Derivado de la palabra griega " 5 " y " dominó ", un pentominó (o 5-omino ) es un poliominó de orden 5; es decir, un polígono en el plano formado por 5 cuadrados del mismo tamaño conectados de borde a borde. Cuando las rotaciones y las reflexiones no se consideran formas distintas, hay 12 pentominós libres diferentes. Cuando los reflejos se consideran distintos, hay 18 pentominós unilaterales . Cuando las rotaciones también se consideran distintas, hay 63 pentominós fijos .
Los rompecabezas y juegos de mosaico de Pentomino son populares en las matemáticas recreativas . [1] Por lo general, los videojuegos como las imitaciones de Tetris y Rampart consideran que los reflejos del espejo son distintos y, por lo tanto, utilizan el conjunto completo de 18 pentominós de una cara. (El propio Tetris utiliza formas de 4 cuadrados).
Cada uno de los doce pentominós satisface el criterio de Conway ; por tanto, cada pentominó es capaz de embaldosar el plano . [2] Cada pentominó quiral puede formar mosaicos en el plano sin reflejarse. [3]
El primer rompecabezas que contenía un juego completo de pentominós apareció en el libro de Henry Dudeney , The Canterbury Puzzles , publicado en 1907. [4] Los primeros mosaicos de rectángulos con un juego completo de pentominós aparecieron en el Suplemento Problemist Fairy Chess en 1935, y Se exploraron más problemas de mosaico en el PFCS y su sucesor, el Fairy Chess Review . [5] [6] : 127
Los pentominós fueron definidos formalmente por el profesor estadounidense Solomon W. Golomb a partir de 1953 y posteriormente en su libro de 1965 Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Packings . [1] [7] Fueron presentados al público en general por Martin Gardner en su columna de Juegos Matemáticos de octubre de 1965 en Scientific American . Golomb acuñó el término "pentomino" del griego antiguo πέντε / pénte , "cinco", y el -omino de domino , interpretando fantasiosamente la "d-" de "domino" como si fuera una forma del prefijo griego "di-". " (dos). Golomb nombró a los 12 pentominós libres según las letras del alfabeto latino a las que se parecen, usando el mnemotécnico FILiPiNo junto con el final del alfabeto (TUVWXYZ). [8] : 23
John Horton Conway propuso un esquema de etiquetado alternativo para pentominós, usando O en lugar de I, Q en lugar de L, R en lugar de F y S en lugar de N. El parecido con las letras es más tenso, especialmente para el pentominó O, pero esto El esquema tiene la ventaja de utilizar 12 letras consecutivas del alfabeto. Se utiliza por convención al hablar del Juego de la vida de Conway , donde, por ejemplo, se habla del pentominó R en lugar del pentominó F.
Los pentominós F, L, N, P, Y y Z son quirales ; sumando sus reflexiones (F′, J, N′, Q, Y′, S) el número de pentominós unilaterales asciende a 18. Si las rotaciones también se consideran distintas, entonces los pentominós de la primera categoría cuentan ocho veces, los de las siguientes tres categorías (T, U, V, W, Z) cuentan cuatro veces, I cuenta dos veces y X cuenta solo una vez. Esto da como resultado 5×8 + 5×4 + 2 + 1 = 63 pentominós fijos .
Se ilustran las ocho posibles orientaciones de los pentominós F, L, N, P e Y, y las cuatro posibles orientaciones de los pentominós T, U, V, W y Z:
Para figuras 2D en general existen dos categorías más:
Un rompecabezas de pentominó estándar consiste en colocar las piezas de pentominó en una caja rectangular, es decir, cubrirla sin superposiciones ni espacios. Cada uno de los 12 pentominós tiene un área de 5 cuadrados unitarios, por lo que la caja debe tener un área de 60 unidades. Los tamaños posibles son 6×10, 5×12, 4×15 y 3×20.
El caso 6×10 fue resuelto por primera vez en 1960 por Colin Brian Haselgrove y Jenifer Haselgrove . [9] Hay exactamente 2339 soluciones, excluyendo variaciones triviales obtenidas por rotación y reflexión de todo el rectángulo, pero incluyendo la rotación y reflexión de un subconjunto de pentominós (que a veces proporciona una solución adicional de forma sencilla). La caja de 5×12 tiene 1010 soluciones, la caja de 4×15 tiene 368 soluciones y la caja de 3×20 tiene solo 2 soluciones (una se muestra en la figura y la otra se puede obtener de la solución que se muestra girando). en su conjunto, el bloque formado por los pentominós L, N, F, T, W, Y y Z).
Dana Scott resolvió un rompecabezas algo más fácil (más simétrico), el rectángulo de 8 × 8 con un agujero de 2 × 2 en el centro, ya en 1958. [10] Hay 65 soluciones. El algoritmo de Scott fue una de las primeras aplicaciones de un programa informático de retroceso . Las variaciones de este rompecabezas permiten colocar los cuatro agujeros en cualquier posición. Uno de los enlaces externos utiliza esta regla.
Se han descrito algoritmos eficientes para resolver tales problemas, por ejemplo, por Donald Knuth . [11] Estos rompecabezas de pentominó, que se ejecutan en hardware moderno , ahora se pueden resolver en cuestión de segundos.
La mayoría de estos patrones tienen solución, con la excepción de colocar cada par de agujeros cerca de dos esquinas del tablero de tal manera que ambas esquinas sólo puedan encajar con un pentominó P, o forzar un pentominó T o un pentominó U en una esquina de manera que se cree otro agujero.
El conjunto de pentominó es el único conjunto de poliominó libre que se puede empaquetar en un rectángulo, con la excepción de los conjuntos triviales de monominó y dominó , cada uno de los cuales consta de un solo rectángulo.
Un pentacubo es un policubo de cinco cubos. De los 29 pentacubos, exactamente doce son planos (de una sola capa) y corresponden a los doce pentominós extruidos a una profundidad de un cuadrado.
Un rompecabezas de pentacube o rompecabezas de pentominó 3D , equivale a llenar una caja tridimensional con los 12 pentacubos planos, es decir, taparla sin superposiciones y sin espacios. Como cada pentacubo tiene un volumen de 5 cubos unitarios, la caja debe tener un volumen de 60 unidades. Los tamaños posibles son 2×3×10 (12 soluciones), 2×5×6 (264 soluciones) y 3×4×5 (3940 soluciones). [12]
Alternativamente, también se podrían considerar combinaciones de cinco cubos que sean en sí mismos 3D, es decir, aquellas que incluyan algo más que las 12 combinaciones de cubos gruesos de una sola capa "planos". Sin embargo, además de los 12 pentacubos "planos" formados al extruir los pentominós, hay 6 conjuntos de pares quirales y 5 piezas adicionales, formando un total de 29 piezas potenciales de pentacubo, lo que da 145 cubos en total (=29×5). ; Como 145 solo se puede empaquetar en una caja que mide 29 × 5 × 1, no se puede formar incluyendo pentominós que no sean planos.
Existen juegos de mesa de habilidad basados íntegramente en pentominós. Estos juegos a menudo se denominan simplemente "pentominós".
Uno de los juegos se juega en una cuadrícula de 8×8 entre dos o tres jugadores. Los jugadores se turnan para colocar pentominós en el tablero para que no se superpongan con las fichas existentes y ninguna ficha se use más de una vez. El objetivo es ser el último jugador en colocar una ficha en el tablero. Esta versión de Pentominoes se llama "El juego de Golomb". [13]
La versión para dos jugadores fue resuelta débilmente en 1996 por Hilarie Orman. Se demostró que fue una victoria del primer jugador al examinar alrededor de 22 mil millones de posiciones en el tablero. [14]
Los pentominós y formas similares también son la base de otros juegos de mosaico, patrones y rompecabezas. Por ejemplo, el juego de mesa francés Blokus se juega con 4 conjuntos de poliominós de colores , cada uno de los cuales consta de pentominó (12), tetrominó (5), triominó (2), dominó (1) y monominó (1). Al igual que el juego Pentominoes , el objetivo es usar todas tus fichas y se otorga una bonificación si el monomino se juega en el último movimiento. El jugador al que le quedan menos bloques gana.
El juego de la Catedral también se basa en poliominós . [15]
Parker Brothers lanzó un juego de mesa de pentominó multijugador llamado Universe en 1966. Su tema se basa en una escena eliminada de la película de 1968 2001: A Space Odyssey en la que un astronauta juega un juego de pentominó para dos jugadores contra la computadora HAL 9000 ( se mantuvo una escena con un astronauta diferente jugando al ajedrez ). El frente de la caja del juego de mesa presenta escenas de la película, así como un título que la describe como el "juego del futuro". El juego viene con cuatro juegos de pentominós en rojo, amarillo, azul y blanco. El tablero tiene dos áreas jugables: un área base de 10x10 para dos jugadores con 25 cuadrados adicionales (dos filas más de 10 y una fila desplazada de cinco) en cada lado para más de dos jugadores.
El fabricante de juegos Lonpos tiene varios juegos que utilizan los mismos pentominós, pero en diferentes planos de juego. Su Juego 101 tiene un avión de 5 x 11. Al cambiar la forma del avión, se pueden jugar miles de rompecabezas, aunque sólo una selección relativamente pequeña de estos rompecabezas está disponible impresa.
Los pentominós aparecieron en una trama secundaria destacada de la novela Imperial Earth de Arthur C. Clarke de 1975 . Clarke también escribió un ensayo en el que describió el juego y cómo se enganchó a él. [dieciséis]
También aparecieron en Chasing Vermeer de Blue Balliett , que se publicó en 2003 e ilustrado por Brett Helquist , así como en sus secuelas, The Wright 3 y The Calder Game . [17]
En el crucigrama del New York Times del 27 de junio de 2012, la pista para una palabra de 11 letras con 37 de ancho era "Conjunto completo de 12 formas formadas por los cuadrados negros de este rompecabezas". [18]
