Acción Palatini autodual

Las variables de Ashtekar , que eran un nuevo formalismo canónico de la relatividad general , generaron nuevas esperanzas para la cuantificación canónica de la relatividad general y finalmente condujeron a la gravedad cuántica de bucles . Smolin y otros descubrieron de forma independiente que, de hecho, existe una formulación lagrangiana de la teoría al considerar la formulación autodual del principio de acción tetrádico de Palatini de la relatividad general. ^{[1] [2] [3]} Estas pruebas se dieron en términos de espinores. Goldberg ^[4] proporcionó una prueba puramente tensorial de las nuevas variables en términos de tríadas y Henneaux et al. ^[5]

La acción Palatini

La acción de Palatini para la relatividad general tiene como variables independientes la tétrada y una conexión de espín . Se pueden encontrar muchos más detalles y derivaciones en el artículo Acción tetrádica de Palatini . La conexión de espín define una derivada covariante . La métrica del espacio-tiempo se recupera de la tétrada mediante la fórmula Definimos la "curvatura" por ${\displaystyle e_{I}^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$ ${\displaystyle D_{\alpha }}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }=e_{\alpha }^{I}e_{\beta }^{J}\eta _{IJ}.}$

${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}=\partial _{\alpha }{\omega _{\beta }}^{IJ}-\partial _{\beta }{\omega _{\alpha }}^{IJ}+\omega _{\alpha }^{IK}{\omega _{\beta K}}^{J}-\omega _{\beta }^{IK}{\omega _{\alpha K}}^{J}\qquad Eq.1.}$

El escalar de Ricci de esta curvatura viene dado por . La acción Palatini para la relatividad general dice ${\displaystyle e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}}$

${\displaystyle S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\;{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}[\omega ]}$

dónde . La variación con respecto a la conexión de espín implica que la conexión de espín está determinada por la condición de compatibilidad y, por tanto, se convierte en la derivada covariante habitual . Por tanto, la conexión pasa a ser función de las tétradas y la curvatura se reemplaza por la curvatura de . Entonces es el escalar de Ricci real . La variación con respecto a la tétrada da la ecuación de Einstein. ${\displaystyle e={\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$ ${\displaystyle D_{\alpha }e_{I}^{\beta }=0}$ ${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$ ${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}}$ ${\displaystyle {R_{\alpha \beta }}^{IJ}}$ ${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{R_{\alpha \beta }}^{IJ}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R=0.}$

Variables autoduales

Partes (anti-)autoduales de un tensor

Necesitaremos lo que se llama tensor totalmente antisimétrico o símbolo de Levi-Civita , que es igual a +1 o −1 dependiendo de si es una permutación par o impar de , respectivamente, y cero si dos índices toman lo mismo. valor. Los índices internos de se elevan con la métrica de Minkowski . ${\displaystyle \varepsilon _{IJKL}}$ ${\displaystyle IJKL}$ ${\displaystyle 0123}$ ${\displaystyle \varepsilon _{IJKL}}$ ${\displaystyle \eta ^{IJ}}$

Ahora, dado cualquier tensor antisimétrico , definimos su dual como ${\displaystyle T^{IJ}}$

${\displaystyle *T^{IJ}={1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}.}$

La parte autodual de cualquier tensor se define como ${\displaystyle T^{IJ}}$

${\displaystyle {}^{+}T^{IJ}:={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

con la parte anti-auto-dual definida como

${\displaystyle {}^{-}T^{IJ}:={1 \over 2}\left(T^{IJ}+{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

(la apariencia de la unidad imaginaria está relacionada con la firma de Minkowski como veremos a continuación). ${\displaystyle i}$

Descomposición tensorial

Ahora, dado cualquier tensor antisimétrico , podemos descomponerlo como ${\displaystyle T^{IJ}}$

