Tensor (definición intrínseca)

Definición sin coordenadas de un tensor

En matemáticas , el enfoque moderno sin componentes de la teoría de un tensor considera un tensor como un objeto abstracto , que expresa algún tipo definido de concepto multilineal . Sus propiedades pueden derivarse de sus definiciones, como mapas lineales o, de manera más general,; y las reglas para la manipulación de tensores surgen como una extensión del álgebra lineal al álgebra multilineal .

En geometría diferencial , una declaración geométrica intrínseca ^{[ definición necesaria ]} puede describirse mediante un campo tensorial en una variedad , y luego no necesita hacer referencia a coordenadas en absoluto. Lo mismo ocurre en la relatividad general , en los campos tensoriales que describen una propiedad física . El enfoque sin componentes también se utiliza ampliamente en álgebra abstracta y álgebra homológica , donde los tensores surgen de forma natural.

Nota: este artículo supone una comprensión del producto tensorial de espacios vectoriales sin bases elegidas . Se puede encontrar una descripción general del tema en el artículo principal sobre tensor .

Definición mediante productos tensoriales de espacios vectoriales.

Dado un conjunto finito { V ₁ , ..., V _n } de espacios vectoriales sobre un campo común F , se puede formar su producto tensorial V ₁ ⊗ ... ⊗ V _n , un elemento del cual se denomina tensor .

Un tensor en el espacio vectorial V se define entonces como un elemento (es decir, un vector en) un espacio vectorial de la forma:

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}$

donde V ^∗ es el espacio dual de V .

Si hay m copias de V y n copias de V ^∗ en nuestro producto, se dice que el tensor es de tipo ( m , n ) y contravariante de orden m y covariante de orden n y de orden total m + n . Los tensores de orden cero son solo los escalares (elementos del campo F ), los de orden contravariante 1 son los vectores en V , y los de orden covariante 1 son las formas uniformes en V ^∗ (por esta razón, los elementos de los dos últimos espacios suelen denominarse vectores contravariantes y covariantes). El espacio de todos los tensores de tipo ( m , n ) se denota

${\displaystyle T_{n}^{m}(V)=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{m}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{n}.}$

Ejemplo 1. El espacio de tensores tipo (1, 1) , es isomorfo de forma natural al espacio de transformaciones lineales de V a V . ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)=V\otimes V^{*},}$

Ejemplo 2. Una forma bilineal en un espacio vectorial real V , corresponde de forma natural a un tensor de tipo (0, 2) en Se puede definir un ejemplo de dicha forma bilineal, ^{[ se necesita aclaración ] denominado} tensor métrico asociado , y generalmente se denota g . ${\displaystyle V\times V\to F,}$ ${\displaystyle T_{2}^{0}(V)=V^{*}\otimes V^{*}.}$

rango tensorial

Un tensor simple (también llamado tensor de rango uno, tensor elemental o tensor descomponible (Hackbusch 2012, págs. 4)) es un tensor que se puede escribir como producto de tensores de la forma

${\displaystyle T=a\otimes b\otimes \cdots \otimes d}$

donde a , b , ..., d son distintos de cero y en V o V ^∗ , es decir, si el tensor es distinto de cero y completamente factorizable . Todo tensor se puede expresar como una suma de tensores simples. El rango de un tensor T es el número mínimo de tensores simples que suman T (Bourbaki 1989, II, §7, no. 8).

El tensor cero tiene rango cero. Un tensor de orden 0 o 1 distinto de cero siempre tiene rango 1. El rango de un tensor de orden 2 o superior distinto de cero es menor o igual al producto de las dimensiones de todos los vectores excepto los de mayor dimensión en (una suma de productos de ) que se puede expresar el tensor, que es d ^{n −1} cuando cada producto es de n vectores de un espacio vectorial de dimensión finita de dimensión d .

El término rango de un tensor amplía la noción de rango de una matriz en álgebra lineal, aunque el término también se usa a menudo para referirse al orden (o grado) de un tensor. El rango de una matriz es el número mínimo de vectores de columna necesarios para abarcar el rango de la matriz . Por tanto, una matriz tiene rango uno si puede escribirse como un producto externo de dos vectores distintos de cero:

${\displaystyle A=vw^{\mathrm {T} }.}$

El rango de una matriz A es el número más pequeño de productos externos que se pueden sumar para producirla:

${\displaystyle A=v_{1}w_{1}^{\mathrm {T} }+\cdots +v_{k}w_{k}^{\mathrm {T} }.}$

En índices, un tensor de rango 1 es un tensor de la forma

${\displaystyle T_{ij\dots }^{k\ell \dots }=a_{i}b_{j}\cdots c^{k}d^{\ell }\cdots .}$

El rango de un tensor de orden 2 concuerda con el rango cuando el tensor se considera una matriz (Halmos 1974, §51), y puede determinarse a partir de la eliminación gaussiana, por ejemplo. Sin embargo, el rango de un tensor de orden 3 o superior suele ser muy difícil de determinar, y las descomposiciones de tensores de bajo rango son a veces de gran interés práctico (de Groote 1987). Tareas computacionales como la multiplicación eficiente de matrices y la evaluación eficiente de polinomios pueden reformularse como el problema de evaluar simultáneamente un conjunto de formas bilineales.

