Partícula en una caja

Modelo físico en mecánica cuántica que tiene solución analítica.

Algunas trayectorias de una partícula en una caja según las leyes de la mecánica clásica de Newton (A) y según la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica (B–F). En (B-F), el eje horizontal es la posición y el eje vertical es la parte real (azul) y la parte imaginaria (roja) de la función de onda . Los estados (B,C,D) son estados propios de energía , pero (E,F) no lo son.

En mecánica cuántica , el modelo de partícula en una caja (también conocido como pozo de potencial infinito o pozo cuadrado infinito ) describe una partícula libre para moverse en un espacio pequeño rodeado de barreras impenetrables. El modelo se utiliza principalmente como ejemplo hipotético para ilustrar las diferencias entre los sistemas clásicos y cuánticos. En los sistemas clásicos, por ejemplo, una partícula atrapada dentro de una caja grande puede moverse a cualquier velocidad dentro de la caja y no es más probable que se encuentre en una posición que en otra. Sin embargo, cuando el pozo se vuelve muy estrecho (en la escala de unos pocos nanómetros), los efectos cuánticos se vuelven importantes. La partícula sólo puede ocupar ciertos niveles de energía positiva . Asimismo, nunca puede tener energía cero, lo que significa que la partícula nunca puede "quedarse quieta". Además, es más probable que se encuentre en determinadas posiciones que en otras, dependiendo de su nivel de energía. Es posible que la partícula nunca se detecte en ciertas posiciones, conocidas como nodos espaciales.

El modelo de partícula en una caja es uno de los pocos problemas de la mecánica cuántica que puede resolverse analíticamente, sin aproximaciones. Debido a su simplicidad, el modelo permite comprender los efectos cuánticos sin necesidad de matemáticas complicadas. Sirve como una sencilla ilustración de cómo se producen las cuantificaciones de energía (niveles de energía), que se encuentran en sistemas cuánticos más complicados, como los átomos y las moléculas. Es uno de los primeros problemas de mecánica cuántica que se enseñan en los cursos de física de pregrado y se utiliza comúnmente como una aproximación para sistemas cuánticos más complicados.

Solución unidimensional

Las barreras fuera de una caja unidimensional tienen un potencial infinitamente grande, mientras que el interior de la caja tiene un potencial cero constante. Se muestra el pozo desplazado, con ${\textstyle x_{c}=L/2}$

La forma más simple del modelo de partícula en una caja considera un sistema unidimensional. Aquí, la partícula sólo puede moverse hacia adelante y hacia atrás a lo largo de una línea recta con barreras impenetrables en cada extremo. ^[1] Las paredes de una caja unidimensional pueden verse como regiones del espacio con una energía potencial infinitamente grande . Por el contrario, el interior de la caja tiene una energía potencial constante y cero. ^[2] Esto significa que ninguna fuerza actúa sobre la partícula dentro de la caja y puede moverse libremente en esa región. Sin embargo, fuerzas infinitamente grandes repelen la partícula si toca las paredes de la caja, impidiéndole escapar. La energía potencial en este modelo está dada como

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise,}}\end{cases}},}$$

Lx _cxx _cx _cL

Función de onda de posición

En mecánica cuántica, la función de onda proporciona la descripción más fundamental del comportamiento de una partícula; Todas las propiedades mensurables de la partícula (como su posición, momento y energía) pueden derivarse de la función de onda. ^[3] La función de onda se puede encontrar resolviendo la ecuación de Schrödinger para el sistema ${\displaystyle \psi (x,t)}$

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t),}$$

constante de Planck reducidamasaunidad imaginaria ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t}$

Dentro de la caja, no actúan fuerzas sobre la partícula, lo que significa que la parte de la función de onda dentro de la caja oscila a través del espacio y el tiempo con la misma forma que una partícula libre : ^{[1] [4]}

donde y son números complejos arbitrarios . La frecuencia de las oscilaciones en el espacio y el tiempo viene dada por el número de onda y la frecuencia angular respectivamente. Ambos están relacionados con la energía total de la partícula mediante la expresión ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle E=\hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}},}$$

relación de dispersión^[1]Vpkka kVTV ${\displaystyle {\frac {p^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle p=\hbar k}$ ${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle E=T+V}$

Funciones de onda iniciales para los primeros cuatro estados en una partícula unidimensional en una caja

La amplitud de la función de onda en una posición dada está relacionada con la probabilidad de encontrar una partícula allí por . Por lo tanto, la función de onda debe desaparecer en todas partes más allá de los bordes de la caja. ^{[1] [4]} Además, la amplitud de la función de onda no puede "saltar" abruptamente de un punto al siguiente. ^[1] Estas dos condiciones sólo se satisfacen con funciones de onda de la forma ${\displaystyle P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}}$

$${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin \left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right)e^{-i\omega _{n}t}\quad &x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}},}$$

^[5]

$${\displaystyle k_{n}={\frac {n\pi }{L}},}$$

$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}},}$$

nx _cL^[6][6]k ${\displaystyle k_{n}=0}$ ${\displaystyle A=0}$ ${\displaystyle \psi (x)=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=L}$

Finalmente, la constante desconocida se puede encontrar normalizando la función de onda de modo que la densidad de probabilidad total de encontrar la partícula en el sistema sea 1. ${\displaystyle A}$

Matemáticamente,

$${\displaystyle \int _{0}^{L}\left\vert \psi (x)\right\vert ^{2}dx=1}$$

en alguna parte

Resulta que

$${\displaystyle \left|A\right|={\sqrt {\frac {2}{L}}}.}$$

Por tanto, A puede ser cualquier número complejo con valor absoluto √ 2/ L ; estos diferentes valores de A producen el mismo estado físico, por lo que se puede seleccionar A = √ 2/ L para simplificar.

Se espera que los valores propios , es decir, la energía de la caja, sean los mismos independientemente de su posición en el espacio, pero cambian. Observe que representa un cambio de fase en la función de onda. Este cambio de fase no tiene ningún efecto a la hora de resolver la ecuación de Schrödinger, y por tanto no afecta al valor propio . ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x,t)}$ ${\displaystyle x_{c}-{\tfrac {L}{2}}}$

Si establecemos el origen de las coordenadas en el centro del cuadro, podemos reescribir la parte espacial de la función de onda de manera sucinta como:

$${\displaystyle \psi _{n}(x)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ even}}\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

Función de onda de momento

La función de onda de impulso es proporcional a la transformada de Fourier de la función de onda de posición. Con (tenga en cuenta que el parámetro k que describe la función de onda de impulso a continuación no es exactamente el k _n especial anterior, vinculado a los valores propios de energía), la función de onda de impulso está dada por ${\displaystyle k=p/\hbar }$

$${\displaystyle \phi _{n}(p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x,t)e^{-ikx}\,dx={\sqrt {\frac {L}{\pi \hbar }}}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)\,\operatorname {sinc} \left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)e^{-ikx_{c}}e^{i(n-1){\tfrac {\pi }{2}}}e^{-i\omega _{n}t},}$$

sincsinc( x ) = sin( x )/ xx _c = 0p

Se puede ver que el espectro de impulso en este paquete de ondas es continuo, y se puede concluir que para el estado de energía descrito por el número de onda k _n , el impulso, cuando se mide, también puede alcanzar otros valores más allá de . ${\displaystyle p=\pm \hbar k_{n}}$

Por lo tanto, también parece que, dado que la energía es para el estado propio n , la relación no se cumple estrictamente para el momento p medido ; el estado propio de energía no es un estado propio de momento y, de hecho, ni siquiera es una superposición de dos estados propios de momento, como uno podría verse tentado a imaginar a partir de la ecuación ( 1 ) anterior: ¡curiosamente, no tiene un momento bien definido antes de la medición! ${\textstyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m}}}$ ${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle \psi _{n}}$

Distribuciones de probabilidad de posición y momento.

En la física clásica, la partícula se puede detectar en cualquier lugar de la caja con la misma probabilidad. Sin embargo, en mecánica cuántica, la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en una posición dada se deriva de la función de onda como Para la partícula en una caja, la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en una posición dada depende de su estado y está dada por ${\displaystyle P(x)=|\psi (x)|^{2}.}$

$${\displaystyle P_{n}(x,t)={\begin{cases}{\frac {2}{L}}\sin ^{2}\left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right),&x_{c}-{\frac {L}{2}}<x<x_{c}+{\frac {L}{2}},\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$

Por tanto, para cualquier valor de n mayor que uno, hay regiones dentro del cuadro para las cuales , lo que indica que existen nodos espaciales en los que no se puede encontrar la partícula. ${\displaystyle P(x)=0}$

En mecánica cuántica, el valor promedio o esperado de la posición de una partícula está dado por

$${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }xP_{n}(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Para la partícula en estado estacionario en una caja, se puede demostrar que la posición promedio es siempre , independientemente del estado de la partícula. Para una superposición de estados, el valor esperado de la posición cambiará según el término cruzado que es proporcional a . ${\displaystyle \langle x\rangle =x_{c}}$ ${\displaystyle \cos(\omega t)}$

La varianza en la posición es una medida de la incertidumbre en la posición de la partícula:

$${\displaystyle \mathrm {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\langle x\rangle )^{2}P_{n}(x)\,dx={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$

La densidad de probabilidad para encontrar una partícula con un momento dado se deriva de la función de onda como . Al igual que con la posición, la densidad de probabilidad de encontrar la partícula con un momento dado depende de su estado y está dada por ${\displaystyle P(x)=|\phi (x)|^{2}}$

$${\displaystyle P_{n}(p)={\frac {L}{\pi \hbar }}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)^{2}\,{\textrm {sinc}}^{2}\left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)}$$

${\displaystyle k=p/\hbar }$

$${\displaystyle \mathrm {Var} (p)=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}}$$

Las incertidumbres en posición y momento ( y ) se definen como iguales a la raíz cuadrada de sus respectivas varianzas, de modo que: ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta p}$

$${\displaystyle \Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$$

Este producto aumenta al aumentar n , teniendo un valor mínimo para n =1. El valor de este producto para n = 1 es aproximadamente igual a 0,568 lo que obedece al principio de incertidumbre de Heisenberg , que establece que el producto será mayor o igual a ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \hbar /2}$

Otra medida de incertidumbre en la posición es la entropía de la información de la distribución de probabilidad H _x : ^[7]

$${\displaystyle H_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(x)\log(P_{n}(x)x_{0})\,dx=\log \left({\frac {2L}{e\,x_{0}}}\right)}$$

x ₀

Otra medida de incertidumbre en el momento es la entropía de la información de la distribución de probabilidad H _p :

$${\displaystyle H_{p}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(p)\log(P_{n}(p)p_{0})\,dp}$$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{p}(n)=\log \left({\frac {4\pi \hbar \,e^{2(1-\gamma )}}{L\,p_{0}}}\right)}$$

γla constante de EulerEl principio de incertidumbre entrópica ${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$

$${\displaystyle H_{x}+H_{p}(n)\geq \log(e\,\pi )\approx 2.14473...}$$

nats

Para , la suma de las entropías de posición y momento produce: ${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$

$${\displaystyle H_{x}+H_{p}(\infty )=\log \left(8\pi \,e^{1-2\gamma }\right)\approx 3.06974...}$$

nats

que satisface el principio de incertidumbre entrópica cuántica.

Niveles de energía

La energía de una partícula en una caja (círculos negros) y una partícula libre (línea gris) dependen del número de onda de la misma manera. Sin embargo, es posible que la partícula en una caja sólo tenga ciertos niveles de energía discretos.

Las energías que corresponden a cada uno de los números de onda permitidos se pueden escribir como ^[5]

$${\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$

energía de punto cero^[8] ${\displaystyle n^{2}}$

$${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$

principio de incertidumbre

$${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$

^[9][8][8] ${\displaystyle E=p^{2}/(2m)}$

Cajas de dimensiones superiores

Paredes (hiper)rectangulares

La función de onda de un pozo 2D con n _x =4 y n _y =4

Si una partícula queda atrapada en una caja bidimensional, puede moverse libremente en las direcciones y , entre barreras separadas por longitudes y respectivamente. Para un cuadro centrado, la función de onda de posición se puede escribir incluyendo la longitud del cuadro como . Utilizando un enfoque similar al de la caja unidimensional, se puede demostrar que las funciones de onda y las energías para una caja centrada están dadas respectivamente por ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{y}}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x,t,L)}$

$${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y}),}$$

$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y}}^{2}}{2m}},}$$

donde el vector de onda

$${\displaystyle \mathbf {k} _{n_{x},n_{y}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} .}$$

Para una caja tridimensional, las soluciones son

$${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y})\psi _{n_{z}}(z,t,L_{z}),}$$

$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y},n_{z}}^{2}}{2m}},}$$

$${\displaystyle \mathbf {k} _{n_{x},n_{y},n_{z}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} +k_{n_{z}}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {n_{z}\pi }{L_{z}}}\mathbf {\hat {z}} .}$$

En general, para una caja de n dimensiones, las soluciones son

$${\displaystyle \psi =\prod _{i}\psi _{n_{i}}(x_{i},t,L_{i})}$$

Las funciones de onda de momento de n dimensiones también pueden representarse como y la función de onda de momento para una caja centrada de n dimensiones es entonces: ${\displaystyle \phi _{n}(x,t,L_{x})}$

$${\displaystyle \phi =\prod _{i}\phi _{n_{i}}(k_{i},t,L_{i})}$$

Una característica interesante de las soluciones anteriores es que cuando dos o más longitudes son iguales (p. ej. ), existen múltiples funciones de onda correspondientes a la misma energía total. Por ejemplo, la función de onda con tiene la misma energía que la función de onda con . Esta situación se llama degeneración y en el caso en el que exactamente dos funciones de onda degeneradas tienen la misma energía, se dice que ese nivel de energía está doblemente degenerado . La degeneración resulta de la simetría en el sistema. En el caso anterior, dos de las longitudes son iguales, por lo que el sistema es simétrico con respecto a una rotación de 90°. ${\displaystyle L_{x}=L_{y}}$ ${\displaystyle n_{x}=2,n_{y}=1}$ ${\displaystyle n_{x}=1,n_{y}=2}$

Formas de pared más complicadas

La función de onda de una partícula de mecánica cuántica en una caja cuyas paredes tienen forma arbitraria viene dada por la ecuación de Helmholtz sujeta a la condición límite de que la función de onda desaparezca en las paredes. Estos sistemas se estudian en el campo del caos cuántico para formas de paredes cuyas correspondientes mesas de billar dinámicas no son integrables.

Aplicaciones

Debido a su simplicidad matemática, el modelo de partícula en una caja se utiliza para encontrar soluciones aproximadas para sistemas físicos más complejos en los que una partícula queda atrapada en una región estrecha de bajo potencial eléctrico entre dos barreras de alto potencial. Estos sistemas de pozos cuánticos son particularmente importantes en optoelectrónica y se utilizan en dispositivos como el láser de pozos cuánticos , el fotodetector infrarrojo de pozos cuánticos y el modulador del efecto Stark confinado cuántico . También se utiliza para modelar una red en el modelo de Kronig-Penney y para un metal finito con la aproximación del electrón libre.

Polienos conjugados

El β-caroteno es un polieno conjugado.

Los sistemas de polienos conjugados se pueden modelar utilizando partículas en una caja. ^[10] El sistema conjugado de electrones se puede modelar como una caja unidimensional con una longitud igual a la distancia total del enlace desde un extremo del polieno al otro. En este caso, cada par de electrones en cada enlace π corresponde a su nivel de energía. La diferencia de energía entre dos niveles de energía, n _f y n _i es:

$${\displaystyle \Delta E={\frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}}$$

La diferencia entre la energía del estado fundamental, n, y el primer estado excitado, n+1, corresponde a la energía necesaria para excitar el sistema. Esta energía tiene una longitud de onda específica, y por tanto un color de luz, relacionado por:

$${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}}$$

Un ejemplo común de este fenómeno es el β-caroteno . ^{[ cita necesaria ]} El β-caroteno (C ₄₀ H ₅₆ ) ^[11] es un polieno conjugado con un color naranja y una longitud molecular de aproximadamente 3,8 nm (aunque la longitud de su cadena es solo de aproximadamente 2,4 nm). ^[12] Debido al alto nivel de conjugación del β-caroteno , los electrones se dispersan a lo largo de la molécula, lo que permite modelarla como una partícula unidimensional en una caja. El β-caroteno tiene 11 dobles enlaces carbono -carbono conjugados; ^[11] cada uno de esos dobles enlaces contiene dos electrones π, por lo tanto, el β-caroteno tiene 22 electrones π. Con dos electrones por nivel de energía, el β-caroteno se puede tratar como una partícula en una caja en el nivel de energía n =11. ^[12] Por lo tanto, la energía mínima necesaria para excitar un electrón al siguiente nivel de energía se puede calcular, n =12, de la siguiente manera ^[12] (recordando que la masa de un electrón es 9,109 × 10 ⁻³¹ kg ^[13] ) :

$${\displaystyle \Delta E={\frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}={\frac {(12^{2}-11^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}=2.3658\times 10^{-19}{\text{ J}}}$$

Utilizando la relación anterior entre longitud de onda y energía, recordando tanto la constante h de Planck como la velocidad de la luz c :

$${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}=0.00000084{\text{ m}}=840{\text{ nm}}}$$

Esto indica que el β-caroteno absorbe principalmente luz en el espectro infrarrojo, por lo que parecería blanco al ojo humano. Sin embargo, la longitud de onda observada es de 450 nm, ^[14] lo que indica que la partícula en una caja no es un modelo perfecto para este sistema.

Láser de pozo cuántico

El modelo de partícula en una caja se puede aplicar a láseres de pozo cuántico , que son diodos láser que constan de un material semiconductor de "pozo" intercalado entre otras dos capas semiconductoras de diferente material. Debido a que las capas de este sándwich son muy delgadas (la capa intermedia suele tener un espesor de aproximadamente 100 Å), se pueden observar efectos de confinamiento cuántico . ^[15] La idea de que los efectos cuánticos podrían aprovecharse para crear mejores diodos láser se originó en la década de 1970. El láser de pozo cuántico fue patentado en 1976 por R. Dingle y CH Henry. ^[dieciséis]

Específicamente, el comportamiento de los pozos cuánticos puede representarse mediante la partícula en un modelo de pozo finito. Se deben seleccionar dos condiciones de contorno. La primera es que la función de onda debe ser continua. A menudo, se elige que la segunda condición de frontera sea la derivada de la función de onda que debe ser continua a través de la frontera, pero en el caso del pozo cuántico las masas son diferentes a cada lado de la frontera. En cambio, se elige la segunda condición de contorno para conservar el flujo de partículas como , lo cual es consistente con el experimento. La solución a la partícula del pozo finito en una caja debe resolverse numéricamente, lo que da como resultado funciones de onda que son funciones sinusoidales dentro del pozo cuántico y funciones que decaen exponencialmente en las barreras. ^[17] Esta cuantificación de los niveles de energía de los electrones permite que un láser de pozo cuántico emita luz de manera más eficiente que los láseres semiconductores convencionales. ${\displaystyle (1/m)d\phi /dz}$

Debido a su pequeño tamaño, los puntos cuánticos no muestran las propiedades generales del semiconductor especificado, sino que muestran estados de energía cuantificados. ^[18] Este efecto se conoce como confinamiento cuántico y ha dado lugar a numerosas aplicaciones de puntos cuánticos, como el láser de pozo cuántico. ^[18]

Investigadores de la Universidad de Princeton han construido recientemente un láser de pozo cuántico que no es más grande que un grano de arroz. ^[19] El láser funciona con un solo electrón que pasa a través de dos puntos cuánticos; un doble punto cuántico. El electrón pasa de un estado de mayor energía a un estado de menor energía mientras emite fotones en la región de las microondas. Estos fotones rebotan en los espejos para crear un haz de luz; el láser. ^[19]

El láser de pozo cuántico se basa en gran medida en la interacción entre la luz y los electrones. Esta relación es un componente clave en las teorías de la mecánica cuántica que incluyen la longitud de onda de De Broglie y la partícula en una caja. El doble punto cuántico permite a los científicos obtener un control total sobre el movimiento de un electrón, lo que en consecuencia da como resultado la producción de un rayo láser. ^[19]

Puntos cuánticos

Los puntos cuánticos son semiconductores extremadamente pequeños (en la escala de nanómetros). ^[20] Muestran confinamiento cuántico en el sentido de que los electrones no pueden escapar del "punto", lo que permite utilizar aproximaciones de partículas en una caja. ^[21] Su comportamiento puede describirse mediante ecuaciones tridimensionales de cuantificación de energía de partículas en una caja. ^[21]

La brecha de energía de un punto cuántico es la brecha de energía entre sus bandas de valencia y conducción . Esta brecha de energía es igual a la brecha del material a granel más la ecuación de energía derivada de la partícula en una caja, que da la energía para los electrones y los huecos . ^[21] Esto se puede ver en la siguiente ecuación, donde y son las masas efectivas del electrón y del hueco, es el radio del punto y es la constante de Planck: ^[21] ${\displaystyle \Delta E(r)}$ ${\displaystyle E_{\text{gap}}}$ ${\displaystyle m_{e}^{*}}$ ${\displaystyle m_{h}^{*}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle \Delta E(r)=E_{\text{gap}}+\left({\frac {h^{2}}{8r^{2}}}\right)\left({\frac {1}{m_{e}^{*}}}+{\frac {1}{m_{h}^{*}}}\right)}$$

