Grupo de cuaterniones

Grupo no abeliano de orden ocho

Diagrama de ciclo de Q _8. Cada color especifica una serie de potencias de cualquier elemento conectado al elemento identidad e = 1. Por ejemplo, el ciclo en rojo refleja el hecho de que i ² = e , i ³ = i e i ⁴ = e. El ciclo rojo también refleja que i ² = e , i ³ = i e i ⁴ = e.

En teoría de grupos , el grupo de cuaterniones Q ₈ (a veces simplemente denotado por Q) es un grupo no abeliano de orden ocho, isomorfo al subconjunto de ocho elementos de los cuaterniones bajo multiplicación. Está dado por la presentación de grupo ${\displaystyle \{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}}$

${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}=\langle {\bar {e}},i,j,k\mid {\bar {e}}^{2}=e,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk={\bar {e}}\rangle ,}$

donde e es el elemento identidad y e conmuta con los demás elementos del grupo. Estas relaciones, descubiertas por WR Hamilton , también generan los cuaterniones como un álgebra sobre los números reales.

Otra presentación de Q ₈ es

${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}=\langle a,b\mid a^{4}=e,a^{2}=b^{2},ba=a^{-1}b\rangle .}$

Como muchos otros grupos finitos, puede realizarse como el grupo de Galois de un cierto campo de números algebraicos . ^[1]

Comparado con el grupo diedro

El grupo cuaterniones Q ₈ tiene el mismo orden que el grupo diedro D 4 , pero una estructura diferente, como lo muestran sus gráficos de Cayley y de ciclo:

En los diagramas para D ₄ , los elementos del grupo están marcados con su acción en una letra F en la representación definitoria R ² . No se puede hacer lo mismo para Q ₈ , ya que no tiene una representación fiel en R ² o R ³ . D ₄ se puede realizar como un subconjunto de los cuaterniones divididos de la misma manera que Q ₈ se puede ver como un subconjunto de los cuaterniones.

Mesa Cayley

La tabla de Cayley (tabla de multiplicación) para Q ₈ está dada por: ^[2]

Propiedades

Los elementos i , j y k tienen orden cuatro en Q ₈ y dos de ellos generan todo el grupo. Otra presentación de Q ₈ ^[3] basada en solo dos elementos para evitar esta redundancia es:

${\displaystyle \left\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\right\rangle .}$

Por ejemplo, al escribir los elementos del grupo en formas normales lexicográficamente mínimas, se pueden identificar:

${\displaystyle \{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}\leftrightarrow \{e,x^{2},x,x^{3},y,x^{2}y,xy,x^{3}y\}.}$

El grupo de cuaterniones tiene la propiedad inusual de ser hamiltoniano : Q ₈ no es abeliano, pero cada subgrupo es normal . ^[4] Cada grupo hamiltoniano contiene una copia de Q _8. ^[5 ]

El grupo cuaterniones Q ₈ y el grupo diedro D ₄ son los dos ejemplos más pequeños de un grupo no abeliano nilpotente .

El centro y el subgrupo conmutador de Q ₈ es el subgrupo . El grupo de automorfismo interno de Q ₈ está dado por el grupo módulo su centro, es decir, el grupo factorial que es isomorfo al cuatrigrupo de Klein V. El grupo de automorfismo completo de Q ₈ es isomorfo a S ₄ , el grupo simétrico de cuatro letras (ver Representaciones matriciales a continuación), y el grupo de automorfismo externo de Q ₈ es, por lo tanto, S ₄ /V, que es isomorfo a S ₃ . ${\displaystyle \{e,{\bar {e}}\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}/\{e,{\bar {e}}\},}$

El grupo de cuaterniones Q ₈ tiene cinco clases de conjugación, y por tanto cinco representaciones irreducibles sobre los números complejos, con dimensiones 1, 1, 1, 1, 2: ${\displaystyle \{e\},\{{\bar {e}}\},\{i,{\bar {i}}\},\{j,{\bar {j}}\},\{k,{\bar {k}}\},}$

Representación trivial .

Representaciones de signos con núcleo i, j y k : Q ₈ tiene tres subgrupos normales máximos: los subgrupos cíclicos generados por i, j y k respectivamente. Para cada subgrupo normal máximo N , obtenemos una representación unidimensional factorizando a través del grupo cociente de 2 elementos G / N. La representación envía los elementos de N a 1 y los elementos fuera de N a −1.