${\displaystyle z_{k}=\sum _{ij}T_{ijk}x_{i}y_{j}}$

para entradas dadas x _i y y _j . Si se conoce una descomposición de bajo rango del tensor T , entonces se conoce una estrategia de evaluación eficiente (Knuth 1998, págs. 506–508).

propiedad universal

El espacio puede caracterizarse por una propiedad universal en términos de asignaciones multilineales . Entre las ventajas de este enfoque está que ofrece una manera de mostrar que muchas asignaciones lineales son "naturales" o "geométricas" (en otras palabras, son independientes de cualquier elección de base). Luego se puede escribir información computacional explícita usando bases, y este orden de prioridades puede ser más conveniente que demostrar que una fórmula da lugar a un mapeo natural. Otro aspecto es que los productos tensoriales no se utilizan sólo para módulos gratuitos , y el enfoque "universal" se aplica más fácilmente a situaciones más generales. ${\displaystyle T_{n}^{m}(V)}$

Una función escalar en un producto cartesiano (o suma directa ) de espacios vectoriales

${\displaystyle f:V_{1}\times \cdots \times V_{N}\to F}$

es multilineal si es lineal en cada argumento. El espacio de todas las asignaciones multilineales desde V ₁ × ... × V _N a W se denota L ^N ( V ₁ , ..., V _N ;  W ). Cuando N  = 1, una aplicación multilineal es simplemente una aplicación lineal ordinaria, y el espacio de todas las aplicaciones lineales de V a W se denota como L ( V ; W ) .

La caracterización universal del producto tensorial implica que, para cada función multilineal

${\displaystyle f\in L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};W)}$

(donde se puede representar el campo de escalares, un espacio vectorial o un espacio tensorial) existe una función lineal única ${\displaystyle W}$

${\displaystyle T_{f}\in L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};W)}$

tal que

${\displaystyle f(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m},v_{1},\ldots ,v_{n})=T_{f}(\alpha _{1}\otimes \cdots \otimes \alpha _{m}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})}$

para todos y ${\displaystyle v_{i}\in V}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\in V^{*}.}$

Usando la propiedad universal, se deduce, cuando V es de dimensión finita , que el espacio de ( m , n )-tensores admite un isomorfismo natural

${\displaystyle T_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};F)\cong L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};F).}$

Cada V en la definición del tensor corresponde a una V ^* dentro del argumento de las aplicaciones lineales, y viceversa. (Tenga en cuenta que en el primer caso, hay m copias de V y n copias de V ^* , y en el segundo caso viceversa). En particular, uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}^{1}(V)&\cong L(V^{*};F)\cong V,\\T_{1}^{0}(V)&\cong L(V;F)=V^{*},\\T_{1}^{1}(V)&\cong L(V;V).\end{aligned}}}$

Campos tensoriales

La geometría diferencial , la física y la ingeniería a menudo deben lidiar con campos tensoriales en variedades suaves . El término tensor se utiliza a veces como abreviatura de campo tensorial . Un campo tensorial expresa el concepto de tensor que varía de un punto a otro de la variedad.

Referencias

• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1985), Fundamentos de la mecánica (2 ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-40840-6.
• Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de matemáticas, Álgebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• de Groote, HF (1987), Conferencias sobre la complejidad de problemas bilineales , Apuntes de conferencias sobre informática, vol. 245, Springer, ISBN 3-540-17205-X.
• Halmos, Paul (1974), Espacios vectoriales de dimensión finita , Springer, ISBN 0-387-90093-4.
• Jeevanjee, Nadir (2011), "Introducción a los tensores y la teoría de grupos para físicos", Physics Today , 65 (4): 64, Bibcode :2012PhT....65d..64P, doi :10.1063/PT.3.1523, ISBN 978-0-8176-4714-8
• Knuth, Donald E. (1998) [1969], El arte de la programación informática vol. 2 (3.ª ed.), págs. 145-146, ISBN 978-0-201-89684-8.
• Hackbusch, Wolfgang (2012), Espacios tensoriales y cálculo tensorial numérico , Springer, p. 4, ISBN 978-3-642-28027-6.