Fermat quintico triple

Sección transversal bidimensional de la triple quintica de Fermat

En matemáticas, una tripleta quintica de Fermat es una tripleta quintica especial , en otras palabras, una hipersuperficie de grado 5 y dimensión 3 en un espacio proyectivo complejo de 4 dimensiones , dada por la ecuación

${\displaystyle V^{5}+W^{5}+X^{5}+Y^{5}+Z^{5}=0}$.

Esta tripleta, llamada así en honor a Pierre de Fermat , es una variedad de Calabi-Yau .

El diamante de Hodge de una quintica triple no singular es

Curvas racionales

Herbert Clemens  (1984) conjeturó que el número de curvas racionales de un grado dado en una terna quintica genérica es finito. La terna quintica de Fermat no es genérica en este sentido, y Alberto Albano y Sheldon Katz  (1991) demostraron que sus líneas están contenidas en 50 familias unidimensionales de la forma

${\displaystyle (x:-\zeta x:ay:by:cy)}$

para y . Hay 375 líneas en más de una familia, de la forma ${\displaystyle \zeta ^{5}=1}$ ${\displaystyle a^{5}+b^{5}+c^{5}=0}$

${\displaystyle (x:-\zeta x:y:-\eta y:0)}$

para quintas raíces de unidad y . ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \eta }$

Referencias

• Albano, Alberto; Katz, Sheldon (1991), "Líneas en la tripleta quintica de Fermat y la conjetura infinitesimal generalizada de Hodge", Transactions of the American Mathematical Society , 324 (1): 353–368, doi : 10.2307/2001512 , ISSN  0002-9947, JSTOR  2001512, MR  1024767
• Clemens, Herbert (1984), "Algunos resultados sobre las aplicaciones de Abel-Jacobi", Temas de geometría algebraica trascendental (Princeton, NJ, 1981/1982) , Annals of Mathematics Studies, vol. 106, Princeton University Press, págs. 289–304, MR  0756858
• Cox, David A. ; Katz, Sheldon (1999), Simetría especular y geometría algebraica, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 68, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1059-0, Sr.  1677117