linea proyectiva

En matemáticas , una recta proyectiva es, a grandes rasgos, la prolongación de una recta habitual por un punto llamado punto en el infinito . El enunciado y la demostración de muchos teoremas de geometría se simplifican mediante la eliminación resultante de casos especiales; por ejemplo, dos líneas proyectivas distintas en un plano proyectivo se encuentran exactamente en un punto (no existe un caso "paralelo").

Hay muchas formas equivalentes de definir formalmente una línea proyectiva; Uno de los más comunes es definir una línea proyectiva sobre un campo K , comúnmente denotada como P ¹ ( K ), como el conjunto de subespacios unidimensionales de un espacio vectorial K bidimensional . Esta definición es un ejemplo especial de la definición general de espacio proyectivo .

La línea proyectiva sobre los reales es una variedad ; consulte Línea proyectiva real para más detalles.

Coordenadas homogéneas

Un punto arbitrario en la recta proyectiva P ¹ ( K ) puede representarse mediante una clase de equivalencia de coordenadas homogéneas , que toman la forma de un par

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]}$

de elementos de K que no son ambos cero. Dos de estos pares son equivalentes si difieren en un factor general distinto de cero λ :

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\sim [\lambda x_{1}:\lambda x_{2}].}$

Línea extendida por un punto en el infinito.

La línea proyectiva puede identificarse con la línea K extendida por un punto en el infinito . Más precisamente, la línea K puede identificarse con el subconjunto de P ¹ ( K ) dado por

${\displaystyle \left\{[x:1]\in \mathbf {P} ^{1}(K)\mid x\in K\right\}.}$

Este subconjunto cubre todos los puntos en P ¹ ( K ) excepto uno, que se llama punto en el infinito :

${\displaystyle \infty =[1:0].}$

Esto permite extender la aritmética de K a P ¹ ( K ) mediante las fórmulas

${\displaystyle {\frac {1}{0}}=\infty ,\qquad {\frac {1}{\infty }}=0,}$

${\displaystyle x\cdot \infty =\infty \quad {\text{if}}\quad x\not =0}$

${\displaystyle x+\infty =\infty \quad {\text{if}}\quad x\not =\infty }$

Traduciendo esta aritmética en términos de coordenadas homogéneas se obtiene, cuando [0: 0] no ocurre:

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]+[y_{1}:y_{2}]=[(x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}):x_{2}y_{2}],}$

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\cdot [y_{1}:y_{2}]=[x_{1}y_{1}:x_{2}y_{2}],}$

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]^{-1}=[x_{2}:x_{1}].}$

Ejemplos

Línea proyectiva real

La recta proyectiva sobre los números reales se llama recta proyectiva real . También se puede considerar como la línea K junto con un punto idealizado en el infinito ∞; el punto se conecta a ambos extremos de K creando un circuito cerrado o círculo topológico.

Se obtiene un ejemplo proyectando puntos en R ² sobre el círculo unitario y luego identificando puntos diametralmente opuestos . En términos de teoría de grupos podemos tomar el cociente por el subgrupo {1, −1} .

Compara la recta de números reales extendida , que distingue ∞ y −∞.

Línea proyectiva compleja: la esfera de Riemann

Agregar un punto en el infinito al plano complejo da como resultado un espacio que topológicamente es una esfera . De ahí que la línea proyectiva compleja también se conozca como esfera de Riemann (o, a veces, esfera de Gauss ). Está en constante uso en análisis complejos , geometría algebraica y teoría de variedades complejas , como el ejemplo más simple de una superficie de Riemann compacta .

Para un campo finito

La recta proyectiva sobre un campo finito F _q de q elementos tiene q + 1 puntos. En todos los demás aspectos no se diferencia de las líneas proyectivas definidas sobre otros tipos de campos. En términos de coordenadas homogéneas [ x  : y ] , q de estos puntos tienen la forma:

[ a  : 1] para cada a en F _q ,

y el punto restante en el infinito se puede representar como [1: 0] .

Grupo de simetría

De manera bastante general, el grupo de homografías con coeficientes en K actúa sobre la recta proyectiva P ¹ ( K ). Esta acción grupal es transitiva , de modo que P ¹ ( K ) es un espacio homogéneo para el grupo, a menudo escrito PGL ₂ ( K ) para enfatizar la naturaleza proyectiva de estas transformaciones. La transitividad dice que existe una homografía que transformará cualquier punto Q en cualquier otro punto R. El punto en el infinito en P ¹ ( K ) es, por tanto, un artefacto de elección de coordenadas: coordenadas homogéneas

${\displaystyle [X:Y]\sim [\lambda X:\lambda Y]}$

expresar un subespacio unidimensional mediante un único punto distinto de cero ( X , Y ) que se encuentra en él, pero las simetrías de la línea proyectiva pueden mover el punto ∞ = [1 : 0] a cualquier otro, y de ninguna manera lo es distinguido.

