Número de Milnor

Invariante que juega un papel en la geometría algebraica y la teoría de la singularidad.

En matemáticas, y particularmente en la teoría de la singularidad , el número de Milnor , llamado así en honor a John Milnor , es un invariante del germen de una función .

Si f es una función holomorfa compleja, entonces el número de Milnor de f , denotado μ ( f ), es un entero no negativo o es infinito . Puede considerarse tanto un invariante geométrico como un invariante algebraico . Por eso desempeña un papel importante en la geometría algebraica y la teoría de la singularidad .

Definición algebraica

Consideremos un germen de función compleja holomórfica

${\displaystyle f:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)\ }$

y denota por el anillo de todos los gérmenes de función . Cada nivel de una función es una hipersuperficie compleja en , por lo tanto se denomina singularidad de hipersuperficie . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$

Supongamos que es una singularidad aislada : en el caso de aplicaciones holomorfas se dice que una singularidad de hipersuperficie es singular en si su gradiente es cero en , y se dice que es un punto singular aislado si es el único punto singular en un entorno suficientemente pequeño de . En particular, la multiplicidad del gradiente ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \mu (f)=\dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {O}}_{n}/\nabla f}$

es finito por una aplicación del Nullstellensatz de Rückert . Este número es el número de Milnor de singularidad en . ${\displaystyle \mu (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$

Nótese que la multiplicidad del gradiente es finita si y sólo si el origen es un punto crítico aislado de f .

Interpretación geométrica

Milnor originalmente ^[1] introdujo en términos geométricos de la siguiente manera. Todas las fibras para valores cercanos a son variedades no singulares de dimensión real . Su intersección con un pequeño disco abierto centrado en es una variedad suave llamada fibra de Milnor. Hasta el difeomorfismo no depende de o si son lo suficientemente pequeños. También es difeomórfico a la fibra del mapa de fibración de Milnor . ${\displaystyle \mu (f)}$ ${\displaystyle f^{-1}(c)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2(n-1)}$ ${\displaystyle D_{\epsilon }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \epsilon }$

La fibra de Milnor es una variedad lisa de dimensión y tiene el mismo tipo de homotopía que un racimo de esferas . Es decir, su número de Betti medio es igual al número de Milnor y tiene homología de un punto en dimensión menor que . Por ejemplo, una curva plana compleja cerca de cada punto singular tiene su fibra de Milnor homotópica a una cuña de círculos (el número de Milnor es una propiedad local, por lo que puede tener diferentes valores en diferentes puntos singulares). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2(n-1)}$ ${\displaystyle \mu (f)}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle b_{n-1}(F)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \mu _{z_{0}}(f)}$

Por tanto se cumplen las siguientes igualdades:

Número de Milnor = número de esferas en la cuña = número de Betti medio de = grado del mapa en = multiplicidad del gradiente ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle z\to {\frac {{\nabla }f(z)}{\|{\nabla }f(z)\|}}}$ ${\displaystyle S_{\epsilon }}$ ${\displaystyle \nabla f}$

Otra forma de ver el número de Milnor es mediante la perturbación . Se dice que un punto es un punto singular degenerado, o que f tiene una singularidad degenerada, en si es un punto singular y la matriz hessiana de todas las derivadas parciales de segundo orden tiene determinante cero en : ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right)_{1\leq i\leq j\leq n}^{z=z_{0}}=0.}$

Se supone que f tiene una singularidad degenerada en 0. La multiplicidad de esta singularidad degenerada puede considerarse pensando en cuántos puntos están pegados infinitesimalmente . Si la imagen de f se perturba ahora de cierta manera estable, la singularidad degenerada aislada en 0 se dividirá en otras singularidades aisladas que no son degeneradas. El número de tales singularidades no degeneradas aisladas será el número de puntos que han sido pegados infinitesimalmente.

Precisamente, se toma otra función germen g que no es singular en el origen y se considera la nueva función germen h := f + εg donde ε es muy pequeño. Cuando ε = 0 entonces h = f . La función h se llama la morsificación de f . Es muy difícil calcular las singularidades de h , y de hecho puede ser computacionalmente imposible. Este número de puntos que han sido pegados infinitesimalmente , esta multiplicidad local de f , es exactamente el número de Milnor de f .

Otras contribuciones ^[2] dan significado al número de Milnor en términos de la dimensión del espacio de deformaciones versales , es decir, el número de Milnor es la dimensión mínima del espacio de parámetros de las deformaciones que llevan toda la información sobre la singularidad inicial.

