Despliegue (funciones)

Familia de funciones matemáticas

En matemáticas, un desdoblamiento de una función real suave ƒ en una variedad suave es una cierta familia de funciones que incluye  a ƒ .

Definición

Sea una variedad suave y considere una aplicación suave Supongamos que para dados y tenemos . Sea una variedad suave de dimensión, y considere la familia de aplicaciones (parametrizadas por ) dada por Decimos que es un desdoblamiento de -parámetros de si para todos En otras palabras, las funciones y son las mismas: la función está contenida en, o es desdoblada por, la familia ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle x_{0}\in M}$ ${\displaystyle y_{0}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F:M\times N\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F(x,0)=f(x)}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F:M\times \{0\}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F.}$

Ejemplo

Sea dado por Un ejemplo de un desdoblamiento de vendría dado por ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{5}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle F((x,y),(a,b,c))=x^{2}+y^{5}+ay+by^{2}+cy^{3}.}$

Como es el caso de los desdoblamientos, y se llaman variables, y y se llaman parámetros, ya que parametrizan el desdoblamiento. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c}$

Despliegues bien comportados

En la práctica, requerimos que los desdoblamientos tengan ciertas propiedades. En , es una aplicación suave de a y, por lo tanto, pertenece al espacio de funciones . A medida que variamos los parámetros del desdoblamiento, obtenemos diferentes elementos del espacio de funciones. Por lo tanto, el desdoblamiento induce una función El espacio , donde denota el grupo de difeomorfismos de etc., actúa sobre La acción está dada por Si se encuentra en la órbita de bajo esta acción, entonces hay un cambio difeomórfico de coordenadas en y , que lleva a (y viceversa). Una propiedad que podemos imponer es que ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle \Phi :N\to C^{\infty }(M,\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle \operatorname {diff} (M)\times \operatorname {diff} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {diff} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle (\phi ,\psi )\cdot f=\psi \circ f\circ \phi ^{-1}.}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (\Phi )\pitchfork \operatorname {orb} (f)}$

donde " " denota " transversal a". Esta propiedad garantiza que a medida que variamos los parámetros de despliegue podemos predecir (sabiendo cómo se folia la órbita ) cómo variarán las funciones resultantes. ${\displaystyle \pitchfork }$ ${\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$

Despliegues versales

Existe una idea de un desenvolvimiento versal. Todo desenvolvimiento versal tiene la propiedad de que , pero la recíproca es falsa. Sean coordenadas locales en , y sea el anillo de funciones suaves. Definimos el ideal jacobiano de , denotado por , de la siguiente manera: ${\displaystyle \operatorname {Im} (\Phi )\pitchfork \operatorname {orb} (f)}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle J_{f}}$

${\displaystyle J_{f}:=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right\rangle .}$

Entonces una base para un desarrollo versal de está dada por el cociente ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {O}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{J_{f}}}}$.

Este cociente se conoce como álgebra local de . La dimensión del álgebra local se llama número de Milnor de . El número mínimo de parámetros de desdoblamiento para un desdoblamiento versal es igual al número de Milnor; esto no quiere decir que todo desdoblamiento con tantos parámetros será versal. Considere la función . Un cálculo muestra que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{5}}$

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {O}}(x,y)}{\langle 2x,5y^{4}\rangle }}=\{y,y^{2},y^{3}\}\ .}$

Esto significa que se da una base para un desarrollo versal, y que ${\displaystyle \{y,y^{2},y^{3}\}}$

${\displaystyle F((x,y),(a,b,c))=x^{2}+y^{5}+ay+by^{2}+cy^{3}}$

es un desdoblamiento versal. Un desdoblamiento versal con el mínimo número posible de parámetros de desdoblamiento se denomina desdoblamiento miniversal.

Conjuntos de bifurcaciones de desdoblamientos

Un objeto importante asociado a un desdoblamiento es su conjunto de bifurcación. Este conjunto se encuentra en el espacio de parámetros del desdoblamiento y proporciona todos los valores de parámetros para los cuales la función resultante tiene singularidades degeneradas.

Otra terminología

A veces los despliegues se denominan deformaciones, los despliegues transversales se denominan deformaciones transversales, etc.

Referencias

• VI Arnold, SM Gussein-Zade y AN Varchenko, Singularidades de mapas diferenciables , Volumen 1, Birkhäuser, (1985).
• JW Bruce y PJ Giblin, Curvas y singularidades , segunda edición, Cambridge University Press, (1992).