potencial cuántico

Estadística mecánica cuántica

El potencial cuántico o potencialidad cuántica es un concepto central de la formulación de la mecánica cuántica de De Broglie-Bohm , introducida por David Bohm en 1952.

Presentado inicialmente con el nombre de potencial mecánico-cuántico y posteriormente potencial cuántico , más tarde fue desarrollado por Bohm y Basil Hiley en su interpretación como potencial de información que actúa sobre una partícula cuántica. También se la conoce como energía potencial cuántica , potencial de Bohm , potencial cuántico de Bohm o potencial cuántico de Bohm .

En el marco de la teoría de De Broglie-Bohm, el potencial cuántico es un término dentro de la ecuación de Schrödinger que actúa para guiar el movimiento de las partículas cuánticas. El enfoque del potencial cuántico introducido por Bohm ^{[1] [2]} proporciona una exposición físicamente menos fundamental de la idea presentada por Louis de Broglie : de Broglie había postulado en 1925 que la función de onda relativista definida en el espacio-tiempo representa una onda piloto que guía una onda cuántica. partícula, representada como un pico oscilante en el campo de ondas, pero posteriormente abandonó su enfoque porque no pudo derivar la ecuación de guía para la partícula a partir de una ecuación de onda no lineal. Los artículos fundamentales de Bohm de 1952 introdujeron el potencial cuántico e incluyeron respuestas a las objeciones que se habían planteado contra la teoría de la onda piloto.

El potencial cuántico de Bohm está estrechamente relacionado con los resultados de otros enfoques, en particular los relacionados con el trabajo de Erwin Madelung de 1927 y el trabajo de Carl Friedrich von Weizsäcker de 1935.

Partiendo de la interpretación de la teoría cuántica introducida por Bohm en 1952, David Bohm y Basil Hiley presentaron en 1975 cómo el concepto de potencial cuántico conduce a la noción de una "integridad ininterrumpida del universo entero", proponiendo que la nueva cualidad fundamental introducido por la física cuántica es la no localidad . ^[3]

Potencial cuántico como parte de la ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right)\psi \quad }$

se reescribe usando la forma polar para la función de onda con funciones de valores reales y , donde es la amplitud ( valor absoluto ) de la función de onda y su fase. Esto produce dos ecuaciones: de la parte imaginaria y real de la ecuación de Schrödinger siguen la ecuación de continuidad y la ecuación cuántica de Hamilton-Jacobi, respectivamente. ^{[1] [4]} ${\displaystyle \psi =R\exp(iS/\hbar )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle S/\hbar }$

Ecuación de continuidad

La parte imaginaria de la ecuación de Schrödinger en forma polar produce

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-{\frac {1}{2m}}\left[R\nabla ^{2}S+2\nabla R\cdot \nabla S\right],}$

que, siempre que , pueda interpretarse como la ecuación de continuidad para la densidad de probabilidad y el campo de velocidades ${\displaystyle \rho =R^{2}}$ ${\displaystyle \partial \rho /\partial t+\nabla \cdot (\rho v)=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v={\frac {1}{m}}\nabla S}$

Ecuación cuántica de Hamilton-Jacobi

La parte real de la ecuación de Schrödinger en forma polar produce una ecuación de Hamilton-Jacobi modificada

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}=-\left[{\frac {\left|\nabla S\right|^{2}}{2m}}+V+Q\right],}$

También conocida como ecuación cuántica de Hamilton-Jacobi . ^[5] Se diferencia de la ecuación clásica de Hamilton-Jacobi sólo por el término

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}.}$

Este término , llamado potencial cuántico , depende pues de la curvatura de la amplitud de la función de onda. ^{[6] [7]} ${\displaystyle Q}$

En el límite , la función es una solución de la ecuación (clásica) de Hamilton-Jacobi; ^[1] por lo tanto, la función también se denomina función de Hamilton-Jacobi, o acción , extendida a la física cuántica. ${\displaystyle \hbar \to 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Propiedades

Las trayectorias de Bohm bajo la influencia del potencial cuántico, en el ejemplo de un electrón que pasa por el experimento de las dos rendijas .