Mucho más es cierto, en el sentido de que alguna transformación puede tomar cualquier punto distinto dado Q _i para i = 1, 2, 3 a cualquier otra 3-tupla R _i de puntos distintos ( triple transitividad ). Esta cantidad de especificación 'consume' las tres dimensiones de PGL ₂ ( K ); en otras palabras, la acción grupal es marcadamente 3-transitiva . El aspecto computacional de esto es la relación cruzada . De hecho, lo contrario generalizado es cierto: una acción de grupo marcadamente 3-transitiva es siempre (isomorfa a) una forma generalizada de una acción PGL ₂ ( K ) en una línea proyectiva, reemplazando "campo" por "campo KT" (generalizando el inversa a un tipo más débil de involución), y "PGL" mediante una generalización correspondiente de mapas lineales proyectivos. ^[1]

Como curva algebraica

La recta proyectiva es un ejemplo fundamental de curva algebraica . Desde el punto de vista de la geometría algebraica, P ¹ ( K ) es una curva no singular de género 0. Si K es algebraicamente cerrada , es la única curva de este tipo sobre K , hasta equivalencia racional . En general, una curva (no singular) de género 0 es racionalmente equivalente sobre K a una cónica C , que a su vez es biracionalmente equivalente a una línea proyectiva si y sólo si C tiene un punto definido sobre K ; Geométricamente, tal punto P puede usarse como origen para hacer explícita la equivalencia biracional.

El campo funcional de la recta proyectiva es el campo K ( T ) de funciones racionales sobre K , en una única T indeterminada . Los automorfismos de campo de K ( T ) sobre K son precisamente el grupo PGL ₂ ( K ) discutido anteriormente.

Cualquier campo de función K ( V ) de una variedad algebraica V sobre K , que no sea un solo punto, tiene un subcampo isomorfo con K ( T ). Desde el punto de vista de la geometría biracional , esto significa que habrá una aplicación racional de V a P ¹ ( K ), que no es constante. La imagen omitirá sólo un número finito de puntos de P ¹ ( K ), y la imagen inversa de un punto típico P será de dimensión tenue V − 1 . Este es el comienzo de los métodos en geometría algebraica que son inductivos en dimensión. Los mapas racionales desempeñan un papel análogo a las funciones meromórficas del análisis complejo y, de hecho, en el caso de las superficies compactas de Riemann los dos conceptos coinciden.

Si ahora se considera que V tiene dimensión 1, obtenemos una imagen de una curva algebraica típica C presentada 'sobre' P ¹ ( K ). Suponiendo que C es no singular (lo que no supone una pérdida de generalidad a partir de K ( C )), se puede demostrar que dicha aplicación racional de C a P ¹ ( K ) de hecho estará definida en todas partes. (Ese no es el caso si hay singularidades, ya que, por ejemplo, un punto doble donde una curva se cruza puede dar un resultado indeterminado después de un mapa racional.) Esto da una imagen en la que la principal característica geométrica es la ramificación .

Muchas curvas, por ejemplo las curvas hiperelípticas , pueden presentarse de forma abstracta, como cubiertas ramificadas de la línea proyectiva. Según la fórmula de Riemann-Hurwitz , el género depende entonces únicamente del tipo de ramificación.

Una curva racional es una curva que es biracionalmente equivalente a una recta proyectiva (ver variedad racional ); su género es 0. Una curva normal racional en el espacio proyectivo P ⁿ es una curva racional que no se encuentra en ningún subespacio lineal propio; se sabe que existe un solo ejemplo (hasta equivalencia proyectiva), ^[2] dado paramétricamente en coordenadas homogéneas como

[1: t  : t ²  : ...: t ⁿ ].

Véase Cúbico retorcido para conocer el primer caso interesante.

Ver también

• curva algebraica
• relación cruzada
• Transformación de Moebius
• Línea proyectiva sobre un anillo.
• Línea real extendida proyectivamente
• rango proyectivo
• Teoría de la rueda

Referencias

1. Acción de PGL(2) sobre el espacio proyectivo - ver comentario y artículo citado.
2. Harris, Joe (1992), Geometría algebraica: un primer curso, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 133, Springer, ISBN 9780387977164.