En geometría , un grupo de puntos en cuatro dimensiones es un grupo isométrico en cuatro dimensiones que deja el origen fijo, o correspondientemente, un grupo isométrico de una 3-esfera .
Hay cuatro isometrías básicas de simetría puntual de cuatro dimensiones : simetría de reflexión , simetría rotacional , rotoreflexión y doble rotación .
Los grupos puntuales en este artículo se dan en notación de Coxeter , que se basa en grupos de Coxeter , con marcas para grupos extendidos y subgrupos. [6] La notación de Coxeter tiene una correspondencia directa con el diagrama de Coxeter como [3,3,3], [4,3,3], [3 1,1,1 ], [3,4,3], [5,3,3] y [p,2,q]. Estos grupos limitan la 3-esfera en dominios tetraédricos hiperesféricos idénticos. El número de dominios es el orden del grupo. El número de espejos para un grupo irreducible es nh/2 , donde h es el número de Coxeter del grupo de Coxeter , n es la dimensión (4). [7]
Para referencias cruzadas, también se dan aquí notaciones basadas en cuaterniones de Patrick du Val (1964) [8] y John Conway (2003). [9] La notación de Conway permite calcular el orden del grupo como un producto de elementos con órdenes de grupo poliédrico quirales: (T=12, O=24, I=60). En la notación de Conway, un prefijo (±) implica inversión central , y un sufijo (.2) implica simetría especular. De manera similar, la notación de Du Val tiene un asterisco (*) como superíndice para la simetría especular.
Hay cinco grupos involutivos : sin simetría [ ] + , simetría de reflexión [ ], simetría rotacional doble [2] + , rotoreflexión doble [2 + ,2 + ] y simetría de punto central [2 + ,2 + ,2 + ] como una doble rotación doble .
Un grupo policórico es uno de los cinco grupos de simetría de los politopos regulares de 4 dimensiones . También hay tres grupos prismáticos poliédricos y un conjunto infinito de grupos duoprismáticos. Cada grupo está definido por un dominio fundamental de tetraedro de Goursat limitado por planos de espejo. Los ángulos diedros entre los espejos determinan el orden de simetría diedra . El diagrama de Coxeter-Dynkin es un gráfico donde los nodos representan planos de espejo y las aristas se denominan ramas y se etiquetan por su orden de ángulo diedro entre los espejos.
El término polychoron (plural polychora , adjetivo policórico ), proviene de las raíces griegas poly ("muchos") y choros ("habitación" o "espacio") y fue defendido [10] por Norman Johnson y George Olshevsky en el contexto de polychora uniforme (4-politopos), y sus grupos de simetría de 4 dimensiones relacionados. [11]
Los grupos de Coxeter de rango 4 permiten que un conjunto de 4 espejos abarque el espacio cuatridimensional y dividen la esfera tridimensional en dominios fundamentales tetraédricos. Los grupos de Coxeter de rango inferior solo pueden limitar dominios fundamentales hosoédricos u hosótopos en la esfera tridimensional.
Al igual que los grupos poliédricos 3D , los nombres de los grupos policóricos 4D dados se construyen con los prefijos griegos de los recuentos de celdas de los politopos regulares con caras triangulares correspondientes. [12] Existen simetrías extendidas en policoras uniformes con patrones de anillos simétricos dentro de la construcción del diagrama de Coxeter . Existen simetrías quirales en policoras uniformes alternadas .
Sólo los grupos irreducibles tienen números de Coxeter, pero los grupos duoprismáticos [p,2,p] se pueden duplicar a p,2,p añadiendo un giro doble al dominio fundamental, y esto da un número de Coxeter efectivo de 2 p , por ejemplo el [4,2,4] y su grupo de simetría completa B 4 , [4,3,3] con número de Coxeter 8.
El orden de simetría es igual al número de células del policoro regular multiplicado por la simetría de sus células. Los policoros duales omnitruncados tienen células que coinciden con los dominios fundamentales del grupo de simetría.