Hiley enfatizó varios aspectos ^[8] relacionados con el potencial cuántico de una partícula cuántica:

• se deriva matemáticamente de la parte real de la ecuación de Schrödinger bajo descomposición polar de la función de onda, ^[9] no se deriva de un hamiltoniano ^[10] u otra fuente externa, y podría decirse que está involucrado en un proceso de autoorganización involucrando un campo subyacente básico;
• no cambia si se multiplica por una constante, ya que este término también está presente en el denominador, por lo que es independiente de la magnitud y por tanto de la intensidad del campo; por lo tanto, el potencial cuántico cumple una condición previa para la no localidad: no es necesario que disminuya a medida que aumenta la distancia; ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \psi }$
• lleva información sobre todo el arreglo experimental en el que se encuentra la partícula.

En 1979, Hiley y sus colaboradores Philippidis y Dewdney presentaron un cálculo completo para explicar el experimento de las dos rendijas en términos de las trayectorias de Bohm que surgen para cada partícula que se mueve bajo la influencia del potencial cuántico, dando como resultado el conocido patrones de interferencia . ^[11]

Esquema del experimento de doble rendija en el que se puede observar el efecto Aharonov-Bohm: los electrones pasan a través de dos rendijas, interfiriendo en una pantalla de observación, y el patrón de interferencia sufre un cambio cuando se activa un campo magnético B en el solenoide cilíndrico.

Además, el cambio del patrón de interferencia que se produce en presencia de un campo magnético en el efecto Aharonov-Bohm podría explicarse como resultado del potencial cuántico. ^[12]

Relación con el proceso de medición

El colapso de la función de onda de la interpretación de Copenhague de la teoría cuántica se explica en el enfoque del potencial cuántico mediante la demostración de que, después de una medición, "todos los paquetes de la función de onda multidimensional que no corresponden al resultado real de la medición no tendrá ningún efecto sobre la partícula" a partir de ese momento. ^[13] Bohm y Hiley señalaron que

'El potencial cuántico puede desarrollar puntos de bifurcación inestables, que separan clases de trayectorias de partículas según los "canales" en los que eventualmente entran y dentro de los cuales permanecen. Esto explica cómo es posible realizar mediciones sin un "colapso" de la función de onda y cómo todo tipo de procesos cuánticos, como las transiciones entre estados, la fusión de dos estados en uno y la fisión de un sistema en dos, pueden tener lugar sin necesidad de necesidad de un observador humano. ^[14]

La medición entonces "implica una transformación participativa en la que tanto el sistema bajo observación como el aparato de observación experimentan una participación mutua de modo que las trayectorias se comportan de manera correlacionada, correlacionándose y separándose en conjuntos diferentes y no superpuestos (que llamamos 'canales'). )". ^[15]

Potencial cuántico de un sistema de n partículas

La función de onda de Schrödinger de un sistema cuántico de muchas partículas no se puede representar en el espacio tridimensional ordinario . Más bien, se representa en el espacio de configuración , con tres dimensiones por partícula. Por tanto, un único punto en el espacio de configuración representa la configuración de todo el sistema de n partículas en su conjunto.

Una función de onda de dos partículas idénticas de masa tiene el potencial cuántico ^[16] ${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2})R(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}{R(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)}}}$

donde y se refieren a la partícula 1 y la partícula 2 respectivamente. Esta expresión se generaliza de manera sencilla a partículas: ${\displaystyle \nabla _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \nabla _{2}^{2}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2R(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\nabla _{i}^{2}}{m_{i}}}R(\mathbf {r_{1}} ,...,\mathbf {r_{n}} ,\,t)}$

En caso de que la función de onda de dos o más partículas sea separable, entonces el potencial cuántico total del sistema se convierte en la suma de los potenciales cuánticos de las dos partículas. La separabilidad exacta es extremadamente antifísica dado que las interacciones entre el sistema y su entorno destruyen la factorización; sin embargo, una función de onda que es una superposición de varias funciones de onda de soporte aproximadamente disjunto se factorizará aproximadamente. ^[17]

Derivación de un sistema cuántico separable

Que la función de onda sea separable significa que se factoriza en la forma . Luego se deduce que también se factoriza, y el potencial cuántico total del sistema se convierte en la suma de los potenciales cuánticos de las dos partículas. ^[18] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=\psi _{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)\psi _{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle Q(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}({\frac {\nabla _{1}^{2}R_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)}{R_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)}}+{\frac {\nabla _{2}^{2}R_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}{R_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}})=Q_{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)+Q_{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$

En caso de que la función de onda sea separable, es decir, si se factoriza en la forma , los dos sistemas de una partícula se comportan de forma independiente. De manera más general, el potencial cuántico de un sistema de partículas con función de onda separable es la suma de los potenciales cuánticos, que separa el sistema en sistemas independientes de una partícula. ^[19] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\,t)=\psi _{A}(\mathbf {r_{1}} ,\,t)\psi _{B}(\mathbf {r_{2}} ,\,t)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Formulación en términos de densidad de probabilidad.

Potencial cuántico en términos de la función de densidad de probabilidad.

Bohm, así como otros físicos posteriores a él, han tratado de proporcionar evidencia de que la regla de Born se vincula con la función de densidad de probabilidad. ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \rho =R^{2}\quad }$

puede entenderse, en una formulación de onda piloto, como que no representa una ley básica, sino más bien un teorema (llamado hipótesis del equilibrio cuántico ) que se aplica cuando se alcanza un equilibrio cuántico durante el desarrollo del tiempo bajo la ecuación de Schrödinger. Con la regla de Born y aplicación sencilla de las reglas de la cadena y del producto.

${\displaystyle \nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}=\nabla \nabla \rho ^{1/2}=\nabla \left({\frac {1}{2}}\rho ^{-1/2}\nabla \rho \right)={\frac {1}{2}}\left[\left(\nabla \rho ^{-1/2}\right)\nabla \rho +\rho ^{-1/2}\nabla ^{2}\rho \right]}$

el potencial cuántico, expresado en términos de la función de densidad de probabilidad, se convierte en: ^[20]

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\left[{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{2}}{\frac {(\nabla \rho )^{2}}{\rho ^{2}}}\right]}$

fuerza cuántica

La fuerza cuántica , expresada en términos de distribución de probabilidad, asciende a: ^[21] ${\displaystyle F_{Q}=-\nabla Q}$

${\displaystyle F_{Q}={\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\left[{\frac {\nabla (\nabla ^{2}\rho )}{\rho }}-{\frac {\nabla (\nabla \rho \cdot \nabla \rho )}{2\rho ^{2}}}-\left({\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right){\frac {\nabla \rho }{\rho }}\right]}$

Formulación en el espacio de configuración y en el espacio de momento, como resultado de proyecciones.

M. R. Brown y B. Hiley demostraron que, como alternativa a su formulación en términos de espacio de configuración ( -espacio), el potencial cuántico también puede formularse en términos de espacio de momento ( -espacio). ^{[22] [23]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

En línea con el enfoque de David Bohm, Basil Hiley y el matemático Maurice de Gosson demostraron que el potencial cuántico puede verse como una consecuencia de una proyección de una estructura subyacente, más específicamente de una estructura algebraica no conmutativa , sobre un subespacio como el espacio ordinario. ( -espacio). En términos algebraicos, se puede considerar que el potencial cuántico surge de la relación entre los órdenes implicado y explicado : si se emplea un álgebra no conmutativa para describir la estructura no conmutativa del formalismo cuántico, resulta que es imposible definir un espacio subyacente, sino que se pueden construir más bien " espacios de sombra " (espacios homomórficos) y que al hacerlo aparece el potencial cuántico. ^{[23] [24] [25] [26] [27]} El enfoque del potencial cuántico puede verse como una forma de construir los espacios de sombra. ^[25] El potencial cuántico resulta así como una distorsión debido a la proyección del espacio subyacente en el espacio, de manera similar a como una proyección de Mercator inevitablemente resulta en una distorsión en un mapa geográfico. ^{[28] [29]} Existe una simetría completa entre la representación -, y el potencial cuántico tal como aparece en el espacio de configuración puede considerarse como surgido de la dispersión de la representación del momento. ^[30] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

El enfoque se ha aplicado al espacio de fase extendido , ^{[30] [31]} también en términos de un enfoque de álgebra de Duffin-Kemmer-Petiau . ^{[32] [33]}

Relación con otras cantidades y teorías.

