En geometría , los polígonos se asocian en pares llamados duales , donde los vértices de uno corresponden a las aristas del otro.
Los polígonos regulares son autoduales .
El dual de un polígono isogonal (transitivo de vértice) es un polígono isotoxal (transitivo de aristas). Por ejemplo, el rectángulo (isogonal) y el rombo (isotoxal) son duales.
En un polígono cíclico , los lados más largos corresponden a ángulos exteriores más grandes en el dual (un polígono tangencial ), y los lados más cortos a ángulos más pequeños. [ cita necesaria ] Además, los lados congruentes en el polígono original producen ángulos congruentes en el dual, y viceversa. Por ejemplo, el dual de un triángulo isósceles muy agudo es un triángulo isósceles obtuso.
En la construcción de Dorman Luke , cada cara de un poliedro dual es el polígono dual de la figura de vértice correspondiente .
Como ejemplo de la dualidad de ángulos laterales de los polígonos, comparamos las propiedades de los cuadriláteros cíclicos y tangenciales . [1]
Esta dualidad quizás sea aún más clara cuando se compara un trapezoide isósceles con una cometa .
La construcción cualitativa más simple de un polígono dual es una operación de rectificación , donde los bordes de un polígono se truncan hasta los vértices en el centro de cada borde original. Se forman nuevas aristas entre estos nuevos vértices.
Esta construcción no es reversible. Es decir, el polígono generado al aplicarlo dos veces en general no es similar al polígono original.
Al igual que con los poliedros duales, se puede tomar un círculo (ya sea el círculo inscrito , el círculo circunscrito o, si ambos existen, su círculo medio ) y realizar reciprocidad polar en él.
Bajo dualidad proyectiva , el dual de un punto es una línea y el de una línea es un punto; por lo tanto, el dual de un polígono es un polígono, con aristas del original correspondientes a los vértices del dual y viceversa.
Desde el punto de vista de la curva dual , donde a cada punto de una curva se le asocia el punto dual a su recta tangente en ese punto, la dual proyectiva se puede interpretar así:
Combinatoriamente, se puede definir un polígono como un conjunto de vértices, un conjunto de aristas y una relación de incidencia (que vértices y aristas se tocan): dos vértices adyacentes determinan una arista y, dualmente, dos aristas adyacentes determinan un vértice. Luego, el polígono dual se obtiene simplemente cambiando los vértices y las aristas.
Así, para el triángulo con vértices {A, B, C} y aristas {AB, BC, CA}, el triángulo dual tiene vértices {AB, BC, CA} y aristas {B, C, A}, donde B conecta AB & BC, etc.
Esta no es una vía particularmente fructífera, ya que combinatoriamente hay una sola familia de polígonos (dada por el número de lados); La dualidad geométrica de los polígonos es más variada, al igual que los poliedros duales combinatorios .