Partícula en una red unidimensional.

Modelo en Física Cuántica

En mecánica cuántica , la partícula en una red unidimensional es un problema que ocurre en el modelo de una red cristalina periódica . El potencial es causado por iones en la estructura periódica del cristal que crean un campo electromagnético por lo que los electrones están sujetos a un potencial regular dentro de la red. Es una generalización del modelo del electrón libre , que supone potencial cero dentro de la red.

Definición del problema

Cuando se habla de materiales sólidos, la discusión gira principalmente en torno a los cristales: redes periódicas. Aquí discutiremos una red 1D de iones positivos. Suponiendo que el espacio entre dos iones es a , el potencial en la red se verá así:

La representación matemática del potencial es una función periódica con un período a . Según el teorema de Bloch , ^[1] la solución de la función de onda de la ecuación de Schrödinger cuando el potencial es periódico, se puede escribir como:

$${\displaystyle \psi (x)=e^{ikx}u(x),}$$

donde u ( x ) es una función periódica que satisface u ( x + a ) = u ( x ) . Es el factor de Bloch con exponente de Floquet el que da lugar a la estructura de bandas del espectro de energía de la ecuación de Schrödinger con un potencial periódico como el potencial de Kronig-Penney o una función coseno como en la ecuación de Mathieu. ${\displaystyle k}$

Al acercarse a los bordes de la red, existen problemas con la condición de contorno. Por lo tanto, podemos representar la red iónica como un anillo siguiendo las condiciones de frontera de Born-von Karman . Si L es la longitud de la red de modo que L ≫ a , entonces el número de iones en la red es tan grande que, cuando se considera un ion, su entorno es casi lineal y la función de onda del electrón no cambia. Entonces ahora, en lugar de dos condiciones de contorno, obtenemos una condición de contorno circular: $${\displaystyle \psi (0)=\psi (L).}$$

Si N es el número de iones en la red, entonces tenemos la relación : aN = L. Reemplazar la condición de frontera y aplicar el teorema de Bloch dará como resultado una cuantificación para k : $${\displaystyle \psi (0)=e^{ik\cdot 0}u(0)=e^{ikL}u(L)=\psi (L)}$$ $${\displaystyle u(0)=e^{ikL}u(L)=e^{ikL}u(Na)\to e^{ikL}=1}$$ $${\displaystyle \Rightarrow kL=2\pi n\to k={2\pi \over L}n\qquad \left(n=0,\pm 1,\dots ,\pm {\frac {N}{2}}\right).}$$

Modelo de Kronig-Penney

El modelo de Kronig-Penney (llamado así por Ralph Kronig y William Penney ^[2] ) es un sistema mecánico cuántico simple e idealizado que consta de una matriz periódica infinita de barreras potenciales rectangulares .

La función potencial se aproxima mediante un potencial rectangular:

Usando el teorema de Bloch , solo necesitamos encontrar una solución para un solo período, asegurarnos de que sea continua y suave, y asegurarnos de que la función u ( x ) también sea continua y suave.

Considerando un solo período del potencial:
aquí tenemos dos regiones. Resolveremos cada uno de forma independiente: Sea E un valor de energía sobre el pozo (E>0)

• Para : ${\displaystyle 0<x<(a-b)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=E\psi \\\Rightarrow \psi &=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}&\left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)\end{aligned}}}$$
• Para : ${\displaystyle -b<x<0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=(E+V_{0})\psi \\\Rightarrow \psi &=Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}&\left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right).\end{aligned}}}$$

Para encontrar u ( x ) en cada región, necesitamos manipular la función de onda del electrón: $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (0<x<a-b)&=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)\\\Rightarrow u(0<x<a-b)&=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}.\end{aligned}}}$$

Y de la misma manera: $${\displaystyle u(-b<x<0)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}.}$$

Para completar la solución debemos asegurarnos de que la función de probabilidad sea continua y uniforme, es decir: $${\displaystyle \psi (0^{-})=\psi (0^{+})\qquad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+}).}$$

Y que u ( x ) y u′ ( x ) son periódicas: $${\displaystyle u(-b)=u(a-b)\qquad u'(-b)=u'(a-b).}$$

Estas condiciones producen la siguiente matriz: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(a-b)}&e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$$

Para que tengamos una solución no trivial, el determinante de la matriz debe ser 0. Esto nos lleva a la siguiente expresión: $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (a-b)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (a-b)].}$$

Para simplificar aún más la expresión, realizamos las siguientes aproximaciones: $${\displaystyle b\to 0;\quad V_{0}\to \infty ;\quad V_{0}b=\mathrm {constant} }$$ $${\displaystyle \Rightarrow \beta ^{2}b=\mathrm {constant} ;\quad \alpha ^{2}b\to 0}$$ $${\displaystyle \Rightarrow \beta b\to 0;\quad \sin(\beta b)\to \beta b;\quad \cos(\beta b)\to 1.}$$

La expresión ahora será: $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+P{\frac {\sin(\alpha a)}{\alpha a}},\qquad P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}.}$$

