En matemáticas , resolver una ecuación es hallar sus soluciones , que son los valores ( números , funciones , conjuntos , etc.) que cumplen la condición establecida por la ecuación , que consisten generalmente en dos expresiones relacionadas por un signo igual . Al buscar una solución, una o más variables se designan como incógnitas . Una solución es una asignación de valores a las variables desconocidas que hace que la igualdad en la ecuación sea verdadera. En otras palabras, una solución es un valor o una colección de valores (uno por cada incógnita) tales que, cuando se sustituyen por las incógnitas, la ecuación se convierte en una igualdad . A una solución de una ecuación a menudo se le llama raíz de la ecuación, en particular, pero no solo, para ecuaciones polinómicas . El conjunto de todas las soluciones de una ecuación es su conjunto solución .
Una ecuación se puede resolver numérica o simbólicamente. Resolver una ecuación numéricamente significa que solo se admiten números como soluciones. Resolver una ecuación simbólicamente significa que se pueden utilizar expresiones para representar las soluciones.
Por ejemplo, la ecuación x + y = 2 x – 1 se resuelve para la incógnita x mediante la expresión x = y + 1 , porque sustituir y + 1 por x en la ecuación da como resultado ( y + 1) + y = 2( y + 1) – 1 , una afirmación verdadera. También es posible tomar la variable y como la incógnita, y entonces la ecuación se resuelve mediante y = x – 1 . O x e y pueden tratarse como incógnitas, y entonces hay muchas soluciones para la ecuación; una solución simbólica es ( x , y ) = ( a + 1, a ) , donde la variable a puede tomar cualquier valor. La instanciación de una solución simbólica con números específicos da una solución numérica; por ejemplo, a = 0 da ( x , y ) = (1, 0) (es decir, x = 1, y = 0 ), y a = 1 da ( x , y ) = (2, 1) .
La distinción entre variables conocidas y variables desconocidas se hace generalmente en el enunciado del problema, mediante frases como "una ecuación en x e y ", o "resuelve para x e y ", que indican las incógnitas, aquí x e y . Sin embargo, es común reservar x , y , z , ... para denotar las incógnitas, y usar a , b , c , ... para denotar las variables conocidas, que a menudo se denominan parámetros . Este es típicamente el caso cuando se consideran ecuaciones polinómicas , como ecuaciones cuadráticas . Sin embargo, para algunos problemas, todas las variables pueden asumir cualquiera de los dos roles.
Dependiendo del contexto, la resolución de una ecuación puede consistir en encontrar cualquier solución (basta con encontrar una única solución), todas las soluciones o una solución que satisfaga otras propiedades, como la de pertenecer a un intervalo determinado . Cuando la tarea consiste en encontrar la solución que sea la mejor según algún criterio, se trata de un problema de optimización . La resolución de un problema de optimización no suele denominarse "resolución de ecuaciones", ya que, por lo general, los métodos de resolución parten de una solución concreta para encontrar una mejor solución y repiten el proceso hasta encontrar finalmente la mejor solución.
Una forma general de una ecuación es
donde f es una función , x 1 , ..., x n son las incógnitas y c es una constante. Sus soluciones son los elementos de la imagen inversa ( fibra ).
donde D es el dominio de la función f . El conjunto de soluciones puede ser el conjunto vacío (no hay soluciones), un singleton (hay exactamente una solución), finito o infinito (hay infinitas soluciones).
Por ejemplo, una ecuación como
con incógnitas x , y y z , se puede poner en la forma anterior restando 21 z de ambos lados de la ecuación, para obtener
En este caso particular no hay solo una solución, sino un conjunto infinito de soluciones, que se pueden escribir utilizando la notación del constructor de conjuntos como
Una solución particular es x = 0, y = 0, z = 0. Otras dos soluciones son x = 3, y = 6, z = 1 y x = 8, y = 9, z = 2. Existe un único plano en el espacio tridimensional que pasa por los tres puntos con estas coordenadas , y este plano es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas son soluciones de la ecuación.
