En geometría , el 16-cell es el 4-politopo convexo regular (análogo cuatridimensional de un sólido platónico) con símbolo de Schläfli {3,3,4}. Es uno de los seis 4-politopos convexos regulares descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX. [1] También se le llama C 16 , hexadecacoron , [2] o hexdecaedroide [ sic ? ] . [3]
Es el miembro 4-dimensional de una familia infinita de politopos llamados politopos cruzados , ortoplexos o hiperoctaedros que son análogos al octaedro en tres dimensiones. Es el politopo de Coxeter. [4] El politopo dual es el teseracto ( cubo de 4 ), con el que se puede combinar para formar una figura compuesta. Las celdas del teseracto de 16 celdas son duales con respecto a los 16 vértices del teseracto.
Geometría
La celda 16 es la segunda en la secuencia de 6 4-politopos regulares convexos (en orden de tamaño y complejidad). [a]
Cada uno de sus 4 politopos regulares convexos sucesores se puede construir como la envoltura convexa de un politopo compuesto de múltiples 16 celdas: el teseracto de 16 vértices como un compuesto de dos 16 celdas, el teseracto de 24 vértices y 24 celdas como un compuesto de tres 16 celdas, el teseracto de 120 vértices y 600 celdas como un compuesto de quince 16 celdas, y el teseracto de 120 vértices y 600 celdas como un compuesto de setenta y cinco 16 celdas. [b]
Coordenadas
La celda 16 es el politopo cruzado de 4 dimensiones (4-ortoplex) , lo que significa que sus vértices se encuentran en pares opuestos en los 4 ejes de un sistema de coordenadas cartesianas (w, x, y, z).
Los ocho vértices son (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1). Todos los vértices están conectados por aristas, excepto los pares opuestos. La longitud de la arista es √ 2 .
Las coordenadas de los vértices forman 6 cuadrados centrales ortogonales que se encuentran en los 6 planos de coordenadas. Los cuadrados en planos opuestos que no comparten un eje (por ejemplo, en los planos xy y wz ) son completamente disjuntos (no se intersecan en ningún vértice). [c]
Las 16 celdas constituyen una base ortonormal para la elección de un marco de referencia de 4 dimensiones, porque sus vértices definen exactamente los cuatro ejes ortogonales.
El sistema de 16 celdas está delimitado por 16 celdas , todas ellas tetraedros regulares . [e] Tiene 32 caras triangulares , 24 aristas y 8 vértices . Las 24 aristas delimitan 6 cuadrados centrales ortogonales que se encuentran en círculos máximos en los 6 planos de coordenadas (3 pares de cuadrados máximos completamente ortogonales ) . En cada vértice, 3 cuadrados máximos se cruzan perpendicularmente. Las 6 aristas se encuentran en el vértice de la misma forma que las 6 aristas se encuentran en el vértice de una pirámide octaédrica canónica . [d] Los 6 planos centrales ortogonales del sistema de 16 celdas se pueden dividir en 4 hiperplanos centrales ortogonales (3-espacios), cada uno de los cuales forma un octaedro con 3 cuadrados máximos ortogonales.
Rotaciones
Las rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones pueden verse como la composición de dos rotaciones bidimensionales en planos completamente ortogonales. [6] El sistema de 16 celdas es un marco simple en el que observar rotaciones de 4 dimensiones, porque cada uno de los 6 grandes cuadrados de las 16 celdas tiene otro gran cuadrado completamente ortogonal (hay 3 pares de cuadrados completamente ortogonales). [c] Muchas rotaciones de las 16 celdas pueden caracterizarse por el ángulo de rotación en uno de sus planos de grandes cuadrados (por ejemplo, el plano xy ) y otro ángulo de rotación en el plano de gran cuadrado completamente ortogonal (el plano wz ). [j ] Los grandes cuadrados completamente ortogonales tienen vértices disjuntos: 4 de los 8 vértices de las 16 celdas rotan en un plano y los otros 4 rotan independientemente en el plano completamente ortogonal. [g]
En 2 o 3 dimensiones, una rotación se caracteriza por un único plano de rotación; este tipo de rotación que tiene lugar en el espacio de 4 dimensiones se denomina rotación simple , en la que solo uno de los dos planos completamente ortogonales gira (el ángulo de rotación en el otro plano es 0). En el modelo de 16 celdas, una rotación simple en uno de los 6 planos ortogonales mueve solo 4 de los 8 vértices; los otros 4 permanecen fijos. (En la animación de rotación simple anterior, los 8 vértices se mueven porque el plano de rotación no es uno de los 6 planos de base ortogonales).
En una doble rotación, ambos conjuntos de 4 vértices se mueven, pero de forma independiente: los ángulos de rotación pueden ser diferentes en los 2 planos completamente ortogonales. Si los dos ángulos son iguales, se produce una rotación isoclínica de máxima simetría. [q] En la celda de 16, una rotación isoclínica de 90 grados de cualquier par de planos cuadrados completamente ortogonales lleva cada plano cuadrado a su plano cuadrado completamente ortogonal. [r]
Construcciones
Bipirámide octaédrica
La construcción más simple del sistema de 16 celdas se realiza sobre el politopo cruzado tridimensional, el octaedro . El octaedro tiene 3 ejes perpendiculares y 6 vértices en 3 pares opuestos (su polígono de Petrie es el hexágono ). Agregue otro par de vértices, sobre un cuarto eje perpendicular a los otros 3 ejes. Conecte cada nuevo vértice a los 6 vértices originales, agregando 12 nuevos bordes. Esto genera dos pirámides octaédricas sobre una base octaédrica compartida que se encuentra en el hiperplano central del sistema de 16 celdas. [10]
Proyección estereográfica de los 6 cuadrados centrales ortogonales de las 16 celdas sobre sus círculos máximos. Cada círculo está dividido en 4 aristas de arco en las intersecciones donde 3 círculos se cruzan perpendicularmente. Observe que cada círculo tiene un círculo paralelo de Clifford que no interseca . Esos dos círculos pasan uno a través del otro como eslabones adyacentes de una cadena.
