En geometría , todo poliedro está asociado a una segunda estructura dual , donde los vértices de uno corresponden a las caras del otro, y las aristas entre pares de vértices de uno corresponden a las aristas entre pares de caras del otro. [1] Estas figuras duales siguen siendo poliedros combinatorios o abstractos , pero no todas pueden construirse también como poliedros geométricos. [2] Comenzando con cualquier poliedro dado, el dual de su dual es el poliedro original.
La dualidad preserva las simetrías de un poliedro. Por lo tanto, para muchas clases de poliedros definidos por sus simetrías, los duales pertenecen a una clase de simetría correspondiente. Por ejemplo, los poliedros regulares (los sólidos platónicos (convexos) y los poliedros (estrella) de Kepler-Poinsot ) forman pares duales, mientras que el tetraedro regular es autodual. El dual de un poliedro isogonal (aquel en el que dos vértices cualesquiera son equivalentes bajo simetrías del poliedro) es un poliedro isoédrico (aquel en el que dos caras cualesquiera son equivalentes [...]), y viceversa. El dual de un poliedro isotoxal (aquel en el que dos aristas cualesquiera son equivalentes [...]) también es isotoxal.
La dualidad está estrechamente relacionada con la reciprocidad polar , una transformación geométrica que, cuando se aplica a un poliedro convexo, realiza el poliedro dual como otro poliedro convexo.
Hay muchos tipos de dualidad. Los tipos más relevantes de los poliedros elementales son la reciprocidad polar y la dualidad topológica o abstracta.
En el espacio euclidiano , el dual de un poliedro a menudo se define en términos de reciprocidad polar alrededor de una esfera. Aquí, cada vértice (polo) está asociado con un plano de la cara (plano polar o simplemente polar) de modo que el rayo desde el centro hasta el vértice es perpendicular al plano, y el producto de las distancias desde el centro a cada uno es igual a el cuadrado del radio. [3]
Cuando la esfera tiene radio y está centrada en el origen (de modo que está definida por la ecuación ), entonces el dual polar de un poliedro convexo se define como
donde denota el producto escalar estándar de y .
Normalmente, cuando no se especifica ninguna esfera en la construcción del dual, se utiliza la esfera unitaria, es decir, en las definiciones anteriores. [4]
Para cada plano de la cara descrito por la ecuación lineal
Para un poliedro con centro de simetría , es común utilizar una esfera centrada en este punto, como en la construcción de Dorman Luke (mencionada más adelante). En su defecto, para un poliedro con una esfera circunscrita, una esfera inscrita o una esfera media (una con todas las aristas como tangentes), se puede utilizar esto. Sin embargo, es posible hacer corresponder un poliedro alrededor de cualquier esfera, y la forma resultante del dual dependerá del tamaño y la posición de la esfera; Así como la esfera es variada, también lo es la forma dual. La elección del centro de la esfera es suficiente para definir el dual hasta la semejanza.
Si un poliedro en el espacio euclidiano tiene un plano de cara, una línea de arista o un vértice en el centro de la esfera, el elemento correspondiente de su dual irá al infinito. Dado que el espacio euclidiano nunca llega al infinito, el equivalente proyectivo, llamado espacio euclidiano extendido, puede formarse añadiendo el "plano en el infinito" requerido. Algunos teóricos prefieren atenerse al espacio euclidiano y decir que no existe dualidad. Mientras tanto, Wenninger (1983) encontró una manera de representar estos duales infinitos, de una manera adecuada para hacer modelos (de alguna porción finita).
El concepto de dualidad aquí está estrechamente relacionado con la dualidad en la geometría proyectiva , donde se intercambian líneas y aristas. La polaridad proyectiva funciona bastante bien para poliedros convexos. Pero para figuras no convexas como los poliedros estelares, cuando buscamos definir rigurosamente esta forma de dualidad poliédrica en términos de polaridad proyectiva, aparecen varios problemas. [5] Debido a las cuestiones de definición de la dualidad geométrica de los poliedros no convexos, Grünbaum (2007) sostiene que cualquier definición adecuada de un poliedro no convexo debería incluir una noción de poliedro dual.
Cualquier poliedro convexo puede distorsionarse en una forma canónica , en la que existe una unidad de media esfera (o interesfera) tangente a cada borde, y de manera que la posición promedio de los puntos de tangencia es el centro de la esfera. Esta forma es única hasta congruencias.
Si correspondemos un poliedro canónico de este tipo alrededor de su esfera media, el poliedro dual compartirá los mismos puntos de tangencia de borde y, por lo tanto, también será canónico. Es el dual canónico, y los dos juntos forman un compuesto dual canónico. [6]
Para un poliedro uniforme , cada cara del poliedro dual puede derivarse de la figura de vértice correspondiente del poliedro original utilizando la construcción de Dorman Luke . [7]
Incluso cuando un par de poliedros no pueden obtenerse por reciprocidad entre sí, pueden llamarse duales entre sí siempre que los vértices de uno correspondan a las caras del otro y las aristas de uno correspondan a las aristas del otro. , de forma que se preserve la incidencia. Estos pares de poliedros siguen siendo topológica o abstractamente duales.