Los subgrupos directos de los grupos puntuales reflexivos de 4 dimensiones son:
), orden 120, (Du Val #51' (I † /C 1 ;I/C 1 ) †* , Conway + 1 / 60 [I×I].2 1 ), llamado así por las 5 células (pentachoron), dado por el diagrama de Coxeter anillado 
. También se le denomina a veces grupo hipertetraédrico por extender el grupo tetraédrico [3,3]. Hay 10 hiperplanos especulares en este grupo. Es isomorfo al grupo simétrico abstracto S 5 .
), orden 240, (Du Val #51 (I †* /C 2 ;I/C 2 ) †* , Conway ± 1 / 60 [I× I ].2). Es isomorfo al producto directo de grupos abstractos: S 5 ×C 2 .
), orden 120, (Du Val #32 (I † /C 2 ;I/C 2 ) † , Conway ± 1 / 60 [Ix I ]). Este grupo representa la construcción del omnisnub de 5 celdas ,
, aunque no se puede uniformizar. Es isomorfo al producto directo de grupos abstractos: A 5 × C 2 .
), orden 60, (Du Val #32' (I † /C 1 ;I/C 1 ) † , Conway + 1 / 60 [I× I ]). Es isomorfo al grupo alternante abstracto , A 5 .
), orden 384, (Du Val #47 (O/V;O/V) * , Conway ± 1 / 6 [O×O].2), llamado así por las 16 células (hexadecacoron),Hay 16 hiperplanos especulares en este grupo, que se pueden identificar en 2 conjuntos ortogonales: 12 de un subgrupo [3 1,1,1 ] y 4 de un subgrupo [2,2,2]. También se le llama grupo hiperoctaédrico para extender el grupo octaédrico 3D [4,3] y grupo teseractico para el teseracto ..), orden 192, (Du Val #27 (O/V;O/V), Conway ± 1 / 6 [O×O]). Este grupo representa la construcción de un teseracto omnisnub ,
, aunque no se puede uniformizar.), orden 192, (Du Val #41 (T/V;T/V) * , Conway ± 1 / 3 [T×T].2). Este grupo conduce al snub de 24 celdas con construcción.
=
), orden 192, y lo mismo que la simetría #demitesseractic: [3 1,1,1 ]. Este grupo se expresa en la construcción alternada de teseracto de 16 celdas ,=
.=), orden 96, y es el mismo que el grupo demiteseractico quiral [3 1,1,1 ] + y también es el subgrupo conmutador de [4,3,3].
), orden 96, índice de subgrupo 4, (Du Val #44 (O/C 2 ;O/C 2 ) * , Conway ± 1 / 24 [O×O].2). El prisma cúbico truncado tiene esta simetría con el diagrama de Coxeter.y el prisma cúbico es una construcción de simetría inferior del teseracto , como.
), orden 48, (Du Val #26 (O/C 2 ;O/C 2 ), Conway ± 1 / 24 [O×O]). Un ejemplo es el antiprisma cúbico romo ,, aunque no se puede uniformizar.), orden 48, (Du Val #44b' (O/C 1 ;O/C 1 ) − * , Conway + 1 / 24 [O×O].2 1 ). El prisma cúbico romo tiene esta simetría con el diagrama de Coxeter.
), orden 24, (Du Val #44' (T/C 2 ;T/C 2 ) − * , Conway + 1 / 12 [T×T].2 1 ).), orden 48, (Du Val #39 (T/C 2 ;T/C 2 ) c * , Conway ± 1 / 12 [T×T].2).=), orden 24, (Du Val #44" (T/C 2 ;T/C 2 ) * , Conway + 1 / 12 [T×T].2 3 ). Este es el grupo piritoédrico 3D , [4,3 + ].), orden 24, (Du Val #21 (T/C 2 ;T/C 2 ), Conway ± 1 / 12 [T×T]).), orden 48, (Du Val #39' (T/C 2 ;T/C 2 ) − * , Conway ± 1 / 12 [T× T ].2).) , orden 48, (Du Val #40b' (O/C 1 ; O/C 1 ) − * , Conway + 1/24 [O× O ].2 1 ).=), orden 48 (Du Val #44b" (O/C 1 ;O/C 1 ) c * , Conway + 1 / 24 [O×O].2 3 ). Se llama grupo piramidal octaédrico y tiene simetría octaédrica 3D , [4,3]. Una pirámide cúbica puede tener esta simetría, con el símbolo de Schläfli : ( ) ∨ {4,3}.