Relación con la información de Fisher

Se puede demostrar ^[34] que el valor medio del potencial cuántico es proporcional a la información de Fisher de la densidad de probabilidad sobre lo observable. ${\displaystyle Q=-\hbar ^{2}\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}/(2m{\sqrt {\rho }})}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}=\int \rho \cdot (\nabla \ln \rho )^{2}\,d^{3}x=-\int \rho \nabla ^{2}(\ln \rho )\,d^{3}x.}$

Usando esta definición para la información de Fisher, podemos escribir: ^[35]

${\displaystyle \langle Q\rangle =\int \psi ^{*}Q\psi \,d^{3}x=\int \rho Q\,d^{3}x={\frac {\hbar ^{2}}{8m}}{\mathcal {I}}.}$

Relación con el tensor de presión de Madelung

En las ecuaciones de Madelung presentadas por Erwin Madelung en 1927, el tensor de presión cuántico no local tiene la misma forma matemática que el potencial cuántico. La teoría subyacente es diferente en que el enfoque de Bohm describe trayectorias de partículas, mientras que las ecuaciones de la hidrodinámica cuántica de Madelung son las ecuaciones de Euler de un fluido que describen sus características estadísticas promediadas. ^[36]

Relación con la corrección de von Weizsäcker

En 1935, ^[37] Carl Friedrich von Weizsäcker propuso la adición de un término de falta de homogeneidad (a veces denominado corrección de von Weizsäcker ) a la energía cinética de la teoría de los átomos de Thomas-Fermi (TF) . ^[38]

El término de corrección de von Weizsäcker es ^[39]

${\displaystyle E_{W}[\rho ]=\int dr\,{\frac {\rho \hbar ^{2}(\nabla \ln \rho )^{2}}{8m}}={\frac {\hbar ^{2}}{8m}}\int dr\,{\frac {(\nabla \rho )^{2}}{\rho }}=\int dr\,\rho \,Q.}$

El término de corrección también se ha derivado como la corrección de primer orden de la energía cinética del TF en una corrección semiclásica de la teoría de Hartree-Fock . ^[40]

Se ha señalado ^[39] que el término de corrección de von Weizsäcker a baja densidad adopta la misma forma que el potencial cuántico.

Potencial cuántico como energía de movimiento interno asociado con el espín.

Giovanni Salesi, Erasmo Recami y sus colaboradores demostraron en 1998 que, de acuerdo con el teorema de König , el potencial cuántico puede identificarse con la energía cinética del movimiento interno (" zitterbewegung ") asociada al espín de una partícula de espín-½. observado en un marco de centro de masa. Más específicamente, demostraron que la velocidad interna de zitterbewegung para una partícula giratoria, no relativista, de espín constante sin precesión y en ausencia de un campo externo, tiene el valor al cuadrado: ^[41]

${\displaystyle \mathbf {V} ^{2}={\frac {(\nabla \rho \land \mathbf {s} )^{2}}{(m\rho )^{2}}}={\frac {(\nabla \rho )^{2}\mathbf {s} ^{2}-(\nabla \rho \cdot \mathbf {s} )^{2}}{(m\rho )^{2}}}}$

de donde se muestra que el segundo término es de tamaño insignificante; entonces con ello se sigue que ${\displaystyle |\mathbf {s} |=\hbar /2}$

${\displaystyle |\mathbf {V} |={\frac {\hbar }{2}}{\frac {\nabla \rho }{m\rho }}}$

Salesi dio más detalles sobre este trabajo en 2009. ^[42]

En 1999, Salvatore Esposito generalizó su resultado de partículas de espín ½ a partículas de espín arbitrario, confirmando la interpretación del potencial cuántico como energía cinética para un movimiento interno. Esposito demostró que (usando la notación =1) el potencial cuántico se puede escribir como: ^[43] ${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle Q=-{\frac {1}{2}}m\mathbf {v} _{S}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \mathbf {v} _{S}}$

y que la interpretación causal de la mecánica cuántica puede reformularse en términos de la velocidad de una partícula

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{B}+\mathbf {v} _{S}\times \mathbf {s} }$

donde la "velocidad de deriva" es

${\displaystyle \mathbf {v} _{B}={\frac {\nabla S}{m}}}$

y la "velocidad relativa" es , con ${\displaystyle \mathbf {v} _{S}\times \mathbf {s} }$

${\displaystyle \mathbf {v} _{S}={\frac {\nabla R^{2}}{2mR^{2}}}}$

y representando la dirección de giro de la partícula. En esta formulación, según Esposito, la mecánica cuántica debe necesariamente interpretarse en términos probabilísticos, por la razón de que la condición de movimiento inicial de un sistema no puede determinarse con exactitud. ^[43] Esposito explicó que "los efectos cuánticos presentes en la ecuación de Schrödinger se deben a la presencia de una dirección espacial peculiar asociada con la partícula que, asumiendo la isotropía del espacio, puede identificarse con el giro de la propia partícula". ^[44] Esposito lo generalizó desde partículas de materia hasta partículas calibre , en particular fotones , para lo cual demostró que, si se modelan como , con función de probabilidad , pueden entenderse en un enfoque de potencial cuántico. ^[45] ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle \psi =(\mathbf {E} -i\mathbf {B} )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \psi ^{*}\cdot \psi =(\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2})/2}$

James R. Bogan, en 2002, publicó la derivación de una transformación recíproca de la ecuación de mecánica clásica de Hamilton-Jacobi a la ecuación de mecánica cuántica de Schrödinger dependiente del tiempo que surge de una transformación de calibre que representa el espín, bajo el simple requisito de conservación de probabilidad . Esta transformación dependiente del espín es función del potencial cuántico. ^[46]

Mecánica cuántica EP con potencial cuántico como derivada de Schwarz

En un enfoque diferente, la mecánica cuántica EP formulada sobre la base de un Principio de Equivalencia (EP), un potencial cuántico se escribe como: ^{[47] [48]}

${\displaystyle Q(q)={\frac {\hbar ^{2}}{4m}}\{S;q\}}$

donde está la derivada de Schwarz , es decir, . Sin embargo, incluso en los casos en que esto pueda equivaler ${\displaystyle \{\cdot \,;\cdot \}}$ ${\displaystyle \{S;q\}=(S'''/S')-(3/2)(S''/S')^{2}}$

${\displaystyle Q(q)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\Delta R}{R}}}$

E. Faraggi y M. Matone destacan que esto no se corresponde con el potencial cuántico habitual, ya que en su enfoque es una solución a la ecuación de Schrödinger pero no corresponde a la función de onda. ^[47] Esto ha sido investigado más a fondo por ER Floyd para el límite clásico , ^[49] así como por Robert Carroll. ^[50] ${\displaystyle R\exp(iS/\hbar )}$ ${\displaystyle \hbar \to 0}$