Para valores de energía dentro del pozo ( E  < 0), obtenemos: con y . $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cosh[\alpha (a-b)]-{\beta ^{2}-\alpha ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sinh[\alpha (a-b)],}$$ ${\displaystyle \alpha ^{2}={2m|E| \over \hbar ^{2}}}$ ${\displaystyle \beta ^{2}={\frac {2m(V_{0}-|E|)}{\hbar ^{2}}}}$

Siguiendo las mismas aproximaciones anteriores ( ), llegamos a la misma fórmula para P que en el caso anterior . ${\displaystyle b\to 0;\,V_{0}\to \infty ;\,V_{0}b=\mathrm {constant} }$ $${\displaystyle \cos(ka)=\cosh(\alpha a)+P{\frac {\sinh(\alpha a)}{\alpha a}}}$$ ${\displaystyle \left(P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}\right)}$

Bandas prohibidas en el modelo de Kronig-Penney

El valor de la expresión con el que se equipara cos(ka) en la relación de dispersión, con P = 1,5. Las barras negras indican regiones para las cuales se puede calcular k. ${\displaystyle \alpha a}$

La relación de dispersión para el modelo de Kronig-Penney, con P = 1,5.

En el párrafo anterior, las únicas variables no determinadas por los parámetros del sistema físico son la energía E y el momento cristalino k . Al elegir un valor para E , se puede calcular el lado derecho y luego calcular k tomando los de ambos lados. Así, la expresión da lugar a la relación de dispersión . ${\displaystyle \arccos }$

El lado derecho de la última expresión anterior a veces puede ser mayor que 1 o menor que –1, en cuyo caso no hay ningún valor de k que pueda hacer que la ecuación sea verdadera. Dado que , eso significa que hay ciertos valores de E para los cuales no existen funciones propias de la ecuación de Schrödinger. Estos valores constituyen la banda prohibida . ${\displaystyle \alpha a\propto {\sqrt {E}}}$

Por lo tanto, el modelo de Kronig-Penney es uno de los potenciales periódicos más simples que exhibe una banda prohibida.

Modelo de Kronig-Penney: solución alternativa

Se ofrece un tratamiento alternativo ^[3] para un problema similar. Aquí tenemos un potencial periódico delta : $${\displaystyle V(x)=A\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-na).}$$

A es una constante y a es la constante de red (el espacio entre cada sitio). Como este potencial es periódico, podríamos expandirlo como una serie de Fourier: donde $${\displaystyle V(x)=\sum _{K}{\tilde {V}}(K)\cdot e^{iKx},}$$ $${\displaystyle {\tilde {V}}(K)={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\,V(x)\,e^{-iKx}={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\sum _{n=-\infty }^{\infty }A\cdot \delta (x-na)\,e^{-iKx}={\frac {A}{a}}.}$$

La función de onda, usando el teorema de Bloch, es igual a donde hay una función periódica en la red, lo que significa que también podemos expandirla como una serie de Fourier: ${\displaystyle \psi _{k}(x)=e^{ikx}u_{k}(x)}$ ${\displaystyle u_{k}(x)}$ $${\displaystyle u_{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)e^{iKx}.}$$

Por tanto la función de onda es: $${\displaystyle \psi _{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)\,e^{i(k+K)x}.}$$

Al poner esto en la ecuación de Schrödinger, obtenemos: o mejor dicho: $${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+\sum _{K'}{\tilde {V}}(K-K')\,{\tilde {u}}_{k}(K')=0}$$ $${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')=0}$$

Ahora reconocemos que: $${\displaystyle u_{k}(0)=\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')}$$

Inserte esto en la ecuación de Schrödinger: $${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}u_{k}(0)=0}$$

Resolviendo esto obtenemos: ${\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)}$ $${\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}f(k)}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$$

Sumamos esta última ecuación sobre todos los valores de K para llegar a: $${\displaystyle \sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$$

O: $${\displaystyle u_{k}(0)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$$

Convenientemente, se cancela y obtenemos: ${\displaystyle u_{k}(0)}$ $${\displaystyle 1=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}$$

O: $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}$$

Para ahorrarnos un esfuerzo de notación innecesario definimos una nueva variable: y finalmente nuestra expresión es: $${\displaystyle \alpha ^{2}:={\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+K)^{2}}}}$$

Ahora, K es un vector reticular recíproco, lo que significa que una suma sobre K es en realidad una suma sobre múltiplos enteros de : ${\displaystyle {\frac {2\pi }{a}}}$ $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}}$$

Podemos hacer malabarismos con esta expresión un poco para hacerla más sugerente (use descomposición en fracciones parciales ): $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}\\&=-{\frac {1}{2\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})-\alpha }}-{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})+\alpha }}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\end{aligned}}}$$

Si usamos una buena identidad de una suma de la función cotangente (Ecuación 18) que dice: y la conectamos a nuestra expresión llegamos a: $${\displaystyle \cot(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi n+2x}}-{\frac {1}{2\pi n-2x}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\cot \left({\tfrac {ka}{2}}-{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {ka}{2}}+{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)\right]}$$

Usamos la suma de cot y luego el producto de sin (que es parte de la fórmula para la suma de cot ) para llegar a: $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+{\frac {mA}{\hbar ^{2}\alpha }}\sin(\alpha a)}$$

Esta ecuación muestra la relación entre la energía (a través de α ) y el vector de onda, k , y como puede ver, dado que el lado izquierdo de la ecuación solo puede variar de −1 a 1 , entonces existen algunos límites en los valores. que α (y por tanto, la energía) puede tomar, es decir, en algunos rangos de valores de la energía, no hay solución según estas ecuaciones, y por tanto, el sistema no tendrá esas energías: huecos de energía. Estas son las llamadas bandas prohibidas, que se puede demostrar que existen en cualquier forma de potencial periódico (no solo barreras delta o cuadradas).

Para un cálculo diferente y detallado de la fórmula de la brecha (es decir, para la brecha entre bandas) y la división de niveles de los valores propios de la ecuación unidimensional de Schrödinger, consulte Müller-Kirsten. ^[4] Los resultados correspondientes para el potencial coseno (ecuación de Mathieu) también se detallan en esta referencia.

celosía finita

En algunos casos, la ecuación de Schrödinger se puede resolver analíticamente en una red unidimensional de longitud finita ^{[5] [6]} utilizando la teoría de ecuaciones diferenciales periódicas. ^[7] Se supone que la longitud de la red es , donde es el período potencial y el número de períodos es un entero positivo. Los dos extremos de la red están en y , donde determina el punto de terminación. La función de onda desaparece fuera del intervalo . ${\displaystyle L=Na}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle L+\tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle [\tau ,L+\tau ]}$

Los estados propios del sistema finito se pueden encontrar en términos de los estados de Bloch de un sistema infinito con el mismo potencial periódico. Si hay una banda prohibida entre dos bandas de energía consecutivas del sistema infinito, existe una clara distinción entre dos tipos de estados en la red finita. Para cada banda de energía del sistema infinito, existen estados masivos cuyas energías dependen de la longitud pero no de la terminación . Estos estados son ondas estacionarias construidas como una superposición de dos estados de Bloch con momentos y , donde se elige de modo que la función de onda desaparezca en los límites. Las energías de estos estados coinciden con las bandas de energía del sistema infinito. ^[5] ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle -k}$ ${\displaystyle k}$

Para cada banda prohibida, hay un estado adicional. Las energías de estos estados dependen del punto de terminación pero no de la longitud . ^[5] La energía de tal estado puede encontrarse en el borde de la banda o dentro de la banda prohibida. Si la energía está dentro de la banda prohibida, el estado es un estado superficial localizado en un extremo de la red, pero si la energía está en el borde de la banda, el estado se deslocaliza a través de la red. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle N}$

Ver también

• Modelo de electrones libres
• Aproximación de celosía vacía
• Modelo de electrones casi libres
• Estructura cristalina
• función de Mathieu

Referencias

1. Bloch, Félix (1929). "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern". Zeitschrift für Physik (en alemán). 52 (7–8). Springer Science y Business Media LLC: 555–600. Código bibliográfico : 1929ZPhy...52..555B. doi :10.1007/bf01339455. ISSN  1434-6001. S2CID  120668259.
2. de L. Kronig, R.; Penney, WG (3 de febrero de 1931). "Mecánica cuántica de electrones en redes cristalinas". Actas de la Royal Society A: Ciencias Matemáticas, Físicas y de Ingeniería . 130 (814). La Sociedad de la Realeza: 499–513. Código bibliográfico : 1931RSPSA.130..499D. doi : 10.1098/rspa.1931.0019 . ISSN  1364-5021.
3. Surjit Singh (1983). "Modelo de Kronig-Penney en espacio reticular recíproco". Revista Estadounidense de Física . 51 (2): 179. Código bibliográfico : 1983AmJPh..51..179S. doi :10.1119/1.13321.
4. Harald JW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de ruta, 2ª ed., World Scientific (Singapur, 2012), 325–329, 458–477.
5. Ren, Shang Yuan (2002). "Dos tipos de estados electrónicos en cristales unidimensionales de longitud finita". Anales de Física . 301 (1): 22–30. arXiv : cond-mat/0204211 . Código Bib : 2002AnPhy.301...22R. doi :10.1006/aphy.2002.6298. S2CID  14490431.
6. Ren, Shang Yuan (2017). Estados electrónicos en cristales de tamaño finito: confinamiento cuántico de ondas de Bloch (2 ed.). Singapur, Springer.
7. Eastham, MSP (1973). La teoría espectral de las ecuaciones diferenciales periódicas . Edimburgo, Prensa académica escocesa.

enlaces externos

• "El modelo Kronig-Penney" de Michael Croucher, un cálculo interactivo de la estructura de bandas de potencial periódico 1d utilizando Mathematica , de The Wolfram Demonstrations Project .