El octaedro con el que se inicia la construcción tiene tres cuadrados perpendiculares que se intersecan (que aparecen como rectángulos en las proyecciones hexagonales). Cada cuadrado se interseca con cada uno de los otros cuadrados en dos vértices opuestos, y dos de los cuadrados se cruzan en cada vértice. Luego se agregan dos puntos más en la cuarta dimensión (encima y debajo del hiperplano tridimensional). Estos nuevos vértices se conectan con todos los vértices del octaedro, lo que crea 12 nuevas aristas y tres cuadrados más (que aparecen de canto como los 3 diámetros del hexágono en la proyección) y tres octaedros más. [h]
También se ha creado algo sin precedentes. Nótese que cada cuadrado ya no se interseca con todos los demás cuadrados: sí se interseca con cuatro de ellos ( ahora tres de los cuadrados se cruzan en cada vértice), pero cada cuadrado tiene otro cuadrado con el que no comparte vértices: no está conectado directamente con ese cuadrado en absoluto. Estos dos cuadrados perpendiculares separados (hay tres pares de ellos) son como los bordes opuestos de un tetraedro : perpendiculares, pero no se intersecan. Se encuentran uno frente al otro (paralelos en cierto sentido), y no se tocan, pero también pasan uno a través del otro como dos eslabones perpendiculares de una cadena (pero a diferencia de los eslabones de una cadena tienen un centro común). Son un ejemplo de planos paralelos de Clifford , y el politopo regular de 16 celdas es el más simple en el que aparecen. El paralelismo de Clifford [l] de objetos de más de una dimensión (más que solo líneas curvas ) surge aquí y ocurre en todos los politopos regulares de 4 dimensiones posteriores, donde puede verse como la relación definitoria entre los 4-politopos regulares concéntricos disjuntos y sus partes correspondientes. Puede ocurrir entre politopos congruentes (similares) de 2 o más dimensiones. [11] Por ejemplo, como se señaló anteriormente, todos los 4-politopos regulares convexos posteriores son compuestos de múltiples 16 celdas; esas 16 celdas son politopos paralelos de Clifford .
Construcciones tetraédricas
El sistema de 16 celdas tiene dos construcciones de Wythoff a partir de tetraedros regulares, una forma regular y una forma alternada, que se muestran aquí como redes , la segunda representada por celdas tetraédricas de dos colores alternados. La forma alternada es una construcción de simetría inferior del sistema de 16 celdas llamada demitesseract .
La construcción de Wythoff replica la característica de 5 celdas del sistema de 16 celdas en un caleidoscopio de espejos. Cada politopo regular de 4 celdas tiene su ortosquema característico de 4 celdas, un sistema irregular de 5 celdas . [s] Hay tres politopos regulares de 4 celdas con celdas tetraédricas: el de 5 celdas , el de 16 celdas y el de 600 celdas . Aunque todos están limitados por celdas tetraédricas regulares , sus 5 celdas características (ortosquemas de 4 celdas) son pirámides tetraédricas diferentes , todas basadas en el mismo tetraedro irregular característico . Comparten el mismo tetraedro característico (ortosquema de 3 celdas) y el triángulo rectángulo característico (ortosquema de 2 celdas) porque tienen el mismo tipo de celda. [t]
La característica de 5 celdas del sistema regular de 16 celdas está representada por el diagrama de Coxeter-Dynkin., que puede leerse como una lista de los ángulos diedros entre sus facetas especulares. Es una pirámide tetraédrica irregular basada en el tetraedro característico del tetraedro regular . La pirámide regular de 16 celdas se subdivide por sus hiperplanos de simetría en 384 instancias de su característica pirámide de 5 celdas que se encuentran todas en su centro.
La celda característica de 5 (ortosquema de 4) tiene cuatro aristas más que su tetraedro característico de base (ortosquema de 3), uniendo los cuatro vértices de la base a su vértice (el quinto vértice del ortosquema de 4, en el centro de la celda regular de 16). [v] Si la celda regular de 16 tiene una arista de radio unidad y una longitud de arista 𝒍 = , las diez aristas de su celda característica de 5 tienen longitudes , , alrededor de su cara exterior de triángulo rectángulo (las aristas opuestas a los ángulos característicos 𝟀, 𝝉, 𝟁), [u] más , , (las otras tres aristas del ortosquema de 3 exteriores hacen faceta del tetraedro característico, que son los radios característicos del tetraedro regular), más , , , (aristas que son los radios característicos de la celda regular de 16). La ruta de 4 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es , , , , primero desde un vértice de 16 celdas hasta un centro de arista de 16 celdas, luego gira 90° hasta un centro de cara de 16 celdas, luego gira 90° hasta un centro de celda tetraédrica de 16 celdas, luego gira 90° hasta el centro de 16 celdas.
Construcción helicoidal
Un anillo de 4 dimensiones de 8 tetraedros unidos por sus caras, visto en la hélice de Boerdijk-Coxeter , delimitado por tres trayectorias circulares de ocho aristas de diferentes colores, cortadas y dispuestas de forma plana en el espacio tridimensional. Contiene un eje isoclina (no mostrado), un círculo helicoidal de circunferencia 4𝝅 que se tuerce a través de las cuatro dimensiones y visita los 8 vértices. [o] Los dos triángulos azul-azul-amarillo en cada extremo del anillo cortado son el mismo objeto.Proyección neta y ortogonal
Se puede construir un sistema de 16 celdas (de tres maneras diferentes) a partir de dos hélices de Boerdijk-Coxeter de ocho tetraedros encadenados, cada uno doblado en la cuarta dimensión en un anillo. [16] [17] Las dos hélices circulares se enroscan en espiral una alrededor de la otra, se anidan una dentro de la otra y pasan una a través de la otra formando un enlace de Hopf . Las 16 caras triangulares se pueden ver en una red 2D dentro de un mosaico triangular , con 6 triángulos alrededor de cada vértice. Los bordes morados representan el polígono de Petrie del sistema de 16 celdas. El anillo de ocho celdas de tetraedros contiene tres octagramas de diferentes colores, caminos circulares de ocho aristas que se enrollan dos veces alrededor del sistema de 16 celdas en cada tercer vértice del octagrama. Los bordes naranja y amarillo son dos mitades de cuatro aristas de un octagrama, que unen sus extremos para formar una banda de Möbius .
De este modo, la celda de 16 puede descomponerse en dos cadenas circulares de ocho tetraedros cada una, de cuatro aristas, separadas entre sí, una de ellas en espiral hacia la derecha (en el sentido de las agujas del reloj) y la otra hacia la izquierda (en el sentido contrario a las agujas del reloj). Los anillos celulares levógiros y diestros encajan entre sí, anidándose uno dentro del otro y llenando por completo la celda de 16, aunque tengan quiralidad opuesta. Esta descomposición puede verse en una construcción de duoantiprisma 4-4 de la celda de 16:o, Símbolo de Schläfli {2}⨂{2} o s{2}s{2}, simetría [4,2 + ,4], orden 64.
Tres caminos de ocho aristas (de diferentes colores) se mueven en espiral a lo largo de cada anillo de ocho celdas, formando ángulos de 90° en cada vértice. (En la hélice de Boerdijk-Coxeter antes de doblarse en un anillo, los ángulos en los diferentes caminos varían, pero no son de 90°). Tres caminos (con tres colores diferentes y ángulos aparentes) pasan por cada vértice. Cuando la hélice se dobla en un anillo, los segmentos de cada camino de ocho aristas (de varias longitudes) unen sus extremos, formando una banda de Möbius de ocho aristas de largo a lo largo de su circunferencia de un solo lado de 4𝝅, y una arista de ancho. [p] Las seis mitades de cuatro aristas de los tres caminos de ocho aristas forman cada una cuatro ángulos de 90°, pero no son los seis grandes cuadrados ortogonales: son cuadrados abiertos, hélices de 360° de cuatro aristas cuyos extremos abiertos son vértices antípodas . Los cuatro bordes provienen de cuatro grandes cuadrados diferentes y son mutuamente ortogonales. Combinados de extremo a extremo en pares de la misma quiralidad , los seis caminos de cuatro bordes forman tres bucles de Möbius de ocho bordes, octagramas helicoidales . Cada octagrama es a la vez un polígono de Petrie del sistema de 16 celdas y la pista helicoidal a lo largo de la cual los ocho vértices giran juntos, en una de las rotaciones isoclínicas distintivas del sistema de 16 celdas. [w]
Cada hélice de ocho aristas es un octagrama oblicuo {8/3} que da tres vueltas alrededor de la celda de 16 y visita cada vértice antes de cerrarse en un bucle. Sus ocho aristas de √ 2 son cuerdas de una isoclina , un arco helicoidal en el que los 8 vértices giran durante una rotación isoclínica. [p] Los ocho vértices de 16 celdas están separados por √ 2, excepto los vértices opuestos (antípodas), que están separados por √ 4. Un vértice que se mueve en la isoclina visita otros tres vértices que están separados por √ 2 antes de llegar al cuarto vértice que está separado por √ 4. [o]
El anillo de ocho celdas es quiral : hay una forma dextrógira que gira en el sentido de las agujas del reloj y una forma levógira que gira en el sentido contrario. El anillo de 16 celdas contiene una de cada una, por lo que también contiene una isoclina izquierda y otra derecha; la isoclina es el eje circular alrededor del cual gira el anillo de ocho celdas. Cada isoclina visita los ocho vértices del anillo de 16 celdas. [ab] Cada anillo de ocho celdas contiene la mitad de las 16 celdas, pero los 8 vértices; los dos anillos comparten los vértices, ya que se anidan entre sí y encajan entre sí. También comparten las 24 aristas, aunque las hélices de octagrama izquierda y derecha son caminos de ocho aristas diferentes. [ac]
Como hay tres pares de grandes cuadrados completamente ortogonales, [c] hay tres formas congruentes de componer un anillo de 16 celdas a partir de dos anillos de ocho celdas. El anillo de 16 celdas contiene tres pares de anillos de ocho celdas de izquierda a derecha en diferentes orientaciones, y cada anillo de celdas contiene su isoclina axial. [w] Cada par de isoclinas de izquierda a derecha es la trayectoria de un par de rotaciones isoclínicas de izquierda a derecha distintas: las rotaciones en un par de planos de rotación invariantes completamente ortogonales. [g] En cada vértice, hay tres grandes cuadrados y seis isoclinas de octagrama que se cruzan en el vértice y comparten una cuerda axial de 16 celdas. [ad]
Como configuración
Esta matriz de configuración representa las 16 celdas. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada tipo hay en las 16 celdas. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna hay en el elemento de la fila o en su interior.
Teselaciones
Se puede teselar un espacio euclidiano de cuatro dimensiones mediante 16 celdas regulares. Esto se denomina panal de 16 celdas y tiene el símbolo de Schläfli {3,3,4,3}. Por lo tanto, la celda de 16 celdas tiene un ángulo diedro de 120°. [21] Cada celda de 16 tiene 16 vecinas con las que comparte un tetraedro, 24 vecinas con las que comparte solo una arista y 72 vecinas con las que comparte solo un punto. Veinticuatro celdas de 16 se encuentran en cualquier vértice dado en esta teselación.
Envolventes de proyección de las 16 celdas. (Cada celda se dibuja con caras de colores diferentes, las celdas invertidas no se dibujan)
La proyección paralela de la primera celda del cubo de 16 celdas en el espacio tridimensional tiene una envoltura cúbica . Las celdas más cercanas y más lejanas se proyectan en tetraedros inscritos dentro del cubo, lo que corresponde a las dos formas posibles de inscribir un tetraedro regular en un cubo. Alrededor de cada uno de estos tetraedros hay otros 4 volúmenes tetraédricos (no regulares) que son las imágenes de las 4 celdas tetraédricas circundantes, llenando el espacio entre el tetraedro inscrito y el cubo. Las 6 celdas restantes se proyectan sobre las caras cuadradas del cubo. En esta proyección del cubo de 16 celdas, todas sus aristas se encuentran en las caras de la envoltura cúbica.
Proyección paralela de secciones de 16 células, primero en la celda
La proyección en perspectiva de celdas primero de las 16 celdas en el espacio de 3 tiene una envoltura triakistetraédrica . La disposición de las celdas dentro de esta envoltura es análoga a la de la proyección paralela de celdas primero.
La proyección paralela de primer vértice de la celda de 16 en el espacio de 3 tiene una envoltura octaédrica . Este octaedro se puede dividir en 8 volúmenes tetraédricos, cortando a lo largo de los planos de coordenadas. Cada uno de estos volúmenes es la imagen de un par de celdas en la celda de 16. El vértice más cercano de la celda de 16 al observador se proyecta sobre el centro del octaedro.
Finalmente, la proyección paralela con las aristas primero tiene una envoltura octaédrica acortada, y la proyección paralela con las caras primero tiene una envoltura bipiramidal hexagonal .
Diagrama de Venn de 4 esferas
Una proyección tridimensional de las 16 celdas y las 4 esferas que se intersecan (un diagrama de Venn de 4 conjuntos) son topológicamente equivalentes.
Existe una forma de simetría inferior del 16-cell , llamada demiteseracto o 4-demicube , un miembro de la familia de los semihipercubos , y representado por h{4,3,3} y diagramas de Coxeter.oSe puede dibujar bicolor con celdas tetraédricas alternas.
También se puede ver en forma de simetría inferior como un antiprisma tetraédrico , construido por 2 tetraedros paralelos en configuraciones duales, conectados por 8 tetraedros (posiblemente alargados). Se representa por s{2,4,3} y diagrama de Coxeter:.
También puede verse como un ortótopo snub 4 , representado por s{2 1,1,1 }, y diagrama de Coxeter:o.
El polígono complejo regular, 2 {4} 4 ,, tiene una representación real como una celda de 16 en un espacio de 4 dimensiones con 8 vértices, 16 aristas de 2 caras, solo la mitad de las aristas de la celda de 16. Su simetría es 4 [4] 2 , orden 32. [24]
^ Los 4-politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida del contenido cuatridimensional (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor en la secuencia es más redondo que su predecesor, y encierra más contenido [5] dentro del mismo radio. El 4-símplex (5 celdas) es el caso límite más pequeño, y el de 120 celdas es el más grande. La complejidad (medida mediante la comparación de matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo ordenamiento. Esto proporciona un esquema de denominación numérica alternativo para los politopos regulares en el que el de 16 celdas es el 4-politopo de 8 puntos: segundo en la secuencia ascendente que va desde el 4-politopo de 5 puntos hasta el 4-politopo de 600 puntos.
^ Hay 2 y sólo 2 celdas de 16 inscritas en el teseracto de 8 celdas, 3 y sólo 3 celdas de 16 inscritas en el de 24 celdas, 75 celdas de 16 distintas (pero sólo 15 celdas de 16 disjuntas) inscritas en el de 600 celdas, y 675 celdas de 16 distintas (pero sólo 75 celdas de 16 disjuntas) inscritas en el de 120 celdas.
^ abcdefg En un espacio de 4 dimensiones podemos construir 4 ejes perpendiculares y 6 planos perpendiculares a través de un punto. Sin pérdida de generalidad, podemos tomarlos como los ejes y planos centrales ortogonales de un sistema de coordenadas cartesianas (w, x, y, z). En 4 dimensiones tenemos los mismos 3 planos ortogonales (xy, xz, yz) que tenemos en 3 dimensiones, y también otros 3 (wx, wy, wz). Cada uno de los 6 planos ortogonales comparte un eje con 4 de los otros, y es opuesto o completamente ortogonal a solo uno de los otros: el único con el que no comparte un eje. Por lo tanto, hay 3 pares de planos completamente ortogonales: xy y wz se intersecan solo en el origen; xz y wy se intersecan solo en el origen; yz y wx se intersecan solo en el origen.
^ abc Cada vértice en la celda de 16 es el ápice de una pirámide octaédrica , cuya base es el octaedro formado por los otros 6 vértices a los que el ápice está conectado por aristas. La celda de 16 se puede deconstruir (de cuatro maneras diferentes) en dos pirámides octaédricas cortándola por la mitad a través de uno de sus cuatro hiperplanos centrales octaédricos. Visto desde dentro del volumen tridimensional curvo de su superficie límite de 16 tetraedros unidos por caras, la figura del vértice de la celda de 16 es un octaedro. En 4 dimensiones, el octaedro del vértice es en realidad una pirámide octaédrica. El ápice de la pirámide octaédrica (el vértice donde se encuentran las 6 aristas) no está en realidad en el centro del octaedro: está desplazado radialmente hacia afuera en la cuarta dimensión, fuera del hiperplano definido por los 6 vértices del octaedro. Las 6 aristas alrededor del vértice forman una cruz ortogonal de 3 ejes en 3 dimensiones (y en la proyección tridimensional de la pirámide de 4 ejes ), pero las 3 líneas en realidad están dobladas 90 grados en la cuarta dimensión donde se encuentran en un vértice.
