En geometría , un octágono (del griego antiguo ὀκτάγωνον ( oktágōnon ) 'ocho ángulos') es un polígono de ocho lados o de 8 gónos.
Un octágono regular tiene el símbolo de Schläfli {8} [1] y también puede construirse como un cuadrado truncado cuasiregular , t{4}, que alterna dos tipos de aristas. Un octágono truncado, t{8} es un hexadecágono , {16}. Un análogo tridimensional del octágono puede ser el rombicuboctaedro con las caras triangulares como aristas reemplazadas, si se considera que el octágono es un cuadrado truncado.
La suma de todos los ángulos internos de cualquier octágono es 1080°. Como ocurre con todos los polígonos, los ángulos externos suman 360°.
Si los cuadrados se construyen todos internamente o todos externamente en los lados de un octágono, entonces los puntos medios de los segmentos que conectan los centros de cuadrados opuestos forman un cuadrilátero que es a la vez equidiagonal y ortodiagonal (es decir, cuyas diagonales son iguales en longitud y a la derecha). ángulos entre sí). [2] : Proposición 9
El octágono de punto medio de un octágono de referencia tiene sus ocho vértices en los puntos medios de los lados del octágono de referencia. Si los cuadrados se construyen todos internamente o todos externamente en los lados del octágono del punto medio, entonces los puntos medios de los segmentos que conectan los centros de los cuadrados opuestos forman los vértices de un cuadrado. [2] : Proposición 10
Un octágono regular es una figura cerrada con lados de la misma longitud y ángulos internos del mismo tamaño. Tiene ocho ejes de simetría reflectante y simetría rotacional de orden 8. Un octágono regular está representado por el símbolo de Schläfli {8}. El ángulo interno en cada vértice de un octágono regular es de 135 ° ( radianes ). El ángulo central mide 45° ( radianes).
El área de un octágono regular de longitud de lado a está dada por
En términos del circunradio R , el área es
En términos de la apotema r (ver también la figura inscrita ), el área es
Estos dos últimos coeficientes abarcan el valor de pi , el área del círculo unitario .
El área también se puede expresar como
donde S es el tramo del octágono, o la segunda diagonal más corta; y a es la longitud de uno de los lados o bases. Esto se prueba fácilmente si uno toma un octágono, dibuja un cuadrado alrededor del exterior (asegurándose de que cuatro de los ocho lados se superpongan con los cuatro lados del cuadrado) y luego toma los triángulos de las esquinas (estos son 45–45–90 triángulos ). y los coloca con ángulos rectos apuntando hacia adentro, formando un cuadrado. Los bordes de este cuadrado tienen cada uno la longitud de la base.
Dada la longitud de un lado a , el tramo S es
Entonces, el tramo es igual a la proporción de plata multiplicada por el lado, a.
El área entonces es como arriba:
Expresado en términos de luz, el área es
Otra fórmula simple para el área es
Más a menudo se conoce el tramo S y se debe determinar la longitud de los lados, a , como cuando se corta una pieza cuadrada de material en un octágono regular. De lo anterior,
Las dos longitudes de los extremos e en cada lado (las longitudes de los catetos de los triángulos (verde en la imagen) truncadas del cuadrado), además de ser, se pueden calcular como
El circunradio del octágono regular en términos de la longitud del lado a es [3]
y el inradio es
(es decir, la mitad de la proporción de plata multiplicada por el lado, a , o la mitad del lapso, S )
El inradio se puede calcular a partir del circunradio como
El octágono regular, en términos de la longitud del lado a , tiene tres tipos diferentes de diagonales :
La fórmula para cada uno de ellos se deriva de los principios básicos de la geometría. Aquí están las fórmulas para su longitud: [4]
Un octágono regular en una circunferencia determinada se puede construir de la siguiente manera:
Se puede construir un octágono regular usando una regla y un compás , como 8 = 2 3 , una potencia de dos :
El octágono regular se puede construir con barras de mecano . Se necesitan doce barras de tamaño 4, tres barras de tamaño 5 y dos barras de tamaño 6.
Cada lado de un octágono regular subtiende medio ángulo recto en el centro del círculo que conecta sus vértices. Por tanto, su área se puede calcular como la suma de ocho triángulos isósceles, lo que lleva al resultado:
para un octágono de lado a .
Las coordenadas de los vértices de un octágono regular con centro en el origen y longitud de lado 2 son:
Coxeter afirma que cada zonogon (un gon de 2 m cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m -1)/2 paralelogramos. [5] En particular, esto es cierto para los polígonos regulares con el mismo número de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el octágono regular , m = 4, y se puede dividir en 6 rombos, y se muestra un ejemplo a continuación. Esta descomposición se puede ver como 6 de 24 caras en un plano de proyección del polígono de Petrie del teseracto . La lista (secuencia A006245 en la OEIS ) define el número de soluciones como ocho, por las ocho orientaciones de ésta disección. Estos cuadrados y rombos se utilizan en los mosaicos de Ammann-Beenker .
Un octágono sesgado es un polígono sesgado con ocho vértices y aristas pero que no existe en el mismo plano. El interior de tal octágono generalmente no está definido. Un octágono en zig-zag sesgado tiene vértices que se alternan entre dos planos paralelos.
Un octágono sesgado regular es transitivo por vértices con longitudes de bordes iguales. En tres dimensiones es un octágono oblicuo en zig-zag y se puede ver en los vértices y aristas laterales de un antiprisma cuadrado con la misma simetría D 4d , [2 + ,8], orden 16.
El octágono sesgado regular es el polígono de Petrie para estos politopos regulares y uniformes de dimensiones superiores , que se muestran en estas proyecciones ortogonales sesgadas en los planos de Coxeter A 7 , B 4 y D 5 .
El octágono regular tiene simetría Dih 8 , orden 16. Hay tres subgrupos diédricos: Dih 4 , Dih 2 y Dih 1 , y cuatro subgrupos cíclicos : Z 8 , Z 4 , Z 2 y Z 1 , el último sin implicar simetría. .
En el octágono regular hay once simetrías distintas. John Conway etiqueta la simetría total como r16 . [6] Las simetrías diédricas se dividen dependiendo de si pasan por vértices ( d para diagonal) o aristas ( p para perpendiculares). Las simetrías cíclicas en la columna del medio están etiquetadas como g para sus órdenes de giro central. La simetría completa de la forma regular es r16 y ninguna simetría se denomina a1 .
Los octágonos de alta simetría más comunes son p8 , un octágono isogonal construido por cuatro espejos que pueden alternar bordes largos y cortos, y d8 , un octágono isotoxal construido con longitudes de bordes iguales, pero los vértices alternan dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del octágono regular.
Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Sólo el subgrupo g8 no tiene grados de libertad pero puede verse como bordes dirigidos .
La forma octogonal se utiliza como elemento de diseño en arquitectura. La Cúpula de la Roca tiene una característica planta octogonal. La Torre de los Vientos en Atenas es otro ejemplo de estructura octogonal. El plan octogonal también ha estado en la arquitectura de iglesias como la Catedral de San Jorge, Addis Abeba , la Basílica de San Vitale (en Rávena, Italia), el Castel del Monte (Apulia, Italia), el Baptisterio de Florencia , la Iglesia Zum Friedefürsten (Alemania) y una Número de iglesias octogonales en Noruega . El espacio central de la catedral de Aquisgrán , la Capilla Palatina carolingia , tiene una planta octogonal regular. Los usos de octágonos en las iglesias también incluyen elementos de diseño menores, como el ábside octogonal de la Catedral de Nidaros .
Arquitectos como John Andrews han utilizado diseños de plantas octogonales en edificios para separar funcionalmente las áreas de oficinas de los servicios del edificio, como en la sede de Intelsat en Washington o las oficinas de Callam en Canberra.
El octágono , como cuadrado truncado , es el primero de una secuencia de hipercubos truncados :
Como cuadrado expandido , también es el primero en una secuencia de hipercubos expandidos: