Enredo (matemáticas)

El nudo pretzel (−2,3,7) tiene dos giros hacia la derecha en su primer enredo , tres giros hacia la izquierda en su segundo y siete giros hacia la izquierda en su tercero.

En matemáticas , un enredo es generalmente uno de dos conceptos relacionados:

• En la definición de John Conway , un n -enredo es una incrustación adecuada de la unión disjunta de n arcos en una bola de 3 ; la incrustación debe enviar los puntos finales de los arcos a 2 n puntos marcados en el límite de la bola.
• En la teoría de enlaces , un enredo es una incrustación de n arcos y m círculos en – la diferencia con la definición anterior es que incluye círculos además de arcos, y divide el límite en dos partes (isomorfas), lo que es algebraicamente más conveniente – permite agregar enredos apilándolos, por ejemplo. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\times [0,1]}$

(Un uso bastante diferente de 'enredo' aparece en Graph minors X. Obstructions to tree-decomposition de N. Robertson y PD Seymour, Journal of Combinatorial Theory B 52 (1991) 153–190, quienes lo usaron para describir la separación en gráficos. Este uso se ha extendido a los matroides ).

El resto de este artículo analiza el sentido de los enredos de Conway; para el sentido de la teoría de los enlaces, véase ese artículo .

Dos n -enredos se consideran equivalentes si existe una isotopía ambiental de un enredo con respecto al otro que mantiene fijo el límite de la bola de 3. La teoría de enredos puede considerarse análoga a la teoría de nudos, excepto que, en lugar de bucles cerrados, se utilizan cuerdas cuyos extremos están clavados. Véase también teoría de trenzas .

Diagramas de enredos

Sin perder la generalidad, considere que los puntos marcados en el límite de 3 bolas se encuentran en un círculo máximo. La maraña se puede organizar para que esté en posición general con respecto a la proyección sobre el disco plano delimitado por el círculo máximo. La proyección nos da entonces un diagrama de maraña , donde tomamos nota de los cruces por encima y por debajo como en los diagramas de nudos .

Los enredos a menudo aparecen como diagramas de enredos en diagramas de nudos o de enlaces y pueden usarse como bloques de construcción para diagramas de enlaces , por ejemplo, enlaces de pretzel .

Enredos racionales y algebraicos

Algunas operaciones sobre enredos:

Izquierda: Un enredo a y su reflejo ⁻ a . Arriba a la derecha: Adición de enredos, denotada por a + b . Centro a la derecha: Producto de enredos, denotado por ab , equivalente a ⁻ a + b . Abajo a la derecha: Ramificación, denotada por a , b , equivalente a ⁻ a + ⁻ b

Un enredo racional es un 2-enredo que es homeomorfo al 2-enredo trivial por un mapa de pares que consiste en la bola 3 y dos arcos. Los cuatro puntos finales de los arcos en el círculo límite de un diagrama de enredo se denominan normalmente NE, NO, SO, SE, y los símbolos hacen referencia a las direcciones de la brújula.

Un diagrama de enredo arbitrario de un enredo racional puede parecer muy complicado, pero siempre hay un diagrama de una forma simple particular: comience con un diagrama de enredo que consta de dos arcos horizontales (verticales); agregue un "giro", es decir, un solo cruce intercambiando los puntos finales NE y SE (puntos finales SO y SE); continúe agregando más giros utilizando los puntos finales NE y SE o los puntos finales SO y SE. Se puede suponer que cada giro no cambia el diagrama dentro de un disco que contiene cruces creados previamente.

Podemos describir un diagrama de este tipo considerando los números dados por giros consecutivos alrededor del mismo conjunto de puntos finales, p. ej. (2, 1, -3) significa comenzar con dos arcos horizontales, luego 2 giros usando puntos finales NE/SE, luego 1 giro usando puntos finales SO/SE y luego 3 giros usando puntos finales NE/SE pero girando en la dirección opuesta a la anterior. La lista comienza con 0 si comienza con dos arcos verticales. El diagrama con dos arcos horizontales es entonces (0), pero asignamos (0, 0) al diagrama con arcos verticales. Se necesita una convención para describir un giro "positivo" o "negativo". A menudo, "maraña racional" se refiere a una lista de números que representan un diagrama simple como el descrito.

La fracción de un enredo racional se define entonces como el número dado por la fracción continua . La fracción dada por (0,0) se define como . Conway demostró que la fracción está bien definida y determina completamente el enredo racional hasta la equivalencia de enredos. ^[1] Una prueba accesible de este hecho se da en:. ^[2] Conway también definió una fracción de un enredo arbitrario utilizando el polinomio de Alexander . ${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dots )}$ ${\displaystyle [a_{n},a_{n-1},a_{n-2},\dots ]}$ ${\displaystyle \infty }$

Operaciones sobre enredos

Existe una "aritmética" de enredos con operaciones de adición, multiplicación y recíprocas. Un enredo algebraico se obtiene a partir de la adición y multiplicación de enredos racionales.

El cierre del numerador de un enredo racional se define como el vínculo que se obtiene uniendo los extremos "norte" y "sur". El cierre del denominador se define de manera similar agrupando los extremos "este" y "oeste". Los vínculos racionales se definen como tales cierres de enredos racionales.

Notación de Conway

Una de las motivaciones de Conway para estudiar los enredos fue proporcionar una notación para los nudos más sistemática que la enumeración tradicional que se encuentra en las tablas.

Aplicaciones

Se ha demostrado que los ovillos son útiles para estudiar la topología del ADN . La acción de una enzima determinada se puede analizar con la ayuda de la teoría de ovillos. ^[3]

Véase también

• Rompecabezas enredado

Referencias

1. Conway, JH (1970). "Una enumeración de nudos y enlaces, y algunas de sus propiedades algebraicas" (PDF) . En Leech, J. (ed.). Problemas computacionales en álgebra abstracta . Oxford, Inglaterra: Pergamon Press. págs. 329–358.
2. Kauffman, Louis H. ; Lambropoulou, Sofia (12 de enero de 2004). "Sobre la clasificación de enredos racionales". Avances en Matemáticas Aplicadas . 33 (2): 199–237. arXiv : math/0311499 . Bibcode :2003math.....11499K. doi :10.1016/j.aam.2003.06.002. S2CID  119143716.
3. Ernst, C.; Sumners, DW (noviembre de 1990). "Un cálculo para enredos racionales: aplicaciones a la recombinación del ADN". Actas matemáticas de la Sociedad filosófica de Cambridge . 108 (3): 489–515. Bibcode :1990MPCPS.108..489E. doi :10.1017/s0305004100069383. ISSN  0305-0041.

Lectura adicional

• Adams, CC (2004). The Knot Book: Una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos . Providence, RI: American Mathematical Society. pp. xiv+307. ISBN 0-8218-3678-1.

Enlaces externos

• MacKay, David . «Código metapost para dibujar enredos y otras imágenes». Inference Group . Consultado el 13 de abril de 2018 .
• Goldman, Jay R.; Kauffman, Louis H. (1997). "Rational Tangles" (PDF) . Avances en Matemáticas Aplicadas . 18 (3): 300–332. doi : 10.1006/aama.1996.0511 .