El conjunto de soluciones de un conjunto dado de ecuaciones o inecuaciones es el conjunto de todas sus soluciones, siendo una solución una tupla de valores, uno para cada incógnita , que satisface todas las ecuaciones o inecuaciones. Si el conjunto de soluciones está vacío, entonces no hay valores de las incógnitas que satisfagan simultáneamente todas las ecuaciones y inecuaciones.
Para un ejemplo sencillo, considere la ecuación
Esta ecuación puede considerarse como una ecuación diofántica , es decir, una ecuación para la que solo se buscan soluciones enteras . En este caso, el conjunto solución es el conjunto vacío , ya que 2 no es el cuadrado de un entero. Sin embargo, si se buscan soluciones reales , hay dos soluciones, √ 2 y – √ 2 ; en otras palabras, el conjunto solución es { √ 2 , − √ 2 } .
Cuando una ecuación contiene varias incógnitas, y cuando se tienen varias ecuaciones con más incógnitas que ecuaciones, el conjunto de soluciones suele ser infinito. En este caso, no es posible enumerar las soluciones. Para representarlas, suele ser útil una parametrización , que consiste en expresar las soluciones en función de algunas de las incógnitas o variables auxiliares. Esto siempre es posible cuando todas las ecuaciones son lineales .
Naturalmente, estos conjuntos de soluciones infinitos pueden interpretarse como formas geométricas , como líneas , curvas (véase la imagen), planos y, de manera más general, variedades algebraicas . En particular, la geometría algebraica puede considerarse como el estudio de los conjuntos de soluciones de ecuaciones algebraicas .
Los métodos para resolver ecuaciones dependen generalmente del tipo de ecuación, tanto del tipo de expresiones que contiene como del tipo de valores que pueden asumir las incógnitas. La variedad de tipos de ecuaciones es grande, al igual que los métodos correspondientes. A continuación, solo se mencionan algunos tipos específicos.
En general, dada una clase de ecuaciones, puede que no exista ningún método sistemático conocido ( algoritmo ) que garantice su funcionamiento. Esto puede deberse a una falta de conocimientos matemáticos; algunos problemas solo se resolvieron después de siglos de esfuerzo. Pero esto también refleja que, en general, no puede existir tal método: se sabe que algunos problemas no se pueden resolver mediante un algoritmo, como el décimo problema de Hilbert , que se demostró que no se podía resolver en 1970.
Para varias clases de ecuaciones se han encontrado algoritmos para resolverlas, algunos de los cuales se han implementado e incorporado en sistemas de álgebra computacional , pero a menudo no requieren tecnología más sofisticada que lápiz y papel. En otros casos, se conocen métodos heurísticos que a menudo son exitosos pero que no garantizan que conduzcan al éxito.
Si el conjunto de soluciones de una ecuación está restringido a un conjunto finito (como es el caso de las ecuaciones en aritmética modular , por ejemplo), o puede limitarse a un número finito de posibilidades (como es el caso de algunas ecuaciones diofánticas ), el conjunto de soluciones se puede encontrar por fuerza bruta , es decir, probando cada uno de los valores posibles ( soluciones candidatas ). Sin embargo, puede darse el caso de que el número de posibilidades a considerar, aunque finito, sea tan grande que una búsqueda exhaustiva no sea prácticamente factible; esto es, de hecho, un requisito para los métodos de cifrado fuerte .
Como ocurre con todo tipo de resolución de problemas , el método de ensayo y error puede dar lugar a veces a una solución, en particular cuando la forma de la ecuación o su similitud con otra ecuación con una solución conocida pueden dar lugar a una "conjetura inspirada" sobre la solución. Si una conjetura, al probarse, no resulta ser una solución, la consideración de la forma en que falla puede dar lugar a una conjetura modificada.
Ecuaciones que involucran funciones racionales lineales o simples de una única incógnita de valor real, digamos x , como
se puede resolver utilizando los métodos del álgebra elemental .
Los sistemas más pequeños de ecuaciones lineales también se pueden resolver mediante métodos de álgebra elemental. Para resolver sistemas más grandes, se utilizan algoritmos basados en el álgebra lineal . Véase Eliminación gaussiana y solución numérica de sistemas lineales .
Las ecuaciones polinómicas de grado hasta cuatro pueden resolverse exactamente mediante métodos algebraicos, de los cuales la fórmula cuadrática es el ejemplo más simple. Las ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior requieren en general métodos numéricos (ver más abajo) o funciones especiales como Traer radicales , aunque algunos casos específicos pueden resolverse algebraicamente, por ejemplo
(utilizando el teorema de la raíz racional ), y
(utilizando la sustitución x = z 1 ⁄ 3 , que simplifica esto a una ecuación cuadrática en z ).
En las ecuaciones diofánticas, se requiere que las soluciones sean números enteros . En algunos casos, se puede utilizar un enfoque de fuerza bruta, como se mencionó anteriormente. En otros casos, en particular si la ecuación tiene una incógnita, es posible resolver la ecuación para incógnitas de valor racional (ver Teorema de la raíz racional ) y luego encontrar soluciones a la ecuación diofántica restringiendo el conjunto de soluciones a soluciones de valor entero. Por ejemplo, la ecuación polinómica
tiene como soluciones racionales x = − 1/2 y x = 3 , y por lo tanto, vista como una ecuación diofántica, tiene la única solución x = 3 .
En general, sin embargo, las ecuaciones diofánticas se encuentran entre las ecuaciones más difíciles de resolver.
En el caso simple de una función de una variable, digamos, h ( x ) , podemos resolver una ecuación de la forma h ( x ) = c para alguna constante c considerando lo que se conoce como la función inversa de h .
Dada una función h : A → B , la función inversa, denotada h −1 y definida como h −1 : B → A , es una función tal que
Ahora, si aplicamos la función inversa a ambos lados de h ( x ) = c , donde c es un valor constante en B , obtenemos
y hemos encontrado la solución de la ecuación. Sin embargo, dependiendo de la función, la inversa puede ser difícil de definir, o puede no ser una función en todo el conjunto B (sólo en algún subconjunto), y tener muchos valores en algún punto.
Si basta con una sola solución, en lugar del conjunto completo de soluciones, en realidad es suficiente con que solo se tenga en cuenta la identidad funcional.
se cumple. Por ejemplo, la proyección π 1 : R 2 → R definida por π 1 ( x , y ) = x no tiene post-inversa, pero tiene una pre-inversa π-1
1definido por π-1
1( x ) = ( x , 0) . De hecho, la ecuación π 1 ( x , y ) = c se resuelve mediante
Los ejemplos de funciones inversas incluyen la raíz n -ésima (inversa de x n ); el logaritmo (inversa de a x ); las funciones trigonométricas inversas ; y la función W de Lambert (inversa de xe x ).
Si la expresión del lado izquierdo de una ecuación P = 0 se puede factorizar como P = QR , el conjunto solución de la solución original consiste en la unión de los conjuntos solución de las dos ecuaciones Q = 0 y R = 0 . Por ejemplo, la ecuación
se puede reescribir, utilizando la identidad tan x cot x = 1 como
que se puede factorizar en
Las soluciones son entonces las soluciones de la ecuación tan x = 1 , y son por tanto el conjunto
En el caso de ecuaciones más complicadas en números reales o complejos , los métodos simples para resolver ecuaciones pueden fallar. A menudo, se pueden utilizar algoritmos de búsqueda de raíces, como el método de Newton-Raphson, para encontrar una solución numérica a una ecuación, que, para algunas aplicaciones, puede ser completamente suficiente para resolver algún problema. También existen métodos numéricos para sistemas de ecuaciones lineales .
Las ecuaciones que involucran matrices y vectores de números reales a menudo se pueden resolver utilizando métodos del álgebra lineal .
Existe una gran cantidad de métodos para resolver diversos tipos de ecuaciones diferenciales , tanto numéricamente como analíticamente . Una clase particular de problema que puede considerarse que pertenece a este grupo es la integración , y los métodos analíticos para resolver este tipo de problemas ahora se denominan integración simbólica . [ cita requerida ] Las soluciones de ecuaciones diferenciales pueden ser implícitas o explícitas . [1]
