tal , los puntos singulares son entonces de la forma tales que donde . Por ejemplo, el punto es una solución de ambos y sus derivadas parciales ya que , y . $${\displaystyle f_{\psi }=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle f_{\psi }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{0}f_{\psi }=5x_{0}^{4}-5\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\\partial _{1}f_{\psi }=5x_{1}^{4}-5\psi x_{0}x_{2}x_{3}x_{4}\\\partial _{2}f_{\psi }=5x_{2}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{3}x_{4}\\\partial _{3}f_{\psi }=5x_{3}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{4}\\\partial _{4}f_{\psi }=5x_{4}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x_{i}^{5}=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}$ ${\displaystyle \partial _{0}f_{\psi }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}5x_{0}^{4}&=5\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\x_{0}^{4}&=\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\x_{0}^{5}&=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{i}^{5}=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}$ $${\displaystyle \prod x_{i}^{5}=\psi ^{5}\prod x_{i}^{5}}$$ ${\displaystyle x_{i}=0}$ ${\displaystyle \psi ^{5}=1}$ ${\displaystyle f_{\psi }}$ ${\displaystyle \psi ^{5}=1}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle [\mu _{5}^{a_{0}}:\cdots :\mu _{5}^{a_{4}}]}$$ $${\displaystyle \mu _{5}^{\sum a_{i}}=\psi ^{-1}}$$ ${\displaystyle \mu _{5}=e^{2\pi i/5}}$ $${\displaystyle [\mu _{5}^{4}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}]}$$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle (\mu _{5}^{i})^{5}=(\mu _{5}^{5})^{i}=1^{i}=1}$ ${\displaystyle \psi =1}$

Otros ejemplos

• Barth–Nieto quintica
• ecuación de Quintic de Consani-Scholten

Curvas en una terna quintica

El cálculo del número de curvas racionales de grado se puede realizar explícitamente utilizando el cálculo de Schubert . Sea el fibrado vectorial de rango en el Grassmanniano de -planos en algún espacio vectorial de rango. Proyectando a se obtiene el Grassmanniano proyectivo de grado 1 líneas en y desciende a un fibrado vectorial en este Grassmanniano proyectivo. Su clase chern total está en el anillo de Chow . Ahora, una sección del fibrado corresponde a un polinomio homogéneo lineal, , por lo que una sección de corresponde a un polinomio de quinto grado, una sección de . Luego, para calcular el número de líneas en una tripleta quintica genérica, basta con calcular la integral ^[5] Esto se puede hacer utilizando el principio de división . Dado que y para un espacio vectorial de dimensión, , por lo que la clase chern total de está dada por el producto Entonces, la clase de Euler , o la clase superior está expandiendo esto en términos de las clases chern originales da utilizando relaciones implícitas en la fórmula de Pieri , incluyendo , , . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle G(2,5)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle G(2,5)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} (1,4)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ $${\displaystyle c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}}$$ ${\displaystyle A^{\bullet }(\mathbb {G} (1,4))}$ ${\displaystyle l\in \Gamma (\mathbb {G} (1,4),T^{*})}$ ${\displaystyle {\tilde {l}}\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(1))}$ ${\displaystyle {\text{Sym}}^{5}(T^{*})}$ ${\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(5))}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {G} (1,4)}c({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))=2875}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+(\alpha +\beta )+\alpha \beta \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}}$ $${\displaystyle {\text{Sym}}^{5}(V)=\bigoplus _{i=0}^{5}(V_{1}^{\otimes 5-i}\otimes V_{2}^{\otimes i})}$$ ${\displaystyle {\text{Sym}}^{5}(T^{*})}$ $${\displaystyle c({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))=\prod _{i=0}^{5}(1+(5-i)\alpha +i\beta )}$$ $${\displaystyle 5\alpha (4\alpha +\beta )(3\alpha +2\beta )(2\alpha +3\beta )(\alpha +4\beta )5\beta }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{6}({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))&=25\sigma _{1,1}(4\sigma _{1}^{2}+9\sigma _{1,1})(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=(100\sigma _{3,1}+100\sigma _{2,2}+225\sigma _{2,2})(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=(100\sigma _{3,1}+325\sigma _{2,2})(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=600\sigma _{3,3}+2275\sigma _{3,3}\\&=2875\sigma _{3,3}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}+\sigma _{1,1}}$ ${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{3,1}+\sigma _{2,2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1,1}^{2}=\sigma _{2,2}}$