Ejemplos

A continuación se presentan algunos ejemplos resueltos de polinomios con dos variables. Trabajar con una sola variable es demasiado simple y no proporciona una ilustración adecuada de las técnicas, mientras que trabajar con tres variables puede resultar engorroso. Nótese que si f es solo holomorfa y no un polinomio, entonces se puede utilizar la expansión de f en serie de potencias .

1

Consideremos un germen de función con una singularidad no degenerada en 0, digamos . El ideal jacobiano es simplemente . Calculando el álgebra local: ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle \langle 2x,2y\rangle =\langle x,y\rangle }$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}={\mathcal {O}}/\langle x,y\rangle =\langle 1\rangle .}$

Lema de Hadamard , que dice que cualquier función puede escribirse como ${\displaystyle h\in {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle h(x,y)=k+xh_{1}(x,y)+yh_{2}(x,y)}$

para algunas funciones k y y constantes (donde o o ambas pueden ser exactamente cero), justifica esto. Entonces, módulo múltiplos funcionales de x e y , la función h puede escribirse como una constante. El espacio de funciones constantes está abarcado por 1, por lo tanto ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}=\langle 1\rangle }$

De ello se deduce que μ ( f ) = 1. Es fácil comprobar que para cualquier función germen g con una singularidad no degenerada en 0, μ ( g ) = 1.

Nótese que al aplicar este método a un germen de función no singular g se obtiene μ ( g ) = 0.

2

Sea , entonces ${\displaystyle f(x,y)=x^{3}+xy^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}={\mathcal {O}}/\langle 3x^{2}+y^{2},xy\rangle =\langle 1,x,y,x^{2}\rangle .}$

Así que en este caso . ${\displaystyle \mu (f)=4}$

3

Se puede demostrar que si entonces ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}y^{2}+y^{3}}$ ${\displaystyle \mu (f)=\infty .}$

Esto se puede explicar por el hecho de que f es singular en cada punto del eje x .

Deformaciones versales

Sea f un número de Milnor finito μ y sea una base para el álgebra local, considerada como un espacio vectorial. Entonces una deformación miniversal de f está dada por ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{\mu }}$

${\displaystyle F:(\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{\mu },0)\to (\mathbb {C} ,0),}$

${\displaystyle F(z,a):=f(z)+a_{1}g_{1}(z)+\cdots +a_{\mu }g_{\mu }(z),}$

donde . Estas deformaciones (o desdoblamientos ) son de gran interés en gran parte de la ciencia. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{\mu })\in \mathbb {C} ^{\mu }}$

Invariancia

Los gérmenes de función se pueden reunir para construir clases de equivalencia . Una equivalencia estándar es la A -equivalencia . Se dice que dos gérmenes de función son A -equivalentes si existen gérmenes difeomórficos y tales que : existe un cambio difeomórfico de variable tanto en el dominio como en el rango que lleva f a g . Si f y g son A -equivalentes, entonces μ ( f ) = μ ( g ). ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle f,g:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)}$ ${\displaystyle \phi :(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ^{n},0)}$ ${\displaystyle \psi :(\mathbb {C} ,0)\to (\mathbb {C} ,0)}$ ${\displaystyle f\circ \phi =\psi \circ g}$

Sin embargo, el número de Milnor no ofrece un invariante completo para los gérmenes de función, es decir, la recíproca es falsa: existen gérmenes de función f y g con μ ( f ) = μ ( g ) que no son A -equivalentes. Para ver esto, considérese y . Esto produce pero f y g claramente no son A -equivalentes ya que la matriz hessiana de f es igual a cero mientras que la de g no lo es (y el rango de la hessiana es un A -invariante, como es fácil de ver). ${\displaystyle f(x,y)=x^{3}+y^{3}}$ ${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{5}}$ ${\displaystyle \mu (f)=\mu (g)=4}$

Referencias

1. Milnor, John (1969). Puntos singulares de hipersuperficies complejas . Anales de estudios matemáticos. Princeton University Press .
2. Arnoldo, VI ; Gusein-Zade, SM; Varchenko, AN (1988). Singularidades de mapas diferenciables . vol. 2. Birkhäuser .

• Arnoldo, VI ; Gusein-Zade, SM; Varchenko, AN (1985). Singularidades de mapas diferenciables . vol. 1. Birkhäuser .
• Gibson, Christopher G. (1979). Puntos singulares de aplicaciones suaves . Notas de investigación en matemáticas. Pitman.
• Milnor, John (1963). Teoría de Morse . Anales de estudios matemáticos. Princeton University Press .
• Milnor, John (1969). Puntos singulares de hipersuperficies complejas . Anales de estudios matemáticos. Princeton University Press .