Operado

Generalización de las propiedades de asociatividad

En matemáticas , un operado es una estructura que consta de operaciones abstractas , cada una de las cuales tiene un número finito fijo de entradas (argumentos) y una salida, así como una especificación de cómo componer estas operaciones. Dado un operado , se define un álgebra sobre como un conjunto junto con operaciones concretas sobre este conjunto que se comportan exactamente como las operaciones abstractas de . Por ejemplo, hay un operado de Lie tal que las álgebras sobre son precisamente las álgebras de Lie ; en cierto sentido, codifica de manera abstracta las operaciones que son comunes a todas las álgebras de Lie. Un operado es a sus álgebras como un grupo es a sus representaciones de grupo . ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Historia

Los operados tienen su origen en la topología algebraica ; fueron introducidos para caracterizar espacios de bucles iterados por J. Michael Boardman y Rainer M. Vogt en 1968 ^{[1] [2]} y por J. Peter May en 1972. ^[3]

Martin Markl, Steve Shnider y Jim Stasheff escriben en su libro sobre óperas: ^[4]

"El nombre operad y la definición formal aparecen por primera vez a principios de los años 1970 en "La geometría de los espacios de bucles iterados" de J. Peter May, pero un año o más antes, Boardman y Vogt describieron el mismo concepto bajo el nombre de categorías de operadores en forma estándar , inspirados por los PROP y PACT de Adams y Mac Lane. De hecho, hay una gran cantidad de prehistoria. Weibel [Wei] señala que el concepto surgió por primera vez hace un siglo en "Un tratado sobre álgebra universal" de AN Whitehead , publicado en 1898."

La palabra "operad" fue creada por May como una combinación de "operaciones" y " mónada " (y también porque su madre era cantante de ópera). ^[5]

El interés en las operadas se renovó considerablemente a principios de los años 90 cuando, basándose en las primeras ideas de Maxim Kontsevich , Victor Ginzburg y Mikhail Kapranov descubrieron que algunos fenómenos de dualidad en la teoría de la homotopía racional podían explicarse utilizando la dualidad de operadas de Koszul. ^{[6] [7]} Desde entonces, las operadas han encontrado muchas aplicaciones, como en la cuantificación de deformación de las variedades de Poisson , la conjetura de Deligne , ^[8] o la homología de grafos en el trabajo de Maxim Kontsevich y Thomas Willwacher .

Intuición

Supongamos que es un conjunto y para ello definimos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle P(n):=\{f:X^{n}\to X\}}$,

el conjunto de todas las funciones del producto cartesiano de copias de a . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Podemos componer estas funciones: dado , , la función ${\displaystyle f\in P(n)}$ ${\displaystyle f_{1}\in P(k_{1}),\ldots ,f_{n}\in P(k_{n})}$

${\displaystyle f\circ (f_{1},\ldots ,f_{n})\in P(k_{1}+\cdots +k_{n})}$

se define de la siguiente manera: dados argumentos de , los dividimos en bloques, el primero con argumentos, el segundo con argumentos, etc., y luego aplicamos al primer bloque, al segundo bloque, etc. Luego aplicamos a la lista de valores obtenidos de de tal manera. ${\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

También podemos permutar argumentos, es decir, tenemos una acción correcta del grupo simétrico en , definida por ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle P(n)}$

${\displaystyle (f*s)(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{s^{-1}(1)},\ldots ,x_{s^{-1}(n)})}$

para , y . ${\displaystyle f\in P(n)}$ ${\displaystyle s\in S_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$

La definición de una operación simétrica que se da a continuación captura las propiedades esenciales de estas dos operaciones y . ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle *}$

Definición

Operad no simétrico

Un operado no simétrico (a veces llamado operado sin permutaciones , o un operado no simétrico ${\displaystyle \Sigma }$ o simple ) consta de lo siguiente:

• una secuencia de conjuntos, cuyos elementos se denominan operaciones -arias , ${\displaystyle (P(n))_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n}$
• un elemento llamado identidad , ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle P(1)}$
• Para todos los números enteros positivos , una función de composición ${\displaystyle n}$ ${\textstyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\circ :P(n)\times P(k_{1})\times \cdots \times P(k_{n})&\to P(k_{1}+\cdots +k_{n})\\(\theta ,\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})&\mapsto \theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}),\end{aligned}}}$

satisfaciendo los siguientes axiomas de coherencia:

• identidad : ${\displaystyle \theta \circ (1,\ldots ,1)=\theta =1\circ \theta }$
• asociatividad :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta \circ {\Big (}\theta _{1}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,k_{1}}),\ldots ,\theta _{n}\circ (\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}}){\Big )}\\={}&{\Big (}\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}){\Big )}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,k_{1}},\ldots ,\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}})\end{aligned}}}$

Operada simétrica

Un operado simétrico (a menudo llamado simplemente operado ) es un operado no simétrico como el anterior, junto con una acción correcta del grupo simétrico en para , denotado por y que satisface ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle *}$

• equivariancia : dada una permutación , ${\displaystyle t\in S_{n}}$

${\displaystyle (\theta *t)\circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})=(\theta \circ (\theta _{t(1)},\ldots ,\theta _{t(n)}))*t'}$

(donde en el lado derecho se refiere al elemento de que actúa sobre el conjunto dividiéndolo en bloques, el primero de tamaño , el segundo de tamaño , hasta el bloque n de tamaño , y luego permuta estos bloques por , manteniendo intacto cada bloque) ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle S_{k_{1}+\dots +k_{n}}}$ ${\displaystyle \{1,2,\dots ,k_{1}+\dots +k_{n}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

y dadas permutaciones , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s_{i}\in S_{k_{i}}}$

${\displaystyle \theta \circ (\theta _{1}*s_{1},\ldots ,\theta _{n}*s_{n})=(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))*(s_{1},\ldots ,s_{n})}$

(donde denota el elemento de que permuta el primero de estos bloques por , el segundo por , etc., y mantiene intacto su orden general). ${\displaystyle (s_{1},\ldots ,s_{n})}$ ${\displaystyle S_{k_{1}+\dots +k_{n}}}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$

Las acciones de permutación en esta definición son vitales para la mayoría de las aplicaciones, incluida la aplicación original a los espacios de bucle.

Morfismos

Un morfismo de operadas consiste en una secuencia ${\displaystyle f:P\to Q}$

${\displaystyle (f_{n}:P(n)\to Q(n))_{n\in \mathbb {N} }}$

eso:

• conserva la identidad: ${\displaystyle f(1)=1}$
• conserva la composición: para cada operación n -aria y operaciones , ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{n}}$

${\displaystyle f(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))=f(\theta )\circ (f(\theta _{1}),\ldots ,f(\theta _{n}))}$

• conserva las acciones de permutación: . ${\displaystyle f(x*s)=f(x)*s}$

Por lo tanto, las operandos forman una categoría denotada por . ${\displaystyle {\mathsf {Oper}}}$

En otras categorias

Hasta ahora, los operados sólo se han considerado en la categoría de conjuntos. De manera más general, es posible definir operados en cualquier categoría monoidal simétrica C . En ese caso, cada uno es un objeto de C , la composición es un morfismo en C (donde denota el producto tensorial de la categoría monoidal) y las acciones de los elementos del grupo simétrico están dadas por isomorfismos en C . ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle P(n)\otimes P(k_{1})\otimes \cdots \otimes P(k_{n})\to P(k_{1}+\cdots +k_{n})}$ ${\displaystyle \otimes }$

Un ejemplo común es la categoría de espacios topológicos y aplicaciones continuas, con el producto monoidal dado por el producto cartesiano . En este caso, un operado topológico está dado por una secuencia de espacios (en lugar de conjuntos) . Se supone entonces que las aplicaciones de estructura del operado (la composición y las acciones de los grupos simétricos) son continuas. El resultado se denomina operado topológico . De manera similar, en la definición de un morfismo de operados, sería necesario suponer que las aplicaciones involucradas son continuas. ${\displaystyle \{P(n)\}_{n\geq 0}}$

Otras configuraciones comunes para definir operandos incluyen, por ejemplo, módulos sobre un anillo conmutativo , complejos de cadena , grupoides (o incluso la propia categoría de categorías), coalgebras , etc.

Definición de algebrista

Dado un anillo conmutativo R consideramos la categoría de módulos sobre R . Un operado sobre R puede definirse como un objeto monoide en la categoría monoidal de endofunctores en (es una mónada ) que satisface alguna condición de finitud. ^{[nota 1]} ${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$ ${\displaystyle (T,\gamma ,\eta )}$ ${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$

Por ejemplo, un objeto monoide en la categoría de "endofunctores polinomiales" en es un operado. ^[8] De manera similar, un operado simétrico se puede definir como un objeto monoide en la categoría de -objetos , donde significa un grupo simétrico. ^[9] Un objeto monoide en la categoría de especies combinatorias es un operado en conjuntos finitos. ${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$

En ocasiones, se piensa que un operado en el sentido anterior es un anillo generalizado . Por ejemplo, Nikolai Durov define sus anillos generalizados como objetos monoides en la categoría monoidal de endofunctores en ese conmuta con colimites filtrados. ^[10] Esta es una generalización de un anillo , ya que cada anillo ordinario R define una mónada que envía un conjunto X al conjunto subyacente del módulo R libre generado por X. ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle \Sigma _{R}:{\textbf {Set}}\to {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle R^{(X)}}$

Entendiendo los axiomas

Axioma de asociatividad

"Asociatividad" significa que la composición de operaciones es asociativa (la función es asociativa), análoga al axioma de la teoría de categorías que dice que ; no significa que las operaciones en sí mismas sean asociativas como operaciones. Compárese con la operación asociativa, a continuación. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$

La asociatividad en la teoría de operaciones significa que se pueden escribir expresiones que involucran operaciones sin ambigüedad a partir de las composiciones omitidas, así como la asociatividad para operaciones permite escribir productos sin ambigüedad a partir de los paréntesis omitidos.

Por ejemplo, si es una operación binaria, que se escribe como o . Por lo tanto, puede ser asociativa o no. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta (a,b)}$ ${\displaystyle (ab)}$ ${\displaystyle \theta }$

Entonces, lo que se escribe comúnmente se escribe de manera inequívoca en forma operística como . Esto envía a (aplicar en los dos primeros y la identidad en el tercero), y luego el de la izquierda "multiplica" por . Esto es más claro cuando se representa como un árbol: ${\displaystyle ((ab)c)}$ ${\displaystyle \theta \circ (\theta ,1)}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle (ab,c)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle c}$

lo que produce una operación 3-aria:

Sin embargo, la expresión es a priori ambigua: podría significar , si las composiciones internas se realizan primero, o podría significar , si las composiciones externas se realizan primero (las operaciones se leen de derecha a izquierda). Escribiendo , esto es versus . Es decir, al árbol le faltan "paréntesis verticales": ${\displaystyle (((ab)c)d)}$ ${\displaystyle \theta \circ ((\theta ,1)\circ ((\theta ,1),1))}$ ${\displaystyle (\theta \circ (\theta ,1))\circ ((\theta ,1),1)}$ ${\displaystyle x=\theta ,y=(\theta ,1),z=((\theta ,1),1)}$ ${\displaystyle x\circ (y\circ z)}$ ${\displaystyle (x\circ y)\circ z}$

Si se componen primero las dos filas superiores de operaciones (se coloca un paréntesis hacia arriba en la línea; se realiza primero la composición interna), se obtienen los siguientes resultados: ${\displaystyle (ab)c\ \ d}$

que luego se evalúa sin ambigüedades para dar como resultado una operación 4-aria. Como expresión anotada:

${\displaystyle \theta _{(ab)c\cdot d}\circ ((\theta _{ab\cdot c},1_{d})\circ ((\theta _{a\cdot b},1_{c}),1_{d}))}$

Si se componen primero las dos filas inferiores de operaciones (se coloca un paréntesis hacia abajo en la línea; se realiza primero la composición exterior), se obtienen los siguientes resultados: ${\displaystyle ab\quad c\ \ d}$

que luego se evalúa inequívocamente para producir una operación 4-aria:

El axioma operado de asociatividad es que estos producen el mismo resultado y, por lo tanto, la expresión es inequívoca. ${\displaystyle (((ab)c)d)}$

Axioma de identidad

El axioma de identidad (para una operación binaria) se puede visualizar en un árbol como:

es decir que las tres operaciones obtenidas son iguales: no hay diferencia entre la precomposición o la postcomposición con la identidad. En cuanto a las categorías, es un corolario del axioma de identidad. ${\displaystyle 1\circ 1=1}$

Ejemplos

Endomorfismo operado en conjuntos y álgebras operadas

Los operados más básicos son los que se dan en la sección sobre "Intuición", más arriba. Para cualquier conjunto , obtenemos el endomorfismo operado que consiste en todas las funciones . Estos operados son importantes porque sirven para definir álgebras operadas . Si es un operado, un álgebra operada sobre está dada por un conjunto y un morfismo operado . Intuitivamente, tal morfismo convierte cada operación "abstracta" de en una operación -aria "concreta" sobre el conjunto . Un álgebra operada sobre consiste entonces en un conjunto junto con operaciones concretas sobre que siguen las reglas especificadas de manera abstracta por el operado . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{X}}$ ${\displaystyle X^{n}\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {End}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Endomorfismo operado en espacios vectoriales y álgebras operadas

Si k es un cuerpo , podemos considerar la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre k ; esto se convierte en una categoría monoidal utilizando el producto tensorial ordinario sobre k. Podemos entonces definir operados de endomorfismo en esta categoría, de la siguiente manera. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita El operado de endomorfismo de V consiste en ^[11] ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}=\{{\mathcal {End}}_{V}(n)\}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(n)}$= el espacio de mapas lineales , ${\displaystyle V^{\otimes n}\to V}$
2. (composición) dado , , ..., , su composición está dada por el mapa , ${\displaystyle f\in {\mathcal {End}}_{V}(n)}$ ${\displaystyle g_{1}\in {\mathcal {End}}_{V}(k_{1})}$ ${\displaystyle g_{n}\in {\mathcal {End}}_{V}(k_{n})}$ ${\displaystyle V^{\otimes k_{1}}\otimes \cdots \otimes V^{\otimes k_{n}}\ {\overset {g_{1}\otimes \cdots \otimes g_{n}}{\longrightarrow }}\ V^{\otimes n}\ {\overset {f}{\to }}\ V}$
3. (identidad) El elemento identidad en es el mapa identidad , ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(1)}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$
4. (acción de grupo simétrico) opera permutando los componentes de los tensores en . ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(n)}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$

Si es un operado, un álgebra de operados k -lineal sobre está dada por un espacio vectorial de dimensión finita V sobre k y un morfismo de operados ; esto equivale a especificar operaciones multilineales concretas sobre V que se comportan como las operaciones de . (Observe la analogía entre operados&álgebras de operados y anillos&módulos: un módulo sobre un anillo R está dado por un grupo abeliano M junto con un homomorfismo de anillo .) ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {End}}_{V}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M)}$

Dependiendo de las aplicaciones, son posibles variaciones de lo anterior: por ejemplo, en topología algebraica, en lugar de espacios vectoriales y productos tensoriales entre ellos, se utilizan espacios topológicos (razonables) y productos cartesianos entre ellos.

Operads de "pequeño algo"

Composición operística en la pequeña operad de 2 discos, explicada en el texto.

La operación de 2 discos pequeños es una operación topológica que consiste en listas ordenadas de n discos disjuntos dentro del disco unidad de centrado en el origen. El grupo simétrico actúa sobre dichas configuraciones permutando la lista de discos pequeños. La composición operádica para discos pequeños se ilustra en la figura adjunta a la derecha, donde un elemento se compone con un elemento para obtener el elemento obtenido al encoger la configuración de e insertarlo en el i- ésimo disco de , para . ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \theta \in P(3)}$ ${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})\in P(2)\times P(3)\times P(4)}$ ${\displaystyle \theta \circ (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})\in P(9)}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle i=1,2,3}$

De manera análoga, se pueden definir los pequeños n-discos operados considerando configuraciones de n -bolas disjuntas dentro de la bola unitaria de . ^[12] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Originalmente, el operad de pequeños n-cubos o el operad de pequeños intervalos (inicialmente llamados PROP de pequeños n -cubos ) fue definido por Michael Boardman y Rainer Vogt de una manera similar, en términos de configuraciones de hipercubos n -dimensionales alineados con ejes disjuntos ( intervalos n-dimensionales ) dentro del hipercubo unidad . ^{[13] Más tarde, May [14]} lo generalizó a los operad de pequeños cuerpos convexos , y los "pequeños discos" son un caso de "folclore" derivado de los "pequeños cuerpos convexos". ^[15]

Árboles enraizados

En teoría de grafos, los árboles con raíz forman un operado natural. Aquí, es el conjunto de todos los árboles con raíz con n hojas, donde las hojas están numeradas de 1 a n. El grupo opera sobre este conjunto permutando las etiquetas de las hojas. La composición operádica se da reemplazando la i -ésima hoja de por la raíz del i -ésimo árbol , para , uniendo así los n árboles a y formando un árbol más grande, cuya raíz se toma como la misma que la raíz de y cuyas hojas están numeradas en orden. ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle T\circ (S_{1},\ldots ,S_{n})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Operad de queso suizo

La ópera del queso suizo .

La operada de queso suizo es una operada topológica de dos colores definida en términos de configuraciones de discos n -dimensionales disjuntos dentro de un semidisco unitario n y semidiscos n -dimensionales, centrados en la base del semidisco unitario y ubicados dentro de él. La composición operádica proviene de pegar configuraciones de discos "pequeños" dentro del disco unitario en los discos "pequeños" en otro semidisco unitario y configuraciones de discos y semidiscos "pequeños" dentro del semidisco unitario en el otro semidisco unitario.

La operación del queso suizo fue definida por Alexander A. Voronov . ^[16] Fue utilizada por Maxim Kontsevich para formular una versión del queso suizo de la conjetura de Deligne sobre la cohomología de Hochschild. ^[17] La ​​conjetura de Kontsevich fue demostrada en parte por Po Hu, Igor Kriz y Alexander A. Voronov ^[18] y luego en su totalidad por Justin Thomas. ^[19]

Operativa asociativa

Otra clase de ejemplos de operadas son aquellas que capturan las estructuras de las estructuras algebraicas, como las álgebras asociativas, las álgebras conmutativas y las álgebras de Lie. Cada una de ellas puede presentarse como una operada presentada finitamente, en cada una de estas tres generadas por operaciones binarias.

Por ejemplo, la operación asociativa es una operación simétrica generada por una operación binaria , sujeta únicamente a la condición de que ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi \circ (\psi ,1)=\psi \circ (1,\psi ).}$

Esta condición corresponde a la asociatividad de la operación binaria ; escrita en forma multiplicativa, la condición anterior es . Esta asociatividad de la operación no debe confundirse con la asociatividad de la composición que se cumple en cualquier operación; véase el axioma de asociatividad, más arriba. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (a,b)}$ ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$

En la operación asociativa, cada una de ellas está dada por el grupo simétrico , sobre el que actúa por multiplicación derecha. La operación compuesta permuta sus entradas en bloques según , y dentro de los bloques según el . ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \sigma \circ (\tau _{1},\dots ,\tau _{n})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau _{i}}$

Las álgebras sobre el operado asociativo son precisamente los semigrupos : conjuntos unidos por una única operación asociativa binaria. Las álgebras k -lineales sobre el operado asociativo son precisamente las k- álgebras asociativas .

Operada simétrica terminal

El operado simétrico terminal es el operado que tiene una única operación n -aria para cada n , y cada una de ellas actúa de manera trivial. Las álgebras sobre este operado son los semigrupos conmutativos; las álgebras k -lineales son las k -álgebras asociativas conmutativas. ${\displaystyle S_{n}}$

Operads de los grupos de trenzas

De manera similar, existe un no operado para el cual cada uno está dado por el grupo trenzado de Artin . Además, este no operado tiene la estructura de un operado trenzado, lo que generaliza la noción de operado de grupos simétricos a grupos trenzados. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Álgebra lineal

En álgebra lineal , los espacios vectoriales reales pueden considerarse como álgebras sobre el operando de todas las combinaciones lineales ^{[ cita requerida ]} . Este operando se define por for , con la acción obvia de permutar componentes, y la composición dada por la concatenación de los vectores , donde . El vector , por ejemplo, representa la operación de formar una combinación lineal con coeficientes 2,3,-5,0,... ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }(n)=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\circ ({\vec {y_{1}}},\ldots ,{\vec {y_{n}}})}$ ${\displaystyle x^{(1)}{\vec {y_{1}}},\ldots ,x^{(n)}{\vec {y_{n}}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}=(x^{(1)},\ldots ,x^{(n)})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}=(2,3,-5,0,\dots )}$

Este punto de vista formaliza la noción de que las combinaciones lineales son el tipo más general de operación en un espacio vectorial; decir que un espacio vectorial es un álgebra sobre el operado de combinaciones lineales es precisamente afirmar que todas las operaciones algebraicas posibles en un espacio vectorial son combinaciones lineales. Las operaciones básicas de adición vectorial y multiplicación escalar son un conjunto generador para el operado de todas las combinaciones lineales, mientras que el operado de combinaciones lineales codifica canónicamente todas las operaciones posibles en un espacio vectorial.

De manera similar, las combinaciones afines , las combinaciones cónicas y las combinaciones convexas pueden considerarse correspondientes a las suboperadas donde los términos del vector suman 1, los términos son todos no negativos, o ambas cosas, respectivamente. Gráficamente, estos son el hiperplano afín infinito, el hiperoctante infinito y el símplex infinito. Esto formaliza lo que se entiende por ser o el símplex estándar siendo espacios modelo, y observaciones tales como que cada politopo convexo acotado es la imagen de un símplex. Aquí las suboperadas corresponden a operaciones más restringidas y, por lo tanto, a teorías más generales. ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Operación de anillo conmutativo y operación de Lie

El operado de anillo conmutativo es un operado cuyas álgebras son los anillos conmutativos. Se define por , con la acción obvia de y la composición operádica dada por la sustitución de polinomios (con variables renumeradas) por variables. Se puede definir un operado similar cuyas álgebras sean las álgebras asociativas y conmutativas sobre algún cuerpo base fijo. El dual de Koszul de este operado es el operado de Lie (cuyas álgebras son las álgebras de Lie), y viceversa. ${\displaystyle P(n)=\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Operads libres