Representación bidimensional : se describe a continuación en Representaciones matriciales . No es realizable sobre los números reales , sino que es una representación compleja: de hecho, son solo los cuaterniones considerados como un álgebra sobre , y la acción es la de multiplicación izquierda por . ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Q_{8}\subset \mathbb {H} }$

La tabla de caracteres de Q ₈ resulta ser la misma que la de D ₄ :

Sin embargo, todos los caracteres irreducibles en las filas de arriba tienen valores reales, esto da la descomposición del álgebra de grupo real de en ideales bilaterales mínimos : ${\displaystyle \chi _{\rho }}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Q} _{8}}$

${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]=\bigoplus _{\rho }(e_{\rho }),}$

donde los idempotentes corresponden a los irreducibles: ${\displaystyle e_{\rho }\in \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}$

${\displaystyle e_{\rho }={\frac {\dim(\rho )}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{\rho }(g^{-1})g,}$

de modo que

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{\text{triv}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}+j+{\bar {j}}+k+{\bar {k}})\\e_{i{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}-j-{\bar {j}}-k-{\bar {k}})\\e_{j{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}+j+{\bar {j}}-k-{\bar {k}})\\e_{k{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}-j-{\bar {j}}+k+{\bar {k}})\\e_{2}&={\tfrac {2}{8}}(2e-2{\bar {e}})={\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})\end{aligned}}}$

Cada uno de estos ideales irreducibles es isomorfo a un álgebra simple central real , los primeros cuatro al cuerpo real . El último ideal es isomorfo al cuerpo sesgado de cuaterniones por la correspondencia: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (e_{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})&\longleftrightarrow 1,\\{\tfrac {1}{2}}(i-{\bar {i}})&\longleftrightarrow i,\\{\tfrac {1}{2}}(j-{\bar {j}})&\longleftrightarrow j,\\{\tfrac {1}{2}}(k-{\bar {k}})&\longleftrightarrow k.\end{aligned}}}$

Además, el homomorfismo de proyección dado por tiene un ideal de núcleo generado por el idempotente: ${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]\to (e_{2})\cong \mathbb {H} }$ ${\displaystyle r\mapsto re_{2}}$

${\displaystyle e_{2}^{\perp }=e_{1}+e_{i{\text{-ker}}}+e_{j{\text{-ker}}}+e_{k{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{2}}(e+{\bar {e}}),}$

por lo que los cuaterniones también se pueden obtener como el anillo cociente . Nótese que esto es irreducible como una representación real de , pero se divide en dos copias del irreducible bidimensional cuando se extiende a los números complejos. De hecho, el álgebra de grupos complejos es donde es el álgebra de bicuaterniones . ${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]/(e+{\bar {e}})\cong \mathbb {H} }$ ${\displaystyle Q_{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [\mathrm {Q} _{8}]\cong \mathbb {C} ^{\oplus 4}\oplus M_{2}(\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \cong \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$

Representaciones matriciales

Tabla de multiplicación del grupo de cuaterniones como subgrupo de SL (2, C ). Las entradas están representadas por sectores correspondientes a sus argumentos: 1 (verde), i (azul), −1 (rojo), − i (amarillo).

La representación compleja irreducible bidimensional descrita anteriormente da como resultado el grupo de cuaterniones Q ₈ como un subgrupo del grupo lineal general . El grupo de cuaterniones es un subgrupo multiplicativo del álgebra de cuaterniones: ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {R} 1+\mathbb {R} i+\mathbb {R} j+\mathbb {R} k=\mathbb {C} 1+\mathbb {C} j,}$

que tiene una representación regular por multiplicación izquierda sobre sí mismo considerado como un espacio vectorial complejo con base tal que corresponde a la función -lineal La representación resultante ${\displaystyle \rho :\mathbb {H} \to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \{1,j\},}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho _{z}:a+jb\mapsto z\cdot (a+jb).}$

${\displaystyle {\begin{cases}\rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {GL} (2,\mathbb {C} )\\g\longmapsto \rho _{g}\end{cases}}}$

viene dada por:

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!\!-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-i\\\!\!\!-i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

Dado que todas las matrices anteriores tienen determinante unitario, esta es una representación de Q ₈ en el grupo lineal especial . ^[6] ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$

Una variante es la representación mediante matrices unitarias (tabla de la derecha). Sea que corresponde a la función lineal que viene dada por: ${\displaystyle g\in \mathrm {Q} _{8}}$ ${\displaystyle \rho _{g}:a+bj\mapsto (a+bj)\cdot jg^{-1}j^{-1},}$ ${\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {SU} (2)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!\!-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-i\\\!\!\!-i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

Vale la pena señalar que los físicos utilizan exclusivamente una convención diferente para la representación matricial para hacer contacto con las matrices de Pauli habituales : ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\quad \,1_{2\times 2}&i\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!-i\!\\\!\!-i\!\!&0\end{pmatrix}}=-i\sigma _{x}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!-1\!\\1&0\end{pmatrix}}=-i\sigma _{y}&k\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!-i\!\!&0\\0&i\end{pmatrix}}=-i\sigma _{z}\\&{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!-1\!&0\\0&\!\!\!-1\!\end{pmatrix}}=-1_{2\times 2}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{x}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!-1\!\!&0\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{y}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!-i\!\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{z}.\end{matrix}}}$

Esta elección particular es conveniente y elegante cuando uno describe estados de espín 1/2 en la base y considera operadores de escalera de momento angular. ${\displaystyle ({\vec {J}}^{2},J_{z})}$ ${\displaystyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}.}$

Tabla de multiplicación del grupo de cuaterniones como subgrupo de SL(2,3) . Los elementos del cuerpo se denotan como 0, +, −.