${\displaystyle T^{IJ}={\frac {1}{2}}\left(T^{IJ}-{\frac {i}{2}}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)+{\frac {1}{2}}\left(T^{IJ}+{\frac {i}{2}}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)={}^{+}T^{IJ}+{}^{-}T^{IJ}}$

donde y son las partes autodual y anti-autodual de respectivamente. Defina el proyector en la parte (anti)autodual de cualquier tensor como ${\displaystyle {}^{+}T^{IJ}}$ ${\displaystyle {}^{-}T^{IJ}}$ ${\displaystyle T^{IJ}}$

${\displaystyle P^{(\pm )}={1 \over 2}(1\mp i*).}$

El significado de estos proyectores puede hacerse explícito. Concentrémonos en , ${\displaystyle P^{+}}$

${\displaystyle \left(P^{+}T\right)^{IJ}=\left({1 \over 2}(1-i*)T\right)^{IJ}={1 \over 2}\left({\delta ^{I}}_{K}{\delta ^{J}}_{L}-i{1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}\right)T^{KL}={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)={}^{+}T^{IJ}.}$

Entonces

${\displaystyle {}^{\pm }T^{IJ}=\left(P^{(\pm )}T\right)^{IJ}.}$

El soporte de la mentira

Un objeto importante es el corchete de Lie definido por

${\displaystyle [F,G]^{IJ}:=F^{IK}{G_{K}}^{J}-G^{IK}{F_{K}}^{J},}$

aparece en el tensor de curvatura (ver los dos últimos términos de la ecuación 1), también define la estructura algebraica. Tenemos los resultados (probados a continuación):

${\displaystyle P^{(\pm )}[F,G]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}\qquad Eq.2}$

y

${\displaystyle [F,G]=\left[P^{+}F,P^{+}G\right]+\left[P^{-}F,P^{-}G\right].}$

Es decir, el corchete de Lie, que define un álgebra, se descompone en dos partes independientes y separadas. Nosotros escribimos

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }={\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{+}+{\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{-}}$

donde contiene sólo los elementos autoduales (antiautoduales) de ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{\pm }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }.}$

La acción autodual de Palatini

Definimos la parte autodual, de la conexión como ${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}}$ ${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$

${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}={1 \over 2}\left({\omega _{\alpha }}^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}{\omega _{\alpha }}^{KL}\right),}$

que se puede escribir de forma más compacta

${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}=\left(P^{+}\omega _{\alpha }\right)^{IJ}.}$

Definir como la curvatura de la conexión autodual. ${\displaystyle {F_{\alpha \beta }}^{IJ}}$

${\displaystyle {F_{\alpha \beta }}^{IJ}=\partial _{\alpha }{A_{\beta }}^{IJ}-\partial _{\beta }{A_{\alpha }}^{IJ}+{A_{\alpha }}^{IK}{A_{\beta K}}^{J}-{A_{\beta }}^{IK}{A_{\alpha K}}^{J}.}$

Usando la ecuación. 2 es fácil ver que la curvatura de la conexión autodual es la parte autodual de la curvatura de la conexión,

${\displaystyle {\begin{aligned}{F_{\alpha \beta }}^{IJ}&=\partial _{\alpha }\left(P^{+}\omega _{\beta }\right)^{IJ}-\partial _{\beta }\left(P^{+}\omega _{\alpha }\right)^{IJ}+\left[P^{+}\omega _{\alpha },P^{+}\omega _{\beta }\right]^{IJ}\\&=\left(P^{+}2\partial _{[\alpha }\omega _{\beta ]}\right)^{IJ}+\left(P^{+}[\omega _{\alpha },\omega _{\beta }]\right)^{IJ}\\&=\left(P^{+}\Omega _{\alpha \beta }\right)^{IJ}\end{aligned}}}$

La acción autodual es

${\displaystyle S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\;{F_{\alpha \beta }}^{IJ}.}$

