En matemáticas , especialmente en el área de topología conocida como teoría de nudos , un nudo invertible es un nudo que puede deformarse continuamente sobre sí mismo, pero con su orientación invertida. Un nudo no invertible es cualquier nudo que no tenga esta propiedad. La invertibilidad de un nudo es un invariante del nudo . Un enlace invertible es el enlace equivalente de un nudo invertible.
Sólo hay cinco tipos de simetría de nudos, indicados por quiralidad e invertibilidad: completamente quiral, reversible, positivamente anfiquiral no invertible, negativamente anfiquiral no invertible y completamente anfiquiral invertible. [1]
Desde hace mucho tiempo se sabe que la mayoría de los nudos simples, como el nudo de trébol y el nudo de ocho, son invertibles. En 1962, Ralph Fox conjeturó que algunos nudos no eran invertibles, pero no se demostró que existieran nudos no invertibles hasta que Hale Trotter descubrió una familia infinita de nudos de pretzel que no eran invertibles en 1963. [2] Ahora se sabe que casi todos los nudos son invertibles. [3]
Se sabe que todos los nudos con un número de cruces igual o inferior a 7 son invertibles. No se conoce ningún método general que pueda distinguir si un nudo determinado es invertible. [4] El problema se puede traducir a términos algebraicos, [5] pero, lamentablemente, no se conoce ningún algoritmo para resolver este problema algebraico.
Si un nudo es invertible y anfiquiral , es completamente anfiquiral. El nudo más simple con esta propiedad es el nudo en forma de ocho. Un nudo quiral que es invertible se clasifica como un nudo reversible. [6]
Una forma más abstracta de definir un nudo invertible es decir que existe un homeomorfismo que preserva la orientación de la 3-esfera y que lleva el nudo hacia sí mismo pero invierte la orientación a lo largo del nudo. Al imponer la condición más fuerte de que el homeomorfismo también sea una involución , es decir, que tenga un período 2 en el grupo de homeomorfismos de la 3-esfera, llegamos a la definición de un nudo fuertemente invertible . Todos los nudos con el túnel número uno, como el nudo de trébol y el nudo en forma de ocho , son fuertemente invertibles. [7]
El ejemplo más simple de un nudo no invertible es el nudo 8 17 (notación Alexander-Briggs) o .2.2 ( notación Conway ). El nudo pretzel 7, 5, 3 no es invertible, como lo son todos los nudos pretzel de la forma (2 p + 1), (2 q + 1), (2 r + 1), donde p , q y r son números enteros distintos, que es la familia infinita que Trotter demostró que no es invertible. [2]