^ La superficie límite de una celda de 16 es un espacio tridimensional finito que consta de 16 tetraedros dispuestos cara a cara (cuatro alrededor de uno). Es un espacio tridimensional cerrado, fuertemente curvado (no euclidiano), dentro del cual podemos movernos en línea recta a través de 4 tetraedros en cualquier dirección y regresar al tetraedro donde comenzamos. Podemos visualizarnos moviéndonos dentro de esta jungla de juegos tetraédricos , subiendo de un tetraedro a otro sobre sus 24 puntales (sus bordes), y nunca siendo capaces de salir (o ver hacia afuera) de los 16 tetraedros sin importar en qué dirección vayamos (o miremos). Siempre estamos sobre (o dentro de) la superficie de la celda de 16, nunca dentro de la celda en sí (ni fuera de ella). Podemos ver que las 6 aristas alrededor de cada vértice irradian simétricamente en 3 dimensiones y forman una cruz ortogonal de 3 ejes, tal como lo hacen los radios de un octaedro (por eso decimos que la figura del vértice de la celda de 16 es el octaedro). [d]
^ abc Dos planos A y B de un espacio euclidiano de cuatro dimensiones se denominan completamente ortogonales si y solo si cada línea en A es ortogonal a cada línea en B. En ese caso, los planos A y B se intersecan en un único punto O, de modo que si una línea en A se interseca con una línea en B, se intersecan en O. A y B son perpendiculares y paralelos en el sentido de Clifford. [c]
^ abcd Los grandes cuadrados completamente ortogonales no se intersecan y rotan independientemente porque los grandes círculos en los que se encuentran sus vértices son paralelos de Clifford . [l] Están separados por √ 2 en cada par de vértices más cercanos (y en las 16 celdas todos los pares excepto los pares antípodas son los más cercanos). Los dos cuadrados no pueden intersecar en absoluto porque se encuentran en planos que se intersecan en un solo punto: el centro de las 16 celdas. [c] Debido a que son perpendiculares y comparten un centro común, los dos cuadrados obviamente no son paralelos y están separados de la manera habitual de los cuadrados paralelos en 3 dimensiones; más bien, están conectados como eslabones cuadrados adyacentes en una cadena, cada uno pasando por el otro sin intersecar en ningún punto, formando un enlace de Hopf .
^ ab Tres grandes cuadrados se encuentran en cada vértice (y en su vértice opuesto) en la celda de 16. Cada uno de ellos tiene un cuadrado completamente ortogonal diferente. [f] Por lo tanto, hay tres grandes cuadrados completamente ortogonales a cada vértice y su vértice opuesto (cada eje). Forman un octaedro (un hiperplano central). Cada línea de eje en la celda de 16 es completamente ortogonal a un hiperplano octaédrico central, como cada plano cuadrado grande es completamente ortogonal a otro plano cuadrado grande. [c] El eje y el octaedro se intersecan solo en un punto (el centro de la celda de 16), como cada par de grandes cuadrados completamente ortogonales se intersecan solo en un punto (el centro de la celda de 16). Cada octaedro central es también la figura de vértice octaédrico de dos de los ocho vértices: los dos en su eje completamente ortogonal.
^ Los tres grandes cuadrados incompletamente ortogonales que se intersecan en cada vértice de la celda de 16 forman la figura de vértice octaédrica del vértice . [d] Dos de ellos, junto con el cuadrado completamente ortogonal del tercero, también forman un octaedro: un hiperplano octaédrico central. [h] En la celda de 16, cada figura de vértice octaédrica es también un hiperplano octaédrico central.
^ Cada vértice de un gran cuadrado está a una distancia de √ 2 de dos de los otros vértices del cuadrado, y a una distancia de √ 4 de su vértice opuesto. Los otros cuatro vértices del cuadrado de 16 celdas (también a una distancia de √ 2 ) son los vértices del cuadrado completamente ortogonal del cuadrado. [g] Cada vértice del cuadrado de 16 celdas es un vértice de tres grandes cuadrados ortogonales que se intersecan allí. Cada uno de ellos tiene un cuadrado completamente ortogonal diferente. Por lo tanto, hay tres grandes cuadrados completamente ortogonales a cada vértice: cuadrados de los que el vértice no forma parte. [i]
^ abcd Cada plano cuadrado máximo es isoclínico (paralelo a Clifford) a otros cinco planos cuadrados, pero completamente ortogonal [f] a solo uno de ellos. Cada par de planos completamente ortogonales tiene círculos máximos paralelos a Clifford, pero no todos los círculos máximos paralelos a Clifford son ortogonales. También hay otra forma en la que los planos completamente ortogonales están en una categoría distinguida de planos paralelos a Clifford: no son quirales . Un par de planos isoclínicos (paralelos a Clifford) es un par izquierdo o un par derecho a menos que estén separados por dos ángulos de 90° (planos completamente ortogonales) o 0° (planos coincidentes). [20] La mayoría de los planos isoclínicos se unen solo mediante una rotación isoclínica a la izquierda o una rotación isoclínica a la derecha, respectivamente. Los planos completamente ortogonales son especiales: el par de planos es a la vez un par izquierdo y un par derecho, por lo que una rotación isoclínica izquierda o derecha los unirá. Como los planos separados por una rotación isoclínica de 90° están separados por 180°, el plano de la izquierda y el plano de la derecha son el mismo plano. [r]
^ abc Los paralelos de Clifford son líneas curvas que no se intersecan y que son paralelas en el sentido de que la distancia perpendicular (más corta) entre ellas es la misma en cada punto. [7] Una doble hélice es un ejemplo de paralelismo de Clifford en el espacio euclidiano tridimensional ordinario. En el espacio cuatridimensional, los paralelos de Clifford se dan como círculos máximos geodésicos en la 3-esfera . [8] En la celda de 16, los vértices correspondientes de los cuadrados de círculos máximos completamente ortogonales están todos separados por √ 2 , por lo que estos cuadrados son polígonos paralelos de Clifford. [k] Nótese que solo los vértices de los cuadrados máximos (los puntos en el círculo máximo) están separados por √ 2 ; los puntos en los bordes de los cuadrados (en las cuerdas del círculo) están más cerca entre sí.