Como la conexión es compleja, estamos ante una relatividad general compleja y deben especificarse las condiciones apropiadas para recuperar la teoría real. Se pueden repetir los mismos cálculos realizados para la acción Palatini pero ahora con respecto a la conexión autodual . Variando el campo de la tétrada, se obtiene un análogo autodual de la ecuación de Einstein: ${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}}$

${\displaystyle {}^{+}R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }{}^{+}R=0.}$

El hecho de que la curvatura de la conexión autodual sea la parte autodual de la curvatura de la conexión ayuda a simplificar el formalismo 3+1 (los detalles de la descomposición en el formalismo 3+1 se darán a continuación). El formalismo hamiltoniano resultante se parece al de la teoría del calibre de Yang-Mills (esto no sucede con el formalismo Palatini 3+1, que básicamente colapsa hasta convertirse en el formalismo ADM habitual).

Derivación de resultados principales para variables autoduales.

Los resultados de los cálculos realizados aquí se pueden encontrar en el capítulo 3 de las notas Variables de Ashtekar en la relatividad clásica. ^[6] El método de prueba sigue el dado en la sección II del Ashtekar Hamiltoniano para la Relatividad General . ^[7] Necesitamos establecer algunos resultados para tensores de Lorentz (anti)autoduales.

Identidades para el tensor totalmente antisimétrico.

Como tiene firma , se deduce que ${\displaystyle \eta _{IJ}}$ ${\displaystyle (-,+,+,+)}$

${\displaystyle \varepsilon ^{IJKL}=-\varepsilon _{IJKL}.}$

para ver esto considere,

${\displaystyle \varepsilon ^{0123}=\eta ^{0I}\eta ^{1J}\eta ^{2K}\eta ^{3L}\varepsilon _{IJKL}=(-1)(1)(1)(1)\varepsilon _{0123}=-\varepsilon _{0123}.}$

Con esta definición se pueden obtener las siguientes identidades,

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{IJKO}\varepsilon _{LMNO}&=-6\delta _{[L}^{I}\delta _{M}^{J}\delta _{N]}^{K}&&{\text{Eq. 3}}\\\varepsilon ^{IJMN}\varepsilon _{KLMN}&=-4\delta _{[K}^{I}\delta _{L]}^{J}=-2\left(\delta _{K}^{I}\delta _{L}^{J}-\delta _{L}^{I}\delta _{K}^{J}\right)&&{\text{Eq. 4}}\end{aligned}}}$

(Los corchetes indican antisimetrización sobre los índices).

Definición de tensor autodual

Se deduce de la ecuación. 4 que el cuadrado del operador de dualidad es menos la identidad,

${\displaystyle **T^{IJ}={1 \over 4}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}{\varepsilon _{MN}}^{KL}T^{MN}=-T^{IJ}}$

El signo menos aquí se debe al signo menos en la ecuación. 4, lo que a su vez se debe a la firma de Minkowski. Si hubiéramos utilizado la firma euclidiana, es decir , habría habido un signo positivo. Definimos ser auto-dual si y sólo si ${\displaystyle (+,+,+,+)}$ ${\displaystyle S^{IJ}}$

${\displaystyle *S^{IJ}=iS^{IJ}.}$

(con firma euclidiana la condición de autodualidad habría sido ). Di que es autodual, escríbelo como una parte real e imaginaria, ${\displaystyle *S^{IJ}=S^{IJ}}$ ${\displaystyle S^{IJ}}$

${\displaystyle S^{IJ}={1 \over 2}T^{IJ}+{\frac {i}{2}}U^{IJ}.}$

Escriba la condición autodual en términos de y , ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle *\left(T^{IJ}+iU^{IJ}\right)={1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}\left(T^{KL}+iU^{KL}\right)=i\left(T^{IJ}+iU^{IJ}\right).}$