También existe una acción importante de Q ₈ en el espacio vectorial bidimensional sobre el cuerpo finito (tabla a la derecha). Una representación modular está dada por ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}=\{0,1,-1\}}$ ${\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {SL} (2,3)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&1\\1&1\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&1\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

Esta representación se puede obtener del campo de extensión :

${\displaystyle \mathbb {F} _{9}=\mathbb {F} _{3}[k]=\mathbb {F} _{3}1+\mathbb {F} _{3}k,}$

donde y el grupo multiplicativo tiene cuatro generadores, de orden 8. Para cada uno el espacio vectorial bidimensional admite una aplicación lineal: ${\displaystyle k^{2}=-1}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}^{\times }}$ ${\displaystyle \pm (k\pm 1),}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {F} _{9},}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mu _{z}:\mathbb {F} _{9}\to \mathbb {F} _{9}\\\mu _{z}(a+bk)=z\cdot (a+bk)\end{cases}}}$

Además tenemos el automorfismo de Frobenius que satisface y Entonces las matrices de representación anteriores son: ${\displaystyle \phi (a+bk)=(a+bk)^{3}}$ ${\displaystyle \phi ^{2}=\mu _{1}}$ ${\displaystyle \phi \mu _{z}=\mu _{\phi (z)}\phi .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ({\bar {e}})&=\mu _{-1},\\\rho (i)&=\mu _{k+1}\phi ,\\\rho (j)&=\mu _{k-1}\phi ,\\\rho (k)&=\mu _{k}.\end{aligned}}}$

Esta representación realiza Q ₈ como un subgrupo normal de GL(2, 3) . Por lo tanto, para cada matriz , tenemos un automorfismo de grupo ${\displaystyle m\in \operatorname {GL} (2,3)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{m}:\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {Q} _{8}\\\psi _{m}(g)=mgm^{-1}\end{cases}}}$

De hecho, estos dan el grupo de automorfismo completo como: ${\displaystyle \psi _{I}=\psi _{-I}=\mathrm {id} _{\mathrm {Q} _{8}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {Q} _{8})\cong \operatorname {PGL} (2,3)=\operatorname {GL} (2,3)/\{\pm I\}\cong S_{4}.}$

Esto es isomorfo al grupo simétrico S ₄ ya que las aplicaciones lineales permutan los cuatro subespacios unidimensionales de , es decir, los cuatro puntos del espacio proyectivo. ${\displaystyle m:\mathbb {F} _{3}^{2}\to \mathbb {F} _{3}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {F} _{3})=\operatorname {PG} (1,3).}$

Además, esta representación permuta los ocho vectores distintos de cero de dando una incrustación de Q ₈ en el grupo simétrico S ₈ , además de las incrustaciones dadas por las representaciones regulares. ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{2},}$

Grupo de Galois

Richard Dedekind consideró el campo al intentar relacionar el grupo de cuaterniones con la teoría de Galois . ^[7] En 1936 Ernst Witt publicó su enfoque del grupo de cuaterniones a través de la teoría de Galois. ^[8] ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]}$

En 1981, Richard Dean demostró que el grupo de cuaterniones puede realizarse como el grupo de Galois Gal(T/ Q ) donde Q es el campo de números racionales y T es el campo de división del polinomio.

${\displaystyle x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36}$.

El desarrollo utiliza el teorema fundamental de la teoría de Galois para especificar cuatro campos intermedios entre Q y T y sus grupos de Galois, así como dos teoremas sobre la extensión cíclica de grado cuatro sobre un campo. ^[1]

Grupo de cuaterniones generalizado

Un grupo de cuaterniones generalizado Q _{4 n} de orden 4 n se define mediante la presentación ^[3]

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle }$

para un entero n ≥ 2 , con el grupo de cuaterniones usual dado por n = 2. ^[9] Coxeter llama a Q _{4 n} el grupo dicíclico , un caso especial del grupo poliédrico binario y relacionado con el grupo poliédrico y el grupo diedro . El grupo de cuaterniones generalizado se puede realizar como el subgrupo de generado por ${\displaystyle \langle 2,2,n\rangle }$ ${\displaystyle \langle \ell ,m,n\rangle }$ ${\displaystyle (p,q,r)}$ ${\displaystyle (2,2,n)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&{\overline {\omega }}_{n}\end{array}}\right){\mbox{ and }}\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}$

donde . ^[3] También se puede realizar como el subgrupo de cuaterniones unitarios generados por ^[10] y . ${\displaystyle \omega _{n}=e^{i\pi /n}}$ ${\displaystyle x=e^{i\pi /n}}$ ${\displaystyle y=j}$