Los vértices y aristas de un poliedro convexo forman un gráfico (el 1-esqueleto del poliedro), incrustado en la superficie del poliedro (una esfera topológica). Esta gráfica se puede proyectar para formar un diagrama de Schlegel en un plano. La gráfica formada por los vértices y aristas del poliedro dual es la gráfica dual de la gráfica original.
De manera más general, para cualquier poliedro cuyas caras formen una superficie cerrada, los vértices y aristas del poliedro forman un gráfico incrustado en esta superficie, y los vértices y aristas del poliedro dual (abstracto) forman el gráfico dual del gráfico original.
Un poliedro abstracto es un cierto tipo de conjunto parcialmente ordenado (poset) de elementos, de modo que las incidencias o conexiones entre elementos del conjunto corresponden a incidencias entre elementos (caras, aristas, vértices) de un poliedro. Cada uno de estos posets tiene un poset dual, formado al invertir todas las relaciones de orden. Si el poset se visualiza como un diagrama de Hasse , el poset dual se puede visualizar simplemente girando el diagrama de Hasse al revés.
Cada poliedro geométrico corresponde de esta manera a un poliedro abstracto y tiene un poliedro dual abstracto. Sin embargo, para algunos tipos de poliedros geométricos no convexos, es posible que los poliedros duales no sean realizables geométricamente.
Topológicamente, un poliedro autodual es aquel cuyo dual tiene exactamente la misma conectividad entre vértices, aristas y caras. De manera abstracta, tienen el mismo diagrama de Hasse .
Un poliedro geométricamente autodual no sólo es topológicamente autodual, sino que su recíproco polar alrededor de cierto punto, típicamente su centroide, es una figura similar. Por ejemplo, el dual de un tetraedro regular es otro tetraedro regular, reflejado a través del origen .
Todo polígono (es decir, un poliedro bidimensional) es topológicamente autodual, ya que tiene el mismo número de vértices que de aristas, y estos se intercambian por dualidad. Pero no es necesariamente autodual (hasta el movimiento rígido, por ejemplo). Cada polígono tiene una forma regular que es geométricamente autodual respecto de su interesfera: todos los ángulos son congruentes, al igual que todos los bordes, por lo que bajo la dualidad estas congruencias se intercambian.
De manera similar, todo poliedro convexo topológicamente autodual puede realizarse mediante un poliedro geométricamente autodual equivalente, su poliedro canónico , recíproco con respecto al centro de la esfera media .
Hay infinitos poliedros geométricamente autoduales. La familia infinita más simple son las pirámides canónicas de n lados. Otra familia infinita, las pirámides alargadas , está formada por poliedros que pueden describirse a grandes rasgos como una pirámide asentada sobre un prisma (con el mismo número de lados). Agregar un tronco (pirámide con la parte superior cortada) debajo del prisma genera otra familia infinita, y así sucesivamente.
Hay muchos otros poliedros convexos y autoduales. Por ejemplo, hay 6 diferentes con 7 vértices, y 16 con 8 vértices. [8]
Brückner identificó un icosaedro autodual no convexo con caras hexagonales en 1900. [9] [10] [11] Se han encontrado otros poliedros autoduales no convexos, bajo ciertas definiciones de poliedros no convexos y sus duales. .
La dualidad se puede generalizar al espacio n -dimensional y a politopos duales ; en dos dimensiones estos se llaman polígonos duales .
Los vértices de un politopo corresponden a los elementos ( n − 1) dimensionales, o facetas, del otro, y los j puntos que definen un elemento ( j − 1) dimensional corresponderán a j hiperplanos que se cruzan para dar un ( n − j )-elemento dimensional. El dual de una teselación o panal de n dimensiones se puede definir de manera similar.
En general, las facetas del dual de un politopo serán los duales topológicos de las figuras de vértice del politopo. Para los recíprocos polares de los politopos regulares y uniformes , las facetas duales serán recíprocos polares de la figura de vértice del original. Por ejemplo, en cuatro dimensiones, la figura del vértice de las 600 celdas es el icosaedro ; el dual del de 600 celdas es el de 120 celdas , cuyas facetas son los dodecaedros , que son el dual del icosaedro.
La clase principal de politopos autoduales son los politopos regulares con símbolos palindrómicos de Schläfli . Todos los polígonos regulares, {a} son autoduales, poliedros de la forma {a,a}, 4 politopos de la forma {a,b,a}, 5 politopos de la forma {a,b,b,a }, etc.
Los politopos regulares autoduales son:
Los panales euclidianos regulares autoduales (infinitos) son:
Los panales hiperbólicos regulares autoduales (infinitos) son:
