Paradoja de Sorites

Paradoja lógica a partir de predicados vagos

La paradoja del sorites: si un montón se reduce de a un solo grano a la vez, la pregunta es en qué punto exacto deja de considerarse un montón.

La paradoja de sorites ( / s oʊ ˈ r aɪ t iː z / ; ^[1] a veces conocida como la paradoja del montón ) es una paradoja que resulta de predicados vagos . ^[2] Una formulación típica implica un montón de arena, del cual se eliminan granos individualmente. Con el supuesto de que eliminar un solo grano no hace que un montón deje de considerarse un montón, la paradoja es considerar qué sucede cuando el proceso se repite suficientes veces como para que solo quede un grano y si sigue siendo un montón. Si no es así, entonces la pregunta es cuándo cambió de un montón a un no montón. ^[3]

Formulación original y variaciones

Paradoja del montón

La palabra sorites ( griego : σωρείτης ) deriva de la palabra griega para montón ( griego : σωρός ). ^[4] La paradoja se llama así debido a su caracterización original, atribuida a Eubulides de Mileto . ^[5] La paradoja es la siguiente: considere un montón de arena del cual se extraen granos individualmente. Uno podría construir el argumento, usando premisas , de la siguiente manera: ^[3]

1.000.000 de granos de arena son un montón de arena (Premisa 1)

Un montón de arena al que le falta un grano sigue siendo un montón. (Premisa 2)

La aplicación repetida de la premisa 2 (empezando cada vez con un grano menos) acaba obligando a aceptar la conclusión de que un montón puede estar compuesto de un solo grano de arena. ^[6] Read (1995) observa que "el argumento es en sí mismo un montón, o sorites, de pasos de modus ponens ": ^[7]

1.000.000 de granos es un montón.

Si1.000.000 de granos es un montón entonces999.999 granos es un montón.

Entonces999.999 granos es un montón.

Si999.999 granos es un montón entonces999.998 granos es un montón.

Entonces999.998 granos es un montón.

Si ...

... Entonces1 grano es un montón.

Variaciones

Gradiente de color que ilustra una paradoja de sorites, en la que los colores adyacentes son indistinguibles para el ojo humano.

La tensión entre pequeños cambios y grandes consecuencias da lugar a la paradoja del sorites... Hay muchas variaciones... [algunas de las cuales permiten] considerar la diferencia entre ser... (una cuestión de hecho ) y parecer... (una cuestión de percepción ). ^[2]

Otra formulación consiste en empezar con un grano de arena, que claramente no es un montón, y luego suponer que añadir un solo grano de arena a algo que no es un montón no hace que se convierta en un montón. Inductivamente, este proceso se puede repetir tanto como se quiera sin llegar a formar un montón. ^{[2] [3]} Una formulación más natural de esta variante consiste en suponer que existe un conjunto de fichas de colores de modo que dos fichas adyacentes varían en color tan poco que la vista humana no puede distinguirlas. Entonces, por inducción sobre esta premisa, los humanos no serían capaces de distinguir entre ningún color. ^[2]

Quitar una gota del océano no hará que "deje de ser un océano" (sigue siendo un océano), pero como el volumen de agua en el océano es finito, eventualmente, después de suficientes extracciones, incluso un litro de agua que quede sigue siendo un océano.

Esta paradoja puede reconstruirse para una variedad de predicados, por ejemplo, con "alto", "rico", "viejo", "azul", "calvo", etc. Bertrand Russell sostuvo que todo el lenguaje natural, incluso los conectivos lógicos, es vago; además, las representaciones de proposiciones son vagas. ^[8]

Falacia del continuo

La falacia del continuo (también conocida como falacia de la barba , ^{[9] [10]} falacia del trazado de líneas o falacia del punto de decisión ^[11] ) es una falacia informal relacionada con la paradoja del sorites. Ambas falacias hacen que uno rechace erróneamente una afirmación vaga simplemente porque no es tan precisa como uno quisiera que fuera. La vaguedad por sí sola no implica necesariamente invalidez. La falacia es el argumento de que dos estados o condiciones no pueden considerarse distintos (o no existen en absoluto) porque entre ellos existe un continuo de estados.

Estrictamente, la paradoja del sorites se refiere a situaciones en las que hay muchos estados discretos (clásicamente entre 1 y 1.000.000 de granos de arena, por lo tanto, 1.000.000 de estados posibles), mientras que la falacia del continuo se refiere a situaciones en las que hay (o parece haber) un continuo de estados, como la temperatura.

Para el propósito de la falacia del continuo, se supone que de hecho existe un continuo, aunque esta es generalmente una distinción menor: en general, cualquier argumento contra la paradoja de sorites también puede usarse contra la falacia del continuo. Un argumento contra la falacia se basa en el simple contraejemplo : existen personas calvas y personas que no son calvas. Otro argumento es que por cada grado de cambio en los estados, el grado de la condición cambia ligeramente, y estos cambios leves se acumulan para cambiar el estado de una categoría a otra. Por ejemplo, tal vez la adición de un grano de arroz hace que el grupo total de arroz sea "ligeramente más" un montón, y suficientes cambios leves certificarán el estado de montón del grupo - ver lógica difusa .

Resoluciones propuestas

Negando la existencia de montones

Se puede objetar la primera premisa negando que1.000.000 de granos de arena forman un montón. Pero1.000.000 es simplemente un número arbitrario y el argumento se aplica a cualquier número de ese tipo. Por lo tanto, la respuesta debe negar de plano que existan cosas como montones. Peter Unger defiende esta solución. ^[12] Sin embargo, AJ Ayer la rechazó cuando Unger se la presentó: "Si consideramos que todo está compuesto de átomos y pensamos que Unger no consiste en células sino en los átomos que componen las células, entonces, como David Wiggins me ha señalado, se podría utilizar un argumento similar para demostrar que Unger, lejos de ser inexistente, es idéntico a todo lo que existe. Sólo tenemos que sustituir la premisa de que la sustracción de un átomo del cuerpo de Unger nunca hace ninguna diferencia en su existencia por la premisa de que la adición de un átomo a él tampoco hace ninguna diferencia". ^[13]

Establecer un límite fijo

Una primera respuesta común a la paradoja es denominar montón a cualquier conjunto de granos que contenga más de una cierta cantidad de granos. Si uno definiera el "límite fijo" en10.000 granos entonces uno podría afirmar que por menos de10.000 , no es un montón; porque10.000 o más, entonces es un montón. ^[14]

Collins sostiene que tales soluciones son insatisfactorias, ya que parece haber poca importancia en la diferencia entre9,999 granos y10.000 granos. El límite, dondequiera que se fije, sigue siendo arbitrario, y por ello su precisión es engañosa. Es objetable tanto por razones filosóficas como lingüísticas: la primera por su arbitrariedad y la segunda porque simplemente no es la forma en que se utiliza el lenguaje natural. ^[15]

Límites incognoscibles (o epistemicismo)

Timothy Williamson ^{[16] [17] [18]} y Roy Sorensen ^[19] afirman que hay límites fijos pero que son necesariamente incognoscibles.

Supervaluacionismo

El supervaluacionismo es un método para tratar con términos singulares irreferenciales y vaguedad . Permite retener las leyes tautológicas usuales incluso cuando se trata con valores de verdad indefinidos. ^{[20] [21] [22] [23]} Un ejemplo de una proposición sobre un término singular irreferencial es la oración " A Pegaso le gusta el regaliz ". Dado que el nombre " Pegaso " no hace referencia , no se puede asignar ningún valor de verdad a la oración; no hay nada en el mito que justifique tal asignación. Sin embargo, hay algunas afirmaciones sobre Pegaso que tienen valores de verdad definidos, como " A Pegaso le gusta el regaliz o A Pegaso no le gusta el regaliz ". Esta oración es una instancia de la tautología " ", es decir, el esquema válido " o no- ". Según el supervaluacionismo, debería ser verdadera independientemente de si sus componentes tienen o no un valor de verdad. ${\displaystyle p\vee \neg p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Al admitir oraciones sin valores de verdad definidos, el supervaluacionismo evita casos adyacentes tales que n granos de arena son un montón de arena, pero n −1 granos no lo son; por ejemplo, "" 1.000 granos de arena son un montón " puede considerarse un caso límite que no tiene un valor de verdad definido. Sin embargo, el supervaluacionismo es capaz de manejar una oración como "1.000 granos de arena son un montón o1.000 granos de arena no son un montón ” como una tautología, es decir, asignarle el valor verdadero . ^{[ cita requerida ]}

Explicación matemática

Sea una valoración clásica definida en cada oración atómica del lenguaje , y sea el número de oraciones atómicas distintas en . Entonces, para cada oración , pueden existir, como máximo, valoraciones clásicas distintas. Una supervaloración es una función de oraciones a valores de verdad tales que, una oración es superverdadera (es decir, ) si y solo si para cada valoración clásica ; lo mismo para superfalsa. De lo contrario, no está definida, es decir, exactamente cuando hay dos valoraciones clásicas y tales que y . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle At(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2^{At(x)}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V(x)={\text{True}}}$ ${\displaystyle v(x)={\text{True}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle v(x)={\text{True}}}$ ${\displaystyle v'(x)={\text{False}}}$

Por ejemplo, sea la traducción formal de " A Pegaso le gusta el regaliz ". Entonces hay exactamente dos valoraciones clásicas y en , a saber, y . Por lo tanto , no es ni superverdadera ni superfalsa. Sin embargo, la tautología se evalúa como por cada valoración clásica; por lo tanto, es superverdadera. De manera similar, la formalización de la proposición del montón anterior no es superverdadera ni superfalsa, sino superverdadera. ${\displaystyle L\;p}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle L\;p}$ ${\displaystyle v(L\;p)={\text{True}}}$ ${\displaystyle v'(L\;p)={\text{False}}}$ ${\displaystyle L\;p}$ ${\displaystyle L\;p\lor \lnot L\;p}$ ${\displaystyle {\text{True}}}$ ${\displaystyle H\;1000}$ ${\displaystyle H\;1000\lor \lnot H\;1000}$

Vacíos de verdad, excesos y lógicas multivaluadas

Otro método consiste en utilizar una lógica multivaluada . En este contexto, el problema está en el principio de bivalencia : la arena es un montón o no es un montón, sin ningún matiz de gris. En lugar de dos estados lógicos, montón y no montón , se puede utilizar un sistema de tres valores, por ejemplo montón , indeterminado y no montón . Una respuesta a esta solución propuesta es que los sistemas de tres valores no resuelven verdaderamente la paradoja, ya que sigue habiendo una línea divisoria entre montón e indeterminado y también entre indeterminado y no montón . El tercer valor de verdad puede entenderse como una brecha de valores de verdad o como un exceso de valores de verdad . ^[24]

Alternativamente, la lógica difusa ofrece un espectro continuo de estados lógicos representados en el intervalo unitario de números reales [0,1]—es una lógica multivaluada con infinitos valores de verdad, y por lo tanto la arena pasa gradualmente de "definitivamente montón" a "definitivamente no montón", con matices en la región intermedia. Los setos difusos se utilizan para dividir el continuo en regiones correspondientes a clases como definitivamente montón , mayormente montón , parcialmente montón , ligeramente montón y no montón . ^{[25] [26]} Aunque el problema sigue siendo dónde ocurren estos límites; por ejemplo, en qué número de granos la arena comienza a ser definitivamente un montón.

Histéresis

Otro método, introducido por Raffman, ^[27] es utilizar la histéresis , es decir, el conocimiento de cómo comenzó la acumulación de arena. Las cantidades equivalentes de arena pueden denominarse montones o no en función de cómo llegaron allí. Si un montón grande (indiscutiblemente descrito como un montón) se reduce lentamente, conserva su "estado de montón" hasta cierto punto, incluso cuando la cantidad real de arena se reduce a un número menor de granos. Por ejemplo,500 granos es un montón y1.000 granos son un montón. Habrá una superposición para estos estados. Por lo tanto, si uno lo reduce de un montón a una pila, es un montón que va descendiendo hasta750. En ese punto, uno dejaría de llamarlo montón y comenzaría a llamarlo pila. Pero si uno reemplaza un grano, no se convertiría instantáneamente en un montón. Al subir, seguiría siendo una pila hasta que900 granos. Los números escogidos son arbitrarios; el punto es que la misma cantidad puede ser un montón o una pila dependiendo de lo que era antes del cambio. Un uso común de la histéresis sería el termostato del aire acondicionado: el aire acondicionado se fija a 77 °F y luego enfría el aire a poco menos de 77 °F, pero no se activa de nuevo instantáneamente cuando el aire se calienta a 77,001 °F; espera hasta casi 78 °F, para evitar un cambio instantáneo de estado una y otra vez. ^[28]

Consenso grupal

Se puede establecer el significado de la palabra montón apelando al consenso . Williamson, en su solución epistémica a la paradoja, supone que el significado de términos vagos debe ser determinado por el uso del grupo. ^[29] El método del consenso típicamente sostiene que una colección de granos es un "montón" tanto como la proporción de personas en un grupo que creen que lo es. En otras palabras, la probabilidad de que cualquier colección sea considerada un montón es el valor esperado de la distribución de la opinión del grupo.

Un grupo puede decidir que:

• Un grano de arena por sí solo no es un montón.
• Una gran colección de granos de arena es un montón.

Entre los dos extremos, los miembros individuales del grupo pueden estar en desacuerdo entre sí sobre si una colección en particular puede ser etiquetada como un "montón". Entonces no se puede afirmar definitivamente que la colección es un "montón" o "no es un montón". Esto puede considerarse una apelación a la lingüística descriptiva en lugar de la lingüística prescriptiva , ya que resuelve la cuestión de la definición basada en cómo la población usa el lenguaje natural. De hecho, si se dispone de una definición prescriptiva precisa de "montón", entonces el consenso del grupo siempre será unánime y la paradoja no ocurre.

Resoluciones en la teoría de la utilidad

En el campo económico de la teoría de la utilidad , la paradoja del sorites surge cuando se investigan los patrones de preferencias de una persona. Como ejemplo de Robert Duncan Luce , es fácil encontrar una persona, digamos, Peggy, que prefiere en su café 3 gramos (es decir, 1 terrón) de azúcar a 15 gramos (5 terrones), sin embargo, normalmente será indiferente entre 3,00 y 3,03 gramos, así como entre 3,03 y 3,06 gramos, y así sucesivamente, así como finalmente entre 14,97 y 15,00 gramos. ^[30]

Los economistas tomaron dos medidas para evitar la paradoja del sorites en ese contexto.

• Se utilizan formas comparativas de las propiedades , en lugar de formas positivas . El ejemplo anterior deliberadamente no hace una afirmación como "A Peggy le gusta una taza de café con 3 gramos de azúcar" o "A Peggy no le gusta una taza de café con 15 gramos de azúcar". En cambio, afirma "A Peggy le gusta más una taza de café con 3 gramos de azúcar que una con 15 gramos de azúcar". ^[34]
• Los economistas distinguen la preferencia ("A Peggy le gusta ... más que ...") de la indiferencia ("A Peggy le gusta ... tanto como ..."), y no consideran que esta última relación sea transitiva . ^[36] En el ejemplo anterior, abreviando "una taza de café con x gramos de azúcar" por " c _x ", y "A Peggy le resulta indiferente c _x y c _y " como " c _x ≈ c _y ", los hechos c _3,00 ≈ c _3,03 y c _3,03 ≈ c _3,06 y ... y c _14,97 ≈ c _15,00 no implican c _3,00 ≈ c _15,00 .

Se introdujeron varios tipos de relaciones para describir la preferencia y la indiferencia sin caer en la paradoja del sorites. Luce definió semiórdenes e investigó sus propiedades matemáticas; ^[30] Amartya Sen realizó una tarea similar para las relaciones cuasititransitivas . ^[37] Abreviando "A Peggy le gusta c _x más que c _y " como " c _x > c _y ", y abreviando " c _x > c _y o c _x ≈ c _y " por " c _x ≥ c _y ", es razonable que la relación ">" sea un semiorden mientras que ≥ sea cuasititransitiva. Por el contrario, a partir de un semiorden dado > la relación de indiferencia ≈ puede reconstruirse definiendo c _x ≈ c _y si ni c _x > c _y ni c _y > c _x . De manera similar, a partir de una relación cuasititransitiva dada ≥ la relación de indiferencia ≈ puede reconstruirse definiendo c _x ≈ c _y si tanto c _x ≥ c _y como c _y ≥ c _x . Estas relaciones ≈ reconstruidas normalmente no son transitivas.

La tabla de la derecha muestra cómo el ejemplo de color anterior puede modelarse como una relación cuasitransitiva ≥. Diferencias de color exageradas para facilitar la lectura. Se dice que un color X es más o igualmente rojo que un color Y si la celda de la tabla en la fila X y la columna Y no está vacía. En ese caso, si contiene un "≈", entonces X e Y se ven indistinguiblemente iguales, y si contiene un ">", entonces X se ve claramente más rojo que Y. La relación ≥ es la unión disjunta de la relación simétrica ≈ y la relación transitiva >. Usando la transitividad de >, el conocimiento tanto de f10 > d30 como de d30 > b50 permite inferir que f10 > b50 . Sin embargo, dado que ≥ no es transitivo, una inferencia "paradójica" como " d30 ≥ e20 y e20 ≥ f10 , por lo tanto, d30 ≥ f10 " ya no es posible. Por la misma razón, p. ej., " d30 ≈ e20 y e20 ≈ f10 , por lo tanto, d30 ≈ f10 " ya no es una inferencia válida. De manera similar, para resolver la variación original de la paradoja con este enfoque, la relación " los granos X son más un montón que los granos Y " podría considerarse cuasititransitiva en lugar de transitiva.

Véase también

• Portal de filosofía
• Portal de psicología

• Ambigüedad
• Rana hirviendo
• Concepto cerrado
• Concepto difuso
• Lo sé cuando lo veo
• Lenguaje impreciso
• Lista de falacias
• La apuesta de Loki
• Especies de anillo
• Barco de Teseo
• Pendiente resbaladiza
• La gota que colmó el vaso

Referencias

1. "Sorites". Omnilexica . Archivado desde el original el 20 de septiembre de 2018 . Consultado el 14 de marzo de 2014 .
2. Barker, C. (2009). "Vaguedad". En Allan, Keith (ed.). Enciclopedia concisa de semántica . Elsevier. pág. 1037. ISBN 978-0-08-095968-9.
3. Sorensen, Roy A. (2009). "Argumentos de sorites". En Jaegwon Kim; Sosa, Ernest; Rosenkrantz, Gary S. (eds.). Un compañero para la metafísica . John Wiley & Sons . pág. 565. ISBN 978-1-4051-5298-3.
4. Bergmann, Merrie (2008). Introducción a la lógica difusa y de múltiples valores: semántica, álgebras y sistemas de derivación . Nueva York, NY: Cambridge University Press . pág. 3. ISBN. 978-0-521-88128-9.
5. (Barnes 1982), (Burnyeat 1982), (Williamson 1994)
6. Dolev, Y. (2004). "Por qué la inducción no es una cura para la calvicie". Investigaciones filosóficas . 27 (4): 328–344. doi :10.1111/j.1467-9205.2004.t01-1-00230.x.
7. Read, Stephen (1995). Pensando en la lógica , pág. 174. Oxford. ISBN 019289238X . 
8. Russell, Bertrand (junio de 1923). "Vaguedad". The Australasian Journal of Psychology and Philosophy . 1 (2): 84–92. doi :10.1080/00048402308540623. ISSN  1832-8660 . Consultado el 18 de noviembre de 2009 . El texto electrónico de Shalizi de 1995 está archivado en archive.org y en WebCite.
9. David Roberts: Razonamiento: otras falacias Archivado el 15 de septiembre de 2008 en Wayback Machine.
10. Thouless, Robert H. (1953), Straight and Crooked Thinking (PDF) (Ed. revisada), Londres: Pan Books , pág. 61
11. "Resumen del capítulo".
12. Unger, Peter (1979). "No hay cosas ordinarias". Síntesis . 41 (2): 117–154. doi :10.1007/bf00869568. JSTOR  20115446. S2CID  46956605.
13. Ayer, AJ (1979). Percepción e identidad: ensayos presentados a AJ Ayer, con sus respuestas . Ithica, NY: Cornell University Press. pág. 324.
14. Collins 2018, pág. 32.
15. Collins 2018, pág. 35.
16. Williamson, Timothy (1992). "Conocimiento inexacto". Mind . 101 (402): 218–242. doi :10.1093/mind/101.402.217. JSTOR  2254332.
17. Williamson, Timothy (1992). "Vaguedad e ignorancia". Actas suplementarias de la Sociedad aristotélica . 66 . Sociedad aristotélica : 145–162. doi :10.1093/aristoteliansupp/66.1.145. JSTOR  4106976.
18. Williamson, Timothy (1994). Vaguedad . Londres: Routledge .
19. Sorensen, Roy (1988). Puntos ciegos . Clarendon Press . ISBN 9780198249818.
20. Fine, Kit (abril-mayo de 1975). "Vaguedad, verdad y lógica" (PDF) . Synthese . 30 (3/4): 265–300. doi :10.1007/BF00485047. JSTOR  20115033. S2CID  17544558. Archivado desde el original (PDF) el 8 de junio de 2015.
21. van Fraassen, Bas C. (1966). "Términos singulares, lagunas entre valores de verdad y lógica libre" (PDF) . Revista de filosofía . 63 (17): 481–495. doi :10.2307/2024549. JSTOR  2024549.
22. Kamp, Hans (1975). Keenan, E. (ed.). Dos teorías sobre los adjetivos . Cambridge University Press. págs. 123–155.
23. Dummett, Michael (1975). "La paradoja de Wang" (PDF) . Synthese . 30 (3/4): 301–324. doi :10.1007/BF00485048. JSTOR  20115034. S2CID  46956702. Archivado desde el original (PDF) el 22 de abril de 2016.
24. "Valores de verdad". The Stanford Encyclopedia of Philosophy . Laboratorio de investigación en metafísica, Universidad de Stanford . 2018.
25. Zadeh, LA (junio de 1965). "Conjuntos difusos". Información y control . 8 (3). San Diego: 338–353. doi : 10.1016/S0019-9958(65)90241-X . ISSN  0019-9958. Zbl  0139.24606. Wikidata  Q25938993.
26. Goguen, JA (1969). "La lógica de conceptos inexactos". Síntesis . 19 (3–4): 325–378. doi :10.1007/BF00485654. JSTOR  20114646. S2CID  46965639.
27. Raffman, Diana (2014). Palabras rebeldes: un estudio del lenguaje vago. OUP. pp. 136ff. doi :10.1093/acprof:oso/9780199915101.001.0001. ISBN 9780199915101.
28. Raffman, D. (2005). "Cómo entender el contextualismo sobre la vaguedad: respuesta a Stanley". Análisis . 65 (287): 244–248. doi :10.1111/j.1467-8284.2005.00558.x. JSTOR  3329033.
29. Collins 2018, pág. 33.
30. Robert Duncan Luce (abril de 1956). "Semiórdenes y una teoría de la discriminación de utilidad" (PDF) . Econometrica . 24 (2): 178–191. doi :10.2307/1905751. JSTOR  1905751.Aquí: p.179
31. Wallace E. Armstrong (marzo de 1948). "Incertidumbre y función de utilidad". Economic Journal . 58 (229): 1–10. doi :10.2307/2226342. JSTOR  2226342.
32. Peter C. Fishburn (mayo de 1970). "Indiferencia individual intransitiva y mayorías transitivas". Econometrica . 38 (3): 482–489. doi :10.2307/1909554. JSTOR  1909554.
33. Alan D. Miller; Shiran Rachmilevitch (febrero de 2014). Teorema de Arrow sin transitividad (PDF) (Documento de trabajo). Universidad de Haifa . pág. 11.
34. La forma comparativa se encontró en todas las publicaciones económicas investigadas hasta ahora. ^{[31] [32] [33]} Aparentemente está implícita en el objeto de las investigaciones en la teoría de la utilidad.
35. Wallace E. Armstrong (septiembre de 1939). "La determinación de la función de utilidad". Economic Journal . 49 (195): 453–467. doi :10.2307/2224802. JSTOR  2224802.
36. Según Armstrong (1948), la indiferencia se consideraba transitiva en la teoría de la preferencia , ^{[31] : 2} esta última fue cuestionada en 1939 por esta misma razón, ^{[35] : 463} y sucedida por la teoría de la utilidad.
37. Sen, Amartya (1969). "Cuasi-transitividad, elección racional y decisiones colectivas". The Review of Economic Studies . 36 (3): 381–393. doi :10.2307/2296434. JSTOR  2296434. Zbl  0181.47302.

Bibliografía

• Barnes, J. (1982). "Medicina, experiencia y lógica". En Barnes, J.; Brunschwig, J.; Burnyeat, MF; Schofield, M. (eds.). Ciencia y especulación . Cambridge: Cambridge University Press .
• Black, Max (1970). Márgenes de precisión . Ithaca, Nueva York: Cornell University Press. ISBN 978-0-8014-0602-7.
• Burns, Linda Claire (1991). Vaguedad: una investigación sobre los lenguajes naturales y la paradoja de Sorites . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-0-7923-1489-9.
• Burnyeat, Myles (1982). "15. Dioses y montones". En Schofield, M.; Nussbaum, MC (eds.). Lenguaje y logos . Cambridge: Cambridge University Press . págs. 315–.
• Collins, Rory (2018). "Sobre los límites de la vaguedad y la vaguedad de los límites" (PDF) . Vassar College Journal of Philosophy . 5 : 30–44 . Consultado el 21 de junio de 2018 .
• Dzhafarov, Ehtibar N.; Dzhafarov, Damir D. (2013). "La paradoja de Sorites: un enfoque conductual" (PDF) . En Rudolph, Lee (ed.). Matemáticas cualitativas para las ciencias sociales: modelos matemáticos para la investigación sobre dinámicas culturales . págs. 105–136. doi :10.4324/9780203100806. ISBN 9780415444828.
• Gerla (2001). Lógica difusa: herramientas matemáticas para el razonamiento aproximado . Dordrecht, Países Bajos: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-0-7923-6941-7.
• Ludwig, Kirk; Ray, Greg (2002). "La vaguedad y la paradoja de Sorites". Philosophical Perspectives . 16 : 419–461. JSTOR  3840922.
• Nouwen, Rick; Rooij, Robert van; Sauerland, Uli; Schmitz, Hans-Christian (2009). Taller Internacional sobre Vaguedad en la Comunicación (ViC; realizado en el marco de ESSLLI) . LNAI. vol. 6517. Saltador. ISBN 978-3-642-18445-1.
• Oms, Sergi; Zardini, Elia, eds. (2019). La paradoja de Sorites . Cambridge University Press.
• Sainsbury, RM (2009). Paradojas (3.ª ed.). Cambridge University Press.; Sección 3

Enlaces externos

• Zalta, Edward N. (ed.). "La paradoja de Sorites". Enciclopedia de filosofía de Stanford .por Dominic Hyde.
• Sandra LaFave: Conceptos abiertos y cerrados y la falacia del continuo