tensor de Lanczos

Tensor de rango 3 en relatividad general asociado con campos de calibre

El tensor de Lanczos o potencial de Lanczos es un tensor de rango 3 en la relatividad general que genera el tensor de Weyl . ^[1] Fue introducido por primera vez por Cornelius Lanczos en 1949. ^[2] La importancia teórica del tensor de Lanczos es que sirve como campo calibre para el campo gravitacional de la misma manera que, por analogía, el cuatro potencial electromagnético genera el campo electromagnético . ^{[3] [4]}

Definición

El tensor de Lanczos se puede definir de diferentes formas. La definición moderna más común es a través de las ecuaciones de Weyl-Lanczos, que demuestran la generación del tensor de Weyl a partir del tensor de Lanczos. ^[4] Estas ecuaciones, que se presentan a continuación, fueron dadas por Takeno en 1964. ^[1] La forma en que Lanczos introdujo el tensor originalmente fue como un multiplicador de Lagrange ^{[2] [5]} en términos de restricción estudiados en el enfoque variacional de la relatividad general . ^[6] Bajo cualquier definición, el tensor H de Lanczos exhibe las siguientes simetrías:

${\displaystyle H_{abc}+H_{bac}=0,\,}$

${\displaystyle H_{abc}+H_{bca}+H_{cab}=0.}$

El tensor de Lanczos siempre existe en cuatro dimensiones ^[7] pero no se generaliza a dimensiones superiores. ^[8] Esto pone de relieve el carácter especial de las cuatro dimensiones . ^{[3] Tenga en cuenta además que, en general, el} tensor de Riemann completo no puede derivarse únicamente de derivadas del potencial de Lanczos. ^{[7] [9]} Las ecuaciones de campo de Einstein deben proporcionar el tensor de Ricci para completar los componentes de la descomposición de Ricci .

El campo de Curtright tiene una dinámica de transformación de calibre similar a la del tensor de Lanczos. Pero el campo de Curtright existe en dimensiones arbitrarias > 4D. ^[10]

Ecuaciones de Weyl-Lanczos

Las ecuaciones de Weyl-Lanczos expresan el tensor de Weyl completamente como derivadas del tensor de Lanczos: ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{abcd}&=H_{abc;d}+H_{cda;b}+H_{bad;c}+H_{dcb;a}+(H^{e}{}_{(ac);e}+H_{(a|e|}{}^{e}{}_{;c)})g_{bd}+(H^{e}{}_{(bd);e}+H_{(b|e|}{}^{e}{}_{;d)})g_{ac}\\&\quad -(H^{e}{}_{(ad);e}+H_{(a|e|}{}^{e}{}_{;d)})g_{bc}-(H^{e}{}_{(bc);e}+H_{(b|e|}{}^{e}{}_{;c)})g_{ad}-{\frac {2}{3}}H^{ef}{}_{f;e}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc})\end{aligned}}}$

donde está el tensor de Weyl, el punto y coma denota la derivada covariante y los paréntesis subíndices indican simetrización . Aunque las ecuaciones anteriores se pueden utilizar para definir el tensor de Lanczos, también muestran que no es único sino que tiene libertad de calibre bajo un grupo afín . ^[12] Si es un campo vectorial arbitrario , entonces las ecuaciones de Weyl-Lanczos son invariantes bajo la transformación de calibre. ${\displaystyle C_{abcd}}$ ${\displaystyle \Phi ^{a}}$

${\displaystyle H'_{abc}=H_{abc}+\Phi _{[a}g_{b]c}}$

donde los corchetes con subíndice indican antisimetrización . Una opción que suele ser conveniente es el calibre algebraico de Lanczos, que establece que el calibre se puede restringir aún más mediante el calibre diferencial de Lanczos . Estas opciones de calibre reducen las ecuaciones de Weyl-Lanczos a su forma más simple. ${\displaystyle \Phi _{a}=-{\frac {2}{3}}H_{ab}{}^{b},}$ ${\displaystyle H'_{ab}{}^{b}=0.}$ ${\displaystyle H_{ab}{}^{c}{}_{;c}=0}$

${\displaystyle C_{abcd}=H_{abc;d}+H_{cda;b}+H_{bad;c}+H_{dcb;a}+H^{e}{}_{ac;e}g_{bd}+H^{e}{}_{bd;e}g_{ac}-H^{e}{}_{ad;e}g_{bc}-H^{e}{}_{bc;e}g_{ad}.}$

Ecuación de onda

El tensor de potencial de Lanczos satisface una ecuación de onda ^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box H_{abc}=&\;J_{abc}\\&{}-2{R_{c}}^{d}H_{abd}+{R_{a}}^{d}H_{bcd}+{R_{b}}^{d}H_{acd}\\&{}+\left(H_{dbe}g_{ac}-H_{dae}g_{bc}\right)R^{de}+{\frac {1}{2}}RH_{abc},\end{aligned}}}$

¿Dónde está el operador d'Alembert y ${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle J_{abc}=R_{ca;b}-R_{cb;a}-{\frac {1}{6}}\left(g_{ca}R_{;b}-g_{cb}R_{;a}\right)}$

Se conoce como tensor de algodón . Dado que el tensor de Cotton depende únicamente de derivadas covariantes del tensor de Ricci , quizás pueda interpretarse como una especie de corriente de materia. ^[14] Los términos de autoacoplamiento adicionales no tienen equivalente electromagnético directo. Estos términos de autoacoplamiento, sin embargo, no afectan las soluciones de vacío , donde el tensor de Ricci desaparece y la curvatura es descrita completamente por el tensor de Weyl. Así, en el vacío, las ecuaciones de campo de Einstein son equivalentes a la ecuación de onda homogénea en perfecta analogía con la ecuación de onda de vacío del cuatro potencial electromagnético. Esto muestra una similitud formal entre las ondas gravitacionales y las ondas electromagnéticas , siendo el tensor de Lanczos muy adecuado para estudiar las ondas gravitacionales. ^[15] ${\displaystyle \Box H_{abc}=0,}$ ${\displaystyle \Box A_{a}=0}$

En la aproximación de campo débil donde , una forma conveniente para el tensor de Lanczos en el calibre de Lanczos es ^[14] ${\displaystyle g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}}$

${\displaystyle 4H_{abc}\approx h_{ac,b}-h_{bc,a}-{\frac {1}{6}}(\eta _{ac}{h^{d}}_{d,b}-\eta _{bc}{h^{d}}_{d,a}).}$

Ejemplo

El caso no trivial más básico para expresar el tensor de Lanczos es, por supuesto, el de la métrica de Schwarzschild . ^[4] La representación de componentes explícita y más simple en unidades naturales para el tensor de Lanczos en este caso es

${\displaystyle H_{trt}={\frac {GM}{r^{2}}}}$

con todos los demás componentes desapareciendo hasta las simetrías. Esta forma, sin embargo, no se encuentra en el ancho de Lanczos. Los términos que no desaparecen del tensor de Lanczos en el calibre de Lanczos son

${\displaystyle H_{trt}={\frac {2GM}{3r^{2}}}}$

${\displaystyle H_{r\theta \theta }={\frac {-GM}{3(1-2GM/r)}}}$

${\displaystyle H_{r\phi \phi }={\frac {-GM\sin ^{2}\theta }{3(1-2GM/r)}}}$

Además, es posible demostrar, incluso en este caso simple, que el tensor de Lanczos no puede reducirse en general a una combinación lineal de los coeficientes de espín del formalismo de Newman-Penrose , que da fe de la naturaleza fundamental del tensor de Lanczos. ^[11] Se han utilizado cálculos similares para construir soluciones arbitrarias de Petrov tipo D. ^[dieciséis]

Ver también

• tensor de bach
• cálculo de ricci
• tensor de Schouten
• acción tetrádica de Palatini
• Acción Palatini autodual