Las construcciones algebraicas típicas (por ejemplo, la construcción de álgebra libre) se pueden extender a los operados. Sea , la categoría cuyos objetos son conjuntos sobre los que actúa el grupo. Entonces hay un funtor olvidadizo , que simplemente olvida la composición operádica. Es posible construir un adjunto izquierdo a este funtor olvidadizo (esta es la definición habitual de funtor libre ). Dada una colección de operaciones E , es el operado libre sobre E . ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{S_{n}}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\mathsf {Oper}}\to \prod _{n\in \mathbb {N} }\mathbf {Set} ^{S_{n}}}$ ${\displaystyle \Gamma :\prod _{n\in \mathbb {N} }\mathbf {Set} ^{S_{n}}\to {\mathsf {Oper}}}$ ${\displaystyle \Gamma (E)}$

Al igual que un grupo o un anillo, la construcción libre permite expresar un operado en términos de generadores y relaciones. Por representación libre de un operado , nos referimos a escribir como cociente de un operado libre donde E describe los generadores de y el núcleo del epimorfismo describe las relaciones. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Gamma (E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {O}}}$

Una operación (simétrica) se denomina cuadrática si tiene una presentación libre tal que es el generador y la relación está contenida en . ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{{\mathcal {O}}(n)\}}$ ${\displaystyle E={\mathcal {O}}(2)}$ ${\displaystyle \Gamma (E)(3)}$

Clones

Los clones son el caso especial de los operados que también se cierran juntos bajo argumentos de identificación ("reutilizando" algunos datos). Los clones se pueden definir de manera equivalente como operados que también son un minion (o clonoide ).

Operadas en la teoría de la homotopía

En Stasheff (2004), Stasheff escribe:

Los operandos son particularmente importantes y útiles en categorías con una buena noción de "homotopía", donde juegan un papel clave en la organización de jerarquías de homotopías superiores.

Véase también

• PRO (teoría de categorías)
• Álgebra sobre una operación
• Operad de orden superior
• E∞-operada
• Pseudoálgebra
• Multicategoría

Notas

1. "finitud" se refiere al hecho de que solo se permite un número finito de entradas en la definición de un operado. Por ejemplo, la condición se cumple si se puede escribir

   ${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{n=1}^{\infty }T_{n}\otimes V^{\otimes n}}$,

   ${\displaystyle \gamma (V):T_{n}\otimes T_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes T_{i_{n}}\to T_{i_{1}+\dots +i_{n}}}$.

Citas

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2. Boardman, JM ; Vogt, RM (1973). Estructuras algebraicas invariantes de homotopía en espacios topológicos . Apuntes de clase en matemáticas. Vol. 347. doi :10.1007/bfb0068547. ISBN 978-3-540-06479-4. ISSN  0075-8434.
3. May, JP (1972). La geometría de los espacios de bucles iterados . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 271. CiteSeerX 10.1.1.146.3172 . doi :10.1007/bfb0067491. ISBN.  978-3-540-05904-2. ISSN  0075-8434.
4. "Operadas en álgebra, topología y física": Martin Markl, Steve Shnider, Jim Stasheff, Estudios matemáticos y monografías, volumen: 96; 2002
5. May, J. Peter . "Operads, Algebras, and Modules" (PDF) . math.uchicago.edu . p. 2 . Consultado el 28 de septiembre de 2018 .
6. Ginzburg, Victor ; Kapranov, Mikhail (1994). "Dualidad de Koszul para operadas". Duke Mathematical Journal . 76 (1): 203–272. doi :10.1215/S0012-7094-94-07608-4. ISSN  0012-7094. MR  1301191. S2CID  115166937. Zbl  0855.18006 – vía Project Euclid .
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8. Kontsevich, Maxim; Soibelman, Yan (26 de enero de 2000). "Deformaciones de álgebras sobre operadas y conjetura de Deligne". arXiv : math/0001151 .
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10. N. Durov, Nuevo enfoque de la geometría de Arakelov, Universidad de Bonn, tesis doctoral, 2007; arXiv:0704.2030.
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Referencias

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Enlaces externos

• operado en el laboratorio n
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html