Por tanto, la brecha de energía del punto cuántico es inversamente proporcional al cuadrado de la "longitud de la caja", es decir, el radio del punto cuántico. ^[21]

La manipulación de la banda prohibida permite la absorción y emisión de longitudes de onda de luz específicas, ya que la energía es inversamente proporcional a la longitud de onda. ^[20] Cuanto más pequeño es el punto cuántico, mayor es la banda prohibida y, por tanto, más corta es la longitud de onda absorbida. ^{[20] [22]}

Se utilizan diferentes materiales semiconductores para sintetizar puntos cuánticos de diferentes tamaños y, por tanto, emitir diferentes longitudes de onda de luz. ^[22] A menudo se utilizan materiales que normalmente emiten luz en la región visible y sus tamaños se ajustan para que se emitan ciertos colores. ^[20] Las sustancias típicas utilizadas para sintetizar puntos cuánticos son el cadmio (Cd) y el selenio (Se). ^{[20] [22]} Por ejemplo, cuando los electrones de puntos cuánticos de CdSe de dos nanómetros se relajan después de la excitación , se emite luz azul. De manera similar, la luz roja se emite en puntos cuánticos de CdSe de cuatro nanómetros. ^{[23] [20]}

Los puntos cuánticos tienen una variedad de funciones que incluyen, entre otras, tintes fluorescentes, transistores , LED , células solares e imágenes médicas mediante sondas ópticas. ^{[20] [21]}

Una función de los puntos cuánticos es su uso en el mapeo de ganglios linfáticos, lo cual es factible debido a su capacidad única para emitir luz en la región del infrarrojo cercano (NIR). El mapeo de los ganglios linfáticos permite a los cirujanos rastrear si existen células cancerosas y dónde. ^[24]

Los puntos cuánticos son útiles para estas funciones debido a su emisión de luz más brillante, excitación por una amplia variedad de longitudes de onda y mayor resistencia a la luz que otras sustancias. ^{[24] [20]}

Efectos relativistas

La densidad de probabilidad no llega a cero en los nodos si se tienen en cuenta los efectos relativistas mediante la ecuación de Dirac. ^[25]

Ver también

• Historia de la mecánica cuántica
• Pozo de potencial finito
• Potencial de función delta
• Gas en una caja
• Partícula en un anillo
• Partícula en un potencial esféricamente simétrico.
• Oscilador armónico cuántico
• Pozo de potencial semicircular
• Configuración integral (mecánica estadística)
• teorema de bloch

Referencias

1. Davies, p.4
2. En realidad, cualquier potencial finito y constante se puede especificar dentro del cuadro. Esto simplemente desplaza las energías de los estados . ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$
3. Davies, pag. 1
4. Bransden y Joachain, pág. 157
5. Davies pág. 5
6. Bransden y Joachain, p.158
7. Majernik, Vladimir; Richterek, Lucas (1 de diciembre de 1997). "Relaciones de incertidumbre entrópica para el pozo infinito". J. Física. A . 30 (4): L49. Código Bib : 1997JPhA...30L..49M. doi : 10.1088/0305-4470/30/4/002 . Consultado el 11 de febrero de 2016 .
8. Bransden y Joachain, pag. 159
9. Davies, pag. 15
10. Autschbach, Jochen (noviembre de 2007). "Por qué el modelo de partículas en caja funciona bien para tintes de cianina pero no para polienos conjugados". Revista de Educación Química . 84 (11): 1840. doi :10.1021/ed084p1840. ISSN  0021-9584.
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12. Sathish, RK; Sidharthan, PV; Udayanandan, KM "Partícula en una caja: una isla del tesoro para estudiantes universitarios". {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
13. PJ Mohr, BN Taylor y DB Newell, "Los valores recomendados de las constantes físicas fundamentales de CODATA de 2014". Esta base de datos fue desarrollada por J. Baker, M. Douma y S. Kotochigova . Disponible: [1]. Instituto Nacional de Estándares y Tecnología, Gaithersburg, MD 20899.
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16. Patente de EE. UU. n.º 3.982.207, expedida el 21 de septiembre de 1976, inventores R. Dingle y CH Henry, "Quantum Effects in Heterostructure Lasers", presentada el 7 de marzo de 1975.
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Bibliografía

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enlaces externos

• Configuración integral (mecánica estadística), 2008. este sitio wiki no funciona; consulte este artículo en el archivo web del 28 de abril de 2012.