Referencias

1. Hyôitirô Takeno, "Sobre el spintensor de Lanczos", Tensor , 15 (1964) págs.
2. Lanczos, Cornelio (1 de julio de 1949). "Multiplicador lagrangiano y espacios de Riemann". Reseñas de Física Moderna . 21 (3). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 497–502. Código bibliográfico : 1949RvMP...21..497L. doi : 10.1103/revmodphys.21.497 . ISSN  0034-6861.
3. P. O'Donnell y H. Pye, "Una breve reseña histórica de los importantes desarrollos en la teoría potencial de Lanczos", EJTP , 7 (2010) págs. www.ejtp.com/articles/ejtpv7i24p327.pdf
4. Novello, M.; Velloso, AL (1987). "La conexión entre los observadores generales y el potencial de Lanczos". Relatividad General y Gravitación . 19 (12). Springer Science y Business Media LLC: 1251–1265. Código Bib : 1987GReGr..19.1251N. doi :10.1007/bf00759104. ISSN  0001-7701. S2CID  122998917.
5. Lanczos, C. (1 de julio de 1962). "La división del tensor de Riemann". Reseñas de Física Moderna . 34 (3). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 379–389. Código bibliográfico : 1962RvMP...34..379L. doi :10.1103/revmodphys.34.379. ISSN  0034-6861.
6. Cornelius Lanczos, "Una propiedad notable del tensor de Riemann-Christoffel en cuatro dimensiones", Annals of Mathematics , 39 (1938) págs. www.jstor.org/stable/1968467
7. , Franco; Caviglia, Giacomo (1983). "Potenciales tensoriales de tercer orden para los tensores de Riemann y Weyl". Relatividad General y Gravitación . 15 (4). Springer Science y Business Media LLC: 375–386. Código Bib : 1983GReGr..15..375B. doi :10.1007/bf00759166. ISSN  0001-7701. S2CID  122782358.
8. Edgar, S. Brian (1994). "Inexistencia del potencial de Lanczos para el tensor de Riemann en dimensiones superiores". Relatividad General y Gravitación . 26 (3). Springer Science y Business Media LLC: 329–332. Código Bib : 1994GReGr..26..329E. doi :10.1007/bf02108015. ISSN  0001-7701. S2CID  120343522.
9. Massa, Enrico; Pagani, Enrico (1984). "¿El tensor de Riemann se puede derivar de un potencial tensorial?". Relatividad General y Gravitación . 16 (9). Springer Science y Business Media LLC: 805–816. Código Bib : 1984GReGr..16..805M. doi :10.1007/bf00762934. ISSN  0001-7701. S2CID  120457526.
10. Curtright, Thomas (diciembre de 1985). "Campos de ancho generalizados". Letras de Física B. 165 (4–6): 304–308. Código bibliográfico : 1985PhLB..165..304C. doi :10.1016/0370-2693(85)91235-3.
11. O'Donnell, Peter (2004). "Carta: una solución de las ecuaciones de Weyl-Lanczos para el espacio-tiempo de Schwarzschild". Relatividad General y Gravitación . 36 (6). Springer Science y Business Media LLC: 1415–1422. Código Bib : 2004GReGr..36.1415O. doi :10.1023/b:gerg.0000022577.11259.e0. ISSN  0001-7701. S2CID  122801979.
12. Hammon, KS; Norris, LK (1993). "La geometría afín del formalismo tensor H de Lanczos". Relatividad General y Gravitación . 25 (1). Springer Science y Business Media LLC: 55–80. Código Bib : 1993GReGr..25...55H. doi :10.1007/bf00756929. ISSN  0001-7701. S2CID  26822756.
13. Dolan, P.; Kim, CW (8 de diciembre de 1994). "La ecuación de onda para el potencial de Lanczos". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Matemáticas y Físicas . 447 (1931): 557–575. Código Bib : 1994RSPSA.447..557D. doi :10.1098/rspa.1994.0155. ISSN  0962-8444. S2CID  123625479.
14. Roberts, MD (1996). "La interpretación física del tensor de Lanczos". Il Nuovo Cimento B. Serie 11. 110 (10): 1165-1176. arXiv : gr-qc/9904006 . doi :10.1007/bf02724607. ISSN  1826-9877. S2CID  17670505.
15. López-Bonilla, JL; Ovando, G.; Peña, JJ (1999). "Un potencial de Lanczos para ondas gravitacionales planas". Fundamentos de Letras de Física . 12 (4). Springer Science y Business Media LLC: 401–405. doi :10.1023/a:1021656622094. ISSN  0894-9875. S2CID  118057344.
16. Ahsan, Zafar; Bilal, Mohd (26 de agosto de 2010). "Una solución de ecuaciones de Weyl-Lanczos para espacios-tiempos de vacío arbitrarios de Petrov tipo D". Revista Internacional de Física Teórica . 49 (11). Springer Science y Business Media LLC: 2713–2722. Código Bib : 2010IJTP...49.2713A. doi :10.1007/s10773-010-0464-5. ISSN  0020-7748. S2CID  123625845.

enlaces externos

• Peter O'Donnell, Introducción a los 2 espinos en la relatividad general . Científico mundial, 2003.