Enlace de pretzel

Enlace formado por un número finito de secciones retorcidas

El nudo pretzel (−2,3,7) tiene dos giros hacia la derecha en su primer enredo , tres giros hacia la izquierda en su segundo y siete giros hacia la izquierda en su tercero.

Sólo dos nudos son a la vez toro y pretzel ^[1]

En la teoría matemática de los nudos , un enlace de pretzel es un tipo especial de enlace . Consiste en un número finito de enredos hechos de dos hélices circulares entrelazadas . Los enredos están conectados cíclicamente, ^[2] y el primer componente del primer enredo está conectado al segundo componente del segundo enredo, el primer componente del segundo enredo está conectado al segundo componente del tercer enredo, y así sucesivamente. Finalmente, el primer componente del último enredo está conectado al segundo componente del primero. Un enlace de pretzel que también es un nudo (es decir, un enlace con un componente) es un nudo de pretzel .

Cada enredo se caracteriza por su número de giros: positivos si son en sentido contrario a las agujas del reloj o hacia la izquierda, negativos si son en el sentido de las agujas del reloj o hacia la derecha. En la proyección estándar del enlace de pretzel, hay cruces hacia la izquierda en el primer enredo, en el segundo y, en general, en el n . ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle p_{n}}$

Un enlace de pretzel también puede describirse como un enlace de Montesinos con enredos enteros.

Algunos resultados básicos

El enlace de pretzel es un nudo si ambos y todos los son impares o exactamente uno de los es par. ^[3] ${\displaystyle (p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

El enlace de pretzel se divide si al menos dos de ellos son cero ; pero lo inverso es falso. ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$ ${\displaystyle p_{i}}$

El enlace de pretzel es la imagen reflejada del enlace de pretzel. ${\displaystyle (-p_{1},-p_{2},\dots ,-p_{n})}$ ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$

El enlace pretzel es isotópico al enlace pretzel. Por lo tanto, también el enlace pretzel es isotópico al enlace pretzel. ^[3] ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$ ${\displaystyle (p_{2},\,p_{3},\dots ,\,p_{n},\,p_{1})}$ ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$ ${\displaystyle (p_{k},\,p_{k+1},\dots ,\,p_{n},\,p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{k-1})}$

El enlace pretzel es isotópico al enlace pretzel. Sin embargo, si se orientan los enlaces de manera canónica, estos dos enlaces tienen orientaciones opuestas. ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\,\dots ,\,p_{n})}$ ${\displaystyle (p_{n},\,p_{n-1},\dots ,\,p_{2},\,p_{1})}$

Algunos ejemplos

El nudo de pretzel (1, 1, 1) es el trébol (diestro) ; el nudo de pretzel (−1, −1, −1) es su imagen reflejada .

El nudo de pretzel (5, −1, −1) es el nudo de estibador  (6 ₁ ).

Si p , q , r son números enteros impares distintos mayores que 1, entonces el nudo pretzel ( p ,  q ,  r ) es un nudo no invertible .

El enlace de pretzel (2 p , 2 q , 2 r ) es un enlace formado por tres nudos unidos .

El nudo pretzel (−3, 0, −3) ( nudo cuadrado (matemáticas) ) es la suma conexa de dos nudos de trébol .

El enlace de pretzel (0,  q , 0) es la unión dividida de un nudo no enlazado y otro nudo.

Montesinos

Un enlace de Montesinos es un tipo especial de enlace que generaliza los enlaces de pretzel (un enlace de pretzel también se puede describir como un enlace de Montesinos con enredos enteros). Un enlace de Montesinos que también es un nudo (es decir, un enlace con un componente) es un nudo de Montesinos .

Un enlace de Montesinos está compuesto por varios enredos racionales . Una notación para un enlace de Montesinos es . ^[4] ${\displaystyle K(e;\alpha _{1}/\beta _{1},\alpha _{2}/\beta _{2},\ldots ,\alpha _{n}/\beta _{n})}$

En esta notación, y todos los y son números enteros. El vínculo de Montesinos dado por esta notación consiste en la suma de los enredos racionales dados por el entero y los enredos racionales ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \alpha _{1}/\beta _{1},\alpha _{2}/\beta _{2},\ldots ,\alpha _{n}/\beta _{n}}$

Estos nudos y enlaces reciben su nombre del topólogo español José María Montesinos Amilibia, quien los introdujo por primera vez en 1973. ^[5]

Utilidad

Los enlaces de pretzel (−2, 3, 2 n  + 1) son especialmente útiles en el estudio de variedades 3-variedades . Se han establecido muchos resultados sobre las variedades que resultan de la cirugía de Dehn en el nudo de pretzel (−2,3,7) en particular.

El volumen hiperbólico del complemento del enlace de pretzel (−2,3,8) es 4 veces la constante de Catalan , aproximadamente 3,66. Este complemento del enlace de pretzel es una de las dos variedades hiperbólicas de dos cúspides con el mínimo volumen posible, siendo la otra el complemento del enlace de Whitehead . ^[6]

Referencias

1. "10 124", The Knot Atlas . Consultado el 19 de noviembre de 2017.
2. Enlace de pretzel en Mathcurve
3. Kawauchi, Akio (1996). Un estudio de la teoría de nudos . Birkhäuser. ISBN  3-7643-5124-1
4. Zieschang, Heiner (1984), "Clasificación de los nudos de Montesinos", Topología (Leningrado, 1982) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1060, Berlín: Springer, págs. 378–389, doi :10.1007/BFb0099953, MR  0770257
5. Montesinos, José M. (1973), "Múltiples de Seifert que son recubrimientos cíclicos de dos láminas ramificados", Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana , 2, 18 : 1–32, MR  0341467
6. Agol, Ian (2010), "Las variedades hiperbólicas de 2 cúspides y 3 cúspides orientables de volumen mínimo", Actas de la American Mathematical Society , 138 (10): 3723–3732, arXiv : 0804.0043 , doi :10.1090/S0002-9939-10-10364-5, MR  2661571.

Lectura adicional

• Trotter, Hale F.: Existen nudos no invertibles , Topología , 2 (1963), 272–280.
• Burde, Gerhard; Zieschang, Heiner (2003). Nudos . De Gruyter estudia matemáticas. vol. 5 (2ª edición revisada y ampliada). Walter de Gruyter. ISBN 3110170051. ISSN  0179-0986. Zbl  1009.57003.