Igualando partes reales que leemos

${\displaystyle U^{IJ}=-{1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}}$

y entonces

${\displaystyle S^{IJ}={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

¿Dónde está la parte real de ? ${\displaystyle T^{IJ}}$ ${\displaystyle 2S^{IJ}}$

Cálculo largo e importante

La prueba de la ecuación. 2 en sencillo. Comenzamos derivando un resultado inicial. Todas las demás fórmulas importantes se derivan fácilmente de ella. A partir de la definición del corchete de Lie y con el uso de la identidad básica Ec. 3 tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}*[F,*G]^{IJ}&={\frac {1}{2}}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}\left(F^{MK}{(*G)_{K}}^{N}-(*G)^{MK}{F_{K}}^{N}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}\left(F^{MK}{\frac {1}{2}}{\varepsilon _{OPK}}^{N}G^{OP}-{\frac {1}{2}}{\varepsilon _{OP}}^{MK}G^{OP}{F_{K}}^{N}\right)\\&={1 \over 4}\left({\varepsilon _{MN}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{KN}+{\varepsilon _{NM}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{NK}\right){F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={1 \over 2}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{KN}{F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={1 \over 2}\varepsilon ^{MIJN}\varepsilon _{OPKN}{F_{M}}^{K}G^{OP}\\&=-{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{KIJN}\varepsilon _{OPMN}{F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={\frac {1}{2}}\left(\delta _{O}^{K}\delta _{P}^{I}\delta _{M}^{J}+\delta _{M}^{K}\delta _{O}^{I}\delta _{P}^{J}+\delta _{P}^{K}\delta _{M}^{I}\delta _{O}^{J}-\delta _{P}^{K}\delta _{O}^{I}\delta _{M}^{J}-\delta _{M}^{K}\delta _{P}^{I}\delta _{O}^{J}-\delta _{O}^{K}\delta _{M}^{I}\delta _{P}^{J}\right){F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={\frac {1}{2}}\left({F^{J}}_{K}G^{KI}+{F^{K}}_{K}G^{IJ}+{F^{I}}_{K}G^{JK}-{F^{J}}_{K}G^{IK}-{F^{K}}_{K}G^{JI}-{F^{I}}_{K}G^{KJ}\right)\\&=-F^{IK}{G_{K}}^{J}+G^{IK}{F_{K}}^{J}\\&=-[F,G]^{IJ}\end{aligned}}}$

Eso da la fórmula

${\displaystyle *[F,*G]^{IJ}=-[F,G]^{IJ}\qquad Eq.5.}$

Derivación de resultados importantes.

Ahora usando la Ec.5 junto con obtenemos ${\displaystyle **=-1}$

${\displaystyle *(-[F,G]^{IJ})=*(*[F,*G]^{IJ})=**[F,*G]^{IJ}=-[F,*G]^{IJ}.}$

Entonces tenemos

${\displaystyle *[F,G]^{IJ}=[F,*G]^{IJ}\qquad Eq.6.}$

Considerar

${\displaystyle *[F,G]^{IJ}=-*[G,F]^{IJ}=-[G,*F]^{IJ}=[*F,G]^{IJ}.}$

donde en el primer paso hemos usado la antisimetría del bracket de Lie para intercambiar y , en el segundo paso usamos y en el último paso usamos nuevamente la antisimetría del bracket de Lie. Entonces tenemos ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Eq.6}$

${\displaystyle *[F,G]^{IJ}=[*F,G]^{IJ}\qquad Eq.7.}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}&={1 \over 2}\left([F,G]^{IJ}\mp i*[F,G]^{IJ}\right)\\&={1 \over 2}\left([F,G]^{IJ}+[F,\mp i*G]^{IJ}\right)\\&=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}&&{\text{Eq. 8}}\end{aligned}}}$

donde usamos la Ec. 6 yendo de la primera línea a la segunda línea. De manera similar tenemos

${\displaystyle \left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}=[P^{(\pm )}F,G]^{IJ}\qquad Eq.9}$

usando la ecuación 7. Ahora bien, como es una proyección, satisface , como se puede verificar fácilmente mediante cálculo directo: ${\displaystyle P^{(\pm )}}$ ${\displaystyle (P^{(\pm )})^{2}=P^{(\pm )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}(P^{(\pm )})^{2}&={1 \over 4}(1\mp i*)(1\mp i*)\\{}&={1 \over 4}(1-**\mp 2i*)\\{}&={1 \over 4}(2\mp 2i*)\\{}&=P^{(\pm )}\end{aligned}}}$

Aplicando esto junto con la Ec. 8 y la ecuación. 9 obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{}\left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}&=\left((P^{(\pm )})^{2}[F,G]\right)^{IJ}\\&=\left(P^{(\pm )}[F,P^{(\pm )}G]\right)^{IJ}\\{}&=[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G]^{IJ}\qquad Eq.10.\end{aligned}}}$

De la ecuación. 10 y la ecuación. 9 tenemos

${\displaystyle \left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G+P^{(\mp )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}+\left[P^{(\pm )}F,P^{(\mp )}G\right]^{IJ}}$

donde hemos usado que any puede escribirse como una suma de sus partes autodual y anti-sef-dual, es decir . Esto implica: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=P^{(\pm )}G+P^{(\mp )}G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}\left[P^{+}F,P^{-}G\right]^{IJ}&=0\\{}\left[P^{-}F,P^{+}G\right]^{IJ}&=0\end{aligned}}}$

Resumen de resultados principales

En total tenemos,

${\displaystyle \left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}}$

cuál es nuestro resultado principal, ya indicado anteriormente como Ec. 2. También tenemos que cualquier corchete se divide como

${\displaystyle [F,G]^{IJ}=\left[P^{+}F+P^{-}F,P^{+}G+P^{-}F\right]^{IJ}=\left[P^{+}F,P^{+}G\right]^{IJ}+\left[P^{-}F,P^{-}G\right]^{IJ}.}$

en una parte que depende sólo de tensores lorentzianos autoduales y es en sí misma la parte autodual de y una parte que depende sólo de tensores lorentzianos antiautoduales y es la parte antiautodual de ${\displaystyle [F,G]^{IJ},}$ ${\displaystyle [F,G]^{IJ}.}$

Derivación del formalismo de Ashtekar a partir de la acción autodual

La prueba dada aquí sigue la dada en las conferencias de Jorge Pullin ^[8]

La acción Palatini

${\displaystyle S(e,\omega )=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{\Omega _{ab}}^{IJ}[\omega ]\qquad Eq.11}$

donde se considera que el tensor de Ricci, , se construye puramente a partir de la conexión , sin utilizar el campo del marco. La variación con respecto a la tétrada da las ecuaciones de Einstein escritas en términos de las tétradas, pero para un tensor de Ricci construido a partir de la conexión que no tiene relación a priori con la tétrada. La variación con respecto a la conexión nos dice que la conexión satisface la condición de compatibilidad habitual. ${\displaystyle {\Omega _{ab}}^{IJ}}$ ${\displaystyle \omega _{a}^{IJ}}$

${\displaystyle D_{b}e_{a}^{I}=0.}$

Esto determina la conexión en términos de tétrada y recuperamos el tensor de Ricci habitual.

La acción autodual para la relatividad general se detalla arriba.

${\displaystyle S(e,A)=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}[A]}$

¿Dónde está la curvatura de la parte autodual de ? ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle A_{a}^{IJ}={1 \over 2}\left(\omega _{a}^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}\omega _{a}^{MN}\right).}$

Se ha demostrado que es la parte autodual de ${\displaystyle F[A]}$ ${\displaystyle \Omega [\omega ].}$

Sea el proyector sobre las tres superficies y defina campos vectoriales. ${\displaystyle q_{b}^{a}=\delta _{b}^{a}+n^{a}n_{b}}$

${\displaystyle E_{I}^{a}=q_{b}^{a}e_{I}^{b},}$

que son ortogonales a . ${\displaystyle n^{a}}$

Escribiendo

${\displaystyle E_{I}^{a}=\left(\delta _{b}^{a}+n_{b}n^{a}\right)e_{I}^{b}}$

entonces podemos escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}\int &d^{4}x\left(eE_{I}^{a}E_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2eE_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)=\\&=\int d^{4}x\left(e\left(\delta _{c}^{a}+n_{c}n^{a}\right)e_{I}^{c}\left(\delta _{d}^{b}+n_{d}n^{b}\right)e_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}-2e\left(\delta _{c}^{a}+n_{c}n^{a}\right)e_{I}^{c}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}x\left(ee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}+en_{c}n^{a}e_{I}^{c}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}+ee_{I}^{a}n_{d}n^{b}e_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}+en_{c}n^{a}n_{d}n^{b}E_{I}^{c}E_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}-2ee_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2n_{c}n^{a}e_{I}^{c}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}\\&=S(E,A)\end{aligned}}}$

donde usamos y . ${\displaystyle {F_{ab}}^{IJ}={F_{ba}}^{JI}}$ ${\displaystyle n^{a}n^{b}F_{ab}^{i}=0}$

Entonces la acción se puede escribir.

${\displaystyle S(E,A)=\int d^{4}x\left(eE_{I}^{a}E_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2eE_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\qquad Eq.12}$

Tenemos . ahora definimos ${\displaystyle e=N{\sqrt {q}}}$

${\displaystyle {\tilde {E}}_{I}^{a}={\sqrt {q}}E_{I}^{a}}$

Un tensor interno es autodual si y sólo si ${\displaystyle S^{IJ}}$

${\displaystyle *S^{IJ}:={1 \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}S^{MN}=iS^{IJ}}$

y dado que la curvatura es autodual tenemos ${\displaystyle {F_{ab}}^{IJ}}$

${\displaystyle {F_{ab}}^{IJ}=-i{1 \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}{F_{ab}}^{MN}}$

Sustituyendo esto en la acción (Ec. 12) tenemos,

${\displaystyle S(E,A)=\int d^{4}x\left(-i{\frac {1}{2}}\left({\frac {N}{\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}{F_{ab}}^{MN}-2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}n_{J}{F_{ab}}^{IJ}\right)}$

donde denotamos . Escogemos el calibre y (esto significa ). Escritura , que en este calibre . Por lo tanto, ${\displaystyle n_{J}=e_{J}^{d}n_{d}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{0}^{a}=0}$ ${\displaystyle n^{I}=\delta _{0}^{I}}$ ${\displaystyle n_{I}=\eta _{IJ}n^{J}=\eta _{00}\delta _{0}^{I}=-\delta _{0}^{I}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{IJKL}n^{L}=\varepsilon _{IJK}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{IJK0}=\varepsilon _{IJK}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(E,A)&=\int d^{4}x\left(-i{1 \over 2}\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}\left({\varepsilon ^{IJ}}_{M0}{F_{ab}}^{M0}+{\varepsilon ^{IJ}}_{0M}{F_{ab}}^{0M}\right)-2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}n_{J}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}x\left(-i\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{M}{F_{ab}}^{M0}+2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}{F_{ab}}^{I0}\right)\end{aligned}}}$

Los índices varían y en un momento los denotamos con letras minúsculas. Por la autodualidad de , ${\displaystyle I,J,M}$ ${\displaystyle 1,2,3}$ ${\displaystyle A_{a}^{IJ}}$

${\displaystyle A_{a}^{i0}=-i{1 \over 2}{\varepsilon ^{i0}}_{jk}A_{a}^{jk}=i{1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}A_{a}^{jk}=iA_{a}^{i}.}$

donde usamos

${\displaystyle {\varepsilon ^{i0}}_{jk}=-{\varepsilon ^{i}}_{0jk}=-{\varepsilon ^{i}}_{jk0}=-{\varepsilon ^{i}}_{jk}.}$

Esto implica

${\displaystyle {\begin{aligned}{F_{ab}}^{i0}&=\partial _{a}A_{b}^{i0}-\partial _{b}A_{a}^{i0}+A_{a}^{ik}{A_{bk}}^{0}-A_{b}^{ik}{A_{ak}}^{0}\\&=i\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+A_{a}^{ik}A_{bk}-A_{b}^{ik}A_{ak}\right)\\&=i\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+\varepsilon _{ijk}A_{a}^{j}A_{b}^{k}\right)\\&=iF_{ab}^{i}\end{aligned}}}$

Reemplazamos en el segundo término de la acción por . Nosotros necesitamos ${\displaystyle Nn^{b}}$ ${\displaystyle t^{b}-n^{b}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}=t^{a}\partial _{a}A_{b}^{i}+A_{a}^{i}\partial _{b}t^{a}}$

y

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)=\partial _{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}\left(t^{a}A_{a}^{k}\right)}$

para obtener

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}-{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)=t^{a}\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+\varepsilon _{ijk}A_{a}^{j}A_{b}^{k}\right)=t^{a}F_{ab}^{i}.}$

La acción se convierte

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int d^{4}x\left(-i\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{M}{F_{ab}}^{M0}-2\left(t^{a}-N^{a}\right){\tilde {E}}_{I}^{b}{F_{ab}}^{I0}\right)\\&=\int d^{4}x\left(-2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}+2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)+2iN^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}-\left({N \over {\sqrt {q}}}\right)\varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}\right)\end{aligned}}}$

donde intercambiamos las variables ficticias y en el segundo término de la primera línea. Integrando por partes en el segundo término, ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int d^{4}x{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)&=\int dtd^{3}x{\tilde {E}}_{i}^{b}\left(\partial _{b}(t^{a}A_{a}^{i})+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}(t^{a}A_{a}^{k})\right)\\&=-\int dtd^{3}xt^{a}A_{a}^{i}\left(\partial _{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}{\tilde {E}}_{k}^{b}\right)\\&=-\int d^{4}xt^{a}A_{a}^{i}{\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}\end{aligned}}}$

donde hemos descartado el término límite y donde usamos la fórmula para la derivada covariante en una densidad vectorial : ${\displaystyle {\tilde {V}}_{i}^{b}}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{b}{\tilde {V}}_{i}^{b}=\partial _{b}{\tilde {V}}_{i}^{b}+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}{\tilde {V}}_{k}^{b}.}$

La forma final de la acción que requerimos es

${\displaystyle S=\int d^{4}x\left(-2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}-2i\left(t^{a}A_{a}^{i}\right){\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}+2iN^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}+\left({N \over {\sqrt {q}}}\right)\varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}\right)}$

Hay un término de la forma " " por lo que la cantidad es el momento conjugado de . Por lo tanto, podemos escribir inmediatamente ${\displaystyle p{\dot {q}}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$

${\displaystyle \left\{A_{a}^{i}(x),{\tilde {E}}_{j}^{b}(y)\right\}={i \over 2}\delta _{a}^{b}\delta _{j}^{i}\delta ^{3}(x,y).}$

La variación de la acción con respecto a las cantidades no dinámicas , es decir, el componente de tiempo de las cuatro conexiones, la función de cambio y la función de lapso dan las restricciones. ${\displaystyle (t^{a}A_{a}^{i})}$ ${\displaystyle N^{b}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0,}$

${\displaystyle F_{ab}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{b}=0,}$

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}=0\qquad Eq.13.}$

Variar con respecto a en realidad da la última restricción en la ecuación. 13 dividido por , se ha reescalado para hacer la restricción polinómica en las variables fundamentales. La conexión se puede escribir. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\sqrt {q}}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$

${\displaystyle A_{a}^{i}={1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}A_{a}^{jk}={1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}\left(\omega _{a}^{jk}-i{1 \over 2}\left({\varepsilon ^{jk}}_{m0}\omega _{a}^{m0}+{\varepsilon ^{jk}}_{0m}\omega _{a}^{0m}\right)\right)=\Gamma _{a}^{i}-i\omega _{a}^{0i}}$

y

${\displaystyle E_{ci}\omega _{a}^{0i}=-q_{a}^{b}E_{ci}\omega _{b}^{i0}=-q_{a}^{b}E_{ci}e^{di}\nabla _{b}e_{d}^{0}=q_{a}^{b}q_{c}^{d}\nabla _{b}n_{d}=K_{ac}}$

donde usamos

${\displaystyle e_{d}^{0}=\eta ^{0I}g_{dc}e_{I}^{c}=-g_{dc}e_{0}^{c}=-n_{d},}$

por lo tanto . Entonces la conexión dice ${\displaystyle \omega _{a}^{0i}=K_{a}^{i}}$

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}.}$

Ésta es la llamada conexión de espín quiral.

Condiciones de la realidad

Debido a que las variables de Ashtekar son complejas, el resultado es una relatividad general compleja. Para recuperar la teoría real hay que imponer lo que se conoce como condiciones de realidad. Estos requieren que la tríada densitizada sea real y que la parte real de la conexión Ashtekar sea igual a la conexión de espín compatible.

Más adelante se dirá más sobre esto.

Ver también

• álgebra de mentiras
• Acción plebanski
• modelo BF

Referencias

1. Samuel, José (1987). "Una base lagrangiana para la reformulación de la gravedad canónica de Ashtekar". Pramana . 28 (4). Springer Science and Business Media LLC: L429 – L432. Código bibliográfico : 1987Prama..28L.429S. doi :10.1007/bf02847105. ISSN  0304-4289. S2CID  120704976.
2. Jacobson, Ted; Smolin, Lee (1987). "La conexión de espín zurdo como variable de la gravedad canónica". Letras de Física B. 196 (1). Elsevier BV: 39–42. Código bibliográfico : 1987PhLB..196...39J. doi :10.1016/0370-2693(87)91672-8. ISSN  0370-2693.
3. Jacobson, T; Smolin, L (1 de abril de 1988). "Acción covariante para la forma de gravedad canónica de Ashtekar". Gravedad clásica y cuántica . 5 (4). Publicación del PIO: 583–594. Código bibliográfico : 1988CQGra...5..583J. doi :10.1088/0264-9381/5/4/006. ISSN  0264-9381. S2CID  250866876.
4. Goldberg, JN (15 de abril de 1988). "Enfoque en tríada del hamiltoniano de la relatividad general". Revisión física D. 37 (8). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 2116–2120. Código bibliográfico : 1988PhRvD..37.2116G. doi :10.1103/physrevd.37.2116. ISSN  0556-2821. PMID  9958915.
5. Henneaux, M.; Nelson, JE; Schomblond, C. (15 de enero de 1989). "Derivación de variables Ashtekar a partir de la gravedad tétrada". Revisión física D. 39 (2). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 434–437. Código bibliográfico : 1989PhRvD..39..434H. doi :10.1103/physrevd.39.434. ISSN  0556-2821. PMID  9959655.
6. Variables Ashtekar en la relatividad general clásica , Domenico Giulini, Springer Lecture Notes in Physics 434 (1994), 81-112, arXiv:gr-qc/9312032
7. El hamiltoniano Ashtekar para la relatividad general por Ceddric Beny
8. Teoría de nudos y gravedad cuántica en el espacio de bucles: una introducción de Jorge Pullin; AIP Conf.Proc.317:141-190,1994, arXiv:hep-th/9301028