^ Los vértices opuestos en un politopo de 4 celdas de radio unitario corresponden a los vértices opuestos de un hipercubo de 8 celdas (teseracto). La diagonal larga de este politopo de 4 celdas radialmente equilátero es √ 4 . En una rotación isoclínica de 90°, cada vértice de las 16 celdas se desplaza a su vértice antípoda, recorriendo un arco geodésico helicoidal de longitud 𝝅 (180°), hasta un vértice √ 4 alejado a lo largo del diámetro largo del politopo de 4 celdas de radio unitario (16 celdas o teseracto), el mismo desplazamiento total que si se hubiera desplazado √ 1 cuatro veces recorriendo una trayectoria de cuatro aristas ortogonales sucesivas del teseracto.
^ Hay seis trayectorias de dos aristas diferentes que conectan un par de vértices antípodas a lo largo de las aristas de un gran cuadrado. La rotación isoclínica izquierda discurre en diagonal entre tres de ellas, y la rotación isoclínica derecha discurre en diagonal entre las otras tres. Estas diagonales son las líneas rectas (geodésicas) que conectan los vértices opuestos de las celdas tetraédricas unidas por caras en el anillo de ocho celdas zurdo y el anillo de ocho celdas diestro, respectivamente.
^ abc En la celda de 16, dos vértices antípodas son vértices opuestos de dos celdas tetraédricas unidas por sus caras. Los dos vértices antípodas están conectados por tres caminos de círculo máximo de dos aristas diferentes a lo largo de los bordes de las celdas tetraédricas, por varios caminos de tres aristas y por caminos de cuatro aristas en isoclinas y polígonos de Petrie. [p]
^ abcd Una isoclina es un círculo de tipo especial que corresponde a un par de círculos de Villarceau unidos en un bucle de Möbius . Se curva a través de cuatro dimensiones en lugar de solo dos. Todos los círculos ordinarios tienen una circunferencia de 2𝝅, pero la isoclina de 16 celdas es un círculo con una circunferencia de 4𝝅 (sobre ocho cuerdas de 90°). Una isoclina es un círculo que no se encuentra en un plano, pero para evitar confusiones siempre nos referimos a ella como isoclina y reservamos el término círculo para un círculo ordinario en el plano.
^ ab En una rotación isoclínica, los 6 planos ortogonales se desplazan en dos direcciones ortogonales a la vez: se rotan en el mismo ángulo y, al mismo tiempo, se inclinan lateralmente en ese mismo ángulo. Un desplazamiento isoclínico (también conocido como desplazamiento de Clifford ) es una diagonal de 4 dimensiones. Los puntos se desplazan una distancia igual en cuatro direcciones ortogonales a la vez y se desplazan una distancia pitagórica total igual a la raíz cuadrada de cuatro veces el cuadrado de esa distancia. Todos los vértices de un 4-politopo regular se desplazan a un vértice al menos a dos longitudes de arista de distancia. Por ejemplo, cuando la celda de radio unitario de 16 gira isoclínicamente 90° en un plano invariante de gran cuadrado, también gira 90° en el plano invariante de gran cuadrado completamente ortogonal. [c] El plano de gran cuadrado también se inclina lateralmente 90° para ocupar su plano completamente ortogonal. (Por simetría isoclínica, cada gran cuadrado rota 90° y se inclina lateralmente 90° en su plano completamente ortogonal.) Cada vértice (en cada gran cuadrado) está desplazado a su vértice antípoda, a una distancia de √ 1 en cada una de las cuatro direcciones ortogonales, una distancia total de √ 4 . [m] El vértice original y desplazado están separados por dos longitudes de arista por tres [n] caminos diferentes a lo largo de dos aristas de un gran cuadrado. Pero la isoclina (el arco helicoidal que sigue el vértice durante la rotación isoclínica) no corre a lo largo de las aristas: corre entre estas diferentes trayectorias de arista en diagonal, en una geodésica (arco más corto) entre los vértices original y desplazado. [o] Este arco geodésico isoclínico no es un segmento de un gran círculo ordinario; no se encuentra en el plano de ningún gran cuadrado. Es un arco helicoidal de 180° que se dobla en un círculo en dos planos completamente ortogonales a la vez. Este círculo de Möbius no se encuentra en ningún plano ni interseca ningún vértice entre el vértice original y el desplazado. [p]
^ abc La rotación isoclínica de 90 grados de dos planos completamente ortogonales los lleva uno hacia el otro. En tal rotación de un poliedro rígido de 16 celdas, los 6 planos ortogonales rotan 90 grados y también se inclinan lateralmente 90 grados con respecto a su plano completamente ortogonal (paralelo de Clifford) [l] . [9] Los vértices correspondientes de los dos grandes cuadrados completamente ortogonales están separados √ 4 (180°); los grandes cuadrados (politopos paralelos de Clifford) están separados √ 4 (180°); pero los dos planos completamente ortogonales están separados 90°, en los dos ángulos ortogonales que los separan. Si se continúa la rotación isoclínica otros 90°, cada vértice completa una rotación de 360° y cada gran cuadrado vuelve a su plano original, pero con una orientación diferente (ejes intercambiados): ha sido girado "al revés" sobre la superficie de las 16 celdas (que ahora está "al revés"). Si se continúa con una segunda rotación isoclínica de 360° (a través de cuatro pasos isoclínicos de 90° por 90°, una rotación de 720°), todo vuelve a su lugar y orientación originales.
^ Un ortosquema es un símplex irregular quiral con caras en forma de triángulos rectángulos que es característico de algún politopo si llena exactamente ese politopo con los reflejos de sí mismo en sus propias facetas (sus paredes especulares ). Cada politopo regular puede diseccionarse radialmente en instancias de su ortosquema característico que rodean su centro. El ortosquema característico tiene la forma descrita por el mismo diagrama de Coxeter-Dynkin que el politopo regular sin el anillo de puntos generadores .
^ Un politopo regular de dimensión k tiene un k -ortosquema característico, y también un ( k -1)-ortosquema característico . Un 4-politopo regular tiene un 5-celda característico (4-ortosquema) en el que se subdivide por sus hiperplanos (tridimensionales) de simetría, y también un tetraedro característico (3-ortosquema) en el que su superficie se subdivide por los planos (bidimensionales) de simetría de sus celdas. Después de subdividir su superficie (tridimensional) en tetraedros característicos que rodean cada centro de celda, su interior (tetradimensional) se puede subdividir en 5-celdas características añadiendo radios que unan los vértices de los tetraedros característicos de la superficie al centro del 4-politopo. [12] Los tetraedros y triángulos interiores así formados también serán ortosquemas.
^ ab (Coxeter 1973) utiliza la letra griega 𝝓 (phi) para representar uno de los tres ángulos característicos 𝟀, 𝝓, 𝟁 de un politopo regular. Debido a que 𝝓 se utiliza comúnmente para representar la constante de proporción áurea ≈ 1,618, para la que Coxeter utiliza 𝝉 (tau), invertimos las convenciones de Coxeter y utilizamos 𝝉 para representar el ángulo característico.
^ Las cuatro aristas de cada 4-ortosquema que se encuentran en el centro de un 4-politopo regular tienen una longitud desigual, porque son los cuatro radios característicos del 4-politopo regular: un radio de vértice, un radio de centro de arista, un radio de centro de cara y un radio de centro de celda. Los cinco vértices del 4-ortosquema siempre incluyen un vértice de 4-politopo regular, un centro de arista de 4-politopo regular, un centro de cara de 4-politopo regular, un centro de celda de 4-politopo regular y el centro de 4-politopo regular. Esos cinco vértices (en ese orden) comprenden un camino a lo largo de cuatro aristas mutuamente perpendiculares (que hace tres giros en ángulo recto), la característica característica de un 4-ortosquema. El 4-ortosquema tiene cinco facetas de 3-ortosquema diferentes.
^ ab El sistema de 16 celdas se puede construir a partir de dos anillos de ocho celdas disjuntos de tres maneras diferentes; tiene tres orientaciones de su par de anillos. Cada orientación "contiene" un par distinto de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha, y también un par de grandes cuadrados completamente ortogonales (fibras paralelas de Clifford), por lo que cada orientación es una fibración discreta del sistema de 16 celdas. Cada anillo de ocho celdas contiene tres octagramas axiales que tienen orientaciones diferentes (intercambian roles) en las tres fibraciones discretas y seis rotaciones isoclínicas distintas (tres izquierdas y tres derechas) a través de los anillos celulares. Se pueden ver tres octagramas (de diferentes colores) en la ilustración de un solo anillo celular, uno en el papel de polígono de Petrie, uno como isoclina derecha y uno como isoclina izquierda. Debido a que cada octagrama desempeña tres papeles, hay exactamente seis isoclinas distintas en el sistema de 16 celdas, no 18.
^ Las cinco vistas son la misma proyección ortogonal del cilindro de 16 celdas en el mismo plano (una sección transversal circular del cilindro anular de ocho celdas), mirando a lo largo del eje central del cilindro anular cortado que se muestra en la imagen de arriba, desde un extremo del cilindro. La única diferencia es que se omiten las aristas √2 y las cuerdas √4 para enfocarlas. Los diferentes colores de las aristas √2 parecen tener diferentes longitudes porque son oblicuas al observador en diferentes ángulos. Los vértices están numerados del 1 (arriba) al 8 en orden antihorario.
^ ab Cada isoclina tiene las ocho cuerdas √ 2 de su trayectoria de aristas, y también cuatro cuerdas de diámetro √ 4 que conectan cada cuarto vértice en el hexagrama {8/3} . Los vértices antípodas también tienen una trayectoria torcida de cuatro aristas √ 2 mutuamente ortogonales que los conectan. Entre los vértices antípodas, la isoclina se curva suavemente en una hélice sobre las cuerdas √ 2 de su trayectoria de aristas, golpeando tres vértices intermedios. Cada arista √ 2 es una arista de un gran cuadrado, que es completamente ortogonal a otro gran cuadrado, en el que la cuerda √ 4 es una diagonal.
^ ab Para otro ejemplo de las isoclinas izquierda y derecha de una rotación que visitan el mismo conjunto de vértices, consulte la rotación isoclínica característica de la celda 5. Aunque en estos dos casos especiales las isoclinas izquierda y derecha de la misma rotación visitan el mismo conjunto de vértices, siguen tomando caminos rotacionales muy diferentes porque visitan los mismos vértices en secuencias diferentes.
^ ab Excepto en los círculos de 5 y 16 celdas, [z] un par de círculos isoclinas izquierdo y derecho tienen vértices disjuntos: las hélices isoclinas izquierda y derecha son paralelas que no se intersecan sino que giran en sentido contrario, formando un tipo especial de doble hélice que no puede ocurrir en tres dimensiones (donde las hélices que giran en sentido contrario del mismo radio deben cruzarse).
^ ab En el poliedro de 16 celdas, cada isoclina atraviesa los 8 vértices: una fibración completa de dos grandes cuadrados completamente ortogonales. [k] El poliedro de 5 celdas y el poliedro de 16 celdas son los únicos politopos regulares de 4 celdas donde cada fibración discreta tiene solo una fibra isoclina. [aa]
^ Las isoclinas izquierda y derecha se intersecan entre sí en cada vértice. Son secuencias diferentes del mismo conjunto de 8 vértices. Con respecto únicamente al conjunto de 4 pares de vértices que están separados por √ 2 , pueden considerarse paralelas de Clifford. Con respecto únicamente al conjunto de 4 pares de vértices que están separados por √ 4 , pueden considerarse completamente ortogonales. [k]
^ Esto es atípico para las rotaciones isoclínicas en general; normalmente, tanto las isoclinas izquierda como derecha no ocurren en el mismo vértice: hay dos conjuntos disjuntos de vértices alcanzables solo por la rotación izquierda o derecha respectivamente. [aa] Las isoclinas izquierda y derecha de la celda de 16 forman una doble hélice muy especial: inusual no solo porque es circular, sino porque sus diferentes hélices izquierda y derecha se retuercen una alrededor de la otra a través del mismo conjunto de vértices antípodas, [ab] no a través de los dos subconjuntos disjuntos de vértices antípodas, como lo hacen los pares de isoclinas en la mayoría de las rotaciones isoclínicas que se encuentran en la naturaleza. [z] Las rotaciones isoclínicas en planos invariantes completamente ortogonales son especiales. [k] Para ver cómo y por qué son especiales, visualice dos planos de rotación invariantes completamente ortogonales, cada uno girando por algún ángulo de rotación e inclinándose lateralmente por el mismo ángulo de rotación en un plano completamente diferente. [q] Solo cuando el ángulo de rotación es de 90°, ese plano diferente en el que aterriza el plano invariante inclinado será el propio plano invariante completamente ortogonal. El plano de destino de la rotación es el plano invariante completamente ortogonal. La rotación isoclínica de 90° es la única rotación que lleva a los planos invariantes completamente ortogonales entre sí. [r] Esta reciprocidad es la razón por la que tanto la rotación hacia la izquierda como hacia la derecha van al mismo lugar.
^ NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finita , 11.5 Grupos esféricos de Coxeter , p.249
^ Matila Ghyka, La geometría del arte y la vida (1977), pág. 68
^ Coxeter 1973, págs. 120-121, § 7.2. Véase la ilustración Fig. 7.2 B.
^ Coxeter 1973, pp. 292–293, Tabla I(ii): Los dieciséis politopos regulares { p,q,r } en cuatro dimensiones; una tabla invaluable que proporciona las 20 métricas de cada 4-politopo en unidades de longitud de arista. Deben convertirse algebraicamente para comparar politopos de radio unitario.
^ Kim & Rote 2016, p. 6, § 5. Rotaciones en cuatro dimensiones.
^ Tyrrell y Semple 1971, págs. 5-6, § 3. Definición original de paralelismo de Clifford.
^ Kim & Rote 2016, págs. 7–10, § 6. Ángulos entre dos planos en el espacio cuatridimensional.
^ Kim y Rote 2016, págs. 8-10, Relaciones con el paralelismo de Clifford.
^ Coxeter 1973, p. 121, § 7.21. Véase la ilustración Fig. 7.2 B : " es una bipirámide de cuatro dimensiones basada en (con sus dos vértices en direcciones opuestas a lo largo de la cuarta dimensión)".
^ Coxeter 1973, p. 139, § 7.9 El símplex característico.
^ Coxeter 1973, p. 290, Tabla I(ii); "ángulos diedros".
^ Coxeter 1970, p. 45, Tabla 2: Panales reflexivos y sus grupos; El panal [3,3,4] 4 es una teselación de la 3-esfera por 2 anillos de 8 celdas tetraédricas.
^ Banchoff 2013.
^ Coxeter 1973, págs. 292–293, Tabla I(ii); 24 celdas h 1 .
^ Coxeter 1973, págs. 292–293, Tabla I(ii); 24 celdas h 2 .
^ Kim y Rote 2016, págs. 7–8, § 6 Ángulos entre dos planos en el espacio cuatridimensional; pares izquierdo y derecho de planos isoclínicos.
^ Coxeter 1973, pág. 293.
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Referencias
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(Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
(Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
(Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Coxeter, HSM ; Shephard, GC (1992). "Retratos de una familia de politopos complejos". Leonardo . 25 (3/4): 239–244. doi :10.2307/1575843. JSTOR 1575843. S2CID 124245340.
Coxeter, HSM (1970), "Panales retorcidos", Serie de conferencias regionales sobre matemáticas del Conference Board of the Mathematical Sciences , 4 , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, págs. 409: Hemicubos: 1 n1 )
Banchoff, Thomas F. (2013). "Descomposiciones en toro de politopos regulares en el espacio 4-espacial". En Senechal, Marjorie (ed.). Shaping Space . Springer Nueva York. págs. 257–266. doi :10.1007/978-0-387-92714-5_20. ISBN 978-0-387-92713-8.
.
, comparte los mismos vértices que la celda 16. Tiene 8 vértices y 8 aristas de 3 lados. [22] [23]
, tiene una representación real como una celda de 16 en un espacio de 4 dimensiones con 8 vértices, 16 aristas de 2 caras, solo la mitad de las aristas de la celda de 16. Su simetría es 4 [4] 2 , orden 32. [24]
