Lema de Hadamard

En matemáticas , el lema de Hadamard , llamado así en honor a Jacques Hadamard , es esencialmente una forma de primer orden del teorema de Taylor , en la que podemos expresar una función suave y de valor real de manera exacta y conveniente.

Declaración

Lema de Hadamard ^[1]  —  Sea una función suave de valor real definida en un entorno abierto y convexo en estrella de un punto en el espacio euclidiano de dimensión 1. Entonces puede expresarse, para todos, en la forma: donde cada una es una función suave en y ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in U,}$ $${\displaystyle f(x)=f(a)+\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-a_{i}\right)g_{i}(x),}$$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle a=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right),}$ ${\displaystyle x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).}$

Prueba

Prueba

Definamos por ​ ${\displaystyle x\in U.}$ ${\displaystyle h:[0,1]\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle h(t)=f(a+t(x-a))\qquad {\text{ for all }}t\in [0,1].}$$

Entonces, ¿qué implica? $${\displaystyle h'(t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))\left(x_{i}-a_{i}\right),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h(1)-h(0)&=\int _{0}^{1}h'(t)\,dt\\&=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))\left(x_{i}-a_{i}\right)\,dt\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-a_{i}\right)\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))\,dt.\end{aligned}}}$$

Pero además, al dejarlo así, el teorema queda demostrado. ${\displaystyle h(1)-h(0)=f(x)-f(a),}$ $${\displaystyle g_{i}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))\,dt,}$$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Consecuencias y aplicaciones

Corolario ^[1]  —  Si es suave y entonces es una función suave en Explícitamente, esta conclusión significa que la función que envía a es una función suave bien definida en ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(x)/x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\begin{cases}f(x)/x&{\text{ if }}x\neq 0\\\lim _{t\to 0}f(t)/t&{\text{ if }}x=0\\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Prueba

Por el lema de Hadamard, existe algo tal que, de modo que implica ${\displaystyle g\in C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f(x)=f(0)+xg(x)}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f(x)/x=g(x).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Corolario ^[1]  —  Si son puntos distintos y es una función suave que satisface entonces existen funciones suaves ( ) que satisfacen para cada tal que ${\displaystyle y,z\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(z)=0=f(y)}$ ${\displaystyle g_{i},h_{i}\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,3n-2}$ ${\displaystyle g_{i}(z)=0=h_{i}(y)}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle f=\sum _{i}^{}g_{i}h_{i}.}$$

Prueba

Aplicando un cambio lineal afín invertible en las coordenadas, se puede suponer sin pérdida de generalidad que y Por el lema de Hadamard, existen tales que Para cada sea donde implica Entonces para cualquier Cada uno de los términos anteriores tiene las propiedades deseadas. ${\displaystyle z=(0,\ldots ,0)}$ ${\displaystyle y=(0,\ldots ,0,1).}$ ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x).}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle \alpha _{i}:=g_{i}(y)}$ ${\displaystyle 0=f(y)=\sum _{i=1}^{n}y_{i}g_{i}(y)=g_{n}(y)}$ ${\displaystyle \alpha _{n}=0.}$ ${\displaystyle x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n},}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}f(x)&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x)&&\\&=\sum _{i=1}^{n}\left[x_{i}\left(g_{i}(x)-\alpha _{i}\right)\right]+\sum _{i=1}^{n-1}\left[x_{i}\alpha _{i}\right]&&\quad {\text{ using }}g_{i}(x)=\left(g_{i}(x)-\alpha _{i}\right)+\alpha _{i}{\text{ and }}\alpha _{n}=0\\&=\left[\sum _{i=1}^{n}x_{i}\left(g_{i}(x)-\alpha _{i}\right)\right]+\left[\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}x_{n}\alpha _{i}\right]+\left[\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}\left(1-x_{n}\right)\alpha _{i}\right]&&\quad {\text{ using }}x_{i}=x_{n}x_{i}+x_{i}\left(1-x_{n}\right).\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle 3n-2}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Véase también

• Función Bump  : función de soporte suave y compacto
• Continuamente diferenciable  – Función matemática cuya derivada existePages displaying short descriptions of redirect targets
• Suavidad  – Número de derivadas de una función (matemáticas)
• Teorema de Taylor  : aproximación de una función mediante una serie de potencias truncada

Citas

1. Nestruev 2020, págs. 17-18.

Referencias

• Nestruev, Jet (2002). Variedades suaves y observables . Berlín: Springer. ISBN 0-387-95543-7.
• Nestruev, Jet (10 de septiembre de 2020). Variedades suaves y observables . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 220. Cham, Suiza: Springer Nature . ISBN. 978-3-030-45649-8.OCLC 1195920718  .