Reinterpretación en términos de álgebras de Clifford

B. Hiley y RE Callaghan reinterpretan el papel del modelo de Bohm y su noción de potencial cuántico en el marco del álgebra de Clifford , teniendo en cuenta avances recientes que incluyen el trabajo de David Hestenes sobre el álgebra del espacio-tiempo . Muestran cómo, dentro de una jerarquía anidada de álgebras de Clifford , para cada álgebra de Clifford se puede construir un elemento de un ideal mínimo izquierdo y un elemento de un ideal derecho que represente su conjugación de Clifford , y a partir de ello el elemento de densidad de Clifford (CDE) , un elemento del álgebra de Clifford que es isomorfo a la matriz de densidad estándar pero independiente de cualquier representación específica. ^[51] Sobre esta base, se pueden formar invariantes bilineales que representan propiedades del sistema. Hiley y Callaghan distinguen invariantes bilineales de un primer tipo, cada uno de los cuales representa el valor esperado de un elemento del álgebra que puede formarse como , e invariantes bilineales de un segundo tipo que se construyen con derivadas y representan impulso y energía. Utilizando estos términos, reconstruyen los resultados de la mecánica cuántica sin depender de una representación particular en términos de una función de onda ni requerir referencia a un espacio de Hilbert externo. De acuerdo con resultados anteriores, se muestra que el potencial cuántico de una partícula no relativista con espín ( partícula de Pauli ) tiene un término adicional dependiente del espín, y se muestra que el impulso de una partícula relativista con espín ( partícula de Dirac ) consiste en un movimiento lineal y una parte rotacional. ^[52] Las dos ecuaciones dinámicas que gobiernan la evolución temporal se reinterpretan como ecuaciones de conservación. Uno de ellos defiende la conservación de la energía ; el otro representa la conservación de la probabilidad y del spin . ^[53] El potencial cuántico desempeña el papel de una energía interna ^[54] que garantiza la conservación de la energía total. ^[53] ${\displaystyle C\ell _{i,j}}$ ${\displaystyle \Phi _{L}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \Phi _{R}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\Phi }}_{L}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \rho _{c}(\mathbf {r} ,t)=\Phi _{L}(\mathbf {r} ,t){\tilde {\Phi }}_{L}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\rm {Tr}}B\rho _{c}}$

Extensiones relativistas y de teoría de campos.

Potencial cuántico y relatividad.

Bohm y Hiley demostraron que la no localidad de la teoría cuántica puede entenderse como un caso límite de una teoría puramente local, siempre que se permita que la transmisión de información activa sea mayor que la velocidad de la luz, y que este caso límite produce aproximaciones a ambos. Teoría cuántica y relatividad. ^[55]

Hiley y sus colaboradores ampliaron el enfoque del potencial cuántico a la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo de Minkowski ^{[56] [57] [58] [59]} y al espacio-tiempo curvo. ^[60]

Carlo Castro y Jorge Mahecha derivaron la ecuación de Schrödinger a partir de la ecuación de Hamilton-Jacobi junto con la ecuación de continuidad y demostraron que las propiedades del potencial cuántico relativista de Bohm en términos de densidad del conjunto pueden describirse mediante las propiedades de Weyl del espacio. En el espacio plano de Riemann, se muestra que el potencial de Bohm es igual a la curvatura de Weyl . Según Castro y Mahecha, en el caso relativista , el potencial cuántico (usando el operador d'Alembert  y en la notación ) toma la forma ${\displaystyle \scriptstyle \Box }$ ${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle Q=-{\frac {1}{2m}}{\frac {\quad \Box {\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}}$

y se demuestra que la fuerza cuántica ejercida por el potencial cuántico relativista depende del potencial de calibre de Weyl y sus derivados. Además, la relación entre el potencial de Bohm y la curvatura de Weyl en el espacio-tiempo plano corresponde a una relación similar entre la información de Fisher y la geometría de Weyl después de la introducción de un momento complejo . ^[61]

Diego L. Rapoport, por su parte, asocia el potencial cuántico relativista con la curvatura escalar métrica (curvatura de Riemann). ^[62]