El grupo piramidal octaédrico es isomorfo a la simetría octaédrica 3D.=), orden 24 (Du Val #26b' (O/C 1 ;O/C 1 ), Conway + 1 / 24 [O×O]). Este es el grupo octaédrico quiral 3D , [4,3] + . Una pirámide cúbica chata puede tener esta simetría, con el símbolo de Schläfli: ( ) ∨ sr{4,3}.), orden 48, índice de subgrupo 8, (Du Val #40b" (O/C 1 ;O/C 1 ) * , Conway + 1 / 24 [O× O ].2 3 ).), orden 24, (Du Val #26b" (O/C 1 ;O/C 1 ), Conway + 1 / 24 [O× O ]). Un ejemplo es el antiprisma tetraédrico romo ,, aunque no se puede uniformizar.), orden 24, (Du Val #39b' (T/C 1 ;T/C 1 ) c * , Conway + 1 / 12 [T× T ].2 3 ). Un ejemplo es el prisma tetraédrico romo ,.=), orden 24, (Du Val #39b" (T/C 1 ;T/C 1 ) − * , Conway + 1 / 12 [T× T ].2 1 ). Se llama grupo piramidal tetraédrico y es el grupo tetraédrico 3D , [3,3]. Una pirámide tetraédrica regular puede tener esta simetría, con símbolo de Schläfli: ( ) ∨ {3,3}.
El grupo piramidal tetraédrico es isomorfo a la simetría tetraédrica 3D .=), orden 12, (Du Val #21b' (T/C 1 ;T/C 1 ), Conway + 1 / 12 [T×T]). Este es el grupo tetraédrico quiral 3D , [3,3] + . Una pirámide tetraédrica chata puede tener esta simetría, con el símbolo de Schläfli: ( ) ∨ sr{3,3}.), orden 16. Otros son [4,2,4] (), [4,2,2] (), con índices de subgrupo 6 y 12, orden 64 y 32. Estos grupos son simetrías inferiores del teseracto : (), (), y (). Estos grupos son de simetría #duoprismática.), orden 1152, (Du Val #45 (O/T;O/T) * , Conway ± 1 / 2 [OxO].2), llamado así por las 24 células (icositetracoron),Hay 24 planos especulares en esta simetría, que se pueden descomponer en dos conjuntos ortogonales de 12 espejos en simetría demiteseractica [3 1,1,1 ] subgrupos, como [3 * ,4,3] y [3,4,3 * ], como subgrupos de índice 6.
) tiene orden 2304, (Du Val #48 (O/O;O/O) * , Conway ±[O×O].2).) tiene orden 1152, (Du Val #25 (O/O;O/O), Conway ±[OxO]). Este grupo representa la construcción del 24-cell omnisnub ,, aunque no se puede uniformizar.o), tienen orden 576, (Du Val #43 (T/T;T/T) * , Conway ±[T×T].2). Este grupo conduce al snub de 24 celdas con construccióno.), orden 288, (Du Val #20 (T/T;T/T), Conway ±[T×T]) es el subgrupo conmutador de [3,4,3].
) orden 576, (Du Val #23 (T/T;O/O), Conway ±[OxT]).), orden 576, (Du Val #28 (O/T;O/T), Conway ± 1 / 2 [O×O]).
=), orden 192, (Du Val #42 (T/V;T/V) − * , Conway ± 1 / 3 [T× T ].2), llamado así por la construcción de 4 demicubes (demiteseracto) de 16 celdas,oHay 12 espejos en este grupo de simetría.=), orden 96, (Du Val #22 (T/V;T/V), Conway ± 1 / 3 [T×T]). Este grupo conduce al snub de 24 celdas con construcción=.
), orden 14400, (Du Val #50 (I/I;I/I) * , Conway ±[I×I].2), llamado así por las 600 células (hexacosicoron),. También se le denomina a veces grupo hipericosaédrico por extender el grupo icosaédrico 3D [5,3], y grupo hecatonicosacórico o grupo dodecacontacórico a partir de las 120 células ..), orden 7200, (Du Val #30 (I/I;I/I), Conway ±[I×I]). Este grupo representa la construcción del snub de 120 celdas ,, aunque no se puede uniformizar.), orden 240, índice de subgrupo 60, (Du Val #49 (I/C 2 ;I/C 2 ) * , Conway ± 1 / 60 [IxI].2).), orden 120, (Du Val #31 (I/C 2 ;I/C 2 ), Conway ± 1 / 60 [IxI]). Este grupo representa la construcción del antiprisma dodecaédrico chato ,, aunque no se puede uniformizar.), orden 120, (Du Val #49' (I/C 1 ;I/C 1 ) * , Conway + 1 / 60 [IxI].2 1 ). Este grupo representa la construcción del prisma dodecaédrico romo ,.=), orden 120, (Du Val #49" (I/C 1 ;I/C 1 ) − * , Conway + 1 / 60 [IxI].2 3 ). Se llama grupo piramidal icosaédrico y es el grupo icosaédrico 3D , [5,3]. Una pirámide dodecaédrica regular puede tener esta simetría, con símbolo de Schläfli : ( ) ∨ {5,3}.=), orden 60, (Du Val #31' (I/C 1 ;I/C 1 ), Conway + 1 / 60 [IxI]). Este es el grupo icosaédrico quiral 3D , [5,3] + . Una pirámide dodecaédrica chata puede tener esta simetría, con símbolo de Schläfli : ( ) ∨ sr{5,3}.
), orden 4 pq , existen para todos los 2 ≤ p , q < ∞. Hay p+q espejos en esta simetría, que se descomponen trivialmente en dos conjuntos ortogonales de p y q espejos de simetría diedra : [p] y [q].), orden 2 pq . Puede duplicarse como [[2p,2,2p] + ].), la simetría se puede duplicar como [[p,2,p]], (
).), [[2p,2 + ,2p]], [[2p + ,2 + ,2p + ]].
), representa un grupo de líneas en el espacio tridimensional,) representa la simetría del plano euclidiano con dos conjuntos de espejos paralelos y un dominio rectangular ( orbifold *2222).), [p,2,q + ], (), [p + ,2,q + ], ().), [2p,2 + ,2q + ], (), [(p,2) + ,2q], (), [2p,(2,q) + ], (), [(p,2) + ,2q + ], (), [2p + ,(2,q) + ], (), [2p + ,2 + ,2q + ], (), y subgrupo conmutador, índice 16, [2p + ,2 + ,2q + ] + , ().), orden 16.), orden 8.), orden 32. El duoprisma 4-4 tiene esta simetría extendida,.o.), orden 2. Es una doble rotación y una inversión central de 4D ., orden 36..o
., orden 64..o
.o.,,,) orden 16.), orden 8.), [4,2,4,1 + ]=[4,2,2], (), orden 32.), [4,2,4,1 + ] + =[4,2,2] + , (), orden 16.), orden 16.) orden 8Este es un resumen de los grupos puntuales de 4 dimensiones en notación de Coxeter . 227 de ellos son grupos puntuales cristalográficos (para valores particulares de p y q). [14] [ which? ] (nc) se proporciona para grupos no cristalográficos. Algunos grupos cristalográficos [ which? ] tienen sus órdenes indexados (order.index) por su estructura de grupo abstracta. [15]