Los grupos de cuaterniones generalizados tienen la propiedad de que cada subgrupo abeliano es cíclico. ^[11] Se puede demostrar que un p -grupo finito con esta propiedad (cada subgrupo abeliano es cíclico) es cíclico o un grupo de cuaterniones generalizado como se definió anteriormente. ^[12] Otra caracterización es que un p -grupo finito en el que hay un único subgrupo de orden p es cíclico o un 2-grupo isomorfo al grupo de cuaterniones generalizado. ^[13] En particular, para un cuerpo finito F con característica impar, el subgrupo 2-Sylow de SL ₂ ( F ) no es abeliano y tiene solo un subgrupo de orden 2, por lo que este subgrupo 2-Sylow debe ser un grupo de cuaterniones generalizado (Gorenstein 1980, p. 42). Sea p ^r el tamaño de F , donde p es primo, el tamaño del subgrupo 2-Sylow de SL ₂ ( F ) es 2 ⁿ , donde n = ord ₂ ( p ² − 1) + ord ₂ ( r ) .

El teorema de Brauer-Suzuki muestra que los grupos cuyos subgrupos de Sylow 2 son cuaterniones generalizados no pueden ser simples.

Otra terminología reserva el nombre de "grupo cuaternionario generalizado" para un grupo dicíclico de orden una potencia de 2, ^[14] que admite la presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2^{m}}=y^{4}=1,x^{2^{m-1}}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}$

Véase también

• 16 celdas
• Grupo tetraédrico binario
• Álgebra de Clifford
• Grupo dicíclico
• Cuaternión integral de Hurwitz
• Lista de grupos pequeños

Notas

1. Dean, Richard (1981). "Un polinomio racional cuyo grupo son los cuaterniones". The American Mathematical Monthly . 88 (1): 42–45. doi :10.2307/2320711. JSTOR  2320711.
2. Véase también una tabla de Wolfram Alpha
3. Johnson 1980, págs. 44-45
4. Véase Hall (1999), pág. 190.
5. Véase Kurosh (1979), pág. 67
6. Artin 1991
7. Richard Dedekind (1887) "Konstrucktion der Quaternionkörpern", Ges. matemáticas. Obra II 376–84
8. Ernst Witt (1936) "Konstruktion von galoisschen Körpern..." Crelle's Journal 174: 237-45
9. Algunos autores (por ejemplo, Rotman 1995, págs. 87, 351) se refieren a este grupo como el grupo dicíclico, reservando el nombre de grupo cuaterniones generalizado para el caso en que n es una potencia de 2.
10. Brown 1982, pág. 98
11. Brown 1982, pág. 101, ejercicio 1
12. Cartan y Eilenberg 1999, Teorema 11.6, p. 262
13. Brown 1982, Teorema 4.3, pág. 99
14. Roman, Steven (2011). Fundamentos de la teoría de grupos: un enfoque avanzado . Springer. pp. 347–348. ISBN. 9780817683016.

Referencias

• Artin, Michael (1991), Álgebra , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-004763-2
• Brown, Kenneth S. (1982), Cohomología de grupos (3.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90688-1
• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999), Álgebra homológica , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04991-5
• Coxeter, HSM y Moser, WOJ (1980). Generadores y relaciones para grupos discretos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN. 0-387-09212-9.
• Dean, Richard A. (1981) "Un polinomio racional cuyo grupo son los cuaterniones", American Mathematical Monthly 88:42–5.
• Gorenstein, D. (1980), Grupos finitos , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, Sr.  0569209
• Johnson, David L. (1980), Temas de la teoría de las presentaciones grupales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-23108-4, Sr.  0695161
• Rotman, Joseph J. (1995), Introducción a la teoría de grupos (4.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8
• PR Girard (1984) "El grupo de cuaterniones y la física moderna", European Journal of Physics 5:25–32.
• Hall, Marshall (1999), La teoría de grupos (2.ª ed.), Librería AMS, ISBN 0-8218-1967-4
• Kurosh, Alexander G. (1979), Teoría de grupos , Librería AMS, ISBN 0-8284-0107-1

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Grupo de cuaterniones". MathWorld .
• Grupos de cuaterniones en GroupNames
• Grupo de cuaterniones en GroupProps
• Conrad, Keith. "Cuaterniones generalizados"