En relación con la ecuación de Klein-Gordon para una partícula con masa y carga, Peter R. Holland habló en su libro de 1993 de un "término similar al potencial cuántico" que es proporcional . Sin embargo, enfatizó que dar a la teoría de Klein-Gordon una interpretación de una sola partícula en términos de trayectorias, como se puede hacer con la mecánica cuántica no relativista de Schrödinger, conduciría a inconsistencias inaceptables. Por ejemplo, las funciones de onda que son soluciones a la ecuación de Klein-Gordon o de Dirac no pueden interpretarse como la amplitud de probabilidad de que una partícula se encuentre en un volumen determinado en un momento dado de acuerdo con los axiomas habituales de la mecánica cuántica, y de manera similar en la interpretación causal no puede interpretarse como la probabilidad de que la partícula esté en ese volumen en ese momento. Holland señaló que, si bien se han realizado esfuerzos para determinar un operador de posición hermitiano que permitiría una interpretación de la configuración de la teoría cuántica de campos espaciales, en particular utilizando el enfoque de localización de Newton-Wigner , pero que no hay conexión con las posibilidades para una determinación empírica de la posición En términos de una teoría relativista de la medición o de una interpretación de trayectorias, hasta ahora se ha establecido. Sin embargo, según Holland, esto no significa que el concepto de trayectoria deba descartarse de las consideraciones de la mecánica cuántica relativista. ^[63] ${\displaystyle \Box R/R}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle d^{3}x}$ ${\displaystyle t}$

Hrvoje Nikolić derivó como expresión el potencial cuántico y propuso una formulación covariante de Lorentz de la interpretación bohmiana de las funciones de onda de muchas partículas. ^[64] También desarrolló una interpretación probabilística relativista-invariante generalizada de la teoría cuántica, ^{[65] [66] [67]} en la que ya no hay una densidad de probabilidad en el espacio sino una densidad de probabilidad en el espacio-tiempo. ^{[68] [69]} ${\displaystyle Q=-(1/2m)\,\Box R/R}$ ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Potencial cuántico en la teoría cuántica de campos.

A partir de la representación espacial de las coordenadas de campo se ha construido una interpretación causal de la visión de Schrödinger de la teoría cuántica relativista. Se puede demostrar ^[70] que la imagen de Schrödinger para un campo neutro, de espín 0 y sin masa , con funcionales de valor real , conduce a ${\displaystyle \Psi \left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]=R\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]e^{S\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]}}$ ${\displaystyle R\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right],S\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]}$

${\displaystyle Q\left[\psi (\mathbf {x} ,t)\right]=-(1/2R)\int d^{3}x\,\delta ^{2}R/\delta \psi ^{2}}$

Bohm y sus colaboradores llamaron a esto potencial supercuántico . ^[71]

Basil Hiley demostró que las relaciones energía-momento en el modelo de Bohm se pueden obtener directamente del tensor de energía-momento de la teoría cuántica de campos y que el potencial cuántico es un término de energía necesario para la conservación local del momento-energía. ^[72] También ha insinuado que para partículas con energías iguales o superiores al umbral de creación de pares , el modelo de Bohm constituye una teoría de muchas partículas que describe también los procesos de creación y aniquilación de pares. ^[73]

Interpretación y denominación del potencial cuántico.

En su artículo de 1952, que ofrece una interpretación alternativa de la mecánica cuántica , Bohm ya hablaba de un potencial "mecánico cuántico". ^[74]

Bohm y Basil Hiley también llamaron al potencial cuántico potencial de información , dado que influye en la forma de los procesos y a su vez está moldeado por el entorno. ^[10] Bohm indicó: "El barco o avión (con su piloto automático) es un sistema autoactivo , es decir, tiene su propia energía. Pero la forma de su actividad está determinada por el contenido de información sobre su entorno que es transportado por el ondas de radar. Esto es independiente de la intensidad de las ondas. De manera similar, podemos considerar que el potencial cuántico contiene información activa . Es potencialmente activo en todas partes, pero en realidad está activo sólo donde y cuando hay una partícula. (cursiva en el original). ^[75]

Hiley se refiere al potencial cuántico como energía interna ^[25] y como "una nueva cualidad de energía que sólo desempeña un papel en los procesos cuánticos". ^[76] Explica que el potencial cuántico es otro término energético además de la conocida energía cinética y la energía potencial (clásica) y que es un término energético no local que surge necesariamente en vista del requisito de conservación de energía; Añadió que gran parte de la resistencia de la comunidad física contra la noción de potencial cuántico puede deberse a las expectativas de los científicos de que la energía debería ser local. ^[77]