Curvas racionales

Herbert Clemens  (1984) conjeturó que el número de curvas racionales de un grado dado en una terna quintica genérica es finito. (Algunas ternas quinticas suaves pero no genéricas tienen infinitas familias de líneas sobre ellas). Esto fue verificado para grados hasta 7 por Sheldon Katz  (1986) quien también calculó el número 609250 de curvas racionales de grado 2. Philip Candelas , Xenia C. de la Ossa y Paul S. Green et al. (1991) conjeturaron una fórmula general para el número virtual de curvas racionales de cualquier grado, que fue probada por Givental (1996) (el hecho de que el número virtual sea igual al número real se basa en la confirmación de la conjetura de Clemens, actualmente conocida para el grado como máximo 11 Cotterill (2012)). El número de curvas racionales de varios grados en una terna quintica genérica está dado por

2875, 609250, 317206375, 242467530000, ...(secuencia A076912 en la OEIS ).

Dado que la tripleta quintica genérica es una tripleta de Calabi-Yau y el espacio de módulos de las curvas racionales de un grado dado es un conjunto discreto y finito (por lo tanto compacto), estas tienen invariantes de Donaldson-Thomas bien definidos (el "número virtual de puntos"); al menos para los grados 1 y 2, estos concuerdan con el número real de puntos.

Véase también

• Geometría enumerativa

• Simetría especular (teoría de cuerdas)
• Invariante de Gromov-Witten
• Ideal jacobiano : proporciona una base explícita para la descomposición de Hodge
• Teoría de la deformación
• Estructura de Hodge
• Cálculo de Schubert : técnicas para determinar el número de líneas en una terna quíntica

Referencias

1. Robbert Dijkgraaf (29 de marzo de 2015). "La irrazonable eficacia de la física cuántica en las matemáticas modernas". youtube.com . Trev M. Archivado desde el original el 2021-12-21 . Consultado el 10 de septiembre de 2015 .ver 29 minutos 57 segundos
2. Albano, Alberto; Katz, Sheldon (1991). "Líneas en la tripleta quintica de Fermat y la conjetura infinitesimal generalizada de Hodge". Transactions of the American Mathematical Society . 324 (1): 353–368. doi : 10.1090/S0002-9947-1991-1024767-6 . ISSN  0002-9947.
3. Candelas, Philip; De La Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (29 de julio de 1991). "Un par de variedades de Calabi-Yau como una teoría superconforme exactamente soluble". Física nuclear B . 359 (1): 21–74. Bibcode :1991NuPhB.359...21C. doi :10.1016/0550-3213(91)90292-6. ISSN  0550-3213.
4. Bruto, Mark; Huybrechts, Daniel; Joyce, Dominic (2003). Ellingsrud, Geir; Olson, Loren; Ranestad, Kristian; Stromme, Stein A. (eds.). Colectores Calabi-Yau y geometrías relacionadas: conferencias en una escuela de verano en Nordfjordeid, Noruega, junio de 2001. Universitext. Berlín Heidelberg: Springer-Verlag. págs. 123-125. ISBN 978-3-540-44059-8.
5. Katz, Sheldon. Geometría enumerativa y teoría de cuerdas . pág. 108.

• Arapura, Donu, "Cálculo de algunos números de Hodge" (PDF)
• Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991), "Un par de variedades de Calabi-Yau como una teoría superconforme exactamente soluble", Nuclear Physics B , 359 (1): 21–74, Bibcode :1991NuPhB.359...21C, doi :10.1016/0550-3213(91)90292-6, MR  1115626
• Clemens, Herbert (1984), "Algunos resultados sobre las aplicaciones de Abel-Jacobi", Temas de geometría algebraica trascendental (Princeton, NJ, 1981/1982) , Ann. of Math. Stud., vol. 106, Princeton University Press , pp. 289–304, MR  0756858
• Cotterill, Ethan (2012), "Curvas racionales de grado 11 en una ecuación quintica general de 3 pliegues", The Quarterly Journal of Mathematics , 63 (3): 539–568, doi :10.1093/qmath/har001, MR  2967162
• Cox, David A. ; Katz, Sheldon (1999), Simetría especular y geometría algebraica, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 68, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1059-0, Sr.  1677117
• Givental, Alexander B. (1996), "Invariantes de Gromov-Witten equivariantes", International Mathematics Research Notices , 1996 (13): 613–663, doi : 10.1155/S1073792896000414 , MR  1408320
• Katz, Sheldon (1986), "Sobre la finitud de las curvas racionales en ternas quínticas", Compositio Mathematica , 60 (2): 151–162, MR  0868135
• Pandharipande, Rahul (1998), "Curvas racionales en hipersuperficies (según A. Givental)", Astérisque , 1997/98 (252): 307–340, arXiv : math/9806133 , Bibcode :1998math......6133P, MR  1685628