Notación orbifold

Notación para grupos de simetría esférica, euclidiana e hiperbólica bidimensional

En geometría , la notación orbifold (o signatura orbifold ) es un sistema, inventado por el matemático William Thurston y promovido por John Conway , para representar tipos de grupos de simetría en espacios bidimensionales de curvatura constante. La ventaja de la notación es que describe estos grupos de una manera que indica muchas de las propiedades de los grupos: en particular, sigue a William Thurston al describir el orbifold obtenido al tomar el cociente del espacio euclidiano por el grupo en consideración.

Los grupos representables en esta notación incluyen los grupos de puntos en la esfera ( ), los grupos de frisos y los grupos de papel tapiz del plano euclidiano ( ), y sus análogos en el plano hiperbólico ( ). ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle E^{2}}$ ${\displaystyle H^{2}}$

Definición de la notación

Los siguientes tipos de transformación euclidiana pueden ocurrir en un grupo descrito mediante notación orbifold:

• Reflexión a través de una línea (o plano)
• traducción por un vector
• rotación de orden finito alrededor de un punto
• Rotación infinita alrededor de una línea en el espacio tridimensional.
• deslizamiento-reflexión, es decir, reflexión seguida de traslación.

Se supone que todas las traducciones que ocurren forman un subgrupo discreto de las simetrías de grupo que se describen.

Cada grupo se denota en notación orbifold mediante una cadena finita formada por los siguientes símbolos:

• números enteros positivos ${\displaystyle 1,2,3,\dots }$
• el símbolo del infinito , ${\displaystyle \infty }$
• el asterisco , *
• El símbolo o (un círculo sólido en documentos más antiguos), que se denomina maravilla y también asa porque topológicamente representa una superficie cerrada de toro (1 asa). Los patrones se repiten en dos traslaciones.
• el símbolo (un círculo abierto en documentos más antiguos), que se llama milagro y representa una cruz topológica donde un patrón se repite como una imagen reflejada sin cruzar una línea reflejada. ${\displaystyle \times }$

Una cadena escrita en negrita representa un grupo de simetrías del espacio tridimensional euclidiano. Una cadena que no está escrita en negrita representa un grupo de simetrías del plano euclidiano, que se supone que contiene dos traslaciones independientes.

Cada símbolo corresponde a una transformación distinta:

• Un número entero n a la izquierda de un asterisco indica una rotación de orden n alrededor de un punto de giro.
• El asterisco , * indica un reflejo
• un entero n a la derecha de un asterisco indica una transformación de orden 2 n que gira alrededor de un punto caleidoscópico y se refleja a través de una línea (o plano)
• an indica un reflejo de deslizamiento ${\displaystyle \times }$
• El símbolo indica una simetría rotacional infinita alrededor de una línea; sólo puede darse para grupos en negrita. Abusando del lenguaje, podríamos decir que un grupo de este tipo es un subgrupo de simetrías del plano euclidiano con una sola traslación independiente. Los grupos de friso se dan de esta manera. ${\displaystyle \infty }$
• El símbolo excepcional o indica que hay precisamente dos traducciones linealmente independientes.

Buenos orbifolds

Un símbolo orbifold se considera bueno si no es uno de los siguientes: p , pq , * p , * pq , para p , q ≥ 2 y p ≠ q .

Quiralidad y aquiralidad

Un objeto es quiral si su grupo de simetría no contiene reflexiones; de lo contrario, se denomina aquiral . El orbifold correspondiente es orientable en el caso quiral y no orientable en el caso contrario.

La característica de Euler y el orden

La característica de Euler de un orbifold se puede leer a partir de su símbolo de Conway, de la siguiente manera. Cada característica tiene un valor:

• n sin o antes de un asterisco cuenta como ${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}}$
• n después de un asterisco cuenta como ${\displaystyle {\frac {n-1}{2n}}}$
• asterisco y cuenta como 1 ${\displaystyle \times }$
• o cuenta como 2.

Restando la suma de estos valores de 2 se obtiene la característica de Euler.

Si la suma de los valores de las características es 2, el orden es infinito, es decir, la notación representa un grupo de papel pintado o un grupo de frisos. De hecho, el "Teorema mágico" de Conway indica que los 17 grupos de papel pintado son exactamente aquellos cuya suma de los valores de las características es igual a 2. De lo contrario, el orden es 2 dividido por la característica de Euler.

Grupos iguales

Los siguientes grupos son isomorfos:

• 1* y *11
• 22 y 221
• *22 y *221
• 2* y 2*1.

Esto se debe a que la rotación de 1 pliegue es la rotación "vacía".

Grupos bidimensionales

La simetría de un objeto 2D sin simetría traslacional se puede describir mediante el tipo de simetría 3D, añadiendo una tercera dimensión al objeto que no añade ni estropea la simetría. Por ejemplo, para una imagen 2D podemos considerar un trozo de cartón con esa imagen desplegada en un lado; la forma del cartón debe ser tal que no estropee la simetría, o se puede imaginar que es infinito. Así, tenemos n • y * n •. La viñeta (•) se añade en los grupos unidimensionales y bidimensionales para implicar la existencia de un punto fijo. (En tres dimensiones, estos grupos existen en un orbifold digital de n pliegues y se representan como nn y * nn .)

De manera similar, se puede dibujar una imagen unidimensional horizontalmente sobre un trozo de cartón, con la condición de evitar una simetría adicional con respecto a la línea de la imagen, por ejemplo, dibujando una barra horizontal debajo de la imagen. Por lo tanto, los grupos de simetría discretos en una dimensión son *•, *1•, ∞• y *∞•.

Otra forma de construir un objeto 3D a partir de un objeto 1D o 2D para describir la simetría es tomar el producto cartesiano del objeto y un objeto 2D o 1D asimétrico, respectivamente.

Tablas de correspondencia

Esférico

Plano euclidiano

Grupos de frisos

^* La notación de grupos puntuales de Schönflies se extiende aquí como casos infinitos de simetrías de puntos diedros equivalentes.

^§ El diagrama muestra un dominio fundamental en amarillo, con líneas de reflexión en azul, líneas de reflexión de deslizamiento en verde discontinuo, normales de traslación en rojo y puntos de giro doble como pequeños cuadrados verdes.

Grupos de fondos de pantalla

Plano hiperbólico

Algunos primeros grupos hiperbólicos, ordenados por su característica de Euler son:

Véase también

• Mutación de los orbifolds
• Notación de fibrillas : una extensión de la notación de órbifold para grupos espaciales 3D

Referencias

1. Simetrías de las cosas, Apéndice A, página 416
2. Patrones de friso El matemático John Conway creó nombres que se relacionan con las pisadas para cada uno de los grupos de frisos.
3. Simetrías de las cosas, Apéndice A, página 416
4. Simetrías de las cosas, Capítulo 18, Más sobre grupos hiperbólicos, Enumeración de grupos hiperbólicos, pág. 239

• John H. Conway, Olaf Delgado Friedrichs, Daniel H. Huson y William P. Thurston. Sobre grupos espaciales tridimensionales. Contribuciones al álgebra y la geometría , 42(2):475-507, 2001.
• JH Conway, DH Huson. La notación orbifold para grupos bidimensionales. Química estructural, 13 (3-4): 247–257, agosto de 2002.
• JH Conway (1992). "La notación orbifold para grupos de superficies". En: MW Liebeck y J. Saxl (eds.), Groups, Combinatorics and Geometry , Actas del Simposio LMS Durham, 5-15 de julio, Durham, Reino Unido, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Series 165 . Cambridge University Press, Cambridge. págs. 438-447
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , Las simetrías de las cosas 2008, ISBN  978-1-56881-220-5
• Hughes, Sam (2022), "Cohomología de grupos fucsianos y grupos cristalográficos no euclidianos", Manuscripta Mathematica , 170 (3–4): 659–676, arXiv : 1910.00519 , Bibcode :2019arXiv191000519H, doi :10.1007/s00229-022-01369-z, S2CID  203610179

Enlaces externos

• Una guía de campo para los orbifolds (Notas de la clase sobre "Geometría e imaginación" en Minneapolis, con John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman y Bill Thurston, del 17 al 28 de junio de 1991. Véase también PDF, 2006)
• Software Tegula para visualizar mosaicos bidimensionales del plano, la esfera y el plano hiperbólico, y editar sus grupos de simetría en notación orbifold