Hiley ha enfatizado que el potencial cuántico, para Bohm, era "un elemento clave para obtener conocimientos sobre lo que podría subyacer en el formalismo cuántico. Bohm estaba convencido por su análisis más profundo de este aspecto del enfoque de que la teoría no podía ser mecánica. Más bien, es orgánico en el sentido de Whitehead , es decir, que era el todo el que determinaba las propiedades de las partículas individuales y sus relaciones, y no al revés. ^{[78] [79]}

Peter R. Holland , en su completo libro de texto, también se refiere a ella como energía potencial cuántica . ^[80] El potencial cuántico también se conoce en asociación con el nombre de Bohm como potencial de Bohm , potencial cuántico de Bohm o potencial cuántico de Bohm .

Aplicaciones

El enfoque del potencial cuántico se puede utilizar para modelar efectos cuánticos sin requerir que la ecuación de Schrödinger se resuelva explícitamente, y se puede integrar en simulaciones, como las simulaciones de Monte Carlo utilizando las ecuaciones hidrodinámicas y de difusión por deriva . ^[81] Esto se hace en forma de un cálculo "hidrodinámico" de trayectorias: a partir de la densidad en cada "elemento fluido", la aceleración de cada "elemento fluido" se calcula a partir del gradiente de y , y la divergencia resultante de los El campo de velocidad determina el cambio en la densidad. ^[82] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$

El método que utiliza las trayectorias de Bohm y el potencial cuántico se utiliza para calcular propiedades de sistemas cuánticos que no pueden resolverse exactamente y que a menudo se aproximan mediante métodos semiclásicos. Mientras que en los enfoques de campo medio el potencial para el movimiento clásico resulta de un promedio de funciones de onda, este enfoque no requiere el cálculo de una integral de funciones de onda. ^[83]

La expresión de la fuerza cuántica se ha utilizado, junto con el análisis estadístico bayesiano y los métodos de maximización de expectativas , para calcular conjuntos de trayectorias que surgen bajo la influencia de fuerzas clásicas y cuánticas. ^[21]

Otras lecturas

Artículos fundamentales

• Bohm, David (1952). "Una interpretación sugerida de la teoría cuántica en términos de" variables ocultas "I". Revisión física . 85 (2): 166-179. Código bibliográfico : 1952PhRv...85..166B. doi : 10.1103/PhysRev.85.166.(texto completo)
• Bohm, David (1952). "Una interpretación sugerida de la teoría cuántica en términos de" variables ocultas ", II". Revisión física . 85 (2): 180-193. Código bibliográfico : 1952PhRv...85..180B. doi : 10.1103/PhysRev.85.180.(texto completo)
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Artículos Recientes

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• Maurice de Gosson, Basil Hiley: propagador cuántico de corto plazo y trayectorias bohmianas , arXiv:1304.4771v1 (presentado el 17 de abril de 2013)
• Robert Carroll: Fluctuaciones, gravedad y potencial cuántico , 13 de enero de 2005, asXiv:gr-qc/0501045v1

Descripción general

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• Ignazio Licata , Davide Fiscaletti (con prólogo de BJ Hiley ): Potencial cuántico: física, geometría y álgebra , AMC, Springer, 2013, ISBN 978-3-319-00332-0 (impreso) / ISBN 978-3-319- 00333-7 (en línea)  
• Peter R. Holland : La teoría cuántica del movimiento: un relato de la interpretación causal de la mecánica cuántica de De Broglie-Bohm , Cambridge University Press, Cambridge (publicado por primera vez el 25 de junio de 1993), ISBN 0-521-35404-8 tapa dura, ISBN 0-521-48543-6 rústica, transferida a impresión digital 2004  
• David Bohm , Basil Hiley : El universo indiviso: una interpretación ontológica de la teoría cuántica , Routledge, 1993, ISBN 0-415-06588-7 
• David Bohm, F. David Peat : ciencia, orden y creatividad , 1987, Routledge, 2ª ed. 2000 (transferido a impresión digital 2008, Routledge), ISBN 0-415-17182-2 

Referencias

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